Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible

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Le théorème de Fermat, une mathématicienne et leur lecteur

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Mise à jour du 19/10/2021

Cette étude a été initiée sur Wikiversité en 2019. Les premiers jalons en ont été posés en 2006. Après m’avoir procuré tant d’heureuses surprises, tant de joies, elle est maintenant terminée – en fait non pas tout à fait, je sais maintenant que jusqu'à mon dernier souffle peut-être, si grande pour moi reste cette passion, j'y reviendrai encore et encore, pour des corrections, précisions et ajouts. Même si le temps n'est pas encore venu de verser une petite larme il me faut attester ici, par devoir éthique, et fondamental, que je voue une reconnaissance éternelle à Pierre de Fermat. Un grand merci à tous mes lecteurs, vos fréquentes visites m'ont encouragé et stimulé, sans vous cette étude n'aurait pu être aussi complète, aussi achevée. Claude Mariotti, 25 août 2021.

Sage parmi les fous
dans la cité la rumeur
et le ciel d'azur

Pierre de Fermat vu par l'auteur.

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir[1]. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements[2] ».

« Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, p.120 (1995).

« Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ? » Roland Franquart (2009).

Arriva un jour où plus aucun mathématicien contemporain de Fermat (vers 1608-1665) n’accepta de répondre à ses défis. Sa riposte fut à la hauteur de sa réputation, il lança un défi au monde :

Dernier théorème de Fermat
    impossible dès que n est un entier supérieur à 2

Ce qui rend ce problème fascinant est la simplicité de son énoncé, alors qu'il est extrêmement difficile à résoudre. Pendant plus de trois siècles les plus grands mathématiciens ont tenté en vain de prouver la véracité de ce théorème, dont Pierre (de) Fermat dit, en 1670, avoir « réellement tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante » (c'est la traduction après décryptage de sa deuxième ‘’OBSERVATIO‘’). Si cet Himalaya des mathématiques a pu être gravi après 324 ans d'efforts et d'espoirs déçus par Andrew Wiles en 1994, c'est uniquement par des moyens modernes et une voie très indirecte, au moyen d'une démonstration d'une complexité énorme, longue d'un millier de pages dans sa première mouture. Le 24 juin 1993, au lendemain de la conférence où Andrew Wiles écrit au tableau noir qu’il pense avoir prouvé la véracité du ‘’Dernier théorème de Fermat’’, le journal Le Monde annonce en première page : « Le théorème de Fermat enfin résolu ».The New York Times titre : « At Last, Shout of 'Eureka' In Age-Old Math Mystery » [1]. Mais le plus dur restait à venir pour Wiles, sa démonstration recelait une grosse faille.

La preuve de Fermat, beaucoup plus courte bien que très difficile à assimiler, n’a toujours pas été comprise par les Modernes. Voici une photo agrandie de l’«Observatio» de Fermat, observation qu'il écrivit on ne sait où au juste (il est douteux que ce soit dans une marge, comme nous le verrons plus loin) à propos de la conjecture qu'il affirme avoir prouvée (en 1636 lit-on généralement mais ce pourrait être un peu plus tardif). Cette photo se réfère à l'Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon et elle attira l'attention de Monsieur Roland Franquart en 2009.

Fermat last teorem.jpg


Avez-vous remarqué que le point (•) qui suit le mot “detexi” est plus gros que le point final, tout à la fin du texte ? Et diriez-vous que sur ce mot “de t exi” le «caractère» “t” est très exagérément surchargé, et fait davantage penser, si on l'isole du texte, à une tache, mais une tache qui aurait pu être finement exécutée de façon à être facilement assimilée, dans son contexte, à un “t” ? Ou au contraire diriez-vous que cette grosse surcharge sur un texte primordial de Fermat aurait été réalisée par un typographe je-m'en-foutiste, à la suite d'un défaut d'encre ? Deux originalités en tout cas, sur l'observation mathématique la plus importante de Fermat – et des mathématiques en général –, une OBSERVATIO insolite donc, à laquelle son fils, parfaitement conscient qu'elle deviendra célèbre sitôt diffusée, ne peut être étranger. Nous vous ferons découvrir tout au long de cette étude bien d'autres curiosités, en rapport soit avec cette observation, soit avec le grand théorème en lui-même, soit avec ce qu'on a coutume d'appeler les “nombres de Fermat”. Une autre curiosité qui m'avait rendu très perplexe pendant plusieurs mois après que je l'eus découverte est encore plus bizarre, et elle concerne cette même observation, ce même mot, imprimé dans des éditions différentes de celle-ci, comme par exemple celle que l'on trouve à l'Université de Rome[2]. Cette fois ce ne sera plus la lettre “t” qui aura été manipulée dans le mot, mais la lettre “i” , remplacée par le graphème  :

Arithmetica de l'Université de Rome
Arithmetica de l'Université de Rome













Nous étudierons en détail ces deux premières anomalies de la note mathématique la plus célèbre de tous les temps, et dévoilerons 24 autres indices dont certains admirables d'ingéniosité

Les savants se sont toujours fiés à des traductions approximatives de cette note, qui toutes ont mal interprété, et dans toutes les langues, le mot “detexi”. C'est ainsi qu'en français on a traduit soit par “'j'ai trouvé”, soit par “j'ai découvert”. À l'heure où nous écrivons ces lignes (2 septembre 2021), on ne peut trouver nulle part une traduction fiable. Commençons donc par la traduire correctement en corrigeant cette première erreur :

  • J'ai trouvé”, ou “j'ai découvert”, ne se traduit pas par detexi, mais par inveni”.

