Racine carrée/Introduction

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Racines carrées

À quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ?

Certains nombres ne peuvent pas être écrits exactement sous forme décimale, ni sous forme de fractions.

On a la possibilité de les écrire sous forme de racines carrées.

Définition

Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carrée de $a$ est le seul nombre positif dont le carré est $a$.

Elle se note : ${\sqrt {a}}$.

Premières propriétés

Propriété

Le carré d’une racine carrée d’un nombre réel positif est égal au nombre lui-même : $\left({\sqrt {a}}\right)^{2}=a$.

​

Propriété

La racine carrée du carré d’un nombre réel (positif ou négatif) est égale au nombre sans signe (partie positive): ${\sqrt {\left(a^{2}\right)}}=a$.

​ Il est important d'observer les différents placements du carré dans ces formules.

Exemples

${\sqrt {9}}^{2}=3^{2}=9$

${\sqrt {3^{2}}}={\sqrt {9}}=3$

$car\ 3^{2}=3\times 3=9$

Racines carrées et multiplications

La racine carrée « se comporte bien » avec les multiplications.

Propriété

Si a et b sont deux nombres réels positifs :

${\sqrt {a\times b}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$.

La racine carrée du produit de a par b est égale au produit de leurs racines carrées respectives.

Exemple

${\sqrt {9\times 4}}={\sqrt {36}}=6$

${\sqrt {9}}\times {\sqrt {4}}=3\times 2=6$

On obtient bien le même résultat.

Démonstration

Soit deux nombres : a et b. Leurs carrés respectifs sont les nombres A et B :

$A=a\times a$

$B=b\times b$

Autrement dit :

$a={\sqrt {A}}$

$b={\sqrt {B}}$

${\sqrt {A\times B}}={\sqrt {a\times a\times b\times b}}$

${\sqrt {A\times B}}={\sqrt {(a\times b)\times (a\times b)}}$

${\sqrt {A\times B}}=a\times b={\sqrt {A}}\times {\sqrt {B}}$

 

Application à la simplification d’une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication : ${\sqrt {28}}$.

Solution

${\sqrt {28}}={\sqrt {4\times 7}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {7}}=2\times {\sqrt {7}}{\text{ ou encore }}2{\sqrt {7}}$.

 

Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible

Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : $a{\sqrt {b}}$

Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier b le plus petit possible.

Ainsi, un résultat comportant une racine carrée a une écriture unique et irréductible, comme les fractions.

Le calcul du PGD (plus grand diviseur) du nombre initial est utile pour simplifier et rendre irréductible le nombre b restant dans la racine carrée. Ceci est faisable en fonction des caractéristiques du nombre entier, de la valeur de son chiffre des unités etc.

Dans l'ensemble englobant tous les diviseurs existants du nombre initial, le PGD doit être inférieur au nombre lui-même.

Exemple

${\sqrt {392}}={\sqrt {49\times 8}}={\sqrt {49}}\times {\sqrt {8}}=7{\sqrt {8}}$

Mais :

$7{\sqrt {8}}=7\times {\sqrt {4\times 2}}=7\times 2{\sqrt {2}}=14{\sqrt {2}}$

donc : ${\sqrt {392}}=7{\sqrt {8}}=14{\sqrt {2}}$

mais la forme la plus simple est : $14{\sqrt {2}}$ car b = 2 est le plus petit possible.

Racines carrées et division

La racine carrée « se comporte bien » avec les divisions.

Propriété

Si a et b sont deux nombres positifs, et si b est différent de 0.

${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$.

La racine carrée du quotient de a par b est égale au quotient de leurs racines carrées respectives.

Exemple

${\sqrt {\frac {9}{4}}}={\sqrt {2{,}25}}=1{,}5{\text{ rappelez-vous }}15^{2}=225$

${\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}={\frac {3}{2}}=1{,}5$

On obtient bien le même résultat.

Démonstration

Soit deux nombres : a et b. Leurs carrés respectifs sont les nombres A et B :

$A=a\times a$

$B=b\times b$

Autrement dit :

$a={\sqrt {A}}$

$b={\sqrt {B}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\sqrt {\frac {a\times a}{b\times b}}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\sqrt {{\frac {a}{b}}\times {\frac {a}{b}}}}$

${\sqrt {\frac {A}{B}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sqrt {A}}{\sqrt {B}}}$

 

Application à la simplification d’une racine carrée

Simplifier en utilisant la propriété de la division : ${\sqrt {\frac {16}{9}}}$.

Solution

${\sqrt {\frac {16}{9}}}={\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {9}}}={\frac {4}{3}}$.

 

Des fractions sans racines carrées au dénominateur

Pour avoir une écriture simplifiée unique, on a l'habitude d'écrire les fractions comportant des racines carrées sans racines au dénominateur (sous le trait de fraction). On utilise la propriété de la division.

Exemple

Donner une écriture de : ${\frac {5}{\sqrt {7}}}$ sans racine carrée au dénominateur.

Solution

${\frac {5}{\sqrt {7}}}={\frac {5\times {\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}\times {\sqrt {7}}}}={\frac {5\times {\sqrt {7}}}{7}}={\frac {5}{7}}\times {\sqrt {7}}$.