Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain

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Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.

Approximation champ lointain
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Chapitre no 3
Leçon : Rayonnement électromagnétique
Chap. préc. :Potentiels retardés
Chap. suiv. :Approximation dipolaire électrique
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Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain
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Potentiels retardés en régime monochromatique

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On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :

  •  

On se place en régime monochromatique à la pulsation  .

Ainsi, toute grandeur   s'écrit   avec   l'amplitude complexe de  .

On a donc :

 

On constate donc que l'amplitude complexe de   vaut :

 

Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que   sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.

Approximation champ lointain

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Première hypothèse

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On décide de se placer loin de la source, soit   la longueur caractéristique de la source, on a alors   (en effet   décrit la source).

Conséquences

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En norme, on a donc  .

On peut donc remplacer, au dénominateur   par  .

Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.

En effet, comme   apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.

Calculons   :

  au premier ordre.

Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :

  avec   la direction d'observation.

Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme  

Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant   (on parle de phase ici).

Ainsi : 

D'où :

Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointain

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On obtient alors l'expression suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :

Début d’un théorème
Fin du théorème