Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible

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Grand théorème de Fermat

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Mis à jour le 16/01/2021.

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. » Jacques Roubaud, “Mathématique :” (1997).

« Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein (1995).

Arriva un jour où plus aucun mathématicien contemporain de Fermat n’accepta de répondre à ses défis. Sa riposte fut à la hauteur de sa réputation, il lança un défi au monde :

Dernier théorème de Fermat
    impossible dès que n est un entier supérieur à 2

Ce qui rend le problème fascinant est la simplicité de son énoncé. Pendant plus de trois siècles les plus grands mathématiciens du monde ont tenté en vain de prouver la véracité de ce théorème, dont Pierre Fermat (ou Pierre de Fermat) dit avoir « vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante » (c'est la traduction après décryptage de sa deuxième ‘’OBSERVATIO‘’). Si cet Himalaya des mathématiques a pu être gravi après 324 ans d'efforts et d'espoirs déçus par Andrew Wiles en 1994, c'est uniquement par des moyens modernes et une voie très indirecte, grâce à une démonstration d'une complexité énorme et longue d'un millier de pages dans sa première mouture. Le 24 juin 1993, au lendemain de la conférence ou Andrew Wiles écrit au tableau noir qu’il pense avoir prouvé la véracité du ‘’Dernier théorème de Fermat’’, le journal Le Monde annonce en première page : « Le théorème de Fermat enfin résolu ». The New York Times quant à lui titre : « At Last, Shout of 'Eureka' In Age-Old Math Mystery » [1]. La preuve beaucoup plus courte (bien que très difficile à assimiler) que donne Fermat n’a toujours pas été admise par nos mathématiciens modernes.

Voici la traduction littérale, la plus exacte que l'on puisse faire, de la célèbre observation de Pierre de Fermat énonçant son théorème. Avec :

  • detexi, du verbe detego : dévoiler, mettre à nu (Dictionnaire Gaffiot).
  • detexi : mettre à découvert, découvrir dans le sens de “ôter ce qui couvre” (Dicolatin).
  • sane : assurément, réellement, tout à fait, entièrement, complètement.
  • demonstratio et demonstrationem sur Gaffiot ; action de montrer, démontrer, décrire ; demonstrationem sur Dicolatin : démonstration, description, raisonnement rigoureux.

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément dévoilé l'explication étonnante (ou admirable). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »

Voici maintenant la seule traduction officielle, qui est d'Émile Brassinne, dans son ouvrage Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat et de l’Arithmétique de Diophante (Toulouse, 1853), cette traduction est reprise par Serge Coquerand dans son ouvrage À la (re)découverte des dix livres de l'arithmétique de Diophante) ainsi que par Bertrand Hauchecorne, qui l’exprime dans l'émission de France Culture Pierre de Fermat l’énigmatique (à 19’ 25’’) :

« Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai assurément trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas. » L'ordre des mots est rigoureusement exact. La seule traduction approximative concerne le mot detexi, traduit malencontreusement par “j'ai trouvé”.

Extrêmement rares sont les commentateurs (nous n'en connaissons que deux) qui reprennent cette traduction officielle. On trouve au contraire des dizaines de fausses traductions dont la ligne générale est celle-ci :
« Il est impossible de diviser un cube en deux cubes, ou un bicarré en deux bicarrés, et en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré, j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

Une fausse traduction tout à fait similaire a été rapportée par Jean Itard (1902-1979), qui fut professeur de mathématiques et historien et a été particulièrement méprisant envers Pierre de Fermat, en écrivant par exemple en guise de conclusion, en 1950 :
« Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » C'est le commentaire le plus désobligeant qu'on puisse trouver sur le plus grand savant du dix-septième siècle. Le début de la phrase est péremptoire et violent : “Jamais Fermat”. Il poursuit en mettant deux Capitales d'imprimerie à ‘’Dernier Théorème‘’, manière radicale de démolir un théorème capital. C'est le commentaire le plus désobligeant qu'on ait lu à l'encontre de Pierre de Fermat. Jean Itard ne connaissant pas le latin il s'est certainement fié à une de ces fausses traductions.

La propagation de ces mauvaises traductions a eu deux effets.
– Tourmenter les savants pendant 324 ans (1994 – 1670 = 324) et non 358 ans (souvent arrondi en 350) comme on le lit souvent.
– Permettre que le plus grand défi de Pierre de Fermat – retrouver et comprendre entièrement l’admirable démonstration qu'il a réellement dévoilée en sondant « les mystères de la science des nombres » – n'ait toujours pas été relevé en 350 ans (2020 – 1670 = 350) .

Au lecteurModifier

Je trouve plaisant, pour vous comme pour moi, de laisser cette étude en libre accès. Pour moi, parce que je pourrai à chaque instant la modifier et l'améliorer. Et donc pour vous, parce que vous pouvez suivre sa progression en live. Peut-être aurais-je pu utiliser dans cette recherche l'expression «Théorème vivant», qui me paraît assez bien la caractériser, et je l'aurais insérée quelque part, en sous-titre par exemple, mais Cédric Villani me l'a chipée  , ce serait maintenant prétentieux de l'utiliser – ah tiens ! je l'ai fait quand même – et j’imagine que vous pouvez trouver de l’intérêt à ce live. N’est-ce pas alors enrichissant pour nous tous ?

Dès que j'ai eu connaissance de la formidable énigme chargée d'histoire de Pierre de Fermat j'ai perçu (je suis certain de n'être pas le seul dans ce cas) que ce génie polymathe non seulement était sûr de son fait , mais qu'il était tout à fait sincère, très inventif et, cerise sur le gâteau, très cachotier et très espiègle. J'avais aussi un avantage non négligeable, ayant pour “allié” dans cette affaire, Blaise Pascal – excusez du peu – qui encensait littéralement Pierre de Fermat. Je souris intérieurement (et malicieusement) en pensant que toi amie lectrice, que toi ami lecteur, tu découvres, comme moi, des choses que je trouves pour ma part passionnantes (j'espère que tu les trouves au moins intéressantes) sur un immense génie du dix-septième siècle, des choses que les savants du monde entier n'auront jamais sous les yeux – ou alors ils seront extrêmement rares, je n'en connais que 5 mais je pense qu'ils sont un peu plus nombreux, certains ayant au moins un ami très proche partageant le même point de vue positif. Je serais étonné cependant qu'ils en parlent beaucoup autour d'eux, je ne les crois pas vraiment intéressés, trop occupés qu'ils sont à leurs travaux personnels. Si tu apprécies cette étude ami lecteur, alors peut-être comme moi souriras-tu en constatant qu'il n’est pas besoin d’être un grand savant (bien au contraire souvent !) pour découvrir des choses admirables qui passent parfois complètement inaperçues à ses yeux et aux yeux des obstinés pessimistes.

Avant-proposModifier

L’objectif sera de faire état de tous les arguments trouvés à ce jour en faveur de l’existence d’une preuve du grand théorème par Fermat lui-même. Bien qu’ayant nourri depuis longtemps un goût prononcé pour la mathématique et la physique (ah ! la découverte, dans ma jeunesse, des intégrales, de la dynamique des corps, des si belles, si simples et si logiques formules), je ne suis pas mathématicien, seulement un anonyme un peu polymathe, un peu philosophe et surtout un grand curieux.

De nombreux mathématiciens, professionnels et amateurs, se sont passionnés pour cette énigme, imaginant une démonstration “élémentaire” (courte) à leur portée. Las, cette simplicité apparente pose un voile sur des difficultés insoupçonnées. Pendant longtemps des savants ont été envahis de courriers qui leur soumettaient une démonstration bien sûr toujours fausse. C'est encore parfois le cas mais c'est le plus souvent via internet qu'ils la font connaître. De fait, on trouve à peu près chaque semaine sur le net une nouvelle pseudo-démonstration. En 1908, Paul Wolfskehl créa un prix de 100 000 marks qui récompenserait le premier qui trouverait une preuve au théorème. Des démonstrations plus ou moins farfelues commencèrent à s’accumuler sur le bureau du professeur Edmund Landau, chef du Département des mathématiques à l’université de Göttingen. Il avait été chargé d’examiner toutes ces propositions de preuve. Leur nombre augmenta tellement que son travail personnel en pâtit. Il trouva une solution radicale en faisant imprimer en grande quantité des modèles de réponse prêts à l’emploi :

Cher…

Je vous remercie pour votre manuscrit sur la démonstration du Dernier théorème de Fermat. La première erreur se trouve : page… , ligne… Cela infirme la démonstration.

Professeur E.M. Landau

Puis il pria ses élèves de remplir les blancs. L’atmosphère autour de ce fameux théorème restant toujours troublée, il semble que l’inconscient collectif et l’effet de groupe à l’œuvre dans les hautes sphères de la discipline aient décidé qu’il faille arrêter là les dégâts et disqualifier encore plus, par tous les moyens possibles, Fermat et son Grand Théorème. L'afflux de ces fausses démonstrations servit aussi de prétexte aux détracteurs de Fermat pour nier encore plus farouchement que Fermat avait prouvé sa plus fameuse conjecture. Rendons hommage à tous les savants qui ont su faire preuve de retenue et de sagesse. La découverte d'une preuve par Wiles en 1994 suscita l'enthousiasme dans le monde entier, mâtiné parfois d'un peu de tristesse : pour prouver un énoncé très élémentaire il avait fallu écrire tout un traité de mathématiques, d’une difficulté inouïe. Jamais un mathématicien bien académique n’aurait pu imaginer que Fermat (dont l'espiègle pédagogie était pourtant connue) ait inséré dans sa deuxième observation (outrageante ?) écrite en latin tout ce qui était nécessaire pour la décrypter.

Nos mathématiciens ne savent plus raisonner sainement sur les concepts primordiaux, n’y ayant jamais été contraints puisque leurs prédécesseurs, de plus en plus, ont brûlé les étapes. Ils sont en conformité avec l’époque, une ère matérialiste. L’esprit est de plus en plus encombré de pensées compliquées, tout comme l’est leur manière de chercher. L'abstraction dans le simple leur est devenue inaccessible, le pur spirituel, sa beauté, sont définitivement perdus. Pour raisonner ils recourent maintenant à de plus en plus de symboles mathématiques, des formules de plus en plus complexes, leur pensée s’appuie sur cette complexité au lieu que d’être une pensée pure.

Citons Alexandre Grothendieck (RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien) :
« Nos esprits sont saturés d’un « savoir » hétéroclite, enchevêtrement de peurs et de paresses, de fringales et d’interdits ; d’informations à tout venant et d’explications pousse-bouton – espace clos où viennent s’entasser informations, fringales et peurs sans que jamais ne s’y engouffre le vent du large. Exception faite d’un savoir-faire de routine, il semblerait que le rôle principal de ce « savoir » est d’évacuer une perception vivante, une prise de connaissance des choses de ce monde. Son effet est surtout celui d’une inertie immense, d’un poids souvent écrasant. Le petit enfant découvre le monde comme il respire – le flux et le reflux de sa respiration lui font accueillir le monde en son être délicat, et le font se projeter dans le monde qui l’accueille. L’adulte aussi découvre, en ces rares instants où il a oublié ses peurs et son savoir, quand il regarde les choses ou lui-même avec des yeux grands ouverts, avides de connaître, des yeux neufs – des yeux d’enfant.

Il arrive que l’un ou l’autre de nous découvre telle chose, ou telle autre. Parfois il redécouvre alors dans sa propre vie, avec émerveillement, ce que c’est que découvrir. Chacun a en lui tout ce qu’il faut pour découvrir tout ce qui l’attire dans ce vaste monde, y compris cette capacité merveilleuse qui est en lui – la chose la plus simple, la plus évidente du monde ! (Une chose pourtant que beaucoup ont oubliée, comme nous avons oublié de chanter, ou de respirer comme un enfant respire…). Chacun peut redécouvrir ce que c’est que découverte et création, et personne ne peut l’inventer. Ils ont été là avant nous, et sont ce qu’ils sont. »

Genèse de l'étudeModifier

La première lecture (vers 1997) qui m'a fait m'intéresser à ce problème est celle du célèbre ouvrage de vulgarisation de Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, lecture qui m'avait été suggérée par une amie étudiante en mathématiques. J'ai commencé à sentir que je tenais quelque chose[1]. Baudelaire dit dans un de ses petits poèmes en prose : « J’aime passionnément le mystère parce que j’ai toujours l’espoir de le débrouiller. » J'ai moi aussi cette passion poussée à un haut degré. Souvent on considère un mystère comme insoluble, par la raison même qui devrait le faire regarder comme facile à résoudre. En faisant simplement preuve de bon sens, dans une perception fine des choses, une approche objective dénuée de tout préjugé, alors à mesure qu’on progresse dans la recherche, nos découvertes nous apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau que l'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval, évoquant Fermat, écrivait à Torricelli, : « Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes : « J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. » Qui a l'esprit de discernement sait faire preuve de simplicité, de confiance, d'humilité, d'imagination créatrice, d'audace et d'analyse rigoureuse, toutes aptitudes nécessaires à résoudre une énigme. Je crois que la résolution des énigmes les plus importantes, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle y soit absente, est toujours possible. Mais dans ce cas-ci j'avais beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais d'abord que quelques indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient beaucoup dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret, ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat mais aussi ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé via Wikipédia, d'un mathématicien amateur (Roland Franquart) qui allait complètement débloquer la situation. Nous nous sommes téléphoné et je crois que nous avons conversé plus d'une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une très vive opposition, même pour les plus simples détails, m'en empêchant. Les professeurs de math que j’ai rencontrés sur divers forums ont la manie d’appeler banales, ou triviales, toutes choses situées au-delà de leur compréhension, et vivent ainsi au milieu d’une immense légion de banalités. Heureusement quand je retournai en 2013 sur Wikipédia après une longue absence je fus tout de suite encouragé par Catherine Goldstein. Elle m'avait soufflé qu'elle considérait les deux « articles » (des fiches plutôt) Dernier théorème de Fermat et Pierre de Fermat comme indigents, et elle-même ne s'aventure plus sur ces terrains minés. Je serai plus méchant, le premier est un attrappe-nigaud. Renonçant finalement à tenter d'améliorer un peu plus ces deux articles et quelques autres, j'ai moi aussi quitté Wikipédia complètement désabusé et repris mes recherches de plus belle. Je ne me doutais pas alors qu'en travaillant seul, l'esprit libéré, j'allais beaucoup progresser au fil de trouvailles de plus en plus étonnantes et nombreuses qu'après Roland Franquart j'allais faire à mon tour. Je dois à la justice de dire que sans ses découvertes je n'aurais rien trouvé de neuf, toute cette recherche n'aurait pu se faire. À tout seigneur tout honneur.

Vers 2006 après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème j'avais tout de suite vu que de tous les arguments avancés par les contempteurs de Fermat, consciencieusement repris par les wikipédiens, absolument aucun ne tenait la route. Pourtant tous y étaient réunis et surinterprétés, la toute petite partie de l'article concernant la possibilité d'une preuve par Fermat lui-même avait été rédigée à partir de tous ces arguments très orientés et parfois péremptoires, sans jamais prendre en compte un seul argument des chercheurs avançant l'idée que Fermat, immense génie de la valeur de Pascal sans doute, mathématicien, grand pédagogue et juge à la fois, avait peut-être détenu la preuve qu'il affirmait avoir mise au jour. On interdit sur Wikipedia que figure dans l'article le nom de la chercheuse et mathématicienne la plus experte (Catherine Goldstein), universellement reconnue, de Pierre de Fermat et de ses travaux.

Nombreux sont les scientifiques contemporains, toutes disciplines confondues, qui raisonnent avec une forme de pensée magique et font preuve de condescendance quand ce n'est pas un mépris ouvert envers les Anciens. Cette condescendance fait d'ailleurs partie des mœurs courantes des mathématiciens accomplis. Dieu sait si je suis averti pour dire combien il peut y avoir de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes, de ces personnes que la reconnaissance académique conforte dans leurs béates certitudes. La question à se poser en voyant la façon étonnante dont avait été rédigé l'article était « Pourquoi ? ». C'était la première pierre à soulever impérativement, pour ne pas être contaminé par le pessimisme ambiant et partir d'un bon pied. Il peut paraître étonnant que les professeurs qui ont écrit ce texte n’en aient pas perçu tout le ridicule, non seulement en contribuant à propager la rumeur mais en la portant à son maximum désirable. Tel semble être le destin de ces sites où les experts, quand ils ne se font pas exclure, s’en vont un jour d’eux-mêmes, las d’avoir eu à batailler contre des personnes se prenant pour des encyclopédistes.

Cette conformité jalouse et exacerbée avec la pensée unique étant évidente j'ai voulu d'abord répertorier tous les mauvais arguments, avec leurs conséquences néfastes, qu'au cours des siècles les commentateurs de Fermat avaient pu imaginer. Ensuite, puisqu'il avait lancé son défi, il me fallait tout faire, puisqu'ayant assez vite perçu ses manières j'admirais l'homme, pour relever ce défi. Non pas le défi mathématique en lui-même puisque je ne suis pas mathématicien, mais le défi de percer tous les secrets que dans ses divers écrits relatifs au théorème et à la fameuse fausse conjecture il aurait pu dissimuler. La difficulté étant qu'il n'en disait jamais plus que nécessaire, et les meilleurs signaux qu'il envoyait étaient les plus difficiles d'accès. Ainsi est née cette recherche, très laborieusement d'abord. Tenter de résoudre de la façon la plus exhaustive possible cette formidable énigme, qui exige une analyse poussée de la psychologie de Fermat, de tout ce qu'il écrit, qui demande aussi une conscience de son admirable sagacité, a suscité chez moi enthousiasme et excitation dans une recherche passionnante qui m'a procuré les plus grandes satisfactions. Si j'avais été mathématicien, jamais je n'aurais pensé à chercher avec autant de foi et de persévérance tous ces arguments pour réhabiliter le dernier défi de Pierre de Fermat et surtout l'homme Fermat, j'eus été empêché, par mes préjugés, de sortir des sentiers battus et rebattus pendant des siècles qui avaient abouti à une incroyable légende urbaine. Les techniques sophistiquées qu'utilise le mathématicien contemporain exigent un long apprentissage, beaucoup de travail, et occupent tout son temps. Ses contraintes professionnelles ne lui permettent pas d'en consacrer à une question qui lui semble de si peu d'intérêt

Pour détricoter une énigme comme celle de Fermat, c'est le pédagogue singulier, le combattant isolé, qu'il fallut convoquer. Son arme de prédilection est le défi. Mais pour que les mathématiciens qui le suivront ne soient quand même pas trop furieux il ne doit pas les défier trop ouvertement, il trouve alors une nouvelle arme, la facétie, et il en use à profusion. Prendre acte de ce constat fut absolument nécessaire. Pour avoir une chance de relever son défi, il fallut aller directement à la source, trouver puis exploiter la traduction la plus exacte, la plus fidèle possible de l'OBSERVATIO II. Ensuite, et en espérant que Fermat n'en était pas resté là, il fallut continuer de chercher avec beaucoup de patience et d'obstination toutes les autres pistes qu'il aurait pu laisser. Ce fut très long, semé d'embûches, toujours grisant.

« L’historien ne doit rien refuser d’entendre. » (Cicéron)Modifier

 
Hôtel de Fermat à Beaumont-de-Lomagne

Les Anciens étaient parvenus à extraire d’une gangue arithmétique informe les concepts principaux sans disposer de tout le symbolisme algébrique aujourd'hui disponible. Pierre de Fermat, comme ses contemporains mais à un degré plus élevé, a maîtrisé l’art de contourner les difficultés auxquelles se heurteront ceux qui viendront après lui, au point de pouvoir se passer de nombreux outils mathématiques qui seront découverts plus tard. Nous trouvons maintenant évidents des concepts primordiaux que ces Anciens ont découverts. Jusqu’au siècle dernier, et même encore parfois de nos jours, ce caractère d’évidence a engendré chez quelques savants, quand ils ont eu à ferrailler avec Pierre de Fermat, leur maître pourtant, une coupable arrogance.

Les mathématiques, surtout les mathématiques de Fermat, sont aussi de la philosophie. Cette étude fait appel à de nombreuses disciplines : mathématiques, histoire des math, philosophie (dont la logique philosophique), psychologie, sociologie, linguistique, pédagogie, didactique. La question considérée peut aussi aider à comprendre notre époque.

Cet essai initié en janvier 2019 ne semble toujours pas vouloir se terminer. Appréhender la psychologie d'un tel personnage pour tenter de découvrir tout ce qu'il a voulu signifier par ses astuces littéraires est un travail sans fin. Ce n'est qu'au fil de ces découvertes (on va de surprise en surprise) et au prix de longues méditations que l'on peut y progresser. Il fut au début difficile ce travail, car l'imaginaire collectif est là, qui sans cesse rappelle le jugement définitif qu'ont porté de très grands savants à l'encontre de Pierre de Fermat.