Sur Dictionnaire Gaffiot, “invenio” (inveni, inventum, invenire) : trouver. Y voir aussi inventio”': action de trouver, de découvrir, découverte.
Sur Dictionnaire Olivetti, “trouver” : invenio (invenis, inveni, invenire, inventum).

  • detexi :

Sur Dictionnaire Olivetti : detego (detegis, detexi, detegere, detectum) : découvrir dans le sens de dévoiler.
Sur Dicolatin : detego (detegis, detegere, detexi, detectum) : ôter ce qui couvre (mettre à découvert).
Sur Dictionnaire Gaffiot : du verbe detego : découvrir, mais seulement dans le sens de mettre à découvert, mettre à nu, dévoiler.

En outre,

  • sane  : assurément, réellement, vraiment, entièrement, complètement (tout à fait).
  • demonstratio sur Dictionnaire Gaffiot : action de montrer, démonstration, description.

Ci-dessous donc, la traduction correcte de l'«Observatio», qui reprend exactement le propos de Fermat. Nous verrons dans la section demonstrationem mirabilem sane detexi qu'une traduction encore plus affinée est possible et très utile. Le malicieux Pierre de Fermat, certain que son observation, qui rendait compte de sa plus importante découverte, serait mal traduite – même s'il ne pouvait imaginer tout ce qu'elle impliquerait pour les mathématiques des XXe siècle et suivants – a dû particulièrement s'amuser, tout comme son fils Samuel, en posant ce défi à des mathématiciens qui souvent, méprisant ses travaux, avaient fait de lui un vantard.
Pour l'instant cette première traduction qui conviendrait parfaitement à un bon latiniste nous suffit amplement :

« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux puissances du même nom, ce dont j’ai assurément dévoilé l'explication étonnante [ou admirable]. La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »

Voici maintenant la traduction officielle d'Émile Brassinne (en bas de page), qu'on trouve dans son ouvrage Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat et de l’Arithmétique de Diophante (Toulouse, 1853)]. Elle fut reprise en 2015 par Serge Coquerand dans son ouvrage À la (re)découverte des dix livres de l'arithmétique de Diophante, ainsi que par Bertrand Hauchecorne, qui l’exprime dans l'émission de France Culture Pierre de Fermat l’énigmatique (à 19’ 25’’), en 2015 également :

« Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrième puissance, et généralement une puissance quelconque en deux puissances de même nom au-dessus de la seconde puissance, est une chose impossible, et j’en ai assurément trouvé l’admirable démonstration. La marge trop exiguë ne la contiendrait pas. » L'ordre des mots est rigoureusement exact (adverbe devant participe passé). La seule (grosse) erreur concerne le mot detexi, traduit malencontreusement par “j'ai trouvé”, elle éloigne ainsi le lecteur d’une étude approfondie de l'observation. Extrêmement rares sont les commentateurs qui ont repris cette traduction officielle. On trouve au contraire des dizaines de fausses traductions dont la ligne générale est celle-ci :
« Il est impossible de diviser un cube en deux cubes, ou un bicarré en deux bicarrés, et en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré, j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

Brassinne traduit parfaitement quand il écrit :
« et j'en ai assurément trouvé l'admirable démonstration. » Pourquoi, ensuite, les mathématiciens ont-ils “traduit” à leur manière en écrivant :
« et j'en ai trouvé la démonstration vraiment admirable (ou merveilleuse) » ? Échouant à retrouver la preuve qu'affirmait détenir Fermat, ils l'ont rendue encore plus extraordinaire qu'elle ne l'était. Les mathématiciens de l'époque de Fermat et ceux qui suivirent furent de plus en plus nombreux, à mesure qu'on échouait à retrouver sa preuve, à se désoler qu'il ne leur ait pas livré toutes ses démonstrations. De plus en plus la rumeur a couru qu'il ne vérifiait pas toujours ses conjectures. Diffuser cette mauvaise traduction, « démonstration vraiment merveilleuse », fut-ce une initiative intéressée ? En tout cas on penserait désormais que Fermat était encore plus fanfaron qu'on ne le pensait, et échouer à trouver une preuve n'avait finalement plus trop d'importance. L'histoire des mathématiques, et des sciences en général, est jalonnée de ces jalousies et mesquineries. Une autre fausse traduction a été rapportée par Jean Itard (1902-1979), qui fut professeur de mathématiques et l'historien. Il eut surtout une remarque particulièrement désagréable à l'encontre de Pierre de Fermat en écrivant en guise de conclusion à un court article en 1950 :
« Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » C'est le commentaire le plus désobligeant qu'on puisse trouver sur Fermat. Le début de la phrase est péremptoire et violent : “Jamais Fermat”. Il poursuit en mettant deux Capitales d'imprimerie à ‘’Dernier Théorème‘’, manière radicale de démolir un théorème... capital. Jean Itard ne connaissant pas le latin, il s'était fié à une de ces nombreuses mauvaises traductions.

