Racine carrée/Quantité conjuguée

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Définition

Soit une expression de la forme : $a+b{\sqrt {c}}$

On appelle quantité conjuguée (ou expression conjuguée) de cette expression par rapport à ${\sqrt {c}}$, l'expression obtenue en remplaçant ${\sqrt {c}}$ par $-{\sqrt {c}}$.

C'est-à dire : $a-b{\sqrt {c}}$

Exemple. La quantité conjuguée en ${\sqrt {2}}$ de : $3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ est : $3-{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ La quantité conjuguée en ${\sqrt {5}}$ de  : $3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ est  : $3+{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}$

Si aucune confusion n'est possible, c'est-à-dire s'il n'y a qu'une racine carrée, on dira simplement quantité conjuguée.

Exemple. La quantité conjuguée de : $5-2{\sqrt {7}}$ est  : $5+2{\sqrt {7}}$

Principale propriété

On a la propriété suivante :

Propriété fondamentale sur les quantités conjuguées

Si une expression algébrique est de la forme $a+b{\sqrt {c}}$, alors le fait de multiplier cette expression par sa quantité conjuguée en ${\sqrt {c}}$ fait disparaître le radical de ${\sqrt {c}}$.

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit une expression algébrique écrite sous la forme :

$a+b{\sqrt {c}}$

Sa quantité conjuguée en ${\sqrt {c}}$ sera :

$a-b{\sqrt {c}}$

Si l'on fait le produit de ces deux expressions, c'est-à-dire si l’on cherche à effectuer :

$(a+b{\sqrt {c}})(a-b{\sqrt {c}})$

alors on remarque que le premier membre nous fait penser à l'identité remarquable :

$A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$

en posant :

${\begin{cases}A=a\\B=b{\sqrt {c}}\end{cases}}$

On a alors :

${\begin{aligned}(a+b{\sqrt {c}})(a-b{\sqrt {c}})&=(A+B)(A-B)\\&=A^{2}-B^{2}\\&=a^{2}-\left(b{\sqrt {c}}\right)^{2}\\&=a^{2}-b^{2}\left({\sqrt {c}}\right)^{2}\\&=a^{2}-b^{2}c\end{aligned}}$

et l'on constate que la variable $c$ n’apparaît plus sous une racine.

Fin de la démonstration

Rationalisation des numérateurs et des dénominateurs

Une application importante du paragraphe précédent est de faire disparaître une racine d'un numérateur ou un dénominateur d'une fraction. L'usage le plus fréquent est de faire disparaître une racine d'un dénominateur. Nous verrons pourquoi au paragraphe suivant.

Nous savons que nous ne changeons pas la valeur d'une fraction si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par une même expression non nulle. L'idée est donc de multiplier le numérateur et le dénominateur par une expression conjuguée de façon à faire disparaître une racine qui nous gène soit au numérateur, soit au dénominateur.

Exemple. Soit l'expression : ${\frac {2-{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}}}$ Premier cas : Supposons que l'on veuille faire disparaître la racine du numérateur. L'expression conjuguée de $2-{\sqrt {3}}$ étant $2+{\sqrt {3}}$, nous multiplierons donc le numérateur et le dénominateur par $2+{\sqrt {3}}$. Nous obtenons : ${\frac {(2-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})}{(1+{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})}}={\frac {2^{2}-({\sqrt {3}})^{2}}{2+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {3}}+3}}={\frac {1}{5+3{\sqrt {3}}}}$ et nous n'avons plus de racines au numérateur. Deuxième cas : Supposons que l'on veuille faire disparaître la racine du dénominateur. L'expression conjuguée de $1+{\sqrt {3}}$ étant $1-{\sqrt {3}}$, nous multiplierons donc le numérateur et le dénominateur par $1-{\sqrt {3}}$. Nous obtenons : ${\frac {(2-{\sqrt {3}})(1-{\sqrt {3}})}{(1+{\sqrt {3}})(1-{\sqrt {3}})}}={\frac {2-2{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}+3}{1^{2}-({\sqrt {3}})^{2}}}={\frac {5-3{\sqrt {3}}}{-2}}={\frac {3{\sqrt {3}}-5}{2}}$ et nous n'avons plus de racines au dénominateur.

Application

La plupart des exercices concernant l'utilisation de la quantité conjuguée dans les fractions porte sur la rationalisation des dénominateurs. La raison se trouve dans le fait que lorsque l'on fait la somme (ou la différence) de deux fractions, on doit commencer par chercher un dénominateur commun et cette recherche sera grandement simplifiée s'il n'y a pas de racines aux dénominateurs.

Plutôt qu'un long discours, nous allons donner un exemple pour illustrer notre propos. Nous allons faire, de deux manières différentes, la somme de deux fractions ayant des racines aux dénominateurs. Dans la première, nous ignorerons les quantités conjuguées et dans la deuxième nous commencerons par faire disparaître les racines carrées des dénominateurs en utilisant les quantités conjuguées.

Exemple. Soit à calculer la somme : ${\frac {3-2{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}+{\frac {5-{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$ Première méthode : Sans les expressions conjuguées. Le dénominateur commun est alors $(2-{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {3}})$. On a alors : ${\begin{aligned}{\frac {3-2{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}+{\frac {5-{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}&={\frac {(3-2{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {3}})}{(2-{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {3}})}}+{\frac {(5-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {2}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {2}})}}\\&={\frac {6+3{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}-2{\sqrt {6}}}{(2-{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {3}})}}+{\frac {10-5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {2}})}}\\&={\frac {16+{\sqrt {3}}-9{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}}{(2-{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {3}})}}\end{aligned}}$ Deuxième méthode : avec les expressions conjuguées. Avant de chercher le dénominateur commun, on commence par faire disparaître les racines des dénominateurs en multipliant les numérateurs et dénominateurs par la quantité conjuguée des dénominateurs. On a alors : ${\begin{aligned}{\frac {3-2{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}+{\frac {5-{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}&={\frac {(3-2{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {2}})}{(2-{\sqrt {2}})(2+{\sqrt {2}})}}+{\frac {(5-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}{(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})}}\\&={\frac {6+3{\sqrt {2}}-4{\sqrt {2}}-2\times 2}{(2^{2}-({\sqrt {2}})^{2})}}+{\frac {10-5{\sqrt {3}}-2{\sqrt {3}}+3}{(2^{2}-({\sqrt {3}})^{2})}}\\&={\frac {2-{\sqrt {2}}}{2}}+{\frac {13-7{\sqrt {3}}}{1}}\\&={\frac {2-{\sqrt {2}}}{2}}+{\frac {26-14{\sqrt {3}}}{2}}\\&={\frac {28-{\sqrt {2}}-14{\sqrt {3}}}{2}}\\\end{aligned}}$ Nous voyons que nous obtenons un résultat plus simple avec la deuxième méthode.