L’histoire du ‘’Dernier‘’ théorème de Fermat (son ultime défi) commence aux alentours de l’année 1638. Fermat est alors âgé d’une trentaine d’années. On peut mieux comprendre son inextinguible soif de connaissances en considérant qu'il vit à une époque où, sans rien renier des connaissances des Anciens, au contraire en les admirant, on s'attache à leur étude pour mieux aller de l'avant. On y est polymathe, tout est digne d'intérêt. Fermat est de ces hommes, humaniste, lettré, philologue, il connaît le grec et l'italien, fait des vers français, latins, espagnols. Natif de Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne, il s'installe d'abord à Bordeaux, puis à Toulouse, faisant carrière dans la magistrature où il s'acquitte de sa tâche d'une manière exemplaire. Lorsqu'il découvre l'arithmétique des Anciens, il y voit une telle intelligence, une telle stimulation pour l'esprit, que se contenter d'une activité rémunérée ayant surtout l'avantage d'assurer se subsistance n'est même pas une question à se poser. Il voit dans l'étude des nombres la voie royale pour contempler les mystères de la Nature. Son enthousiasme débordant a trouvé le moyen de s'exprimer, sa voie est toute tracée. Grâce à lui, la connaissance pourra s'accroître et se propager. La science des nombres n'est pas sa seule passion, le latin, langue des savants et des lettrés, n'a aucun secret pour lui. « Il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. » Il est très croyant (voir son poème latin ‘’Soumets-toi à Dieu ou l'agonie du Christ‘’, dédié à Jean-Louis GUEZ de BALZAC), discret dans la vie, et bien que ce fût un génie, « le plus grand homme du monde » selon Blaise Pascal, on sait peu de choses sur sa vie. Par sa correspondance, on connaît quelques unes de ses plus belles démonstrations, une des plus remarquables étant celle où il démontre que le nombre 26 est le seul de tous les nombres à être compris entre un carré et un cube : 25 (5x5), et 27 (3x3x3).

Si aller à l'encontre de tous les jugements négatifs qui ont été portés à son encontre n'est pas aisé, deux choses pourtant aident à garder intacts l'enthousiasme et la confiance.

  • On sait d'une part qu'il disposait de très peu de temps pour assouvir sa passion des nombres. Ce n'est qu'en gardant par devers lui la grande majorité de ses inventions au fur et à mesure qu'il les faisait, qu'il pouvait préserver sa tranquillité et exploiter tout son potentiel créatif. S'il avait commencé à rédiger des démonstrations complètes de ses inventions, la compréhension en ayant été ardue, des esprits tatillons lui auraient fait perdre son temps avec d'incessants chipotages. La formulation de ses défis, qui souvent ne comportaient que quelques lignes et pouvaient paraître inconvenants de la part d'un notable, témoignait aussi de ce cruel manque de temps.

Alors qu'il a affirmé dans sa correspondance posséder la preuve du cas particulier n=4 de son grand théorème, il ne nous dit pas, dans le Diohante, quelle est cette preuve. Néanmoins il nous livre explicitement sa démonstration du “Théorème de Fermat sur les triangles rectangles” mais sans du tout nous préciser dire qu'elle a un rapport quelconque avec le cas n=4. Or la preuve de ce cas est immédiatement déductible de son théorème sur les triangles rectangles, et c'est la seule démonstration qu’il révèle – dans ses 48 observations en tout cas. À première vue c'est incompréhensible tant il est vrai que, sans faire preuve de fausse modestie, il n'a jamais hésité à mettre en avant ses capacités. Pour quelle raison alors, si ce n’est pour indiquer qu'il a placé là une première balise, et qu'il nous faudra nous attacher à en chercher d'autres, mieux cachées. Il ne faudra pas prendre à la légère ses affirmations sur l’impossibilité du cas particulier n=3, et surtout son affirmation d'avoir assurément dévoilé l'explication étonnante de son théorème général. Cela nous semble être le tout premier des arguments en faveur d’une maîtrise complète, par Fermat, de la situation : il sait de quoi il parle, il nous le fait savoir. On est assuré par ailleurs qu'il possède effectivement la preuve du cas n=3, mais là encore, alors qu'il n'a cessé dans parler dans ses lettres, il passe complètement sous silence ce dernier cas dans son Diophante. Il s'arrange, comme il l'a fait dans ses lettres, pour n'en révéler que le minimum. Il est vrai que s'il avait renoncé à son principe les mathématiciens n'auraient eu aucun effort à fournir.

Sûrement avait-il aussi une revanche à prendre sur la communauté des mathématiciens (« Ah ! ils n'ont pas voulu me prendre au sérieux ? C'est bien dommage pour eux !, ce n'est plus à ces esprits entêtés que je pense dorénavant. »). S'est-il dit aussi : «  Nous allons bien nous amuser. » ? Certains de ses correspondants en effet, à qui il avait soumis des problèmes qu'ils avaient été incapables de résoudre, avaient méprisé ses travaux, les jugeant totalement inutiles (ils se révélèrent d'une importance considérable). Il dut être contrit et vexé, certainement il voulut les punir de leur négligence. La nature de son caractère dut y être pour quelque chose, on le savait très humble, mais il était parfaitement conscient de sa force, et la fausse humilité était étrangère à ce Gascon. Une démonstration complète d'un cas particulier (n=3) de son grand théorème ne sera trouvée que... deux siècles plus tard par Gauss, un autre immense mathématicien. Citons E.T. Bell : « Gauss discréditait les assertions sans fondement. […] Un ami lui avait demandé pourquoi il ne concourait pas pour le prix offert en 1816 par l’Académie française des sciences pour une preuve (ou une invalidation) du Dernier Théorème de Fermat. ‘’J’avoue, répondit-il, que le Théorème de Fermat est une proposition isolée qui a très peu d’intérêt pour moi, puisque je pourrais facilement trouver une multitude de propositions du même genre, que personne ne pourrait jamais ni valider ni invalider’’. Bien qu’il ne l’ait jamais dit explicitement, Gauss semblait douter que Fermat avait prouvé son théorème ».

  • D'autre part, certains de ses écrits les plus importants sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant un expert en latin, il a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; b) le manque de temps ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents ; enfin, c) son goût pour la pédagogie (qui s'accorde à son tour avec les points précédents).

Un jour, alors qu'il est en contemplation devant la beauté du théorème de Pythagore (a²=b²+c²), il s'interroge. Pourrait-on ajouter quelque chose au sujet, quelque chose auquel personne n'aurait encore osé penser ? Dans la formule de Pythagore, l'exposant est le nombre 2, le seul nombre qui élevé au carré soit égal à son double (2² = 2+2). Fermat put penser que cette propriété lui conférait des propriétés particulières, et il a l'idée qui allait bouleverser les mathématiques pour les siècles à venir. L'impensable se produit, il remplace l'exposant 2 par un 3. Est-ce que l'égalité pourrait encore exister pour certains cas en choisissant avec soin les valeurs de a, b et c ? On perçoit déjà l'étendue de ses ambitions. A priori il ne semblait pas que ce fût possible, on pouvait toujours s’en approcher de très près, parfois même à une unité, mais trouver une solution semblait impossible. Le nombre 2, monstre mathématique, semble le suggérer (à l'unité, on a ajouté l'unité pour en faire une double unité, une manipulation philosophiquement blasphématoire – ou merveilleusement créatrice). Non seulement 2 est le premier des nombres premiers, mais il est aussi le seul nombre premier à être pair. Pour Fermat, tenter de prouver l'impossibilité de son égalité serait un défi formidable, et c'est tout ce qu'il lui faut. Certainement se rend-il compte qu’il serait plus facile de tester d'abord sa méthode avec un 4 en exposant, le carré de 2, ce nombre qui semble narguer tous ses suivants. Il utilise une méthode qu'il nomme ‘’descente infinie’’ (ou descente indéfinie), un raisonnement par récurrence et un autre par l'absurde, le tout extrêmement efficace. Sa méthode fonctionne parfaitement avec 4. Plus difficilement elle fonctionne avec 3. En septembre 1636 Fermat commence à fortement exciter la curiosité de ses correspondants, dans une lettre à Mersenne pour Sainte-Croix il propose ce défi : « Trouver deux puissances quatrièmes dont la somme est une puissance quatrième et deux cubes dont la somme est un cube ».
À partir de l'exposant 5 et jusqu’à l’infini, il comprend vite que la méthode n'est plus adaptée. Il lui faut trouver une autre voie, qui très certainement n’aura aucun rapport avec la première. En 1670, cinq ans après sa mort, dans une courte “OBSERVATIO” provocatrice qu'il écrit en latin, tenue jalousement secrète de son vivant mais que son fils Clément-Samuel fait connaître, il affirme avoir « assurément dévoilé une explication tout à fait étonnante que la marge trop étroite ne saurait contenir ». À cette observation Samuel en a ajouté 47 autres, le tout est inséré aux endroits adéquats dans le Livre VI de l’Arithmetica du mathématicien grec Diophante qui fut publiée en 1621, et où Bachet de Méziriac avait ajouté une traduction du grec au latin. On dispose donc en 1670 d'une nouvelle Arithmetica un tout petit peu augmentée mais ô combien précieuse pour la suite. L'observation en question se rapporte à la question VIII du Diophante, c'est la deuxième des 48 et elle se distingue notablement des autres. Nous y reviendrons.

Chez les Anciens on n’était pas sollicité dès le plus jeune âge par toutes les vanités qui encombrent maintenant l’esprit de nos enfants. De grandes intelligences ont pu ainsi atteindre à un grand savoir en pénétrant l’essence des choses. Socrate, Euclide, furent de ces grands hommes. Bien plus tard et dans un même siècle, Pascal, Leibnitz et Fermat bien sûr, qui fut un fameux exemple en théorie des nombres, construisant de puissants raisonnements avec parfois le seul recours aux mots.

Comme Pythagore, Fermat sait que quand l’homme a posé 1, puis 2, tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Quelque chose pourtant a dû spécialement lui plaire avec ce premier nombre pluriel, pour rendre le théorème de Pythagore décidément inégalable par sa puissance, sa singularité, en imaginant une conjecture beaucoup plus plurielle. Il fallait mettre sur un des deux plateaux de la balance les plus importantes propriétés du premier nombre entier suivant l’unité, l'unité doublée, premier nombre pair. Puis trouver et placer sur l’autre plateau une nouvelle conjecture qui soit en rapport avec la première, mais appelant cette fois l’infinité des nombres entiers (remarquons que 1, le nombre unitaire, n’est pas directement présent dans la «comparaison», il est “à part”). Peser le pour et le contre semblait a priori un défi gigantesque. Certainement très vite Fermat voit que les deux plateaux de la balance ne pourront jamais se trouver à la même hauteur, une mise en abyme est impossible. Il va donc s’attacher à le prouver.

La question du Dernier théorème est bien plus qu’une question arithmétique. Son histoire est comme un symbole profond de l'historiographie de la Mathématique. En reprenant l'idée de Eric Temple Bell nous sommes certain que la civilisation s'éteindra avant que nos mathématiciens puissent comprendre l'explication de Fermat.

Mathématique et poésie, esprit de géométrie et esprit de finesseModifier

Blaise Pascal, dans les Pensées, distingue l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse.

À un pur mathématicien qui n’est que mathématicien, les plus grandes évidences toujours échapperont. J’ai lu très peu de mathématiciens en qui, en dehors de leurs mathématiques, on pouvait accorder toute confiance. Seul peut raisonner clairement le mathématicien qui a gardé son esprit d’enfance, ce doit être un poète, qui jamais ne bride pas son imagination créatrice. Citons Etienne KLEIN à propos d'Einstein : « C'est peut-être ce que j'admire le plus chez lui. Cette capacité qu'il avait à se poser des questions toutes simples, des questions d'enfant, et à leur trouver des réponses élaborées avec toute la rigueur d'un cerveau d'adulte. » Souvenons-nous que Fermat a écrit de la poésie (en plusieurs langues). De même Giordano Bruno. Pensons à l’inoubliable logicien qu’était Lewis Caroll, auteur de ‘’Alice au pays des merveilles’’ et de ‘’ De l'autre côté du miroir’’. Pensons à Jacques ROUBAUD, écrivain et mathématicien, membre de l'Oulipo, joueur de go fort spirituel et poète, bien connu des mathématiciens, qui concilie opportunément « l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse ». Puis remarquons que Catherine Goldstein, chercheuse en mathématiques et historienne (qui a toujours dit contrairement à une ribambelle de sachants que l’existence d’une preuve du Théorème de Fermat par Fermat lui-même n’avait rien d’improbable), avait pour père un poète, Isidore Isou (1925-2007), qui fut aussi peintre, romancier, dramaturge, économiste,… N'oublions pas non plus les écrits littéraires d'Alexandre GROTHENDIECK (voir infra).

Selon le mathématicien Jacques Hadamard la rêverie, l’imagination, joue un grand rôle dans l’invention mathématique, c’est souvent en imaginant un chemin nouveau que les plus grands chercheurs ont «vu» une solution jusqu'alors inaccessible. Le mot “théorème” vient d’ailleurs du grec ancien θεώρημα (theốrêma en latin) : proposition objet de contemplation, de méditation.

Selon Bachelard l’imagination confère surtout le pouvoir de nous libérer des images premières fournies par la perception en les déformant, en les changeant : « Le vocable fondamental qui correspond à l’imagination, ce n’est pas image, c’est imaginaire. » (L’air et les songes. Paris, José Corti, p. 7).

Dans les lignes qui suivront on verra combien la stratégie que Fermat a mise en place pour livrer son ultime défi, non seulement est un défi à l’imagination, mais confine à une énigme policière à laquelle en enquêtant on trouve tout le charme d'une poésie. Edgar Allan Poe, poète, fameux nouvelliste précurseur du roman à énigmes dit ‘’policier’’, qui fut traduit par Charles Baudelaire, s’il avait eu connaissance en son temps des découvertes faites par Roland Franquart, se serait réjoui d’avoir à mener une enquête cette fois bien réelle et à n’en pas douter l’aurait lui aussi menée à son terme.

La mathématique s’occupe des quantités et des formes, elle n’est pas le tout. Une raison cultivée par la seule logique algébrique n'est pas pertinente. Seule est valide une raison gouvernée par la logique générale, abstraite. Les mathématiciens ont implicitement postulé qu’une vérité purement algébrique devait être une vérité générale. La confusion est si énorme, l'erreur si grossière, qu'on ne peut que s'émerveiller de l'unanimité avec laquelle elle fut acceptée. De même un axiome mathématique ne peut être un axiome d’une vérité générale. Ils ont aussi cru bon d’appliquer le terme ‘’analyse’’ à des domaines de leur discipline, considérant ainsi que les mots tirent leur valeur de leur application. Essayez, si vous ne craignez de vous faire écharper, d’expliquer cela à un pur mathématicien qui ne raisonne qu’avec sa raison algébrique. L'assujettissement à un biais cognitif aussi pernicieux vient d'un cartésianisme à œillères empêchant tout imaginal de prendre sa place dans la réflexion englobante. Il est notable que Descartes, non seulement ne pouvait suivre Fermat, mais qu'il le jalousait. L'anagramme Tendre caresse témoigne d'ailleurs, ration-elle-ment, de la jalousie de René Descartes envers Fermat  . Les mathématiciens français ont été, et sont toujours, les plus responsables de cette imposture scientifique. Jusque dans l'histoire du théorème qui a généré le plus d'études au monde, ce sont encore deux Français qui ont été les plus méchants envers leur compatriote Pierre de Fermat. Cette histoire ressemble à une assemblée de coqs de villages en lutte contre le plus grand génie mathématique de la nation (peut-être aussi du monde si l'on suit Blaise Pascal), pour savoir lequel est réellement le plus intelligent. Si nous étions un peu méchant à notre tour nous dirions que le professeur de mathématiques Jean Itard, qui n'était ni savant ni même chercheur, est certainement celui qui a été le plus intelligent.

Fermat sur le DivanModifier

Le premier chaînon, nombres de FermatModifier

« En plein cœur de toute difficulté se cache une possibilité. » Albert Einstein

« C’est ce que trouve qui m’apporte ce que je cherche. » Pierre Soulages[2]

Nos mathématiciens s’accordent à dire que Fermat connaissait la méthode très rapide qui montre si ces nombres de la forme 22n + 1 sont premiers ou non.
Une des explications que donnent ses plus virulents commentateurs sur l'annonce d'une fausse conjecture, est qu'il avait dû faire une erreur de calcul, mais qu’il n’avait pas vérifié son assertion. Pendant quasiment un tiers de sa vie, il les pressa, chacun à leur tour, de venir l'aider (...). Une période de 19 ans assurément était insuffisante pour permettre à un mathématicien de sa trempe de vérifier un calcul très simple qui ne prend que quelques minutes pour le cas F5 . Michael Mahoney, professeur d'histoire et d'histoire des sciences, estimait que Fermat se serait assuré de la validité de la conjecture seulement jusqu’à F4, et en aurait déduit qu'elle devait être toujours valide (sans même vérifier le cas F5).

En utilisant les nombres de la forme 74k+1 il avait déjà trouvé que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. En utilisant le même argument, et avec les diviseurs de la forme 64k+1, il pouvait leur montrer en 4 courtes divisons que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), donc qu'il n'est pas premier, et que la conjecture est fausse. Fermat leur a toujours dit qu'il n'a pas la preuve de cette proposition, et comme dans notre thèse il l'a toujours sue fausse il ne joint pas cette observation à ses 48 “Observations” en rapport avec l’Arithmetica de 1621 que son fils transcrira sur l'Arithmetica de 1670, « où toutes ces propositions, à mesure qu’on s’en est occupé, ont été trouvées rigoureusement exactes ».

Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein étudie particulièrement l’Observation XLV de Fermat (sa formulation, ses lectures, etc.), qui est rappelons-le la seule preuve complète d'un théorème (Théorème de Fermat sur les triangles rectangles) figurant dans ses observations. Cette preuve montre l’impossibilité, comme en passant, du cas n=4. Au cours du temps les mathématiciens ont fait différentes lectures de ce théorème. C.G. y fait sa propre lecture qui a l’avantage de répondre « à toutes objections soulevées jusqu’à présent ». À la page 148, note 4, elle note que « des lettres importantes pour les recherches sur les nombres ne figurent pas dans les VARIA OPERA MATHEMATICA[3] (publiées par son fils en 1679) comme la lettre de Carcavi de 1659 » (où figure la conjecture sur les nombres de Fermat). C'est la formulation d'un passage de cette lettre qui a fait dire à de nombreux commentateurs que Fermat avait dû se tromper. Concernant cette fausse conjecture avec ses diverses formulations ce sont au total 5 lettres qui sont absentes des Varia opera (Œuvres mathématiques diverses, un recueil de mémoires et de correspondances de Fermat). Une seule de ces lettres en rapport direct y était mentionnée. Voici les lettres absentes :

1) à Frénicle de Bessy en août (?) 1640, où figurent ces mots, dont le contexte dans lequel Fermat les écrit n’a jamais été étudié (voir infra) par les commentateurs de Fermat : « [...] mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles [...] » Fermat cherche à stimuler Frenicle.

2) à Mersenne, Noël 1640, : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. » On peut penser que c'est moins de son ami le père Mersenne que de Frenicle (avec lequel Fermat aurait souhaité ferrailler – dans la plus grande courtoisie) que Fermat donne l'impression qu'il pourrait attendre une réponse (somme toute ardue pour l'époque). L'appât tendu par Fermat était alléchant, mais d'après ce que l'on sait Frenicle n'a pas répondu et Fermat n'aura pas à faire part des choses merveilleuses qu'il a déjà trouvées. Que Frenicle réponde ou non, Fermat aurait été gagnant. Cette absence de réponse sera pour lui un bon prétexte (ou une très belle astuce) pour garder par devers lui ces choses merveilleuses. Ses habiletés, son don de psychologue, on le voit dans toute sa correspondance, sont confondants.

3) à Pascal, le 29 août 1654 : « et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout. Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. » Un nouvel appât tendu, plus discret cette fois, au grand Pascal, dont Fermat sait certainement que son ami est bien éloigné de ces considérations. Ces affirmations répétées à propos de sa prétendue certitude sur les nombres de la forme 22n + 1 feront le régal, dans leur ignorance, de ses détracteurs.

4) à Digby pour John Wallis, le 19 juin 1658 : « Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie. » (Lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.