La propagation de ces fausses traductions eut deux effets :
– Tourmenter les savants pendant 324 ans (1994 – 1670 = 324) et non 358 ans (souvent arrondi en 350) comme on le lit souvent.
– Permettre que le plus grand défi de Pierre de Fermat – retrouver et comprendre entièrement l’admirable démonstration qu'il a réellement dévoilée en sondant « les mystères de la science des nombres » – n'ait toujours pas été complètement relevé en 351 ans (2021 – 1670 = 351).

Au lecteurModifier

Dès que j'eus pris connaissance de la formidable énigme chargée d'histoire de Pierre de Fermat, je perçus que ce génie polymathe très inventif était suprêmement ingénieux, sûr de son fait et cerise sur le gâteau, très espiègle. J'avais un avantage non négligeable pour étudier le mystère qu'il nous proposait, ayant pour “allié” dans cette affaire Blaise Pascal (excusez du peu), qui encensait littéralement Fermat. Je souris intérieurement, et malicieusement, en pensant que toi amie lectrice, que toi ami lecteur, tu découvres en même temps que moi des choses passionnantes sur un immense génie du dix-septième siècle, des choses que la plupart des savants n'auront jamais sous les yeux. J'ai pourtant tenu à partager cette passion pour Fermat avec quelques rares scientifiques – mathématiciens, physiciens – que je savais réceptifs et leur ai mentionné cette étude : tous ont botté en touche, d'une façon ou d'une autre. Si tu apprécies cette étude, alors peut-être souriras-tu en voyant qu'il n’est pas besoin d’être un éminent savant pour découvrir des choses admirables qui lui sont passées complètement inaperçues. En outre, je te prie de m'excuser de la longueur de cette étude, qui peut parfois être fastidieuse ; de m'excuser aussi de nombreux «quasi-doublons ». Grâce à de fréquentes relectures j'ai pu supprimer les nombreux «vrais doublons» autrefois présents, mais je confesse que cette recherche fut tellement passionnante qu'emporté par mon élan et ne voulant absolument rien omettre, il m'était difficile de faire plus court. Merci d'avance pour ta patience et pour ta compréhension. Et bonne lecture !

PS1 : Il doit rester quelques fautes de frappe, d'orthographe ou de style, n'hésitez pas à les corriger si vous en apercevez.

PS2 : Si vous enseignez les mathématiques, ou même si vous êtes un simple passionné, il se peut qu'après avoir lu cet article vous ayez la tentation de le signaler à un mathématicien professionnel. Dans le meilleur des cas vous ne recevrez aucune réponse. Mais si vous rencontriez l'un d'entre eux et que vous avez apprécié cette étude, je vous suggère de réfléchir avant de l'évoquer devant lui, vous seriez immanquablement remis à votre place de “non-sachant” par une chicanerie ou par une autre : votre vis-à-vis aura tout d'un coup oublié ce qu'est la méthode scientifique, qui repose avant tout sur la rigueur. Mais vous pouvez toujours courir le risque...

Fermat en effet utilise dans son début d'explication le “Triangle de Pascal” et s'est vu obligé, à l'aide de très subtils codages, d'être encore plus elliptique qu'à son habitude...en lignes 1/2 de latin ! Aucun savant à ma connaissance n'a réussi à “combler les trous” dans son l'explication, je me demande même s'il y a eu la moindre tentative sérieuse – approfondie – en ce sens.

Avant-proposModifier

L’objectif de cette étude sera de faire état de tous les arguments trouvés en faveur de l’existence d’une preuve du grand théorème par Fermat lui-même.

Bien qu’ayant nourri depuis longtemps un goût prononcé pour la mathématique et la physique (ah ! la découverte, dans ma jeunesse, des intégrales, de la dynamique des corps, des si belles, si simples, si logiques formules), je ne suis pas mathématicien, seulement un anonyme un peu polymathe, un peu philosophe et surtout un insatiable curieux.

