Début de la boite de navigation du chapitre
Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain . Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Rayonnement électromagnétique : Approximation champ lointain Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Potentiels retardés en régime monochromatique
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On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :
A
→
(
r
→
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
j
→
(
r
→
′
,
t
−
|
r
→
−
r
→
′
|
c
)
|
r
→
−
r
→
′
|
d
3
r
→
′
{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'}
On se place en régime monochromatique à la pulsation
ω
{\displaystyle \omega }
.
Ainsi, toute grandeur
X
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle X({\vec {r}},t)}
s'écrit
R
e
(
X
(
r
→
)
e
−
i
ω
t
)
{\displaystyle \mathrm {Re} (X({\vec {r}})e^{-i\omega t})}
avec
X
(
r
→
)
{\displaystyle X({\vec {r}})}
l'amplitude complexe de
X
{\displaystyle X}
.
On a donc :
A
→
(
r
→
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
j
→
(
r
→
′
,
t
−
|
r
→
−
r
→
′
|
c
)
|
r
→
−
r
→
′
|
d
3
r
→
′
=
R
e
(
μ
0
4
π
e
−
i
ω
t
∫
j
→
(
r
→
′
)
e
i
ω
c
|
r
→
−
r
→
′
|
|
r
→
−
r
→
′
|
d
3
r
→
′
)
{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'=\mathrm {Re} \left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int {\vec {j}}({\vec {r}}'){\frac {e^{i{\frac {\omega }{c}}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\right)}
On constate donc que l'amplitude complexe de
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
vaut :
A
→
(
r
→
)
=
μ
0
4
π
∫
j
→
(
r
→
′
)
e
i
ω
c
|
r
→
−
r
→
′
|
|
r
→
−
r
→
′
|
d
3
r
→
′
{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\vec {j}}({\vec {r}}'){\frac {e^{i{\frac {\omega }{c}}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'}
Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que
|
r
→
−
r
→
′
|
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}
sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.
On décide de se placer loin de la source, soit
L
{\displaystyle L}
la longueur caractéristique de la source, on a alors
|
r
→
′
|
<
L
{\displaystyle |{\vec {r}}'|<L}
(en effet
r
→
′
{\displaystyle {\vec {r}}'}
décrit la source).
Première hypothèse de l'approximation champ lointain
On est dans le cadre de l’approximation champ lointain loin si
|
r
→
|
>>
L
{\displaystyle |{\vec {r}}|>>L}
En norme, on a donc
|
r
→
−
r
→
′
|
≃
|
r
→
|
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|\simeq |{\vec {r}}|}
.
On peut donc remplacer, au dénominateur
|
r
→
−
r
→
′
|
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}
par
|
r
→
|
{\displaystyle |{\vec {r}}|}
.
Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.
En effet, comme
|
r
→
−
r
→
′
|
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}
apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.
Calculons
|
r
→
−
r
→
′
|
2
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}}
:
|
r
→
−
r
→
′
|
2
=
r
→
2
−
2
r
→
⋅
r
→
′
+
r
→
′
2
=
|
r
→
|
2
(
1
−
2
r
→
⋅
r
′
→
|
r
→
|
2
+
|
r
→
′
|
2
|
r
→
|
2
)
≃
|
r
→
|
2
(
1
−
2
r
→
⋅
r
′
→
|
r
→
|
2
)
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}={\vec {r}}^{2}-2{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}'+{\vec {r}}'^{2}=|{\vec {r}}|^{2}\left(1-2{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r'}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}+{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)\simeq |{\vec {r}}|^{2}\left(1-2{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r'}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)}
au premier ordre.
Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :
|
r
→
−
r
→
′
|
=
|
r
→
|
(
1
−
r
→
⋅
r
→
′
|
r
→
|
2
)
=
|
r
→
|
−
u
→
⋅
r
→
′
{\displaystyle |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|=|{\vec {r}}|\left(1-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}'}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)=|{\vec {r}}|-{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}
avec
u
→
=
r
→
|
r
→
|
{\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}}
la direction d'observation.
Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme
ω
c
|
r
→
′
|
2
r
→
{\displaystyle {\frac {\omega }{c}}{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{\vec {r}}}}
Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant
2
π
{\displaystyle 2\pi }
(on parle de phase ici ).
Ainsi :
ω
c
|
r
→
′
|
2
r
→
≃
k
L
2
|
r
→
|
=
2
π
λ
L
2
|
r
→
|
<<
2
π
{\displaystyle {\frac {\omega }{c}}{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{\vec {r}}}\simeq k{\frac {L^{2}}{|{\vec {r}}|}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {L^{2}}{|{\vec {r}}|}}<<2\pi }
D'où :
Hypothèses de l'approximation en champ lointain
On est dans le cadre de l’approximation en champ lointain si :
|
r
→
|
>>
L
{\displaystyle |{\vec {r}}|>>L}
|
r
→
|
>>
L
2
λ
{\displaystyle |{\vec {r}}|>>{\frac {L^{2}}{\lambda }}}
Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointain
modifier
On obtient alors l'expression suivante :
Début d’un théorème
Expression du potentiel vecteur en champ lointain
A
→
(
r
→
)
=
μ
0
4
π
e
i
k
r
r
∫
j
→
(
r
→
′
)
e
−
i
k
u
→
⋅
r
→
′
d
3
r
→
′
{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'}
Fin du théorème
Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :
Début d’un théorème
Expression du potentiel scalaire en champ lointain
V
(
r
→
)
=
1
4
π
ϵ
0
e
i
k
r
r
∫
ρ
(
r
→
′
)
e
−
i
k
u
→
⋅
r
→
′
d
3
r
→
′
{\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int \rho ({\vec {r}}')e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'}
Fin du théorème