5) à Carcavi, en août 1659, dans une lettre bilan à destination du jeune Huygens, qui avait de tout autres centres d'intérêt et n'avait pas grande considération pour Fermat. La formulation de cette conjecture est très inhabituelle chez lui :

« J’ay ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

– Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n'y a qu'un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
– Il n'y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu'elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre. » (Voir la lettre complète)

Cette formulation à l'attention de Huygens, qui a prêté à confusion, deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les “nombres de Fermat”. Huygens était un jeune scientifique et mathématicien de 30 ans, le seul qui aurait pu encore le suivre, mais il ne donna pas suite. La formulation de ce dernier ballon d'essai était pourtant très excitante :

  • Dans ces lettres il demande du secours (!) à ses six principaux correspondants. L'un après l'autre il les teste, les stimule, les encourage à le suivre dans ses travaux (quelle motivation pour eux, venir à l'aide du grand Fermat). Mais aucun ne répondra, à part Frenicle.
  • Cette fois Fermat a ‘’considéré” certaines ‘’questions”. Il n'emploie plus, comme il l'a souvent fait, l'expression «propositions négatives». La nouvelle formulation question(s) négative(s) n'est pas très correcte, une question, formellement, est toujours une interrogation. La formulation de tout le paragraphe et à la fin l'allusion aux nombres premiers qui ne peuvent être divisés par aucun autre nombre lui permet d'introduire le terme «négative». Fermat, ce philologue, l'utilise dans une lettre testament. Insinue-t-il qu'à la question la réponse est négative ?
  • Cette proposition peut être formulée d'une manière légèrement différente en en conservant rigoureusement le sens : « La question de savoir si cette dernière proposition est vraie ou fausse est d'une très subtile et très ingénieuse recherche [...] »
  • Comme nous l'avons vu elle est absente de ses observations retranscrites par son fils sur l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.
  • Elle est aussi absente des Varia.
  • L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe est d'une habileté diabolique.
  • Concernant les 3 premières ‘’questions‘’, il a montré que ces propositions étaient vraies. Un détracteur sera donc facilement enclin à croire que Fermat a cru avoir montré que la dernière l'était aussi.
  • Notons que la lettre à Mersenne de juin 1640 (voir infra) où Fermat utilise une méthode similaire, cette fois avec les diviseurs de la forme 74k+1, son fils l’omet elle aussi des Varia. Ce sont donc 6 lettres importantes en rapport avec la fausse conjecture qui sont absentes.
  • Ces lettres nous semblent être (dès la première) un énorme coup de bluff. Non seulement Fermat veut nous montrer à quel point il aurait souhaité trouver un complice dans ses recherches arithmétiques (y croyait-il vraiment ?), mais les 6 premières lettres ont une autre utilité, elles ‘’préparent le terrain’’ en donnant au lecteur naïf l’impression que Fermat n'est pas un mathématicien sérieux, finalement. Dans la dernière lettre, alors qu’il a certainement de gros doutes quant à une réponse de Huygens, il laisse à la postérité un premier message mémorable qui se veut ambigu et fera beaucoup jaser. Il n'a cessé de jouer pour nous enseigner et nous gronder tout à la fois. Le jeu a commencé dès 1640 et ne cessera de s’intensifier au fil des ans. Le point culminant est bien sûr la fameuse “observation”, qu’il se garde bien de publier de son vivant. Un clin d’œil magnifique, venu de l’au-delà 30 ans plus tard, pour d’éventuels suiveurs attentionnés.

« Parfois, commentant sur quelques impressions souvent confuses, au sujet peut-être de tel et tel passage particulièrement obscur et déroutant, j’arrivais au fil de la plume à pénétrer plus avant dans le sens d’un texte qui avait semblé hermétique. […] Au fil des jours et des semaines, je me suis aperçu que le simple fait de recopier in extenso tel passage du texte que je scrutais, modifiait de façon surprenante ma relation à ce passage, dans le sens d’une ouverture à une compréhension de son sens véritable. » Alexandre GROTHENDIECK, Récoltes et semailles, p. 428.

La dernière phrase de Fermat : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] », est admirable pour l'observateur attentif, Fermat nous dit que l'étude de cette question, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche, il majore l’intelligence de la recherche en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse». S'il veut ainsi mettre encore plus l'accent sur quelque chose d'important qu'il ne fait pourtant qu'insinuer à l'intention de ses suiveurs, alors la recherche qu'il évoque c'est, aussi, notre recherche de subtilités dans ce qu'il écrit. À nous donc, comme il l'a fait lui-même, de faire preuve de finesse, de créativité en « considérant cette question ».

« Je crois même que l'apparition soudaine d’un tel sentiment [d’évidence] est plus ou moins commune à tout travail de découverte, aux moments où celui-ci soudain débouche sur une compréhension nouvelle, grande ou petite. J’en ai fait l’expérience encore et encore tout au long de ma vie de mathématicien. Et ce sont les choses les plus cruciales, les plus fondamentales, au moment où elles sont enfin saisies, qui sont celles qui frappent le plus par leur caractère d’évidence ; celles dont on se dit après coup qu’elles “crevaient les yeux” – au point qu’on se trouve stupéfait que soi-même ni personne n’y ait songé avant et depuis longtemps. Ce même étonnement, je l’ai rencontré à nouveau, et tout autant, dans le travail de méditation – ce travail à la découverte de soi-même qui est venu, peu à peu, à se confondre quasiment avec le travail sur mes rêves.
Les gens ont tendance à ne pas y faire attention, à ce sentiment d’évidence qui accompagne si souvent l’acte de création et l’apparition de ce qui est nouveau. Souvent même on refoule la connaissance de ce qui peut sembler, en termes des idées reçues, un étrange paradoxe. » Alexandre GROTHENDIECK, La Clef des songes, p 24.

Pour Pierre de Fermat la géométrie et l'arithmétique sont à la fois une passion, un travail et un jeu (rappelons qu'il s'est plu à travailler sur les carrés magiques). Il utilise beaucoup le latin, dont la rigueur et la concision correspondent parfaitement aux exigences des mathématiques. En effet déroger aux règles précises de cette langue permet de jouer avec les mots, l'usage de « l’ellipse énigmatique ou du cryptage » (Ludivine Goupillaud) en étant l'exemple le plus remarquable. Dans cette lettre bilan il opère une translation du latin vers le français et pour la première et unique fois il utilise le procédé du cryptage dans un texte sibyllin écrit en latin. Si on veut lire entre les lignes : « Pour comprendre les tenants et aboutissants de cette lettre testament il ne vous suffira pas d’en faire une lecture objective, vous devrez aussi la soumettre à une analyse rigoureuse car est en effet le fruit d’une très ingénieuse recherche. À votre tour vous devrez vous astreindre à une très subtile recherche. »

Ses détracteurs en déformant son propos douteront sans cesse de ses compétences et feront de cette lettre un argument pour prétendre qu'il avait présenté son plus grand théorème comme vrai sans en avoir jamais trouvé la preuve, même (et surtout) avec ses propres outils. La plupârt auront aussi recours à des arguments bancals, paralogismes et sophismes. Ses partisans se réjouiront en découvrant les subtilités de cette lettre testament, qui si elles ne sont pas aussi déterminantes que le cryptage de sa plus célèbre observation (voir infra) sont elles aussi sublimes.

Quand Samuel publie les Varia opera après la mort de son père (comme il l'a fait pour les Observations, mais cette fois-ci 9 ans plus tard), il n'y insère qu'une lettre évoquant cette fausse conjecture, celle adressée à Monsieur de ****. On est quasiment assuré qu’il s’agit encore de Frenicle de Bessy.:

6) 18 octobre 1640 : « Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l’exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous avais envoyée et que vous m’avez confirmée, touchant les nombres 3, 5, 17, 257, 65537, etc. Car, bien que je réduise l’exclusion à la plupart des nombres et que j’aie même des raisons probables pour le reste, je n’ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition, de laquelle pourtant je ne doute non plus à cette heure que je le faisais auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m’obligerez de me la communiquer ; car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. » (!) S'il ne parle plus de ‘’démonstrations infaillibles‘’, il n'y va pas de main morte. Deux mois seulement après sa première lettre à Frenicle, il semble vouloir un peu le rassurer sur la difficulté de la proposition tout en suscitant l'émulation.

Samuel de Fermat a donc omis, en particulier dans les Varia, toutes les formulations sur cette conjecture (dont celle qui a soulevé la controverse) sauf celle qui a une formulation claire, ne prêtant pas à confusion, et dans un document officiel, puisque c'est un ouvrage publié, où figurent les mots de son père : « [...] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] ».

Le choix de Samuel précisément pour cette lettre où son père dit être toujours honnête, à n'en pas douter veut nous faire comprendre qu'il faut prendre au sérieux l'observation de Fermat sur son grand théorème. Les commentateurs ne se sont pas interrogés sur la raison de ce choix, au contraire à chaque occasion qu'ils ont pu trouver ils sont montés sur leurs ergots. On pardonnera facilement à une basse-cour trop excitée (la ponte fut en rapport) pour réfléchir sereinement. Les “optimistes” (le mot est surtout employé par les détracteurs ou par ceux qui ne se prononcent pas, je préfère pour ma part l'expression “personnes réalistes” (ou objectives, ou lucides, ou honnêtes), les personnes lucides donc, se diront que cet étroit labyrinthe, où les balises ne cessent de se laisser découvrir en s'ajoutant les unes aux autres quand on avance dans un chemin hérissé de pièges pour nous guider vers le but de la randonnée, ne peut être le fruit du hasard. Nous sommes certain quant à nous que Pierre de Fermat a informé très précisément Samuel de ce qu'il aurait à faire pour parachever le grand œuvre de son père.

À Frenicle il écrit « après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. » Mais doit-on prendre au pied de la lettre cette affirmation ? N'est-elle pas là surtout pour aiguiser la curiosité de Frenicle ? Tant il est vrai que si Frenicle avait pu trouver le contre-exemple F5, Fermat aurait trouvé le partenaire idéal, leurs échanges futurs auraient pu faire l'objet de joutes et d'échanges qui auraient considérablement enrichi l'historiographie.

On peut lire dans l'ouvrage Fermat par Tannery, p.199 qu'il avait utilisé l'argument des nombres de la forme 74k+1 :

7) Lettre à Mersenne, Juin (?) 1640. « Au reste vous ou moi avons équivoqué de quelques caractères au nombre que j’avais cru parfait, ce que vous connaîtrez aisément, puisque je vous baillais 137 438 953 471Note 1 pour son radical, lequel j’ai depuis pourtant trouvé, par l’Abbregé tiré de la 3ème proposition, être divisible par 223 ; ce que j’ai connu à la seconde division que j’ai faite, car l’exposant dudit radical étant 37, duquel le double est 74, j’ai commencé mes divisions par 149, plus grand de l’unité que le double de 74 ; puis, continuant par 223, plus grand que l’unité que le triple de 74, j’ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.
De ces Abbregez j’en vois déjà naître un grand nombre d’autres, Et mi par di vedere un gran lumeNote 2.
Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frenicle ne vient au secours et n’abbrege par ce moyen ma recherche des Abbregez. En tout cas je vous conjure de faire en sorte que Mr de Roberval joigne son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d’occupations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces choses. Je suis (etc.) »

Note 1. Nombre de Mersenne non premier M37.
Note 2. Traduction de l'occitan : « Et il me semble voir une grande lumière. »

Au vu de ces quelques lettres comme dans toute sa correspondance on remarque deux choses qu'on pourrait trouver contradictoires.

  • Fermat ne cesse de s'émerveiller (à juste titre) de ses plus belles trouvailles. Il vante tellement leur importance que certains de ses correspondants on fait de lui un vantard, étiquette qui lui est parfois restée.
  • Il n'a jamais recherché la gloire. Le seul ouvrage qu'il ait publié l'a été sous le pseudonyme M.P.E.A.S., dont on a longtemps ignoré la signification (voir infra).

Le premier point s'explique aisément, comme il le dit lui-même son seul but est de faire progresser la science, il y éprouve une joie intense, comme devant la magnificence de ses découvertes, sa motivation est extrême.
Le deuxième point s'explique encore plus aisément.
a) C'est l'honnête homme par excellence, reconnu d'une grande modestie par ceux qui ont su l'apprécier. Descartes très jaloux, et quelques autres qui ne purent rivaliser étaient d'un avis complètement opposé.
b) Il est très occupé par sa carrière de magistrat. Eût-il été orgueilleux qu'une gloire aurait nui à sa tranquillité, et le temps lui était précieux tant il avait une soif inextinguible d’ “admirables” découvertes.
c) L'époque est politiquement troublée, se mettre en avant aurait nui à sa carrière de magistrat.

Le dernier problèmeModifier

« L’énigme, c’est la puissance infinie du connu, c’est ce qui pousse le connu vers son infini, vers sa soif de connaissance, […] c’est un lieu de future adéquation. »

« L’imagination ouvre sur la création et sur l’éthique. »

Cynthia Fleury, “Métaphysique de l’imagination”

Au fil des siècles et de leurs découvertes, les mathématiciens sont devenus de plus en plus sûrs d'eux, parfois imbus de leur savoir. Cet orgueil du métier (que nous avons tous, et qui est humain) et cette rationalité à œillères prennent le pas sur l'imagination créatrice et la brident. Pour reprendre les mots de Jacques Roubaud, « [ces] suiveurs des suiveurs [... ] ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. »

L’analyse rigoureuse de sa deuxième OBSERVATIO (Question VIII de l’Arithmetica de 1670), l’étude de ses travaux, de sa correspondance, de sa vie, de la psychologie du personnage surtout, est un sujet de méditations indéfectible. Sous l'aspect d'une énigme, cette observation est un trésor d’ingéniosité, le point d’acmé du livre entier dont on apprend en 1670 qu'il veut consacrer « à cette partie de l’Arithmétique » pour « [lui] faire accomplir des progrès étonnants au delà des bornes anciennement connues. » Ce livre, qui doit repousser « d’une façon étonnante », les bornes de la « Science des nombres », manque-t-il vraiment ? Le grand œuvre de Fermat consiste en :

– quarante-sept observations notées ‘’OBSERVATIO D.P.  F.‘’,

– une observation notée ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT‘’ (la fameuse note).

Ces 48 observations qui tiendraient en quelques pages ont été ajoutées par son fils Clément-Samuel à l'édition de l’Arithmetica de 1621, pour composer l’Arithmetica de 1670. Voilà un nouveau livre qui a énormément contribué à la connaissance, un livre dont le “prologue” par Diophante est bien plus long que le texte de Fermat. Au fil du temps cette observation du XVIIe siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés car seul leur paraissait important le principe du théorème, qui y était parfaitement énoncé. La note elle-même fut souvent mal retranscrite, on en connaît une dont le premier mot a été transformé en Cubem : « Que nous dormions ! » On n'a pas encore vu une traduction de Cubum autem in duos cubos par « mais je dors les deux coudes sur la table » mais un élève étourdi ou blagueur aurait bien pu la faire.

Voici, agrandie, une photo de l’Observatio de Fermat, observation qu'il écrivit on ne sait où au juste, à propos de la conjecture qu'il affirme avoir prouvée (vers 1636 lit-on généralement, je pense que c'est plus tardif, peut-être beaucoup plus). C'est ici l'exemplaire de la Bibliothèque de Lyon, qui attira l'attention de Roland Franquart en 2009.

Exemplaire de l'Université de Lyon


En voici la traduction littérale, que Fermat destine au lecteur non averti. Nous verrons plus loin qu'une seconde interprétation, évidente après le décodage effectué par Roland Franquart en 2008, de l'observation mathématique la plus énigmatique de tous les temps, à l'attention du chercheur, est également possible. L'évidence de cette seconde interprétation est encore accentuée quand on a sous les yeux une version de l'Arithmetica très particulière (voir infra) que j'ai découverte en 2017 au bout de longues recherches sur internet. Nous verrons aussi que les deux interprétations ont eu, chacune, leur utilité. La traduction littérale donc :
« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément mis à nu (ou dévoilé) l’explication (ou la démonstration) étonnante (ou merveilleuse, admirable). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »

En termes modernes :
« x, y, z étant des entiers positifs, xn + yn = zn est impossible pour toute valeur de n supérieure à 2. »

  • La traduction que l'on rencontre usuellement comporte deux erreurs majeures dans la partie la plus importante du texte.

– Première erreur : « J'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse. » Fermat a écrit detexi et non inveni, du verbe invenio, trouver, découvrir.
– Deuxième erreur : Fermat a placé l'adverbe sane (“vraiment”, “assurément”) devant le verbe detexi (‘’j’ai mis à nu‘’, ‘’j'ai dévoilé‘’, ‘’j'ai mis à découvert‘’). C est donc au verbe que l'adverbe se rapporte : « J'en ai réellement dévoilé une démonstration merveilleuse. » Seule la traduction du mathématicien d'Émile Brassinne en 1853, la première traduction officielle, fut correcte à cet égard. Pourquoi les mathématiciens qui ont suivi n'ont-ils pas repris scrupuleusement cette traduction et ont-ils produit une autre traduction, très approximative, et même carrément fausse ? Ils auraient voulu faire de cette conjecture extrêmement difficile à prouver une simple plaisanterie pour déconsidérer le maître qu'ils ne s'y seraient pas pris autrement. Ce faisant ils ont encore accentué l'aspect mystérieux de l’Observation et trahissant ainsi leur cause l'ont rendue inaccessible même aux meilleurs d'entre eux. Ne pouvant trouver de preuve à la conjecture la plus difficile, on n'en éprouvait presque plus de dépit, on était assez rassuré. Ainsi, en traduisant par “j'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse [...] (La marge trop étroite ne la contiendrait pas)” on a fait de Fermat, définitivement, un plaisantin, un vantard, voire un étourdi ou même un «novice» (sic), ou encore un amateur qui prétend une chose vraie sans jamais pouvoir la prouver. À leur décharge, reconnaissons qu'il a tout fait pour que telle soit la réaction de nombreux commentateurs. C'est le même genre de subterfuge qu'il utilisa pour égarer les éternels contempteurs lorsqu'il évoqua la fameuse et fausse conjecture... à 6 reprises sur une période de... 19 ans (voir infra). On est artiste ou on ne ne l'est pas.

demonstrationem mirabilem sane detexiModifier

 
Fermat et sa muse. Toulouse, Capitole.

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. »
Emmanuel Bury, Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Ed. DROZ. Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E. N. S. Ulm [compte-rendu].

Si la langue latine peut paraître complexe au premier abord, c'est une langue rigoureuse, concise, qui possède des règles précises. En même temps, elle n'est pas figée comme l'est la langue française, et déroger aux règles était courant pour les Latins. Cette liberté pouvait avoir différents objets : signaler l'importance d'un mot, marquer une opposition, installer une harmonie... Ainsi on inversait l'ordre de certains mots, ou, contrairement à la norme, on attribuait la première place dans la phrase (ou la dernière) à un mot particulier. Examinons de près cette phrase, [Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi, formulée d’une façon singulière.
1. Notons tout d'abord que detexi peut aussi se traduire par ‘’j’ai mis à découvert’’, qu’on peut facilement confondre avec ‘’j’ai découvert’’, et même ‘’j’ai trouvé’’ (inveni en latin).
2. L’ordre des mots.
– ‘’[Cuius rei] mirabilem demonstrationem sane detexi’’, aurait été une phrase correcte :
« [Ce dont] j’ai réellement mis à nu l'explication étonnante. »
‘’[Cuius rei] sane mirabilem demonstrationem detexi’’ aurait aussi été correct :
« [Ce dont] j'ai mis à nu l'explication réellement étonnante. »
Fermat n’utilise aucune de ces formulations, il écrit :

  • «[Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi. »

Si sane et detexi y sont dans le bon ordre (adverbe devant le verbe), les 2 mots précédents ne sont pas dans l’ordre habituel, puisque l'adjectif se place normalement devant le nom. Comme dans la dernière lettre à Carcavi, Fermat formule d’une façon originale, il place l’adjectif mirabilem après le nom et juste devant l'adverbe sane. Ainsi, sane (réellement), peut s'adresser non seulement à detexi (j'ai mis à nu) mais aussi à mirabilem (admirable, étonnante, merveilleuse, surprenante). Dans une ‘’Observatio‘’ déjà surprenante, où il utilise le prétexte du manque de place, c'est une nouvelle curiosité. J'en mentionnerons bien d'autres. La traduction littérale, pour le lecteur qui ne s'attarde pas, sera :

  • « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante. »

Puis, en tenant compte de cette première version, et maintenant considérant le décryptage de Roland Franquart :

  • « J'en ai vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante. » Les 2 versions sont valides.

« La concision, en plus de ses vertus stylistiques, joue un rôle de stimulant, en particulier dans les échanges épistolaires. En taisant délibérément ses conclusions, en ne révélant que les linéaments de sa pensée, Fermat crée une émulation par l’ellipse […]. » Ludivine Goupillaud, Tous vos gens à latin.

« S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon Ludivine Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. [...] Le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) […]. »
Emmanuel Bury. Tous vos gens à latin (citations autorisées par les auteurs et l'éditeur).

Je pense que Fermat était certain que sa phrase, qu'on traduirait de la façon qui nous arrangerait le plus, fourvoierait les “suiveurs des suiveurs”, qui ne verraient en lui qu’un vantard ou un plaisantin. La traduction officielle de Brassinne est presque parfaite, il s'en faut de peu car si les mots ‘’j'en ai assurément‘’ sont bien accolés, le mot qui suit, “trouvé’’, est une traduction erronée, qui éloigne le lecteur d’une étude approfondie de l'observation. Dans les autres traductions, multiples, qu'on trouve dans les livres ou sur internet, l'adverbe n'est jamais à sa place (ou très rarement).

« Les philosophes des sciences portent une attention particulière au langage : ils développent l’idée que l’expérience de Sens commun, exprimée dans le langage courant, doit servir de base au discours scientifique théorique : en effet, la valeur de vérité des énoncés du langage courant est supérieure (dans sa reconnaissance) à celle des énoncés du langage scientifique. » (Marie-Anne PAVEAU).

Les astuces de Fermat sont remarquables. Merci à R.F. qui découvrit les indices les plus importants et m’en informa en 2009, ayant appris que cette énigme me passionnait. Je reprend ici les plus symboliques, parfois en les modifiant quelque peu (j'espère ne pas trop trahir sa pensée), et j'y ajoute ceux trouvés par moi-même (CM) et d'autres auteurs.