De nombreux mathématiciens, professionnels et amateurs, se sont passionnés pour cette énigme, imaginant une démonstration “élémentaire” (courte) à leur portée. Las, cette simplicité apparente pose un voile sur des difficultés insoupçonnées. Pendant longtemps les savants ont été envahis de courriers accompagnés d'une démonstration, bien sûr toujours fausse (on trouve encore à peu près chaque semaine une nouvelle pseudo-démonstration sur internet). En 1908, Paul Wolfskehl avait créé un prix de 100 000 marks pour récompenser le premier qui trouverait une preuve au théorème. Des démonstrations plus ou moins farfelues commencèrent à s’accumuler sur le bureau du professeur Edmund Landau, chef du Département des mathématiques à l’université de Göttingen, qui avait été chargé d’examiner toutes ces propositions de preuve. Leur nombre augmenta tellement que son travail personnel en pâtit. Il fit alors imprimer en grande quantité des modèles de réponse prêts à l’emploi :

Cher…
Je vous remercie pour votre manuscrit sur la démonstration du Dernier théorème de Fermat. La première erreur se trouve : page… , ligne… Cela infirme la démonstration.
Professeur E.M. Landau

Puis il pria ses élèves de remplir les blancs.

Martin Gardner évoque un ami mathématicien qui répondait à chaque expéditeur :

« N'étant pas moi-même compétent pour analyser votre démonstration, je vous encourage à l'envoyer à Monsieur..., expert en la matière et qui pourra vous aider. Voici son adresse : ... ».

L'expert en question n'était autre que le dernier expéditeur d'une démonstration.

« Dans les années 1970 l'effet de découragement de ces 350 années d'échecs relatifs était tel qu'il était de bon ton de dire que l'assertion de Fermat n’était pas suffisamment générale pour être considérée comme significative ou qu’elle était soit indémontrable soit fausse. Mais en l'espace d'une trentaine d'années la communauté mathématique a radicalement changé sa perception de la question en passant d'un désintérêt plus ou moins courtois à l'enthousiasme le plus vif ! On s'est soudainement mis à croire à la véracité de l'assertion de Fermat vers 1985 et cette disposition d'esprit a été un puissant stimulant pour l'édification des difficiles théories qui ont conduit à sa démonstration. » Yves Hellegouarch.

Déjà avant 1994 il semble que l’inconscient collectif et l’effet de groupe à l’œuvre dans les hautes sphères de la discipline aient décidé qu’il faille arrêter là les dégâts et disqualifier encore plus, et par tous les moyens possibles Fermat et son théorème. Rendons ici hommage aux nombreux savants qui ont fait preuve de sagesse et de retenue. La découverte d'une démonstration par Wiles en 1994 suscita l'enthousiasme dans le monde entier, un enthousiasme parfois mâtiné d'un peu de tristesse : pour prouver un énoncé très élémentaire il avait fallu écrire tout un traité de mathématiques, d’une difficulté inouïe. Jamais un mathématicien bien comme il faut n’aurait imaginé que Fermat (dont l'espiègle pédagogie était pourtant bien connue) ait inséré dans sa deuxième observation (outrageante ?) écrite en latin, tout ce qui était nécessaire pour la décrypter.

Nos mathématiciens ne savent plus raisonner sainement sur les concepts primordiaux, n’y ayant jamais été contraints puisque leurs prédécesseurs, de plus en plus ont brûlé les étapes. Ils sont en conformité avec l’époque, une ère matérialiste. L’esprit est de plus en plus encombré de pensées compliquées, tout comme l’est leur manière de chercher. Pour raisonner ils recourent à de plus en plus de symboles mathématiques, de formules de plus en plus complexes, leur pensée s’appuie sur cette complexité au lieu que d’être une pensée pure. L'abstraction dans le simple est devenue inaccessible, le pur spirituel, sa beauté, sont définitivement perdus.

Citons Alexandre Grothendieck (RÉCOLTES ET SEMAILLES – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien) :
« Nos esprits sont saturés d’un « savoir » hétéroclite, enchevêtrement de peurs et de paresses, de fringales et d’interdits ; d’informations à tout venant et d’explications pousse-bouton – espace clos où viennent s’entasser informations, fringales et peurs sans que jamais ne s’y engouffre le vent du large. Exception faite d’un savoir-faire de routine, il semblerait que le rôle principal de ce « savoir » est d’évacuer une perception vivante, une prise de connaissance des choses de ce monde. Son effet est surtout celui d’une inertie immense, d’un poids souvent écrasant. Le petit enfant découvre le monde comme il respire – le flux et le reflux de sa respiration lui font accueillir le monde en son être délicat, et le font se projeter dans le monde qui l’accueille. L’adulte aussi découvre, en ces rares instants où il a oublié ses peurs et son savoir, quand il regarde les choses ou lui-même avec des yeux grands ouverts, avides de connaître, des yeux neufs – des yeux d’enfant.

