Rayonnement électromagnétique/Potentiels retardés

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Dans ce chapitre nous allons procéder à une première résolution des équations de propagation des potentiels, en passant par les fonctions de Green. Les solutions que nous obtiendrons sont connues sous le nom des potentiels retardés.

Potentiels retardés
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Chapitre no 2
Leçon : Rayonnement électromagnétique
Chap. préc. :Introduction et bases
Chap. suiv. :Approximation champ lointain
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Rayonnement électromagnétique/Potentiels retardés
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Rappel des équations à résoudre

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  •  
  •  

avec  

Préparation aux potentiels retardés

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Distribution de charges et de courants

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Par définition de   on a :

  •  
  •  

Fonctions de Green

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Pour la suite on a besoin du résultat mathématique suivant.

On appelle fonction de Green, notée   (qui peut être vectorielle), une fonction qui vérifie l'équation suivante :

 

Si   est une fonction de Green, alors elle s'écrit :

 

Potentiels retardés

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Pour  

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On a l'équation suivante :

  •  

Ainsi  

D'où :

 

On peut donc en déduire quel l'intégrale temporelle s'annule tout le temps sauf si  , ainsi :

 

Cette dernière expression constitue l'expression potentiels retardés pour  

Pour  

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On a l'équation :

  •  

Un raisonnement parfaitement similaire à la section précédente aboutit à l'expression des potentiels retardés pour  

 

Conclusion

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On a donc partiellement résolu le problème posé en fin de chapitre précédent :

Si

  •  
  •  

Alors

Début d’un théorème
Fin du théorème