Le ‘’manque de place‘’ invoqué par FermatModifier

(CM, Jean Rousseau, Laurent Hua). Samuel, qui dans notre thèse était “dans le secret des dieux” – i.e. Fermat avait transmis à son fils toutes les instructions nécessaires –, nous dit son père notait ses observations dans les marges de son exemplaire de l’Arithmetica... qui a disparu. Samuel n'a pas voulu le conserver alors que toutes les observations de son père (mais Samuel n'a jamais vraiment précisé ce point précis) étaient censées s'y trouver (ses commentateurs en tout cas l'ont cru). Voici ce qu'écrit Samuel de Fermat dans la préface de l’édition de 1670 : « Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros. » En français : « Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. » La précision “surtout dans les quatre derniers livres” semble complètement justifiée puisque ce sont dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Hors c'est justement parmi celles-ci qu'on trouve les plus longues : la VII[4], les N° 6, 7, 8, 9, 11, 15, n’auraient pu tenir dans une marge. Dans les Livres I et II au contraire, les trois premières observations sont très courtes, et y auraient tout à fait trouvé leur place. En outre, le style des observations est écrit dans un style aussi parfait que dans ses lettres. Sont-ce là les manières d'écrire un pense-bête ?

Samuel sait pertinemment que l'ouvrage, qu'il ait ou non été annoté dans les marges par son père, a dès lors acquis une valeur historique (et marchande) considérable. Or cette disparition, cette anomalie, n'a éveillé la curiosité d'aucun observateur. Toutes ces observations, et les consignes qu'y a certainement ajoutées Fermat, ont-elles réellement toutes été écrites sur l’Arithmetica ? Je pense que dans son Diophante figuraient uniquement des repères, comme 1, 2, 3, etc. et que les 48 observations s'y référaient à l'attention de Samuel.

Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel et écrit : « […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. » Si Fermat a donné, sur un livret ou sur papier libre, des instructions précises à son fils dans la manière d'écrire, dans trois éditions différentes, cette note si importante à ses yeux, ces consignes justifient la disparition de l'ouvrage, que Samuel s'est donc vu dans l'obligation de détruire pour que le plan de son père puisse entièrement se réaliser. On ne voit pas d'autre explication à la disparition de cet ouvrage. Il paraît évident aussi que Fermat avait demandé à Samuel de ne faire connaître qu'après sa mort les 48 observations. A-t-on déjà vu un tel trésor d'intelligence déployé par un “amateur” (mais un génie), et aussi subtilement caché – comme on le verra plus loin – à tel point que ce trésor s'est dérobé à la vue de quasiment tous les mathématiciens. Quelle merveille.

Pierre et Samuel, voila un bien noble binôme, et qui a bien mérité sa particule, Pierre, homme de cœur, indépendant, intègre, audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt extrêmement occupé. Samuel, humaniste, altruiste lui aussi, passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en somme, digne héritier de son père.

P.-S. : On n'a retrouvé dans la bibliothèque de Fermat quelques très rares ouvrages dont un exemplaire des Arithmétiques de Diophante. Même si je n'ai pu en obtenir la preuve il est presque certain qu'il s'agit d'un autre Livre que le Livre I. À la fois ç'aurait été trop “beau”, et à la fois, surtout, ç'aurait été un indice trop flagrant que Fermat père et fils auraient laissé.

Le style des ObservationsModifier

  • (CM, Jean Rousseau, Laurent Hua [2], Albert Violant I Holz). Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (leur élégance aussi), montre clairement qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur. En outre, quel besoin aurait-il de s'expliquer à lui-même qu'il a vraiment mis à nu, entièrement, l'explication tout à fait étonnante ? Quel besoin aussi aurait-il de répéter sans cesse, uniquement à son intention, pour lui-même, qu'il manquait de place - le plus souvent - ou de temps ?
  • Pourtant l’historien Jean Itard écrivait : « réservées à son seul usage. » De même après la découverte de Wiles en 1994, Winfried Scharlau veut nous le faire croire. Un autre argument est avancé : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes ». Il est saisissant de voir comment les mathématiciens qui n'avaient pu suivre ses traces se sont ingéniés à utiliser des arguments spécieux pour rabaisser un génie qui les a autant défiés. Certaines légendes urbaines ont la vie dure, surtout quand « des considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique. » (Christophe Breuil).
  • (Paul Tannery). Seul le titre de cette note énigmatique est écrit en toutes lettres : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT, les 47 autres étant abrégés en OBSERVATIO D.P. F. . Fermat nous suggère-t-il de l’observer de très près, dans tous ses détails, parce que la méthode qu'il a inventée est pour lui d'une importance considérable pour la science des nombres ?

Alexandre Grothendieck : « Et il y a aussi la vérité d'une situation particulière, unique. Ainsi, dans telle situation, nous percevons de façon sûre qu'un interlocuteur est de mauvaise foi, qu'il est dans un état de mensonge (alors qu'il peut fort bien être persuadé lui-même qu'il est de la meilleure foi du monde…) ; ou au contraire, nous percevons que ce qu'il dit est vrai, que c'est dit dans des dispositions de vérité (alors même que le contexte pourrait peut-être avoir toutes les apparences du contraire). La même chose peut avoir lieu en lisant un texte écrit, par exemple tel passage d'un livre. Ou nous pouvons avoir la perception d'un état de vérité ou d'un état de mensonge en nous-mêmes. De telles perceptions, qui ne sont perçues au champ conscient que dans des dispositions de silence intérieur, d'écoute, nous apportent une connaissance véritable, elles nous disent la v é r i t é d'une chose, d'une situation. »[5].

On est confondu devant la manière irréprochable avec laquelle les 48 observations ont été écrites. Il est bien difficile de croire que les 3 anomalies très visibles sur le même mot, sur la même observation, dans 3 versions différentes, de l'édition de 1670, si elles avaient été des accidents, auraient échappé à son fils Samuel, qui œuvra avec tant d'assiduité à faire connaître l'œuvre de son père. Doit-on aussi prendre pour d'incroyables coïncidences toutes les curiosités que l'on découvre dans cette observation (on en compte 9) quand on l'analyse en profondeur ? On s'aperçoit d'une part que ces curiosités, quand elles sont étudiées et rassemblées, deviennent interdépendantes en formant un ensemble très cohérent, d'autre part que les arguments spécieux avancés par les détracteurs de Fermat sont souvent eux aussi mis bout à bout, mais sans aucun lien entre eux, sauf pour avancer que Fermat n'aurait jamais pu trouver une preuve. Le seul lien qui les unisse est celui qu'ont imaginé ses dénigreurs cancaniers : Fermat se vante, se trompe, s'avance beaucoup. Ce n'est plus un lien c'est une chaîne !

Le mot detexi a subi 2 transformations en 3 éditions, une seule édition a suffi à Roland Franquart pour mettre à jour un cryptage. Il est possible que Fermat ait espéré que les 2 versions “trafiquées” de l'Observation, éveillant un jour l'attention de ses lecteurs les plus curieux, les confortent dans leur conviction. Après avoir tant brouillé les pistes, voulait-il donner à sa stratégie une chance d’aboutir ? Et il se serait senti obligé, pour une fois, de faciliter (juste un peu...) la tâche de ses lecteurs.

Nous devons être reconnaissants à Monsieur Franquart, qui en 2009 rendit publiques ses découvertes.

Le triangle arithmétiqueModifier

« Les intellectuels résolvent les problèmes, les génies les évitent. » (Albert Einstein).

Pierre de Fermat était tout sauf un suiveur, il n’est pas étonnant qu'il fût un aussi grand passionné. Loin de Paris et isolé, il n'avait pas de contact autre qu’épistolaire avec les autres mathématiciens et il était fondé, dans sa solitude intellectuelle, à apprécier les recherches les plus ardues et les plus enrichissantes. Ses correspondants rechignèrent de plus en plus à répondre à ses lettres, et finalement tous y renoncèrent. Fermat avait eu connaissance du triangle arithmétique, au moins par les travaux, qu’il connaissait, de François Viète, mort en 1603. D'ailleurs ce triangle était déjà connu au onzième siècle du mathématicien persan Al-Karaji et de bien d’autres plus tard, jusqu’à Tartaglia, Viète, et le père Marin Mersenne, ami de Fermat, qui s’est forcément intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons encore une fois qu’il a travaillé sur les carrés magiques), et il semble logique qu’il n’ait jamais souhaité le mentionner à personne (jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle), s’il s’en est servi pour trouver une preuve à son théorème général, ce que le décodage effectué par Roland Franquart en 2009 semble confirmer. Pascal écrit son Traité Triangle arithmétique en 1654. Ayant connaissance de la publication Fermat lui écrit : « [... ] je suis aussi bien que vous dans l'admiration que nos pensées s'ajustent si exactement qu'il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique [...]. Le fait qu'il se soit autant appliqué à coder sa note montre qu'il était certain de la justesse de sa preuve. Les premiers décodages de la note révèlent un codage magistral, quant à la fin de l'explication de Roland Franquart nous ne saurions dire si elle est tout à fait correcte. Le début en tout cas est fort pertinent mais même ce début (et surtout lui) nos mathématiciens ne veulent pas en entendre parler.   La preuve figure ci-dessous.

Trois versions différentes de l'Arithmetica : premiers codagesModifier

 
L’Arithmetica annotée et publiée par Samuel de Fermat en 1670.

Il existe au moins trois versions différentes de lʼArithmetica de 1670, où la célèbre note énonçant le grand théorème de Fermat se présente sous trois aspects différents. C’est grâce à Roland Franquart (je vous recommande vivement la visite de son site, où il explique en détail toutes ses trouvailles) qui en 2009 me fit part de ses recherches à partir de l’Observation présente sur l’Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon, que ma passion pour cette énigme (dont le traitement qu’on en faisait avait de quoi choquer) en fut encore accrue. En juin 2017, j'ai passé de longues heures à chercher une bizarrerie qui aurait pu figurer dans une autre version de l'édition de 1670, sur le mot (detexi) où Roland avait déjà trouvé (entre autres choses) la bizarrerie du t surchargé (image en haut de page). Je me disais que si Fermat avait voulu mettre toutes les chances de son côté pour que ses seuls suiveurs trouvent son explication, il n'aurait rien risqué à utiliser ce stratagème une seconde fois. Mais, honnêtement, je ne croyais pas du tout possible de trouver une troisième version, c'aurait été trop beau. Si je me suis à ce point obstiné c'est qu'au fond de moi je voulais trouver un « argument massue ». Et finalement je la trouvai, cette deuxième grosse bizarrerie ; sur l'exemplaire de l'Université de Rome (detex). Je n'en crus pas mes yeux, cette découverte était si inattendue qu'elle me laissa sidéré, le coup de massue c'est moi qui le reçus. Pendant longtemps je restai dans cet état, ne pouvant en croire mes yeux. Personnellement trop impliqué, il m'était difficile de réfléchir calmement à la nouvelle situation. Cette bizarrerie supplémentaire, ça “paraissait trop‘’, c'était “trop gros‘’, même venant du très facétieux Pierre de Fermat. Mais je n'avais pas assez considéré qu'il travaillait à une époque sans internet. Je mis presque deux ans à trouver la solution, pourtant d'une clarté aveuglante. Une fois sur le site, monter le pointeur tout en haut, une bande horizontale noire apparaît, y taper le N° de page 141, puis agrandir l’image (signe + en bas à droite).


Version A. Université de Rome.

 
Arithmetica de l'Université de Rome



 
→ Le i est remplacé par le graphème avec son point en chef




On observe que l’élément précédant le point final, étrangement n’est ni un i , ni un s, mais ce caractère étrange, , qui a priori est incongru dans ce texte latin. La lettre “s” diacritée d’un point suscrit (ou “point en chef” ) est un graphème du latin étendu, autrefois utilisé dans l’alphabet irlandais. Une diacritique est souvent utilisée pour distinguer un mot d'un autre mot, homonyme. Pourquoi Fermat, philologue, a-t-il transformé le mot detexi (“j’ai mis au jour”) en detexṡ ? Ce mot étant inconnu de la langue latine, examinons le dernier caractère, . Il est formé d'un “i ” deux fois bosselé (tordu), inclus dans le “”. Les deux caractères “i” et “s” sont confondus, le graphème peut se décomposer en i + s, ce qui nous donne → is. Le mot inconnu detexṡ devient le mot detexis, du verbe detexo, cette fois, et non plus detego. Or detexo signifie “tisser complètement”, et conjugué au présent de l’indicatif, à la 2ème personne du singulier → tu tisses complètement (ou « tu représentes complètement », « tu achèves un tissu »), ce qui rejoint et confirme le décryptage alphanumérique effectué par Roland Franquart en 2009.

  • Voir detexis sur Dicolatin en bas de page. Du verbe detexo : tu tisses complètement, tu tresses, tu arranges en tresses.

Fermat a fait preuve ici de beaucoup d'ingéniosité. Avait-il noté que “detexis” est aussi l'anagramme d existe ? (Merci à Jean-Paul Blanc qui me signala cette curiosité). Connaissant la sagacité du personnage j'en suis certain.

La trouvaille qui m'a le plus réjoui n'est pas la découverte de cette très curieuse version de l’Arithmetica, car bien que j'ai passé énormément de temps à rechercher une troisième version encore différente de l'Arithmetica, j'ai surtout eu beaucoup de chance (et d'entêtement), elle aurait pu ne pas être présente sur internet, et finalement le déchiffrage n'en a été ni trop long ni trop difficile, surtout avec les données dont je disposais déjà grâce en particulier à Roland Franquart. Non, là où j'ai été le plus heureux, c'est quand j'ai fait cette découverte (voir une des lignes écrites en bleu). Il fallait avoir une grande confiance en Fermat. Quand on le suit on sait faire preuve d'une grande audace, sans aucun complexe, pleinement confiant, pour s'aventurer de l'autre côté du miroir, là où personne n'est encore allé. Il a fallu du temps, de la méditation, inconsciente aussi (sérendipité), de multiples relectures de la lettre à Carcavi, jusqu'à ce que, la connaissant par cœur, je la relise une dernière fois comme en pensant à autre chose. Et soudainement la ruse de Fermat m'est apparue dans tout son éclat. Il avait d'abord fallu oser imaginer que son astuce pouvait être d'une habileté diabolique, puis peser chaque mot de la proposition adressée à Carcavi. Il y a quelque chose d'infiniment réjouissant en ce que nous les humbles avons souvent une vie bien plus apaisée que les personnalités très en vue, soumises à toutes sortes de contraintes.

  • Lorsque je fis part à Catherine Goldstein de ma découverte du mot «detex» (rappelons que le mot, ici comme ailleurs, est suivi d'un point surchargé), elle me fit cette réponse laconique : « L'arithmetica est fautive. » En effet l'ouvrage original de Diophante (1621) et très fautif, certains passages sont complètement inexploitables, au point que Huygens avait renoncé à en poursuivre la lecture, et Fermat n'avait pu entièrement le déchiffrer. Les remarques de Fermat que son fils y a ajoutées aux endroits adéquats en 1670, sont quant à elles écrites dans un style parfait, aussi parfait que dans ses correspondances, ne comportent aucune erreur, à moins de considérer comme une “erreur” le fait qu'il existe 3 versions différentes de l’Arithmetica , et comme des extraordinaires coïncidences ou des miracles les multiples indices (on en comptera finalement 27). Je n'ai pas voulu mettre Catherine dans l'embarras et lui demander pourquoi elle m'avait fait cette réponse incroyable, je pense qu'elle ne souhaite pas s'impliquer dans une affaire depuis longtemps trop polémique (je crois qu'elle a su que je le comprendrai), et cela convient fort bien à cette étude, lui permettant de garder tout son sel. Il semble bien que, logiquement, tout s'enchaîne au mieux pour que cette épopée jamais ne prenne fin et pour que Pierre de Fermat jamais ne soit vaincu. Pouvait-on mieux remercier ce génie qu'en lui consacrant ce petit travail ? Merci Monsieur de Fermat.


Version B. Bibliothèque de Lyon). Revenons à ce ‘’detexi‘’ qui figure aussi sur la toute première image de cet article.











La surcharge sur le t suggère que cette lettre pourrait avoir une grosse importance pour la suite. En outre je pense comme Roland Franquart qui avait analysé cette “Observatio” que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l'observation de Fermat, non caperet (n'eût pas contenu ce t) (explication sur son site). La surcharge a aussi l'avantage de forcer l’attention sur le mot detexi (“j’ai mis à nu ”). Le point qui suit le mot est surchargé lui aussi (ainsi que sur les 2 autres versions de l'édition de 1670), comme pour rappeler l'importance du mot. En outre, le t initie texi, signifiant "j'ai caché". Le décryptage de Roland Franquart révèle une deuxième lecture : « [… ] ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication étonnante. Le manque (la petitesse) de la bordure (ou bord, limite, bordure, cadre, marge) ne la contiendrait pas. » Ces codages et décodages peuvent paraître tirés par les cheveux, mais souvenons-nous que Fermat adore jouer avec ses correspondants et avec les mots (ne parlons même pas des nombres...). À l'instar d'autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il est un fervent lecteur), il est expérimenté en matière de cryptage et a dû s'appliquer à laisser un maximum d'indices, les disséminant un peu partout (cf. infra). Dans ces deux premières versions, il trafique deux lettres dans le même mot. A-t-il envisagé qu'après sa mort, un mathématicien en possession d'une édition “detexṡ. en soit désorienté et écrive à un collègue pour lui faire part de cette curiosité ? Si ce collègue, souhaitant vérifier de visu l’information avait alors, par chance, consulté une version A (detexi.), ces deux personnes se seraient interrogées et mises à la tâche confiantes et assidues. Une telle rencontre semble ne s'être jamais produite. Nous avons maintenant le choix entre deux nouvelles interprétations, que nous pouvons d'ailleurs utiliser ensemble :
« ce dont tu tisses complètement la démonstration admirable (car) j'en ai vraiment mis à nu, entièrement tissé, l’explication tout à fait étonnante. »

  • La grossière surcharge sur le t figure sur plusieurs exemplaires de l'Arithmetica et ces surcharges y sont identiques. Il a donc fallu que l'imprimeur réalise spécialement un nouveau caractère mobile d'imprimerie. Notons par ailleurs que si ce t avait souffert dans un premier temps d'un manque d'encre, et n'avait pas été parfaitement visible, on l'aurait rendu parfaitement lisible, sans le surcharger.


Version C. Bibliothèque de Zurich.

 
Arithmetica de la Bibliothèque de Zurich : la note est correctement écrite









Sur cette version le mot est correctement écrit, seul le point final est surchargé, comme sur les deux autres versions. Jamais on n’aura vu un « livre entier [consacré à la science des nombres] » dont le prologue (Diophante) est plus long que le livre lui-même (Fermat), 340 pages contre une quinzaine. La preuve « assurément dévoilée » par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, si elle est très courte, est d’une difficulté extraordinaire. Le décryptage par R.F. montre que Fermat s’est élégamment servi des propriétés du triangle arithmétique “de Pascal”, connu depuis le Xe siècle. Les codages effectués dans le texte latin, avant d’être cassés, recouvrent, cachent, dissimulent (verbe latin : tego, is, ere, texi, tectum) un début d'explication.

Codages communs aux trois versionsModifier

CVbum autem in duos cubos, autem quadratoquadratum in duos quadratoquadratos
& generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potstatem in duos eiusdem
nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex
Hanc marginis exiguitas non caperet.

(J'ai regroupé dans la note les 2 anomalies figurant dans 2 éditions différentes).

(Roland Franquart) Dans le premier mot de l’Observation, CVbum (cubum, nombre cubique), l'exposant, comme c'est le cas de tout premier mot de paragraphe de la page 61, aurait dû être écrit entièrement en lettres capitales (en répétant la transgression d'un exposant en capitales dans les 47 autres observations, Fermat évite de rendre l'anomalie trop flagrante). Or la lettre latine u, quant elle est écrite en capitale, devient V. L'orthographe correcte est CVBVM, la minuscule u est donc une intruse, elle permet qu'il y ait 21 “u'' et établit ainsi une «coïncidence» et surtout, nous suggère que cette lettreu'', (comme la lettre “t'' de la version B), pourrait avoir une grosse importance pour la suite.

Dans le texte de Fermat nous trouvons 21 u (et u est la 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (or t est la 20e). Il manque donc un t dans le texte. Roland Franquart explique que ce manque est à mettre en relation avec les deux derniers mots de l'observation, non caperet : ne contiendrait pas → ce t, dont l'importance est encore accrue par le point, surchargé dans les 3 versions, qui suit le mot detexi.

Dans la note il y a 2 couples de lettres accolées ut dans l'ordre, et 3 couples tu dans l'ordre. Comme le demande Fermat (“tu tisses complètement”), Roland Franquart a effectué un tissage, le plus simple possible, avec les lettres ‘’u’’ et ‘’t ‘’, qu'il introduit dans le triangle de Pascal. Tout ceci paraît quand même bien complexe mais il semble que Fermat n’avait guère le choix s'il voulait coder son explication en 3 lignes 1/2. Avec ce codage il a aussi eu de la chance, le couple ‘’tu’’ est aussi le pronom personnel ‘’tu’’ qu'on place en français devant “tisses” et qui augmente l'importance du “tu” déjà présent dans la traduction littérale du latin detexis vers le français.

On ne peut que s'émerveiller devant l'harmonie d'un édifice aussi stable, où tous les éléments s'emboîtent si parfaitement les uns dans les autres. Je vous avoue que je suis époustouflé et ne peux m'empêcher de penser que Fermat, malgré tout, a eu beaucoup de chance pour réussir un pareil exploit. Mais peut-être suis-je moi aussi un peu trop pessimiste, en tout cas j'ignore tout ce dont il était capable.

