Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Rayonnement électromagnétique : Approximation champ lointain Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.
En effet, comme apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.
Calculons :
au premier ordre.
Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :
avec la direction d'observation.
Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme
Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant (on parle de phase ici).
Ainsi :
D'où :
Hypothèses de l'approximation en champ lointain
On est dans le cadre de l’approximation en champ lointain si :
Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointainmodifier
On obtient alors l'expression suivante :
Début d’un théorème
Expression du potentiel vecteur en champ lointain
Fin du théorème
Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :
Début d’un théorème
Expression du potentiel scalaire en champ lointain