Il arrive que l’un ou l’autre de nous découvre telle chose, ou telle autre. Parfois il redécouvre alors dans sa propre vie, avec émerveillement, ce que c’est que découvrir. Chacun a en lui tout ce qu’il faut pour découvrir tout ce qui l’attire dans ce vaste monde, y compris cette capacité merveilleuse qui est en lui – la chose la plus simple, la plus évidente du monde ! (Une chose pourtant que beaucoup ont oubliée, comme nous avons oublié de chanter, ou de respirer comme un enfant respire…). Chacun peut redécouvrir ce que c’est que découverte et création, et personne ne peut l’inventer. Ils ont été là avant nous, et sont ce qu’ils sont. »

Les mathématiques, surtout celles de Fermat, sont aussi une philosophie. Cette recherche fait appel à de nombreuses disciplines, mathématiques, histoire des math, philosophie (dont la logique philosophique), psychologie, sociologie, linguistique, pédagogie, didactique. La question considérée aide d'ailleurs à comprendre notre époque. Appréhender la psychologie d'un tel personnage pour tenter de découvrir tout ce qu'il a voulu signifier par ses astuces littéraires fut un long travail. Ce n'est qu'au fil des découvertes (on va de surprise en surprise) et au prix de longues méditations (entrecoupées de temps “morts”, que nous pûmes progresser. ce fut difficile au début car l'imaginaire collectif est là, qui sans cesse rappelle le jugement définitif qu'ont porté quelques grands savants à l'encontre de Pierre de Fermat et de son théorème. Cette recherche fut effectuée principalement sur une période de 18 mois, de janvier 2019 à mai 2020.

L’histoire du ‘’Dernier‘’ théorème commence aux alentours de l’année 1638. Fermat est alors âgé d’une trentaine d’années. On peut mieux comprendre son inextinguible soif de connaissances en considérant qu'il vit à une époque où, sans rien renier des connaissances des Anciens, au contraire en les admirant, on s'attache à leur étude pour mieux aller de l'avant. Tout est digne d'intérêt on est polymathe. Fermat est de ces hommes, humaniste, lettré, mathématicien (dès qu'il a du temps libre), philologue, il connaît le latin, le grec et l'italien, fait des vers français, latins, espagnols. Natif de Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne, il s'installe d'abord à Bordeaux, puis à Toulouse, faisant carrière dans la magistrature où il s'acquitte de sa tâche d'une manière exemplaire. Lorsqu'il découvre l'arithmétique des Anciens, il y voit une telle intelligence, une telle stimulation pour l'esprit, que se contenter d'une activité rémunérée ayant surtout l'avantage d'assurer sa subsistance n'est même pas une question à se poser. Il voit dans l'étude des nombres la voie royale pour contempler les mystères de la Nature. Son enthousiasme débordant a trouvé là le moyen de s'exprimer et sa voie est toute tracée. Grâce à lui la connaissance pourra s'accroître et se propager. La science des nombres n'est pas sa seule passion, le latin, langue des savants et des lettrés, n'a aucun secret pour lui. « Il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. » Il est très croyant, comme en témoigne son poème latin ‘’Soumets-toi à Dieu ou l'agonie du Christ‘’ dédié à Jean-Louis GUEZ de BALZAC. Au début du poème, la raison est engagée à renoncer aux vaines divinités des fables et à se soumettre à Dieu. Fermat est un juriste discret, et bien qu'il fût un génie, « le plus grand homme du monde » selon Blaise Pascal, on sait peu de choses de sa vie. Et on ne connaît que quelques très rares démonstrations qu'il voulut bien livrer, une des plus remarquables étant celle où il démontre que le nombre 26 est le seul de tous les nombres à être compris entre un carré et un cube : 25 (5x5), et 27 (3x3x3).

Un jour, alors qu'il est en contemplation devant la beauté du théorème de Pythagore (a²=b²+c²), il s'interroge. Pourrait-on ajouter encore quelque chose au sujet, quelque chose auquel personne n'aurait jamais pensé ? Dans la formule de Pythagore, l'exposant est le nombre 2, le seul nombre qui élevé au carré soit égal à son double (2² = 2+2). Fermat a pu penser que cette propriété lui conférait des propriétés très particulières, et il a l'idée qui allait bouleverser les mathématiques pour les siècles à venir. L'impensable se produit, il remplace l'exposant 2 par un 3. Est-ce que l'égalité pourrait encore exister pour certains cas en choisissant avec soin les valeurs de a, b et c ? On perçoit déjà l'étendue de ses ambitions. A priori il ne semblait pas que ce fût possible, on pouvait toujours s’en approcher de très près, parfois même à une unité, mais trouver une solution semblait impossible. Le nombre 2, monstre mathématique, semble le suggérer : à l'Unité, on a ajouté l'unité pour en faire une double unité, une manipulation philosophiquement blasphématoire – ou merveilleusement créatrice. Non seulement 2 est le premier des nombres premiers, mais il est aussi le seul nombre premier à être pair. Pour Fermat, tenter de prouver l'impossibilité de son égalité serait un défi formidable, et c'est tout ce qu'il lui faut. Il se rend compte assez vite qu’il serait plus facile de tester d'abord sa méthode avec un 4 en exposant, le carré de 2, ce nombre qui semble narguer tous ses suivants. Il utilise une méthode qu'il nomme ‘’descente infinie’’, ou descente indéfinie, un raisonnement par récurrence et un autre par l'absurde, le tout extrêmement efficace. Sa méthode fonctionne parfaitement avec l'exposant 4, plus difficilement avec 3. En septembre 1636 il commence à exciter la curiosité de ses correspondants, dans une lettre à Mersenne pour Sainte-Croix où il propose ce défi : « Trouver deux puissances quatrièmes dont la somme est une puissance quatrième et deux cubes dont la somme est un cube ».
À partir de l'exposant 5 et jusqu’à l’infini, il comprend vite que la méthode n'est plus adaptée. Il lui faut trouver une autre voie, qui très certainement n’aura aucun rapport avec la première. En 1670, cinq ans après sa mort, dans une courte “OBSERVATIO” provocatrice écrite en latin, tenue jalousement secrète de son vivant et que son fils Clément-Samuel fait connaître, il affirme avoir « assurément dévoilé une explication tout à fait étonnante que la marge trop étroite ne saurait contenir ». À cette observation Samuel en a ajouté 47 autres, le tout est inséré aux endroits adéquats dans le Livre VI de l’Arithmetica du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie (publiée en 1621), et où Bachet de Méziriac avait ajouté une traduction du grec au latin. On dispose donc en 1670 d'une nouvelle Arithmetica, légèrement augmentée mais ô combien précieuse pour la suite. L'observation en question se rapporte à la question VII, c'est la deuxième des 48 et elle se distingue notablement des autres. Nous y reviendrons.