(CM) Dans le libellé de son OBSERVATIO la présence répétée des lettres u et t dans les déclinaisons et variantes du mot quadratus (nombre carré) a certainement guidé son choix dans l’utilisation de ces deux lettres pour organiser son texte de manière à ce que les codages donnent l’impression d’une volonté délibérée aux yeux du lecteur averti. Il est plaisant de noter que l'expression quadratoquadratum in duos quadratoquadratos (carré de carré en deux carrés de carré) fait référence au cas n=4, dont la preuve apparaît dans le seul théorème que Fermat ait complètement explicité.

Au cours des siècles, de nombreux savants ont douté que Fermat eût réellement une preuve. Après la découverte d’Andrew Wiles en 1994 – une preuve d’une complexité formidable – ils purent encore moins l’imaginer, eux-mêmes ayant douté plus de trois siècles. D’autres, plus fins et plus circonspects, disent qu'on ne peut absolument rien en dire. C'est le cas par exemple à notre époque de Jacques Roubaud et surtout de Catherine Goldstein, spécialiste des travaux de Pierre de Fermat.

Les codages de Fermat découverts par Roland Franquart sont tellement manifestes qu’on se dit : « Ce ne peuvent être des coïncidences, c'est juste un exploit magistral. » Dans le seul libellé de son observation on trouve déjà 9 curiosités. Après un nouveau décodage on en trouve 4 autres, littéralement stupéfiantes. Ensuite dans sa correspondance on en trouve de nouvelles. Citons Fermat à propos d'un autre de ses théorèmes : « Je ne puis ici donner la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. » (OBSERVATIO D.P. F. n° XVIII). Comme pour tous ses autres « théorèmes» (sauf un), qui plus tard furent tous démontrés, il ne livre pas sa démonstration à Digby. Il faudra attendre 175 ans pour en avoir une preuve (par Cauchy en 1813).

On connaît le rôle du psychanalyste, il ne s’agit pas de révéler à la personne (appelée à juste titre l’analysant) allongée sur le divan, quelques-unes des pensées inconscientes qu’il aurait pu découvrir chez elle au fil des séances. Ni de lui révéler les mécanismes en jeu. Il s’agit au contraire de laisser dire à la personne tout ce qui lui passe par la tête. De temps en temps il pourra lui dire quelques mots pour ouvrir une piste, donner un indice, mais jamais il ne lui dira ce qui est pour le moment inconscient chez elle, auquel l’esprit conscient, grâce à un filtre protecteur et nécessaire, n’a pas encore accès. Le psychanalyste est avant tout un psychologue, un honnête homme, intelligent, fin, empathique, et surtout ayant déjà fait un travail profond sur lui-même. Fermat n’était pas psychanalyste, il était avant tout un grand mathématicien, intrépide, et surtout l’honnête homme par excellence. Il n’avait pas de patients, seulement des correspondants pas du tout patients. Très peu de ses lecteurs (Pascal, Mersenne), surent l’entendre. Il a agi avec les mathématiciens de son époque et ceux qui les suivraient à la manière d’un psychanalyste persévérant et sagace, qui aurait eu affaire à des cohortes de patients (non patients) venus là sans même croire à la psychanalyse, refusant de quitter leur chaise pour le divan. Connaissant leur manque de confiance, sans pour autant leur mâcher le travail, il devait leur fournir un maximum d’indices, espérant qu’un jour un de ces mathématiciens sorte enfin de son apathie, s'allonge sur le divan et puisse entendre quelques mots-clefs.

Déjà en 1637 quand Fermat fait parvenir au père Mersenne sa méthode de recherche des maxima et minima, il ne prend pas le temps d'exposer les arguments qu'il a utilisés. Maryvonne Spiesser, mathématicienne, historienne, maître de conférences honoraire, précise à propos de cette méthode :

« Il faut lire le texte de Fermat en “oubliant” nos mathématiques actuelles, notamment l'idée de limite [...]. »

J'adhère complètement à cette idée concernant l'exemple cité. Mieux, cette conception est pour moi le seul moyen d'accès à la compréhension de la preuve qu'il délivre. Pour comprendre Fermat il faut déjà VOULOIR comprendre. Celui qui n'essaie même pas, évidemment jamais ne pourra. En outre était-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie dans l'« Observation », qu'il faille chercher d'autres indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies qui ont suivi 1670.

Vers 1800 on pouvait prouver le grand théorème pour les valeurs de n égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat restant à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, développant la théorie des nombres complexes idéaux, qui allait devenir un outil très important de l’algèbre. Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100, en profitant au passage pour parler du théorème de Fermat comme d’une simple curiosité. C’est une nouvelle grande avancée qui, même partielle et très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Mais le pli est pris et on abandonne définitivement la recherche arithmétique pure pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour une nouvelle mathématique. Désormais on va se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, ces nombres complexes idéaux, qui vont aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout on doute encore plus que Fermat ait pu démontrer son théorème. Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisent de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontrent le théorème pour des cas particuliers (et encore plus après que Kummer ait « inventé » la théorie des nombres complexes idéaux – en profitant au passage pour parler du théorème de Fermat comme d’une simple curiosité), personne ne songe à examiner de près l'observation originale, écrite en latin. Il paraît donc logique que ce soit un amateur (Roland Franquart), qui soit allé directement à la source pour examiner de près la note de Fermat écrite en latin et mettre en évidence les codages de Fermat.

Finalement il n'a pas manqué grand-chose aux mathématiciens et historiens, juste un peu de confiance et d'humilité. Même s'ils connaissant son esprit facétieux, ils n’ont pas songé non plus à se fier à la traduction officielle de Brassinne, quasiment parfaite, la première à avoir été publiée dans un ouvrage de mathématiques. Il est vrai que ce fut relativement tardif (1853), longtemps après la parution de l’Arithmetica. Et déjà, Kummer était passé par là, développant sa théorie. Tous ses collègues s'engouffrèrent dans la brèche et cessèrent l'étude du Fermat par les ressources de l'arithmétique élémentaire, ce fut reposant.

Depuis que l’Arithmetica de 1670 a été éditée, on ne peut douter que des mathématiciens (français, anglais, allemands…) aient lu l’Observation dans l’une des deux versions ‘’arrangées’’ (detexṡ. ou detexi.). Mais est-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations, d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie, qu'il faille chercher d'autres indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies qui ont suivi. Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisaient de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontraient le théorème pour des cas particuliers, personne ne songea à examiner de près cette note écrite en latin.

Pour ceux qui avaient lu l’observation sur une des deux éditions de l’Arithmetica de 1670 ‘’trafiquées‘’ par Fermat, c’eût été possible. Quand Fermat écrit qu’il a réellement dévoilé une démonstration étonnante (admirable), ils auraient pu penser que cette démonstration était très inhabituelle. Bien que la présence de codages soit évidente, le début d’explication de Pierre de Fermat est loin d’être facilement accessible à des mathématiciens du vingt-et-unième siècle – quand ils veulent y réfléchir sans a priori. Par ailleurs, après plus de 350 ans d'errances, est-il facile d’admettre que tous les arguments avancés par les détracteurs de Fermat durant la longue histoire de ce théorème sont spécieux ? Par panurgisme, esprit de chapelle et populisme scientifique, au fil des décennies, des commentateurs ont repris ces arguments et les ont augmentés, échafaudant un énorme truc complètement bancal. Se conformer à la pensée dominante est confortable, qui évite de se prononcer et de se sentir à l’écart de sa caste. Quel courage il faudrait face aux prétendants à la science infuse, et aux cohortes de moqueurs et de pinailleurs : « S’il y avait une once de vrai dans tout ceci, pour un théorème si important aux yeux de Fermat, il aurait mis tous les détails. » Pour nous faciliter le travail ? Dans la marge ? Entre les lignes ? Vous n'entendrez jamais un mathématicien faire la moindre allusion aux codages, aux 4 anomalies les plus visibles de son observation, encore moins à celles surprenantes qui apparaissent quand on commence à prendre en compte ces 4 anomalies. Les observations de Fermat que son fils y a ajoutées pour l'édition de 1670 sont rédigées dans un style irréprochable et les deux bizarreries sur le même mot dans 2 des 3 versions sont à l'évidence volontaires. Les historiens des mathématiques sont d'abord mathématiciens et se fondent avant tout sur les calculs explicitement rapportés, et généralement sur des faits précis. En outre ils sont très rarement latinistes, surtout de nos jours. En 1995, dans son ouvrage Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein se montre plus fine : « Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » (page 120 du livre, note 7). Les mathématiciens sont allergiques à la simple évocation d'une preuve de Fermat, le sujet est tabou. Le tabou commence dès qu'ils discutent entre eux, et n’en discutent pas. Avez-vous remarqué aussi, combien, depuis la découverte de Wiles, même les amateurs aiment se rassurer sur internet, citant ce savant pour se dire que finalement ils n'ont rien manqué ?

Par ses progrès technologiques et son manque de foi, l'Humanité est devenue de plus en plus orgueilleuse, elle se croit auto-suffisante. Le corollaire le plus pervers de cet orgueil est le pessimisme (individuel, sociétal) qui à son tour renforce l'orgueil. Ce pessimisme nous éloigne des idées les plus simples, les seules réellement efficaces.

Bilan de la rechercheModifier

Au dix-septième siècle, les mathématiciens professionnels étant rares et les ouvrages mathématiques avaient un public restreint, il était difficile de trouver un éditeur acceptant de s’engager. Il est donc probable que Samuel a été contraint de publier l’Arithmetica à compte d’auteur, possiblement en une cinquantaine d’exemplaires, en tous cas guère plus d’une centaine d’après nos sources. Une option beaucoup plus économique, plus simple et plus rapide, aurait été de publier un opuscule contenant les 48 observations de son père auxquelles ce dernier aurait ajouté toutes les (très courtes) démonstrations. Mais sont-ce là les manières de Pierre de Fermat ? Jamais jusqu’à sa mort Fermat n’a mâché le travail des mathématiciens. Aurait-il été digne de la part du pédagogue – surtout après qu’il ait été lâché de toutes parts – de leur livrer toutes ses découvertes ? Au contraire, l’insertion des 48 observations aux endroits appropriés de l’Arithmetica laisse facilement penser au lecteur naïf que Fermat aurait écrit de très longues observations dans les marges. Et on retrouve ici la question : pourquoi Samuel s’est-il vu dans l’obligation de détruire l’exemplaire d’une valeur inestimable que possédait son père ? Une deuxième raison (s’il en fallait une), est que détecter les différences figurant sur la célèbre note (et y porter toute l’attention nécessaire), dans trois versions différentes d’une Arithmetica comportant 390 pages, est loin d'être aisé : il a fallu attendre 338 ans jusqu’à ce que Roland Franquart repère en 2008 les anomalies et extraordinaires « coïncidences », et puisse mettre au jour un codage. Dans un opuscule même un peu conséquent les anomalies auraient été, au goût de Fermat père et fils, bien trop faciles à repérer.

En outre comme nous l’avons déjà relevé cette habile stratégie permet à Fermat de valider ce qu’il écrivait : « J’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier [i.e. le Diophante édité par son fils] et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. » L’Histoire lui a donné raison.

— Les arguments avancés par les détracteurs de Fermat sont au nombre de 7 et nous avons vu qu'aucun ne tenait la route. Tous peuvent d'ailleurs être renversés et deviennent des arguments au bénéfice de Fermat. Ceux montrant qu'on peut lui faire confiance ont été évoqués précédemment.
— Les autres arguments favorables mis au jour dans cette étude :

  • Dans l'observation relative au grand théorème :

1) Cette observation est la seule des 48 dont le titre ne soit pas abrégé en D.P.F. mais écrit en toutes lettres.

2) CVbum, . L’exposant n’est pas écrit selon la règle habituelle.

3) Une première version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexi’’).

4) Une deuxième version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexs’’).

5) ‘’detexi’’ ne signifie pas ‘’j’ai trouvé’’ mais ‘’j’ai (assurément) révélé’’, ‘’mis à nu’’, ‘’mis à découvert’’.

6) ‘’detexs’’ se traduit, exactement, par ‘’tu tisses complètement’’. Or l’expression ‘’tisser complètement’’ avait déjà été trouvée grâce à un autre codage (plus complexe) découvert dans l’observation par Roland Franquart. Les deux occurrences se renforcent mutuellement.

7) L’adverbe ‘’sane’’ (assurément), par la façon inhabituelle dont il est placé, s’applique à la fois à ‘’detexi ‘’ (‘’assurément révélé),

8) et à ‘’mirabilem’’ (réellement admirable, ou merveilleuse).

9) Le point qui suit le mot detexi est grossi, différent du point final, afin de mettre encore l’accent sur le mot ‘’detexi’’.

10) Madame le Professeur Ludivine Goupillaud a noté avant nous que Pierre de Fermat prend « le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage ».

11) Répétition curieuse, et surtout alternée, dans l’observation, des couples de lettres ‘’tu’’ (3 fois), et ‘’ut’’ (2 fois).

12) On trouve a dans l’observation 21 u (et u est la 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (mais t est la 20e, il manque donc un t, la cause en étant ici : «non caperet» (ne contiendrait ce ‘’t’’, ‘’t’’ qui a été mis en évidence dans ‘’detexi’’ et entre en compte dans l'exploitation par R.F. du triangle arithmétique (l’explication détaillée figure sur son site de R.F.).

13) Ces singularités on permis à R.F. de « tisser complètement » l’explication donnée par Fermat.

  • Sur les “ Nombres de Fermat ” :

14) La lettre à Carcavi que d’aucuns ont interprété d’une façon manifestement orientée et non pertinente, n’est pas reprise dans les Varia.

15) Elle est aussi absente des observations de l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.

16) Fermat écrit « j’ai considéré », et non « j’ai démontré que ».

17) Fermat utilise l’expression ‘’questions négatives’’, ce qu’il ne fait qu’exceptionnellement, l’expression consacrée étant ‘’propositions négatives’’. Ce qui suggère facilement un double sens, ‘’la réponse à cette question est négative’’.

18) L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe permet une deuxième lecture. Ainsi, →

19) nous avons vu précédemment que la phrase « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » (avec deux adjectifs synonymes, qui font un doublon), suggère que l'étude de cette question, pour nous, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche.

20) On s’accorde à dire que Fermat connaissait la méthode à mettre en œuvre (diviseurs de la forme 64 + 1) montrant que ces “nombres de Fermat” ne sont pas premiers.

21) Nous avons vu que la lettre à Mersenne de juin 1640 où Fermat utilise une méthode similaire (diviseurs de la forme 74k+1), son fils l’omet elle aussi des Varia.

22) À 6 reprises (...), à tous ses correspondants et sur une période de 19 ans (…), Fermat... réclame de l'aide (...).

23) Lettre à Frenicle de Bessy (18 octobre 1640) : « [… ] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] » : Cette lettre, la seule que Samuel choisit pour l’insérer dans les Varia, est celle où son père dit être toujours sincère. On donc la mettre rapport avec l’observation concernant le grand théorème. (i.e. il faut prendre au sérieux l'observation).

24) Les observations n'auraient pu tenir dans une marge, certaines d'entre elles sont bien trop longues..

25) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (écrites où ?) montre à l'évidence qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur.

26) Samuel n'a pas conservé l'exemplaire de l’Arithmetica où étaient censées les 48 observations de son père, cet ouvrage aurait acquis une valeur historique considérable mais il a “disparu”.

27) Le 29 août 1654, Fermat écrit à Pascal : « Nos pensées s’ajustent si exactement […] vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. » Or la thèse que développe Roland Franquart est précisément axée sur le triangle arithmétique.

Nous dénombrons au moins 27 arguments en faveur de l'existence d'une preuve par Fermat de son grand théorème et il est possible que nous en ayons omis. Il convient d'ailleurs d'y ajouter ceux, plus complexes, développés sur le site de Roland Franquart.) D'un autre côté aucun des arguments avancés contre Fermat ne nous paraît recevable. Cette disproportion est d'autant plus significative que nous avons montré combien un des principaux arguments de ses détracteurs – sur les nombres de Fermat – non seulement était illusoire mais au contraire illustrait notre thèse. Aucune pensée ne pourrait rendre la sublimité des prouesses de Fermat se déployant dans les ténèbres de l’inconscience académique.

Sage parmi les fous
dans la cité la rumeur
et le ciel d'azur

Fermat et la publicationModifier

S'il a fait connaître par courrier quelques uns de ses travaux de géométrie (des petits Traités), il n'a jamais rien publié à son nom. Fin 1652, une épidémie de peste sévit dans le Sud-Est de la France. Comme beaucoup il est atteint mais il en réchappe. En 1659 il tente (?) de faire publier ses travaux en sollicitant la contribution active de Carcavi et de Pascal, à leur charge de tout mettre en ordre dans ses écrits et de trouver un éditeur. Il leur précise que l’ouvrage ne devra pas porter pas son nom :

9 août, 1654 très certainement (1659 selon une autre source).

Lettre de M. FERMAT
À M. DE CARCAVI

Monsieur,

J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de M. Pascal ; car j'estime infiniment son génie et je le crois très capable de venir à bout de tout ce qu’il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre m'est si chère et si considérable, que je crois ne devoir point faire difficulté d'en faire quelque usage en l'impression de mes Traités. Si cela ne vous choquait point, vous pourriez tous deux procurer cette impression, de laquelle je consens que vous soyez les maîtres ; vous pourriez éclaircir, ou augmenter, ce qui semble trop concis, & me décharger d'un soin que mes occupations m'empêchent de prendre. Je désire même que cet Ouvrage paraisse sans mon nom, vous remettant, à cela près, le choix de toutes les désignations qui pourront marquer le nom de l'auteur, que vous qualifierez votre ami. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde partie, qui contiendra mes inventions pour les nombres. C'est un travail qui n'est encore qu'une idée, & que je n'aurais pas le loisir de coucher au long sur le papier mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes principes et mes premières démonstrations, de quoi je vous réponds à l'avance qu'il tirera des choses non seulement nouvelles & jusqu'ici inconnues, mais encore surprenantes. Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et s'achever dans peu de temps, et cependant on pourra mettre au jour la première partie, que vous avez en votre pouvoir. Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée sur la grande estime que je fais de son génie, de son savoir & de son esprit, je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions numériques. Adieu, je suis, Monsieur, votre…

Si Fermat est parfaitement conscient de sa valeur, de l'avis de ceux qui le connaissent il est fort modeste. Quand Fermat mmeurt le 12 janvier 1665 on grave dans le marbre de sa tombe une épitaphe se terminant par « Vis scire quiddam quod juvet ? nesciri ama. » (« Veux-tu savoir ce qui est utile ? Veille à être ignoré »). Dans une époque troublée – celle de Richelieu, des mousquetaires du Roy – sa charge de magistrat lui impose de rester discret en dehors de ses correspondances privées. L'absence de son nom sur l’ouvrage aurait ainsi préservé sa tranquillité. Néanmoins cette lettre cavalière interroge quelque peu, pensait-il vraiment que Pascal accepterait de s'atteler à une telle tâche de mise en forme d'un travail qui empièterait considérablement sur le sien propre ? Nous n'avons connaissance d'aucune réponse à cette lettre, ni de Pascal ni ce Carcavi, c'est d'ailleurs la seule lettre qui nous est parvenue où est mentionné ce projet.

Aux yeux de Fermat ses découvertes ne furent pas appréciées à leur juste valeur et le « livre important » qu'il disait vouloir consacrer à l'arithmétique ne sera jamais publié, du moins de la façon qu'on aurait espérée. Sa grande contribution à la théorie des nombres sera connue par sa correspondance et surtout par les 48 notes où il aura mis toute son application, et que Samuel, chargé par son père d'en assurer la publication après sa mort, insérera dans l'Arithmetica de Diophante. Même si de nombreux observateurs ont pensé que Fermat écrivit ses observations au fil de l'eau, au fil des années, le style utilisé montre qu'au fur et à mesure qu'il en écrit de nouvelles, il connaît très exactement le contenu des précédentes. De la thèse ici défendue on déduit d'ailleurs logiquement qu'elles ont certainement été écrites plus ou moins en même temps, et qu'il en eut l'idée assez tôt.

Bref historique de la découverte de WilesModifier

Le théorème est finalement démontré par le mathématicien Andrew Wiles, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de la théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch en 1971 (note au CRAS), puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes, à une formule des traces…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps. En juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur, cette étape est communément appelée Ėvaluation par les pairs (peer preview). Chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Le groupe est constitué de Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appelé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très complexe, on essaie d'abord d'appliquer le système d'Euler. Font aussi partie des jurés Gerd Faltings, Ken Ribet, Richard Taylor et Peter Sarnak, ami proche de Wiles, qu'il avait mis dans la confidence avant la conférence de juin.

Si finalement Wiles réussissait à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura, l'objectif final, le Fermat, serait atteint, les répercutions en seraient considérables dans la théorie des nombres. La tension nerveuse est d'autant plus palpable pendant toutes ces vérifications qu'à l'extérieur l'attente est grande. On doit travailler dans la plus grande confidentialité, le poids du secret est lourd à porter. Après que Nick Katz ait transmis à Wiles quelques points à préciser, qui seront rapidement clarifiés, les choses commencent à se gâter, Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital.

Peter Sarnak lui conseille alors de se faire aider par Richard Taylor, ancien élève de Wiles. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées. Andrew qui jusque là avait travaillé seul et dans le secret, est maintenant sous le feu des projecteurs. C'est pour lui difficile à supporter, et après tous ces efforts, à bout de forces il pense qu'il a échoué et se résigne. Neuf mois plus tard, à l'automne, se produit un évènement décisif. Taylor suggère de reprendre la ligne d’attaque (Flach-Kolyvagin) utilisée trois ans auparavant. Wiles, bien que convaincu que ça ne marcherait pas, accepte, mais surtout pour convaincre Taylor qu'elle ne pourrait pas fonctionner. Wiles y travaille environ deux semaines et soudain (19 septembre 1994) :

« En un éclair, je vis que toutes les choses qui l’empêchaient de marcher, c’était ce qui ferait marcher une autre méthode (théorie d’Iwasawa) que j’avais travaillée auparavant. »

Alors que, prises séparément, Flach-Kolyvagin et Iwasawa étaient inadéquates, ensemble, elles se complètent. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : Les courbes modulaires elliptiques et le dernier théorème de Fermat (par Andrew Wiles), et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke (par Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 1995.

Réflexion de John Coates, qui dirigea les thèses (entre autres...) de Andrew Wiles et de Catherine Goldstein :

« J'étais moi-même très sceptique sur le fait que le merveilleux lien entre le dernier théorème de Fermat et la conjecture Taniyama – Shimura, mènerait à quoi que ce soit, je ne pensais en effet qu’une preuve de la conjecture Taniyama – Shimura était accessible. Aussi beau que fût ce problème, il semblait impossible à prouver. J'avoue que je ne pensais pas en voir une preuve de mon vivant. »

Wiles et FermatModifier

Réflexion d’un journaliste à Andrew Wiles après sa découverte de 1995 : « Donc la preuve originale de Fermat est toujours présente quelque part. » Réponse : « Je ne crois pas que Fermat avait une preuve. Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. Mais ce qui a rendu ce problème spécial pour les amateurs, c’est qu’il existe une infime possibilité qu’il existe une preuve élégante du XVIIe siècle ». Si j’avais été à sa place j’aurais certainement répondu la même chose (peut-être même exactement), c’eût été très confortable pour moi, ces sept années d’efforts soutenus n’auraient pas été vaines (même si ces travaux ont beaucoup enrichi les math, mais c’est une autre question). Wiles est un grand mathématicien, tout comme Fermat. Il est plaisant de noter que le magistrat Pierre de Fermat, qui ne pouvait gaspiller le peu de son temps disponible à détailler tous ses calculs (ne gardant quasiment jamais une copie d’un travail transmis à un correspondant), obstiné qu’il était d’aller toujours plus loin, se disait « l’homme le plus paresseux du monde ». Tous deux, chacun à leur façon, avec les outils de leur temps, ont fait faire aux mathématiques des avancées considérables. Ces deux génies sont un peu comme deux jumeaux. Andrew a pourtant un handicap, c’est un mathématicien complètement de son temps, il a dû dans sa formation assimiler énormément de mathématiques du vingtième siècle, en inventer beaucoup de nouvelles, peut-être que s’il avait vécu à l’époque de Fermat, obligé qu’il eût été de se satisfaire d’une mathématique plus élément-aire, plus pure, plus puissante, qui tente d’appréhender au plus près les relations profondes entre les nombres, il aurait pu s'approcher du maître. Les Anciens n’avaient pas encore l’esprit encombré de cette multitude de données complexes que les Modernes ont été obligés d’assimiler pour perpétuer le progrès technologique. Wiles a été tellement émerveillé par son succès après tous ses efforts (et un gros problème vers la fin, mis au jour grâce à l'évaluation par ses pairs (peer preview), qui semblait insurmontable et fut finalement résolu), que toute pensée relative à l’existence d’une preuve du XVIIe siècle ne pouvait qu’achopper aux contours de son esprit, merveilleusement comblé par sa découverte, rien ne devait altérer sa joie. On peut tenter d'imaginer ce qu'elle a pu être, quand il cherche les mots pour l'exprimer, l'émotion est si forte que les larmes lui montent aux yeux. La course au ‘’Dernier Théorème‘’ fut une longue quête de 324 ans. Son histoire est tellement excitante pour les mathématiciens qui pourtant n'ont jamais percé le secret de Fermat que la légende urbaine qui y a cohabité depuis le début pour conjurer un dépit irritant et insupportable, logiquement devra poursuivre tranquillement sa route. Quel sujet passionnant, mêlant la sociologie, la philosophie, la psychologie, l'historiographie, quelle admirable leçon de pédagogie aussi : après l'avoir entrouverte, Pierre fermat la porte à tous les sachants.

La légende urbaineModifier

« Je suis toujours surpris de quoy M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sçait pas. » Pierre de FERMAT en 1658.

« Il y a un roman derrière le grand théorème de Fermat, et il est haut en couleur ! » Cédric Villani (“Pour la Science”).

On a parfois pensé que le théorème de Fermat était indémontrable, tandis que des amateurs se persuadaient – et sont toujours persuadés – d'avoir trouvé une preuve très simple. Au fil du temps les mathématiciens s'en sont de plus en plus désintéressés, d'autant qu'on ne voyait aucune utilité pratique à le prouver. On avait cherché à savoir comment Fermat avait pu le prouver, et certains prétendaient qu'il avait dû se tromper (ou beaucoup s'avancer sans l'avoir prouvé). En 1963, le jeune Andrew Wiles, alors âgé de 10 ans, ne trouvant nulle part la preuve de l’exactitude du Dernier Théorème de Fermat, s’était promis qu’un jour il le prouverait. Trente ans plus tard se produit un événement totalement inattendu, on apprend que Wiles semble tout prêt d'avoir résolu le problème. Le 25 octobre 1994, aidé de Taylor il diffuse sa preuve. Elle n’est qu’un corollaire d’autres découvertes, et surtout d’une complexité inouïe, mais c'est une preuve. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fait part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Mais enfin, la preuve est là, l'enthousiasme est à la mesure de la découverte, toute la frustration accumulée pendant des siècles est instantanément balayée chez beaucoup de mathématiciens. Pour tous c'est une énorme et belle surprise.

Cette journée du 25 octobre marque le début d’une période assez problématique dans l’historiographie des mathématiques. Puisque le théorème est vrai il est encore moins interdit qu'auparavant de penser que Fermat lui aussi, l'avait prouvé. Pourtant à partir de ce jour, même si Fermat écrit qu’il a réellement dévoilé une preuve étonnante de son théorème, c'est le contraire qui se produit, on relaiera une nouvelle rumeur, puisque la preuve n'a été découverte qu’avec des outils très sophistiqués, jamais Fermat n’aurait pu en trouver une avec ses propres outils. C'est un raisonnement étrange mais on a sa fierté que voulez-vous. Andrew Wiles contribua lui aussi a propager la rumeur (« Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve »). Il y a quelque chose de malsain dans ce biais cognitif. Les mathématiciens ont échoué à retrouver la preuve de Fermat mais ils ont maintenant la leur : le prétexte est tout trouvé pour ne plus avoir à chercher (quasiment sans espoir) une preuve beaucoup plus courte, plus “élémentaire” mais d'une difficulté extrême elle aussi. Et l’occasion est trop belle pour regrouper tous les arguments approximatifs, parfois fallacieux, afin de dire qu'il est quasiment certain certain que le plus grand génie mathématique du dix-septième siècle s"était trompé. Après le tapage fait en 1994 autour de la découverte de Wiles, comment imaginer que les mathématiciens les plus académiques puissent se remettre en question ? Comment reconnaître que, oui décidemment, l'Everest des mathématiques est toujours aussi vierge ?

Ce qui a suscité un tel engouement quand on apprit que Wiles avait trouvé une preuve, c'est qu'on en cherchait une (plus ou moins) depuis 1670. Comme Jean Bénabou et bien d'autres, je pourrais moi aussi être déçu de la manière dont ce théorème a été prouvé. Si ce 25 octobre 1994 ne fut pas, bien sûr, une tromperie, il y eut comme un énorme malentendu, l'exploit de Wiles n'a rien à voir avec ce qu'on aurait tant souhaité retrouver. Non seulement le dernier défi, pour le chercheurs honnête, a gardé tout son attrait, tout son charme, mais il est encore plus vivant qu'autrefois, les savants croient s'en être tirés à bon compte alors que la preuve de Fermat, de toute évidence, est toujours là. Si Fermat pouvait penser que sa facétie tiendrait longtemps en haleine les savants, pouvait-il imaginer qu'un destin malicieux irait au-delà de ses vœux ? Peut-être...

Le mathématicien Harold Edwards voulut vulgariser des mathématiques. Évoquant la conjecture des "nombres de Fermat" il écrivit : « [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers ». Eric Temple Bell, lui aussi mathématicien, comme Edwards avait à cœur d'attirer des gens vers les mathématiques, voici ce qu'il écrit dans son livre The Last Problem, édité en 1961, après sa mort survenue en 1960 :

« Fermat a déclaré qu'il pensait que la proposition était vraie, mais n'a jamais prétendu nulle part l'avoir prouvée. Il est temps que les déclarations erronées dans certaines histoires mathématiques soient corrigées – même au prix d'imprimer tout ce que Fermat a dit dans son propre langage. [...]. »

Là où Fermat écrit : « J’ai ensuite considéré certaines questions », Edwards est tombé dans le piège et interprète ainsi : « J'ai ensuite prouvé certaines propositions. » Wikipédia, l'encyclopédie la plus lue au monde, suit Edwards en reprenant cette fausse affirmation (lue le 30/09/2020) : « En effet après avoir écrit plusieurs fois à ses correspondants qu'il n'avait pas de démonstration de ce résultat, il assure en posséder une par descente infinie dans une lettre de 1659 à Carcavi. » L'article de Wikipédia, sur l'année 2019/2020, a été consulté en moyenne 8 430 fois par mois. Les méfaits d'internet, avec ici la recherche d'un consensus par des internautes non spécialistes dispensant en la nourrissant la Pensée Unique.

Tout mathématicien sérieux et familier des travaux de Fermat sait qu'aucun des «arguments» avancés par ses contempteurs ne tient sérieusement la route. Au fond, seul le fait que Fermat aurait pu trouver une preuve avec ses seuls outils leur est difficilement concevable. Si, obsédé par son désir de généralité, il n'a jamais évoqué ailleurs que dans cette note son théorème général, on sait qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme en détenir une preuve, pourtant il n'en parle jamais de son vivant. Dans cette affaire digne d'un roman à suspense il fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes d'un côté, de l'autre laissant de nombreux indices. Qu'il ait révélé à l’intention de ses seuls suiveurs un début d'explication à l’aide de trois lignes et demie d’écriture latine – même s’il (Pierre + Samuel) les a écrites différemment (à peine) dans trois versions de l’édition de 1670 – participe du sublime. La seule édition consultable à Zurich, sans anomalie trop flagrante, n'aurait sans doute pas permis un décryptage, d'autant que l'usage du latin s'est raréfié au cours du XIXe siècle. L'édition de Lyon aurait suffi (elle a suffi à Roland Franquart), celle de Rome, la plus révélatrice (detexis camouflé → « tu tisses complètement  »), la plus excentrique aussi, est d'une force moindre mais confirme encore plus le décryptage effectué par Roland Franquart. Les deux particularités sur le même mot, dans deux éditions différentes, se renforcent mutuellement, et encore davantage quand elles sont ajoutées aux cinq autres dans l'«OBSERVATIO», et toujours plus quand elles sont ajoutées à celles présentes dans sa correspondance.

Dans sa lettre bilan à Carcavi pour Huygens, où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut estre la postérité me scaura gré de luy avoir fait connoistre que les Anciens n’ont pas tout sceu, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moy pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel j’adjousteray, multi pertransibunt et augebitur sciencia(*)».

(*) « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »

Lorsqu'on étudie Fermat, il y a deux façons de procéder :
1) Avec un a priori favorable : toujours se souvenir que c’est un grand pédagogue, lui faire confiance, détecter tous les arguments spécieux émis par ses innombrables détracteurs, au contraire rechercher les nombreux indices qu’il nous laisse, et tous les bons arguments (j’en ai compté quatorze importants). Les auteurs ayant publié un livre consacré au grand théorème ont eu la sagesse de rester objectifs, neutres.
2) Avec un a priori très suspicieux : le sous-estimer, ne pas faire confiance à son désir le plus cher et le plus louable de ne jamais nous mâcher le travail On imagine alors de multiples arguments pour le discréditer. Citons Alexandre GROTHENDIECK :
« L’aspect de cette dégradation auquel je pense surtout ici (qui en est juste un aspect parmi de nombreux autres) est le mépris tacite, quand ce n’est la dérision sans équivoque, à l’encontre de ce qui (en mathématique, en l’occurrence) ne s’apparente pas au pur travail du marteau sur l’enclume ou sur le burin – le mépris des processus créateurs les plus délicats (et souvent de moindre apparence) ; de tout ce qui est inspiration, rêve, vision (si puissantes et si fertiles soient-elles), et même (à la limite) de toute idée, si clairement conçue et formulée soit-elle : de tout ce qui n’est écrit et publié noir sur blanc, sous forme d’énoncés purs et durs, répertoriables et répertoriés, mûrs pour les ‘’banques de données’’ engouffrées dans les inépuisables mémoires de nos méga-ordinateurs. Il y a eu (pour reprendre une expression de C.L. Siegel) un extraordinaire ‘’aplatissement’’, un ‘’rétrécissement’’ de la pensée mathématique, dépouillée d’une dimension essentielle, de tout son ’’versant d’ombre’’, du versant ‘’féminin’’. Il est vrai que par une tradition ancestrale, ce versant-là du travail de découverte restait dans une large mesure occulté, personne (autant dire) n’en parlait jamais – mais le contact vivant avec les sources profondes du rêve, qui alimentent les grandes visions et les grands desseins, n’avait jamais encore (à ma connaissance) été perdu. Il semblerait que dès à présent nous soyons déjà entrés dans une époque de dessèchement, où cette source est non point tarie certes, mais où l’accès à elle est condamné, par le verdict sans appel du mépris général et par les représailles de la dérision. »[6]

Si l’on cherche le livre entier que Fermat aurait consacré à la science des nombres, on trouvera beaucoup de choses dans l’Arithmetica de 1670 qui inclut 48 observations très stimulantes. Ont-elles aidé les mathématiciens à repousser les bornes de la science des nombres ‘’au-delà des limites anciennement connues‘’ ? La pépite qui y figure est une galéjade qui laisse pantois. Jamais on n’avait vu, jamais plus on ne verra, un génie fût-il universel livrer la démonstration d’un puissant théorème sous la forme d’une affirmation qui laisse tant à penser : « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante mais la marge trop étroite ne la contiendrait pas ».

« La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Traité du Sublime (auteur inconnu, peut-être Longin).

« Le génie n’est pas imitable, il est incommunicable. On ne peut pas le transmettre parce que le génie lui-même serait incapable d’en donner les règles, c’est du côté du sublime plutôt que du beau. » Hélène Frappat.

Être mathématicien professionnel a des avantages et des inconvénients. Parmi ces derniers l’un émerge : vous ne pensez plus pratiquement qu’à votre travail, votre esprit y est occupé jour et nuit, consciemment ou inconsciemment. Quant à l'étude du cas Fermat, de nombreux mathématiciens et historiens s’y sont penchés, mais un consensus ne s’est jamais fait. Allez-vous perdre votre temps à l’étudier ? Si vous êtes un simple amateur, et que vous pensez être objectif, le problème se pose différemment, vous constatez d’abord qu’aucun argument avancé par les commentateurs sceptiques de Fermat n'est sérieux. Leur assemblage l'est d'autant moins, mais a pris le pas sur la réflexion objective. Le souci est que tout l’édifice vacille si vous ôtez les plus mauvais :

1) Fermat ne disposait pas de nos outils modernes – c’est un argument souvent avancé par quelques commentateurs très intelligents.
2) Il n’a pas jugé utile de rectifier, puisque ces observations ‘’étaient réservées à son seul usage‘’. (Celui-ci est admirable).
3) Fermat a dû se tromper, il s’en est aperçu plus tard, mais il n’a pas jugé utile de rectifier. (On continue à rire).
4) Surtout, il s’était déjà trompé une fois, avec les nombres de la forme 22n + 1. (Commentaires, voir supra).

Si donc vous êtes juste un amateur très attentionné, vous voyez immédiatement qu’il y a anguille sous roche. Alors vous vous documentez. Longtemps si vous êtes un passionné. Une remarque très vite vous est venue à l’esprit : ces commentateurs semblent être partis de l’a priori que Fermat n’avait pu trouver une preuve, puis ont cherché tout ce qui pourrait les conforter dans cette idée, agrégeant leurs arguments en un seul bloc pour en faire une certitude. Vous vous posez alors pas mal de questions sur l’honnêteté intellectuelle de certains savants. L’amateur que vous êtes se dit alors : « Tout ceci n’est qu’un écran de fumée », smoke and mirrors, disent les Britanniques. Fermat, dont la véritable profession est magistrat, a toujours considéré l’émulation comme le meilleur moteur dans ses recherches arithmétiques. Il aura tout essayé, pendant 19 ans il a mis au défi 7 de ses correspondants : prouver, ou infirmer, sa fausse conjecture.

L’attitude que l’on a, face au ‘’Dernier théorème’’ (on dirait le titre d’un roman, ce qu’il est en effet) dépend donc de l’a priori choisi au départ. Si l’on choisit celui qui est favorable, on se dit que Fermat, pédagogue et facétieux à la fois, est avant tout un honnête homme et qu'il n’a pas dû en rester là. On est prêt alors à chercher assidûment tous les indices qu’il aurait pu nous laisser, en ne négligeant absolument aucune piste et en cherchant les meilleurs arguments. Eric Temple Bell croyait en une preuve de Fermat et pensait que la civilisation probablement s'éteindrait avant que le Dernier théorème soit résolu. Il n'était pourtant pas totalement exclu que le théorème soit un jour prouvé par une méthode très complexe, ce fut le cas, et on découvrira encore d'autres preuves complexes. Vouloir à tout prix croire que Pierre de Fermat n’aurait pu trouver une preuve empirique, donc beaucoup plus simple que celle de Wiles en 1994, est une mal-mesure criante de la science des nombres, et plus généralement de l'intelligence humaine.

Les meilleures perles des commentateurs de FermatModifier

Cette étude ne pouvait trouver meilleur exemple de pantalonnade venant d’un professionnel de notre époque, que ce à quoi j'ai assisté en direct lorsque je travaillais à la rédaction de la fiche Wikipédia sur le théorème. Un joueur de go très hostile à Fermat et adepte des stratégies d'encerclement (notons que le jeu de go peut augmenter exagérément la confiance en soi et surtout, chez les personnes ayant un moi insuffisamment structuré, amplifie l'agressivité), appela à l'aide son ami Pierre Colmez, joueur de go lui aussi, dont l'opinion figure maintenant en page de discussion du théorème : « Ce qui est sûr, c'est que toutes les démonstrations auxquelles Fermat auraient pu penser à son époque se cassent la figure. […] » Pierre Colmez a donc deviné tout ce à quoi Fermat « auraient pu penser ». Ça frise le génie. La meilleure réponse à lui apporter est celle-ci. Ce qui est sûr et symptomatique c'est que Pierre Colmez, en plus de s'adonner à un jeu de stratégie qui fait beaucoup appel à la ruse, est un mathématicien professionnel. La suite de son invention ne manque pas de sel : « mais on ne peut pas empêcher les optimistes de croire qu'il a eu une révélation complète de toute une théorie qui nous aurait échappé jusqu'ici, mais va expliquer ça aux gens qui veulent croire à la révélation divine... »

Des professionnels formatés par des siècles de croyance confortable censés être dotés d’un esprit rigoureux et d'un minimum de bon sens mais esclaves de leurs préjugés, peuvent tomber tête baisée dans les pièges les plus grossiers, bernés de la plus subtile des manières par un génie facétieux, et ne trouver aucun véritable argument, se résignant faute de mieux à évoquer une « révélation divine » chez Fermat, désignant ainsi le plus grand mathématicien de son siècle comme un mystique dont les plus magistrales inventions lui seraient tombées du ciel. Je n'avais encore jamais rencontré un argument aussi loufoque. Dans le passé aussi « des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question » (Libri). Admirons au passage la jolie faute d’orthographe sur Wikipédia dans « toutes les démonstrations auxquelles Fermat ‘’auraient’’ pu penser », qui est un joli lapsus. Pourquoi ce pluriel ? Nombreux sont les devins qui connaissent une infinité de démonstrationsss auxquelles Fermat ‘’auraient’’ pu penser, tant il est doux à un égo de se voir comme supérieur à un génie. Où l'on voit une nouvelle fois que dans la sphère mathématicienne où il suffit de quelques tout-sachants pour influencer des foules entières, la capacité d'analyse et l'esprit de finesse ne sont pas parmi les vertus les plus répandues. « Les savants font la guerre aux préjugés populaires, sans s'apercevoir qu'ils sont eux-mêmes tout pleins de préjugés pour le moins aussi nombreux, quoique différents, et bien plus dangereux pour la société. [...] Les savants et les sots, comme les oies sauvages, aiment à se réunir et à voyager en troupes. Le philosophe, comme l'aigle, aime à s'élever solitaire dans les cieux d'où il plane au-dessus des préjugés des savants et des sots. » (Auguste Guyard, Quintessences, 1847). L'outrecuidance et l'aveuglement propres aux orgueilleux pessimistes contempteurs de Fermat n’auront pas épargné beaucoup de sachants, et on se demande quelle apogée pourrait atteindre un jour une légende urbaine aussi enracinée et aussi nécessaire à leurs désirs.