Chez les Anciens on n’était pas sollicité dès le plus jeune âge par toutes les vanités qui encombrent maintenant l’esprit de nos enfants. De grandes intelligences ont pu ainsi atteindre à un grand savoir en pénétrant l’essence des choses (Socrate, Euclide...). Bien plus tard et dans un même siècle, Pascal, Leibnitz et Fermat qui fut un fameux exemple en théorie des nombres, construisant de puissants raisonnements avec parfois le seul recours aux mots. Comme Pythagore et comme Euclide, comme Diophante aussi, autre immense génie, Fermat sait que quand l’homme a posé 1, puis 2, tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Quelque chose a dû spécialement lui plaire avec ce premier nombre pluriel pour rendre le théorème de Pythagore décidément inégalable par sa puissance, sa singularité, et pour imaginer une conjecture beaucoup plus plurielle. Il fallait mettre sur un des deux plateaux de la balance les plus importantes propriétés du premier nombre entier suivant l’unité, l'unité doublée donc. Puis trouver et placer sur l’autre plateau une nouvelle conjecture qui soit en rapport avec la première, mais appelant cette fois l’infinité des nombres entiers (remarquons que 1, le nombre unitaire, n’est pas directement présent dans la «comparaison», il est “à part”). Peser le pour et le contre semblait a priori un défi gigantesque. Très vite Fermat voit que les deux plateaux de la balance ne pourront jamais se trouver à la même hauteur, une mise en abyme est impossible. Il va s’attacher à le prouver.

La question du Dernier théorème est bien plus qu’une question arithmétique. Son histoire est un marqueur profond de l'historiographie des Mathématiques. En reprenant l'idée de Eric Temple Bell il y a de bonnes chances que la civilisation s'étengne avant que les mathématiciens modernes aient complètement assimilé l'explication de Fermat.

Genèse de l'étudeModifier

 
Pierre de Fermat, d’après un portrait gravé par François Poilly, v. 1679.

La première lecture (vers 1997) qui m'a fait m'intéresser à ce problème est celle du célèbre ouvrage de vulgarisation de Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, lecture qui m'avait été suggérée par une amie étudiante en mathématiques. J'ai tout de suite sentie que je tenais quelque chose de beau et d'important[3], même si je n'avais aucune idée de ce que je pourrais y apporter de nouveau. Baudelaire écrit dans un de ses petits poèmes en prose : « J’aime passionnément le mystère parce que j’ai toujours l’espoir de le débrouiller. » J'ai moi aussi cette passion poussée à un haut degré. Souvent on considère un mystère comme insoluble, par la raison même qui devrait le faire regarder comme "facile" à résoudre. Mais concernant cette énigme c'est peut-être seulement vers 2010 que je découvris le premier gros indice, une formulation un peu ambigüe de Fermat dans sa dernière lettre à Carcavi où il cite sa fameuse fausse conjecture. Je pressentis que j'allais avoir affaire à forte partie (eh oui, c'était Fermat). Il cachait certainement beaucoup de choses, mais puisqu'il avait déjà laissé de nombreux indices dans sa note (complexes, ceux-là, découverts par Roland Franquart en 2008/2009, que nous évoquerons plus loin), il était tout à fait possible qu'en étudiant sérieusement ses travaux, ses correspondances, et en cherchant aussi à comprendre au mieux sa personnalité, on trouve d'autres indices plus simples d'accès. Je compris que ce n’était pas des réponses qu’il fallait chercher, mais des questions, et de bonnes questions. Je trouvai d'abord celles-ci :