Je sais pour y avoir personnellement contribué que quelques professionnels sont au fait de cette recherche, mais ils doivent être rares à la connaître – la plupart y seraient d'ailleurs complètement indifférents. Cependant sur mon site personnel il y toujours régulièrement des visites, surtout de Chine étonnamment.

« Je suis toujours surpris de quoy tous ces savans méprisent constamment tout ce qu’ils ne sçavent pas. » Claude Mariotti en 2020.

Extrait de la lettre de Fermat à Claude Clerselier à propos de la démonstration de Descartes sur la réfraction (21 mai 1662) : « […] Car si cette demonstration est dans les regles des demonstrations certaines et infaillibles, il n’est rien de plus vray, sinon que ceux qui n’en sont pas convaincus ne l’entendent point. La qualité essentielle d’une demonstration est de forcer à croire, de sorte que ceux qui ne sentent pas cette force, ne sentent pas la demonstration mesme, c’est à dire, qu’ils ne l’entendent pas. […] »En 1976, dans son ouvrage Fermat's Last Theorem - A Generic Introduction to Algebraic Number Theory (page 38), Harold Edwards discourt d’une étrange façon [.../...] à propos de Fermat pour amener sa proposition finale :
« Au contraire, à notre époque, l'attitude générale est que les Anciens ne savaient rien du tout. » C'est évident. Mais Edwards oublie (ou ignore) beaucoup de choses, par exemple les Babyloniens, il a 4000 ans, savaient qu'on pouvait déterminer la valeur de   avec une grande précision, proche du millionième. (Voir Wikipedia, YBC 7289).
On peut énoncer une formule générale pour disqualifier Pierre de Fermat, Juge et mathématicien amateur.
1. Écrire un livre ou un article sur la théorie des nombres en rappelant tous les apports de Fermat.
2. Lui attribuer de belles qualités (esprit pénétrant, etc.).
3. Faire une ou plusieurs remarques désobligeantes à son égard. La plus fréquente concerne la fausse conjecture des "nombres de Fermat", reprise dans cet exemple formulé ici de façon courtoise : « Cet incident semble être la seule tache sérieuse sur la réputation de Fermat en tant que théoricien des nombres. » (« the one serious smirch »)
4. Pour finir remercier Fermat.
L’historien Jean Itard, a utilisé avant lui (1950) ce procédé mais en inversant les points 3 et 4 et en étant beaucoup plus agressif.

Je suis toujours aussi sidéré et amusé à la fois de voir comment au fil des décennies, puis des siècles, certains grands mathématiciens, têtes pleines d'une logique algébrique certes nécessaire mais faisant fi de toute logique abstraite, générale, ont réussi à tisser eux-mêmes les mailles du filet qui les a enfermés, coupés du simple bon sens. Observant tous les pièges, évidents aux yeux de l'observateur humble, attentif et sans préjugé dans lesquels Fermat a placé ses meilleurs indices, la meilleure conclusion qu'on puisse faire est : tout simplement sublime. Il est difficile de juger ces intellectuels, dont les pensées et propos relèvent à la fois d'un profond sentiment d'infériorité vis à vis de Fermat et d'une méconnaissance totale de cet homme, mais aussi de l'âme humaine en général, on ne peut que s'ébahir de leur aveuglement. Quand on comprend comment une si longue légende urbaine a pu s'élaborer on en tire un enseignement profond, l'étude de la pensée de groupe, l'observation des rivalités et jalousies entre grands hommes, aussi, nous enrichit dans la connaissance de la psychologie humaine, comment un imaginaire collectif peut complètement se dévoyer.

Un léger différendModifier

Jean ITARD, dans un article de 1950 Blaise PASCAL à Pierre de FERMAT, en 1660
« Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » « Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

M.P.E.A.S.Modifier

Pierre de Fermat n'a jamais rien publié sous son nom, c'est sous un pseudonyme que fut édité, en 1660, son traité de géométrie. Sur la couverture de l'ouvrage, à la suite du titre, la signature de l'auteur se présente ainsi :
Autore M. P. E. A. S. (suit un ajout de bibliothécaire : ‘’de ferm’’ [pour ‘’de Fermat’’] ). Puis sous l’image : TOLOSÆ
Voici ce qu’on en disait en 2001 (page viii), dans l’ouvrage 17 Lectures on Fermat Numbers – From Numbers Theory to Geometry (Société mathématique du Canada, Editions Springer) :
« Indeed, he published only one important manuscrit during his lifetime, and signed it using the cryptic initials : M. P. E. A. S. Their meaning remains inexplicably unknown. »
« En effet, il a publié un seul manuscrit important au cours de sa vie, et l’a signé de ces initiales énigmatiques : M. P. E. A. S. Leur sens reste inexplicablement inconnu. »
L'explication de Roland Franquart (2014) :
Magistro Procuratore Enodare Apud Sedem (TOLOSÆ)
→ Magistrat Procureur Enquêteur Au Siège (TOULOUSE).

Cette signature si tangiblement codée montrait déjà la prédilection de Fermat pour les codages.

Ils ont ditModifier

1650 (vers). René DESCARTES : « Monsieur Fermat est Gascon. Moy non. »
1656. Blaise PASCAL, Les Provinciales (la XIIe) : « Tous les efforts de la violence ne peuvent affaiblir la vérité, et ne servent qu’à la relever davantage. »
1845. Guglielmo LIBRI : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie ».
1979. Ian STEWART : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ».
1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée », il n’a pas eu à se rétracter.
2001. Andrew WILES : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
2008. David Ruelle est un physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres et non spécialiste de Pierre de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ? »
2020. Edwy PLENEL sur France culture : « Dieu sait si je suis quand même averti pour dire qu’il peut y avoir de grandes imbécillités académiques, de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes. »

  • Des mathématiciens ont prétendu que « toutes les démonstrations auxquelles Fermat aurait pu penser à son époque échouent ». Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel, encensé par Pascal, autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils pensent que Fermat (« le plus grand homme du monde »), qui s'était attaché, seul et sans influence extérieure, dans une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grandes profondeurs, qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres, était doté d'un discernement bien inférieur au leur. Dans quel aveuglement peut entraîner la connaissance et la reconnaissance académiques... Fermat a décidément fait un choix fort judicieux en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour ces mathématiciens frustrés voici un petit

Conte à guérir, conte à grandirModifier

qui veut illustrer la sottise de cet “argument”.
Un jour incertain de l’année 202., dans les sous-sols d’une unité de recherche menacée de dissolution pour cause de dépenses inconsidérées et d'un manque criant de résultats, une expérience unique est rondement menée. Des savants ont l’idée d’utiliser un prototype d’ordinateur à logique floue qui donnait de grandes espérances. Après y avoir entré un maximum de données concernant Fermat et son Grand Théorème, ils ont demandé à l’ordinateur, qui d'après eux pouvait ainsi connaître les pensées les plus profondes de Fermat, si ce dernier aurait pu avoir une preuve. Le professeur Gonzalezova raconte : La machine tournait, tournait, tournait, de temps en temps émettait un “Gloups !” ou un “Eh ?”, c’est tout ce qu’on en tirait. C’est Jean Neymar qui a eu l’idée de dire à la machine : Tu sais ce que la grand savant André Weil a dit ? Il a dit : « Jusqu’en 1638, la correspondance de Fermat le montre comme le plus inexpérimenté des novices en théorie des nombres. » C’est à ce moment-là que le bouzin a commencé à bugger. Pas longtemps, toutes les lumières du labo se sont subitement éteintes en même temps que la machine rendait l’âme. Lalampe est parti rétablir le courant, on a bu un verre ou deux pour s’éclaircir les idées, fumé un joint, et on a commencé à réfléchir calmement. Tout d’un coup le visage de Lalampe s’est éclairé : « Et si Fermat n’avait jamais prouvé le cas particulier n=3, comme certains l’ont affirmé ? » On a trouvé l’idée assez géniale, vu qu'elle étayait la théorie de André Weil. Christiane s’est empressée d’aller chercher le prototype 02, identique en tous points au premier, et l’a posé à côté du défunt. Elle nous regardait mais nous on préférait faire durer le plaisir, on était bien, complètement relaxés, et on était quasiment sûrs du résultat. Folalié est le plus impatient du groupe, dès que la machine commence à gloupser!, il lui dit qu’« elle est bête, le cas n=3 n’a été prouvé qu’un siècle après la mort de Fermat ». La machine semble un peu pensive puis une vidéo s’affiche, c’est Einstein qui se gratte la tête. Folalié reprend : « T’inquiète, Einstein est dépassé, tu sais faire beaucoup mieux. » Cette fois c’est une photo, le grand sourire de Julia Roberts. L’imprimante ronronne deux secondes et lâche sa preuve en 9 exemplaires : « Fermat n’a prouvé aucune de ses conjectures et n'a jamais rien écrit dans une marge. C’est son fils qui les a écrites et toutes démontrées, de la première à la dernière. »
On est restés sur le c...alcul. On a mis tous les protos à la benne.

ÉpilogueModifier

Qu’y a-t-il d’étonnant à ce que Fermat, grand pédagogue et fin psychologue, ait réservé un statut très spécial à son théorème le plus difficile, n’en parlant jamais à quiconque de son vivant sauf à son fils.

Amusons-nous encore un moment, Fermat écrit que la marge ne contiendrait pas son explication, qui pourtant dans son observation ne comporte que trois lignes. Qu’aurait-on pensé s’il avait écrit, au lieu de prétexter le manque de place : « Je pourrais bien vous en donner l’explication très détaillée, mais j’ai travaillé pour trouver cette preuve vraiment merveilleuse, qui sort complètement des sentiers battus. Vous devez donc travailler, vous aussi, vous vous apercevrez que quand un obstacle est insurmontable, il est toujours possible de le contourner. La meilleure façon de faire avancer la science ne consiste pas à vouloir à tout prix chercher une solution à un problème difficile, mais à s’engouffrer dans des chemins encore jamais explorés qu’il semble nous suggérer ; à y cheminer pour s'y enrichir. C’est ainsi que l’on parvient à percer les plus grands mystères, et que soudain sans qu’on s’y attende, la solution nous apparaît. Car le problème ne réside pas tant dans le problème lui-même, que dans la façon dont on se le pose. »

Piet Hein posera trois siècles plus tard :

« Un problème digne d'attaque montre sa valeur en ripostant. »

349 ans de recherches inabouties (depuis la publication de l’Arithmetica) sur l'éventuelle preuve de Fermat ont très mal engagé l'affaire, certainement destinée à ne jamais aboutir, mais une énigme en suspens a bien plus d’attrait qu’une énigme résolue. Le minimum que nous pouvions faire ici était de saluer la pédagogie du “Prince des amateurs”. Méditer sur cette énigme, sur son histoire, sur ses acteurs, interrogatifs ou péremptoires, est instructif pour le chercheur en quête de vérité historique ou s'intéressant aux légendes urbaines. Tous les mathématiciens qui auraient pu suivre Fermat dans ses recherches l’avaient définitivement lâché : ses apports à la science des nombres et ses mérites ne purent être considérés à leur juste valeur. Comment ne pas en ressentir quelque amertume ? Que fait un professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, quittent le cours ? Que fait un savant que nul ne veut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline ? Quelle ressource reste-t-il à un pédagogue qui a toujours ardemment souhaité que la connaissance progresse ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, il ne va pas en changer. Pour ceux qui peut-être accepteront de reprendre le flambeau, sans leur mâcher le travail, il livre 48 brèves et précieuses observations. Parfois il n'a pas la place, parfois il manque de temps, pour exposer une démonstration (toujours admirable) de ce qu’il avance. Une seule fois, il nous a livré la démonstration complète d’un théorème important. Les mathématiciens, occupés chacun de leur côté, ne s'intéressent plus du tout à une preuve de Fermat et ont définitivement clos une histoire déjà trop longue à leur goût. Le destin a fait que Fermat et Pascal ne puissent se rencontrer en 1660, le même destin suggère que l'énigme (son aspect mathématique) ne sera jamais complètement résolue.

Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son discernement. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard (il en a joué) avec ses façons peu orthodoxes et provocantes. La rencontre avec Pascal ne put se faire mais sa lettre nous est restée. La plus célèbre de ses ‘’observations‘’, Fermat pouvait-il être assuré qu’une démonstration qu'il y aurait cachée, hermétique à l'extrême, serait un jour découverte ? Non bien sûr.

Postulat de Fermat — « Mais que ce soit un pré carré en deux prés carrés ou un quarteron en deux quarterons & en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au binôme ne pourra être partagée en deux autres d’avis contraire. Une admirable démonstration en sera faite par ceux qui me suivront[7]. »

J’accueillerais avec grand plaisir toute remarque ou demande de précision, n’hésitez pas à m’en faire part.

À première vue (à première vue seulement), il semble incroyable qu'il ait fallu attendre 3 siècles et 38 ans pour que ce soit un amateur, ancien militaire expérimentateur des radars-sol, qui ait l'idée d'aller observer l'OBSEVATIO de Fermat de près, « à la loupe ». Il est vrai qu'un bon militaire possède ces qualités : 1) Rigueur, ponctualité, goût de le discipline. 2) Adaptabilité, curiosité. 3) Vigilance, efficacité. 4) Honnêteté, esprit de corps. 5) Formation continue.
Ce chercheur tenace, Roland Franquart, fut l’auteur de « Commutation des voies radar-Fizeau par découpage des échos des voies linéaires » et de « Contrôle de la superposition des vidéos radars primaires », qui fut intégré par l’industriel aux Programmes Opérationnels de l’Armée de l’Air.

MoralitéModifier

Quand un scientifique, un politicien, un philosophe, multiplie articles et plateaux télé pour tenter de faire croire que ce qu’il affirme est la vérité vraie, il est important de chercher les raisons personnelles qu'il aurait pu avoir pour diffuser le plus largement possible sa théorie. Celui qui a l’intelligence du réalisme comprendra que jamais rien ne viendra ébranler la satisfaction de la communauté académique d’avoir « conquis l’Everest avec des fusées de la NASA. »

Dans tous les domaines de la connaissance, lorsqu’une armée d’«experts» professionnels se déchaîne contre un petit groupe d’experts indépendants, donc sans conflit d’intérêt, et que l’on perçoit un accent de vérité chez ces derniers, il faut prendre le temps nécessaire pour mener sa propre enquête. Plus longtemps on aura effectué cette enquête et plus l’esprit de discernement se sera affiné.


Par le plus grand des hasards, le jour de mon anniversaire, en mai 2011, j'ai rencontré au cours d'une randonnée un mathématicien – le printemps est l'époque où les intellectuels prennent un peu l'air – chez qui je perçus très vite les compétences et l’autorité du grand professionnel. Nous discutions de choses et d'autres, l'ambiance générale était sympathique. À un moment je me risquai à l’informer des découvertes de Roland Franquart et lui donnai le lien web adéquat. Puis je lui dis (c’était le sens en tout cas) : « Nos mathématiciens disposent d’outils très complexes, ils sont peu enclins, comme le faisaient les Anciens, comme le faisait Fermat, à se limiter, dans leurs recherches, à jongler avec les seuls fondamentaux, il y faut beaucoup de courage. » Il me répliqua : « Oh non ! » La suite de ses réponses à mes questions fut un royal enfumage, qu'il serait discourtois de rapporter ici. Je n’ai pas insisté.

Le mathématicien Christophe Breuil nous livre quelques réflexions qui aident à comprendre la psychologie du savant.
« Voici par exemple une autre petite histoire (encore une boutade) que je tiens d’un autre collègue moins jeune (mais non moins brillant). Pour savoir si le résultat nouveau que l’on vient d’obtenir est intéressant, il faut s’y prendre de la façon suivante :
1) Modestement l’expliquer à un grand expert du sujet.
2) Analyser sa réaction : s’il est content, le résultat n’a probablement que peu d’intérêt, mais s’il fait la tête, alors tout espoir est permis ! Tel peut sembler être le « destin » des mathématiciens : celui de s’attaquer à des problèmes surhumains qui suscitent indifférence et incompréhension du monde extérieur. Mais il y a les maths elles-mêmes, leurs objets et structures d’une infinie richesse, leurs beaux et puissants concepts, leur profonde unité, perpétuelle source de renouvellement et de rajeunissement ! »
« Tout chercheur vous dira que les considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique, ou embrumer une intuition mathématique en train de prendre forme. » [3]

Je suis encore à ce jour (de moins en moins) estomaqué que l'immense mathématicien qu'était André Weil ait cru bon de nier absolument que Fermat ait pu avoir une preuve, avec des arguments tels que celui-ci : « How could he have guessed that he was writing for eternity? » (‘’An approach through history from Hammurapi to Legendre‘’, 2010, p. 104). Weil pense donc que les 48 Observations de Fermat étaient destinées à son seul usage personnel. Fermat aurait donc éprouvé le besoin de s'expliquer à lui-même qu'il a réellement mis à nu une démonstration tout à fait étonnante ! Même si Weil ne disposait pas d'une bonne traduction, cette déclaration est quand-même étonnante (ou non...) de la part d’un aussi grand savant. Il est vrai qu'il avait, à tort ou à raison, une assez haute estime de lui-même et que vis-à-vis de Grothendieck en particulier, de l'avis même de ce dernier, il n'a pas été vraiment bienveillant. Quand il est question de prestige personnel, on n'est parfois pas très tendres entre savants. L'historien Jean Itard quant à lui s’en était pris à Fermat en 1950 (année de ma naissance  ) par cette affirmation cassante : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème ». Bonjour l'ambiance.
D’autres considérations peuvent expliquer le sentiment de Weil :
« Dans sa jeunesse André WEIL espérait la démontrer avant la date du centenaire et la publier en 1959. Il a éclaté de rire le jour où, après la publication de ses Œuvres complètes, je lui ait fait observer que s’il en trouvait finalement une démonstration en quinze pages, Springer-Verlag serait obligé d’ajouter un très mince volume à son édition. » (Roger Godement, Analyse mathématique IV, Ed. Springer-Verlag, 2003, p 281, note 4). Pour mémoire, il a suffi de deux pages à Fermat, ou plutôt trois lignes et demie. Moralité : le sourire est plus spirituel que le rire. « Il est vrai que le regard intérieur ne fait malheureusement pas partie de l’épistémologie scientifique actuelle ».

– André Weil fut l'un des mathématiciens qui par leurs travaux ont considérablement aidé celui de Wiles. Il ne pouvait qu’être fier d’avoir contribué à la preuve trouvée en 1994 par ce dernier. De là à sous-estimer les capacités de Fermat…

Je vous donne ma parole que ce qui suit est vrai. Un responsable de l’Agence France-Presse s’était étonné en 2009 qu’aucun des journalistes scientifiques auxquels on avait présenté les découvertes de Roland Franquart n’ait souhaité donner suite. Est-ce que vous êtes étonné(e), vous ? Si non, alors peut-être avez-vous aussi compris que ce monde n’aurait pu être fait meilleur qu’il l’a été. La formidable innovation qu’a produit Wikiversity (entre autres choses) est qu’en utilisant les outils de Wikipedia, elle fournit aux chercheurs le meilleur support de travail qu'ils puissent jamais trouver, permettant à un public de plus en plus large d’accéder à des travaux introuvables ailleurs. Si ce modeste essai pouvait encourager de jeunes chercheurs à comprendre combien le panurgisme contrarie le discernement et l'initiative personnelle, il aurait atteint son but.

Citons Évariste Galois (1811-1832) :
« Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier ; au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera ‘’je ne sais pas le reste’’. »

Et Simon Singh :
« Le culte du secret chez les mathématiciens parisiens était une tradition qui remontait aux cossistes du seizième siècle. Ceux-ci étaient des experts en calculs divers employés par les marchands et les hommes d’argent pour résoudre leurs problèmes de comptabilité. […]. Quand le mathématicien et philosophe Marin MERSENNE arriva à Paris, il résolut de combattre la conspiration du silence et tenta de persuader les mathématiciens d’échanger leurs idées et de se servir les uns des idées des autres. Il organisa des rencontres régulières entre eux et son groupe constitua même le noyau de l’Académie des sciences. »

Fermat par sa célèbre observation a laissé aux savants ce qu’ils n’ont pris que pour une plaisanterie, alors qu'elle est surtout une preuve puissamment codée. J'ai toutes les raisons de penser qu'il a exploré, et réussi à suivre jusqu'au bout, une piste complètement inattendue, celle du triangle arithmétique, à laquelle avait déjà pensé Laurent Hua. C’est en quittant ce monde sans la dévoiler complètement que 5 ans plus tard grâce à son fils il entrera dans la légende.

Le site de Roland Franquart : franquart.fr

Cette étude est comme un devoir de mémoire. Sur mon site personnel je peux voir dans les statistiques de conultation que c'est dorénavant en Chine qu'elle est le plus souvent visionnée. Suivent les États-Unis, la France, le Canada et 16 autres pays.

***

Fermat lança parmi les âges
un court et merveilleux message
qui sans besoin de tant de pages
instruira fort tout homme sage

Un jour conclurait-on ces pages ?
Non ! Fi des images ! Et fi des pages !
Insensés ! Fous ! qui ne voyez au voisinage
que des histoires d’un autre âge

Qu’elles soient codages, qu’elles soient messages
elles ne le sont que pour les sages

Fermat, ami, si tu es là,
as-tu quelque chose à nous dire ?
Tu ne dis rien bien entendu
peut-être même que tu souris
tu vois ces hommes comme je les vois
eux ne voient pas ce que tu vois

Moi j’ai compris ton beau message

avant les nuages

après l’orage

Anagrammes étonnantesModifier

  • Petri de Fermat permettra défi dernier théorème, étreindre Homère ; Pierre de Fermat préféra méditer.
  • Prince des amateurs récupéra médisants (et un) sectarisme répandu. (Mais) diamants récupérés.
  • On trouve une autre anagramme, amusante, avec «Prince des amateurs», mais il semble difficile de trouver mieux que : (Est-ce que Fermat) persécutera admins (de l’Académie ? – Mais non voyons !, il a autre chose à faire qu'accabler des personnes méritantes, âgées).
  • En latin le ‘i’ s’écrivait parfois ‘j’ (tout comme le ‘u’ s’écrivait parfois ‘v’). Dans l'espace laissé vide à la fin de sa note, Fermat aurait eu exactement place pour une fois d’écrire une anagramme prémonitoire sous les mots :

« i demonstrationem mirabilem sane detexi » →
« j’immortalisai anxiétés de dénombrement », mais des esprits chagrins et jaloux de Fermat, à l’instar de Descartes, auraient encore moqué ce ‘Gascon’, ce ‘fanfaron’...

Le mathématicien anglais John Wallis n’appréciait pas les manières de Pierre de Fermat, qui prenait un malin plaisir à défier les Anglais et s’étonnait du mépris de Wallis envers les problèmes qu'il lui soumettait. Retirons une aile à Wallis, ce qui nous donne Walis. Il suffit maintenant de remplacer le ‘’i’’ par un ‘’e’’ (le son ‘’i’’ correspond en anglais à la lettre ‘’e’’ → Welis, qui est l’anagramme de Wiles, britannique lui aussi, qui trouva une preuve très compliquée au Grand théorème et conteste que Fermat ait pu trouver une preuve plus « élémentaire » et beaucoup plus courte. L’anecdote est d'autant plus savoureuse que les astuces les plus importantes du Français Fermat ont pu être retrouvées par le Français Franquart Roland (on dirait des Rugissements). Impossible en revanche de trouver la moindre anagramme à ‘’Roland Franquart’’, mais en remplaçant les 3 “R” par 3 “E” on trouve Adonné Quête ALFA (Agence de Lutte contre la Fraude dans les Arts).

Quelques anecdotes liées au théorèmeModifier

  • La plus romantique des histoires raconte que Paul Friedrich Wolfskehl (1956-1906), un médecin, était tombé en amour d’une fort jolie femme, mais que celle-ci rejeta ses avances. Désespéré il décida de se suicider, fixa le jour, et l’heure. Il mit ses affaires en ordre avant le grand départ, rédigea lettres et testament. Le dernier jour arriva. Comme il lui restait du temps avant l’heure fatidique, il en profita pour étudier des calculs de Kummer, qui expliquaient pourquoi Lamé et Cauchy avaient échoué dans leur tentative sur le Fermat. Croyant avoir découvert une faille dans l’exposé, il se mit assidûment à la tâche pour tenter de la combler, mais réalisa finalement que le raisonnement était bon. L’aube était déjà là, minuit était passé, l’heure du suicide aussi. Mais que les mathématiques sont belles ! Il renonce finalement à son funeste projet. Cette histoire est une de celles qui courent sur Paul Wolfskehl. Ce qui est certain c'est que souffrant de sclérose en plaques il dut renoncer à la carrière de médecin et se tourner vers les mathématiques. Son doctorat en poche (probablement obtenu en 1880) il s’intéressa au Fermat. Après la publication du nouveau Diophante par Samuel en 1670, les mathématiciens, subjugués par la simplicité trompeuse du théorème, avaient en effet commencé à s’en passionner. Plus le temps passait, plus ils faisaient des progrès, mais on ne trouvait toujours pas de preuve. Deux siècles passèrent et on se persuada que Fermat ne pouvait avoir trouvé. Paul Wolfskehl, auquel les mathématiques avaient redonné le goût de vivre, décida de rendre hommage au théorème qui lui avait sauvé la vie en offrant un prix de 100 000 marks à qui le démontrerait.
  • Quand en 1908 Paul Wolfskehl eut créé le prix de 100 000 marks qui récompenserait le premier qui trouverait une preuve au théorème de Fermat, un ami de Martin Gardner commença à recevoir des ‘’démonstrations’’. À chaque lettre il répondait qu’il n’était pas suffisamment compétent et donnait les coordonnées d’un expert qui serait intéressé. Ledit « expert » n’était autre que le dernier expéditeur d’une démonstration.
  • Il a été rapporté qu’Euler aurait demandé à un ami de fouiller la maison de Fermat à la recherche d’indices sur ses démonstrations, dont celle du théorème.

Rions un peu (encore)Modifier

  • Eût-il été possible que Wiles fasse cette autre réponse au journaliste qui l'interrogeait :

« Bien sûr que c'est possible ! Mais moi je ne l'ai pas trouvée. Et pour tout vous dire, personnellement je m'en fiche un peu car la mienne me plaît. Si vous saviez le plaisir qu'elle m'a donné, ce fut le plus beau jour de ma vie. De plus, cette découverte a soulevé un grand enthousiasme dans la communauté des mathématiciens, et même ailleurs, partout. Grâce à ma passion, à mes travaux et à ceux d’autres mathématiciens, qui m’ont été fort précieux, j'ai pu apporter de nouveaux concepts aux mathématiques, des choses bien intéressantes, qui seront très utiles par la suite. N'est-ce pas une excellente raison de se réjouir ? Même si j'en ai beaucoup bavé enduré ? Maintenant, si d'autres mathématiciens (amateurs, car nous, professionnels sommes maintenant comblés) éprouvent le désir de rechercher la preuve de Fermat, qu'ils se lancent ! À mon avis elle doit être assez géniale pour avoir été trouvée avec ses seuls outils. Le truc donc, c'est qu'elle doit être très difficile à imaginer (on connaît Fermat), à tel point que s'il a trouvé, il a pu travailler très subtilement sur une délicate ligne de crête, les axiomes. Ce serait je crois une bonne piste à suivre »
On comprend facilement que cette réponse, humainement, eût été impossible. De quiconque. Imaginons quand même qu’elle l’eût été, et que les bizarreries dans l'observation de Fermat aient été repérées et exploitées avec succès par un mathématicien qui aurait aussi été latiniste, juste après que Wiles dévoile sa propre preuve. Ouille, le Binz ! Qui est le meilleur ? Fermat ? Wiles ? Gros titres dans les journaux :
BRANLE-BAS DE COMBAT CHEZ LES MATHÉMATICIENS, les Anciens contre les Modernes
Andrew Wiles et Luc Beauregard vont-ils se disputer le Prix de 50 000 $ offert par la fondation Wolfskehl ? Le coupera-t-on en deux ?
Émeute à Nanterre, un professeur déculotté par les étudiants. On craint le pire à La Sorbonne.
Londres : l’ambassade de France saccagée par des hooligans.

CitationsModifier

  • Fermat à Roberval, 1637 : «  Au reste, quoi qu’on juge digne d’impression de moi, je ne veux pas que mon nom y paraisse. »
  • À Mersenne, 1637 : « […] nous trouvons souvent à tâtons et parmi les ténèbres ce que nous cherchons, … »
  • À Digby, 1657 : « Le hasard et le bonheur se mêlent parfois aux combats de science aussi bien qu’aux autres. »
  • À Mersenne, 1641 : « Les occupations que les procès nous donnent sur la tête m’ont empêché de pouvoir lire à loisir les Traités que vous m’avez fait la faveur de m’envoyer. »
  • Frenicle à Fermat,1641 : « Les méthodes que vous donnez […] sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage… »
  • «  Jamais homme n’a approché votre fond de science. » Digby à Fermat (venant de Frenicle).
  • À Carcavi, 1650 : « Je n’ajoute pas l’opération entière, pource que la longueur du travail me lasseroit. »

RemerciementsModifier

Un immense merci à Andrew WILES, qui décida à l'âge de 10 ans de relever un jour le défi de Fermat, y consacra plus tard 7 ans de sa vie, et finalement trouva une preuve (beaucoup trop compliquée pour moi).
Merci à Simon SINGH, grâce à son très beau livre, qui résume merveilleusement, depuis Euclide, l'histoire des math et celle du théorème en particulier, je me suis pris de passion en 1998 pour cette énigme. On y trouve aussi de savoureuses anecdotes.
Merci à Roland FRANQUART, évidemment.
Merci à WIKIPEDIA où j'ai pu largement me documenter. Merci aux contributeurs que j'y ai côtoyés et ont su me supporter, parfois avec beaucoup de patience. Je dois beaucoup à des échanges fructueux avec en particulier Cgolds, mais aussi Marvoir, Jean-Christophe BENOIST, Proz, et bien d'autres qui se reconnaîtront sur d'autres thèmes : sociologie du travail, philosophie, théologie, littérature. Les nombreuses sources que j'ai pu consulter sur Wikipedia m'ont beaucoup appris sur le phénomène de “pensée de groupe”, j'y ai collecté tous les pseudo-arguments véhiculés par la doxa depuis trois siècles.
Merci au professeur Emmanuel BURY, à la chercheuse et professeure Ludivine GOUPILLAUD pour son étude sur l'usage du latin chez Pierre de Fermat.
Merci à Jean ROUSSEAU et Laurent HUA, pour leurs fines observations dans leur ouvrage. Laurent HUA, polymathe, membre de l'équipe française des Experts de Bologne, a été le premier à exploiter la piste du triangle de PASCAL, mais par la voie géométrique alors que FERMAT donne sa solution par la voie arithmétique. Leur ouvrage m'a été d'une aide considérable.
Toute ma reconnaissance à Catherine GOLDSTEIN pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheuse et d'historienne, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage, parfois ardu, est magnifique, l'étude est très documentée, et surtout les analyses sont d'une grande profondeur. L'ouvrage est malheureusement épuisé et difficile à trouver.
Merci à Aurélien ALVAREZ et à Albert Violant I HOLTZ pour leur objectivité.
Merci à la plateforme de numérisation E-rara qui m'a été d'une aide fort précieuse.
Merci à l'Encyclopédie en ligne GALLICA (BNF).
Merci à tous ceux qui m'ont encouragé dans ma démarche.
Merci à Alexandre GROTENDIECK (1928-2014) pour le témoignage si fort qu'il nous a laissé, ses découvertes mathématiques sont d'une telle profondeur que beaucoup d'entre elles sont encore inexploitées.
Merci à tous ceux que j'oublie.
Et merci à HOR des Fields de MAUNY, mon fidèle et magnifique Golden Retriever, qui accepte (parfois difficilement) que je ne sois pas toujours en train de jouer avec lui.

Claude Mariotti

AnnexesModifier

Lettre de Fermat à Pierre de Carcavi en août 1659Modifier


RELATION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES[8].


 ... 1. Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres, étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. J'appelai cette manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie, etc. ; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les propositions négatives, comme, par exemple :

Qu’il n’y a aucun nombre, moindre de l’unité qu’un multiple de 3, qui soit composé d’un carré et du triple d’un autre carré ;

Qu’il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un nombre quarré[9].

La preuve se fait par απαγωγην εις αδυνατον en cette manière :

S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second, moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y en a point infinis en descendant moindres que celui-là (j'entends parler toujours des nombres entiers). D'où on conclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarrée.
On infère de là qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il peut se prouver par la descente.
Je n'ajoute pas la raison d'où j'infère que, s'il y avoit un triangle rectangle de cette nature, il y en aurait un autre de même nature, moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et que c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.

 2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé, que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Le progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre Premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y a là un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

 3. Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si malaisée qu'on peut n'y peut y venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusque-là qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit point de voie pour la résoudre[10].

Tout nombre est carré ou composé de deux carrés, de trois ou quatre carrés.

Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que si un nombre n’étoit point de cette nature, il y en aurait un moindre qui le serait pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc., à l'infini d’où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

 4. Celle que j’avois proposée à M. Frenicle et autres[11] est d’aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non q narré est de telle nature qu’il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins 1. Je la démontre par la descente appliquée d’une manière toute particulière.
J’avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et proprement appliquée : ce que je leur indique, afin qu’ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu’ils ont données.

 5. J’ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes[12].
Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
Il n’y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121[13].
Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers[14].

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre.
Je mets en cet endroit la question suivante dont j’ai envoyé la démonstration à M. Frenicle, après qu’il m’a avoué et qu’il a même témoigné dans son Écrit imprimé[15] qu’il n’a pu la trouver :

Il n’y a que les deux nombres 1 et 7 qui, étant moindres de l’unité qu’un double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l’unité qu’un double quarré.

 6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de différente façon de démontrer, j’ai passé à l’invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante.
On propose, par exemple,

2Q + 7967 égaux à un quarré.

J’ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités.
On propose cette équation double :

   2N + 3       et       2N + 5 égaux chacun à un quarré.

Bachet se glorifie, en ses Commentaires sur Diophante[16], d’avoir trouvé une règle en deux cas particuliers ; je la donne générale en toute sorte de cas et détermine par règle si elle est possible ou non.
J’ai ensuite rétabli la plupart des propositions défectueuses de Diophante et j’ai fait celles que Bachet avoue ne savoir pas et la plupart de celles auxquelles il paroît que Diophante même a hésité, dont je donnerai des preuves et des exemples à mon premier loisir.

 7. J’avoue que mon invention pour découvrir si un nombre donné est premier ou non n’est pas parfaite, mais j’ai beaucoup de voies et de méthodes pour réduire le nombre des divisions et pour les diminuer beaucoup en abrégeant le travail ordinaire. Si M. Frenicle baille ce qu’il a médité là dessus, j’estime que ce sera un secours très considérable pour les savans.

 8. La question qui m’a occupé sans que j’aie encore pu trouver aucune solution est la suivante, qui est la dernière du Livre de Diophante De multangulis numeris.

Dato numero, invenire quot modis multangulus esse possit.

Le texte de Diophante étant corrompu, nous ne pouvons pas deviner sa méthode ; celle de Bachet ne m’agrée pas et elle est trop difficile aux grands nombres. J’en ai bien trouvé une meilleure, mais elle ne me satisfait pas encore.

 9. Il faut chercher en suite de celle proposition la solution du problème suivant :

Trouver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu’on voudra, et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

 10. Voilà sommairement le compte de mes rêveries sur le sujet des nombres. Je ne l’ai écrit que parce que j’appréhende que le loisir d’étendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces méthodes me manquera; en tout cas, cette indication servira aux savans pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point, principalement si MM. de Carcavi et Frenicle leur font part de quelques démonstrations par la descente que je leur ai envoyées sur le sujet de quelques propositions négatives. Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connoÎtre que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre[17], suivant le sentiment et la devise duquel j’ajouterai[18] :

Multi pertransibunt et augebitur scientia.

ÉLOGE DE MONSIEUR DE FERMAT, Conseiller au Parlement de Tolose.Modifier

Du Journal des Sçavans, du Lundy 9 Fevrier 1665.

On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Tolose. C'estoit un des plus beaux esprits de ce siecle, et un genie si universel et d'une estendue si vaste, que si tous les sçavans n'avoient rendu temoignage de son merite extraordinaire, on auroit de la peine a croire toutes les choses qu'on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses loüanges.
II avoit toujours entretenu une correspondance tres-particuliere avec Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc. et avec la pluspart des grands Geometres d'Angleterre et d'ltalie. Mais il avoit lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils estoient confreres dans le Parlement de Tolose, que comme il a este le confident de ses estudes, il est encore aujourd'huy le depositaire de tous ses beaux écrits.
Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoitre par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues celebres dans la republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de luy faire un éloge plus ample et plus pompeux.
Il excelloit dans toutes les parties de la Mathematique; mais principalement dans la science des nombres et dans la belle Geometrie. On a de luy une methode pour la quadrature des paraboles de tous les degrez.
Une autre de maximis et minimis, qui sert non seulement à la determination des problemes plans et solides; mais encore à l'invention des touchantes et[19] des lignes courbes, des centres de gravité des solides, et aux questions numeriques.
Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traite analytique concernant la solution des problemes plans et solides; qui avoit este veu devant que M. Descartes eut rien publie sur ce sujet.
Un traité de contactibus sphaericis, où il a demonstré dans les solides ce que M. Viet Maître des Requestes, n'avoit demonstré que dans les plans.
Un autre traité dans lequel il rétablit et demonstre les deux livres d'Apollonius Pergæus, des lieux plans.
Et une methode generale pour la dimension des lignes courbes, etc.
De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'antiquité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprime depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athenée; et celuy qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inseré dans son ouvrage une tres-belle sur une Epistre de Synesius, qui estoit si difficile, que le Pere Petau qui a commenté cét autheur, a advoiie qu'il ne l'avoit peu entendre. Il a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de Smyrne et sur d'autres Autheurs anciens. Mais la pluspart ne se trouveront qu'eparses dans ses Epitres; parce qu'il n'ecrivoit gueres sur ces sortes de sujets, que pour satisfaire a la curiosite de ses amis.
Tous ces ouvrages de Mathematique, et toutes ces recherches curieuses de l'antiquité, n'empéchoient pas que M. de Fermat ne fit sa charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.
Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la force d'esprit qui estoit necessaire pour soûtenir les rares squalitez dont nous venons de parler, il avoit encore une si grande delicatesse d'esprit, qu'il faisoit des vers Latins, Francois et Espagnols avec la meme elegance, que s'il eût vécu du temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus grande partie de sa vie à la Cour de France et à celle de Madrid.
On parlera plus particulierement des ouvrages de ce grand homme, lors qu'on aura recouvert ce qui en a esté publié, et qu'on aura obtenu de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore esté.

Bibliographie restreinteModifier

  • Ludivine Goupillaud, “Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat”, in ‘’Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Éditions Droz, 2005. ISBN 2600009752.
  • Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal », Essai. L’Harmattan, 2002. La 1re partie (128 pages), écrite par Jean Rousseau, est une excellente étude historiographique : les formulations partielles et leur contexte. La deuxième partie, Laurent Hua la consacre à l'hypothèse «Pascal».
  • Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995 (épuisé). Voir l’article de Alain Herreman et celui de Hélène Gispert [4] au sujet de l’ouvrage.
  • Marielle Mouranche (sous la direction de), PIERRE DE FERMAT L’ÉNIGMATIQUE, Éditions midi-pyrénéennes – Université fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, 2017.
  • Eric Temple Bell, The Last Problem, Ed. Simon and Schuster, 1961.
  • Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, Éditions Jean-Claude Lattès, 1998. Pour qui veut découvrir l'histoire de ce théorème, un livre très plaisant à lire.
  • Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, 2013. Une collection présentée par Cédric Villani.

RepèresModifier

  • Alexandre Grothendieck, LA CLEF DES SONGES, un texte captivant où l'auteur révèle la méthode qui lui a permis de résister avec une conviction et une force peu commune aux préjugés, fausses croyances et avis les plus académiques. Pour information et dans un anglais facile à lire, avec un peu de son histoire mathématique, de ses ressentis, de ses intuitions : une esquisse, Sketch of a programme (Mathématiques/Algèbre).
  • Pour information, une incroyable innovation du génie britannique Martin HAIRER qui remporte au passage un prix de 3 millions de dollars. Article détaillé sur The Guardian.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

RéférencesModifier

  1. « Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner. » (Récoltes et semailles, p 51).
  2. Voir aussi : Sérendipité.
  3. Pierre de Fermat, Varia Opera mathematica, Toulouse, Apud Joannem Pech, 1679 [lire en ligne] 
  4. Paul Tannery : Pierre de Fermat, Œuvres de Fermat - I - partie 2, Paris, Gauthier-Villars (p. 290-358), 1891 [lire en ligne] 
  5. Un merveilleux texte de Alexandre Grothendieck, NOTES pour LA CLEF DES SONGES (pdf), p. N39
  6. Alexandre Grothendieck, « RECOLTES ET SEMAILLES - Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien » (consulté le 25 octobre 2019), p. 85, un texte sur lequel le chercheur pourra avantageusement méditer.
  7. Si Fermat n’a jamais formulé ce postulat, cette étude soutient l’idée qu'il résume sa démarche
  8. Publiée pour la première fois par M. Charles Henry, d'après une copie de la main de Huygens. Cette pièce avait été envoyée « depuis peu » par Fermat à Carcavi, lorsque celui-ci la communiqua à Huygens, le 14 août 1659
  9. Voir Observ. XLV sur Diophante.
  10. Voir la note de la page 403
  11. Voir Pièces LXXX et LXXXI.
  12. Voir Observ. II sur Diophante
  13. Voir Lettre LXXXIV, 5. Cf. Observ. XLII sur Diophante.
  14. Voir Lettre XCVI, 3. t°.
  15. Cet Écrit, aujourd’hui introuvable, était intitulé Solutio duorum problematum etc., dédié à Kenelm Digby, et commençait comme suit : En tibi, Vir Illustrissime, Lutetia præbet... Deux exemplaires en arrivèrent en Hollande, pour Schooten et Huygens, le 26 octobre 1657. En Angleterre, Brouncker en reçut un seulement en décembre.
  16. Voir Observ. XLIV sur Diophante et l'Appendix à cette Observation.
  17. BACON, De dignitate et augmenta scientiarum, L IV, cap. 2.
  18. Voir page 35, note 2
  19. Lire des touchantes des lignes courbes.