  • Fermat était-il ingénieux au point d'avoir pu trouver, en faisant un pas de côté, une preuve «simple» (avec beaucoup de guillemets), très courte, très profonde et complexe, très éloignée aussi des méthodes du calcul traditionnel ?
  • Surtout, pourquoi tout est-il si bizarre autour de ce théorème ? Avait-il une ou plusieurs raisons d'être souvent si mystérieux ? Par exemple :
  • Pourquoi sa plus célèbre observation est-elle écrite sur le mode de la plaisanterie, encore davantage que dans d'autres ? Pourquoi aussi paraît-elle aussi insolente ?
  • Pourquoi la fausse conjecture sur les nombres de la forme 22n + 1, la dernière fois qu'il la formule, l'écrit-il sous une forme ambigüe qui laisserait croire à ceux qui refuseraient de lui faire confiance, qu'il la croyait vraie, et que donc il ne serait pas fiable sur tout le reste ?
  • Comment se fait-il aussi que son Arithmetica – socle de tout son travail (où, nous dit son fils, il avait écrit dans les marges ses 48 observations) et qui devient, surtout après la découverte de l'énoncé de son grand théorème, un document historique d'une valeur considérable, a disparu ? Pourquoi son fils Clément Samuel ne l'a-t-il pas conservée ? Avait-il une bonne raison pour cela ?
  • Ne faudrait-il pas analyser en profondeur tout ce qui tourne autour du théorème et de sa fausse conjecture ?
  • Fermat est-il un honnête homme ? Certainement, alors pourquoi ne pas commencer par lui faire confiance ?
  • Pourquoi au contraire certains commentateurs ne lui ont-ils pas fait confiance et l'ont-ils autant déprécié ?

En faisant preuve du simple bon sens, dans une approche objective dénuée de tout préjugé, à mesure qu’on progresse dans la recherche nos découvertes nous apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau qu'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval évoquant Fermat écrivait à Torricelli : « Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes : « J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. » Qui a l'esprit de discernement sait faire preuve de confiance, d'humilité et d'audace, d'analyse rigoureuse, d'imagination créatrice, toutes aptitudes nécessaires pour résoudre les plus difficiles énigmes. Je crois que la résolution des grandes énigmes, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle en soit absente, est presque toujours possible – ou au moins largement abordable. Mais dans ce cas-ci j'avais beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais d'abord que quelques nouveaux indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat mais aussi ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé via Wikipédia d'un mathématicien amateur (Roland Franquart) qui allait complètement débloquer la situation. Nous nous sommes téléphoné et je crois que nous avons conversé plus d'une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une vive opposition m'en empêchant. Quand je retournai en 2013 sur l'encyclopédie après une longue absence je fus tout de suite encouragé par Catherine Goldstein, mais je quittai pourtant à nouveau Wikipédia pour me consacrer entièrement à mes recherches. Je ne me doutais pas alors qu'en étudiant cette énigme avec un esprit très libéré j'allais beaucoup progresser au fil de trouvailles de plus en plus étonnantes qu'après Roland Franquart j'allais faire à mon tour. Je dois à la justice de dire que sans ses découvertes je n'aurais rien trouvé de neuf, toute cette recherche n'aurait pu se faire. À tout seigneur, tout honneur !

Vers 2006, après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème j'avais remarqué qu'aucun des arguments avancés par les contempteurs de Fermat ne tenait la route. Nombreux sont les scientifiques contemporains, toutes disciplines confondues, qui raisonnent avec une forme de pensée magique et font preuve de condescendance, quand ce n'est pas un mépris affiché envers les Anciens. Cette condescendance fait partie des mœurs courantes des mathématiciens accomplis. Dieu sait si je suis averti pour dire combien il peut y avoir de personnes bardées de diplômes comme autant de certitudes, de ces personnes que la reconnaissance académique conforte dans leurs béates certitudes. La question évidente à se poser en voyant la façon étonnante dont avait été rédigé l'article de Wikipédia était « Pourquoi ? ». C'était la première pierre à soulever impérativement pour ne pas être contaminé par le pessimisme ambiant et partir du bon pied. Cette conformité jalouse et exacerbée avec la pensée commune étant évidente j'ai voulu d'abord répertorier les mauvais arguments et leurs conséquences néfastes, qu'au cours des siècles les contempteurs de Fermat avaient pu imaginer. Ensuite, puisqu'il avait lancé son défi, il me fallait tout faire, puisqu'ayant assez vite perçu ses manières j'admirais sa clairvoyance, pour relever son défi. Non pas le défi mathématique en lui-même puisque je ne suis aucunement mathématicien, mais le défi de percer tous les secrets que dans ses divers écrits relatifs au théorème et à la fameuse fausse conjecture il aurait pu dissimuler. La difficulté était qu'il n'en disait jamais plus que nécessaire, les meilleurs signaux qu'il envoyait étant les plus difficiles d'accès. Ainsi est née cette recherche, très laborieusement d'abord. Tenter de résoudre de la façon la plus exhaustive possible cette formidable énigme, qui exige une analyse poussée de la psychologie de Fermat et de ses nombreux écrits, qui demande une conscience aigüe de sa sagacité, a suscité chez moi enthousiasme et excitation. Si j'avais été mathématicien, jamais je n'aurais pensé à chercher avec autant de foi et de persévérance tous ces arguments – qui faisaient bien plus appel au simple bon sens qu'aux mathématiques – pour réhabiliter Fermat et son dernier défi, j'eus été empêché, par des préjugés et une manière conformiste de raisonner, de sortir des sentiers battus et rebattus pendant des siècles, qui avaient abouti à une incroyable imposture scientifique : « Fermat n'a pas pu trouver de preuve, puisqu'il ne connaissait pas nos outils modernes ».

Les techniques sophistiquées qu'utilise le mathématicien contemporain exigent un long apprentissage, beaucoup de travail, elles occupent tout son temps. Ses contraintes professionnelles ne lui permettent plus de se consacrer à une question qui lui semble de si peu d'intérêt. Pour détricoter une pareille énigme c'est le pédagogue singulier, le combattant isolé, qu'il nous fallut convoquer. Son arme de prédilection est le défi. Mais pour que les mathématiciens qui le suivront ne soient quand même pas trop furieux, il ne doit pas les défier trop ouvertement. Il trouve alors deux nouvelle armes, la facétie et la ruse, et il en use à profusion. Pour avoir une chance de relever le défi, il fallut aller directement à la source, trouver puis exploiter la traduction la plus exacte, la plus fidèle possible de l'OBSERVATIO. Ensuite et en espérant qu'il n'en était pas resté là, il fallut continuer de chercher avec une obstination sans faille toutes les autres pistes qu'il aurait pu laisser. Ce fut long, semé d'embûches, souvent grisant.

« L’historien ne doit rien refuser d’entendre. » (Cicéron)Modifier

 
Épitaphe de Pierre de Fermat.

‘’À la pieuse mémoire de Pierre de Fermat, membre du parlement de Toulouse.

Très versé dans les belles lettres, dans la connaissance des langues, des mathématiques et de la philosophie, il se montra jusrisconsulte éminent et remplit sa charge avec tant de distinction qu’il semblait avoir concentré sur l’étude des lois toutes les forces de son esprit, bien qu’il les divisât entre les spéculations les plus ardues. Ennemi du vain étalage, il négligea de livrer ses travaux à l’impression ; plus grand encore par le dédain que par la production, il lut, sans orgueil, dans les livres d’autrui, la glorification de ses œuvres. Aujourd'hui parvenu, comme ses vertus nous donnent le droit de l'espérer, à contempler la vérité éternelle et à mesurer toutes choses, grandes et petites, à la clarté d'un rayon céleste, il semble, de son tombeau, adresser au passant ce précieux conseil de morale chrétienne : Vis scire quiddam quod juvet ? nesciri ama.‘’ (« Veux-tu connaître ce qui est utile ? Sache être ignoré »).
Commentaire de Claire-Adélaïde Montiel : « Cet éloge se termine par la mention suivante : “OB.XII.IAN.M.D.C.LXV. AET.AN LVII” qu’on peut traduire ainsi : “ Il mourut le 12 janvier 1665 âgé de 57 ans ou bien : dans la cinquante-septième année de son âge”, ce qui le ferait naître entre janvier 1607 et janvier 1609. »

Les Anciens étaient parvenus à extraire d’une gangue arithmétique informe les grands concepts principaux sans disposer de tout le symbolisme algébrique aujourd'hui disponible. Pierre de Fermat, comme ses contemporains mais à un degré plus élevé, a maîtrisé l’art de contourner les difficultés auxquelles se heurteront ceux qui viendront après lui, au point de pouvoir se passer de nombreux outils mathématiques qui seront découverts bien plus tard. Nous trouvons maintenant évidents des concepts primordiaux que ces Anciens ont découverts. Jusqu’au siècle dernier, et même encore parfois de nos jours, ce caractère d’évidence a engendré chez quelques savants, quand ils ont eu à ferrailler avec Pierre de Fermat, leur maître pourtant, une coupable négligence – une arrogance parfois.

Si aller à l'encontre de tous les jugements négatifs qui ont été portés à son encontre n'est pas aisé, deux choses aident à garder intacts l'enthousiasme et la confiance.

  • On sait d'une part qu'il disposait de très peu de temps pour assouvir sa passion des nombres. Ce n'est qu'en gardant par devers lui la grande majorité de ses inventions au fur et à mesure qu'il les faisait, qu'il pouvait préserver sa tranquillité et exploiter tout son potentiel créatif. S'il avait commencé à rédiger des démonstrations complètes de ses inventions, la compréhension en ayant été ardue, des esprits tatillons lui auraient fait perdre son temps avec d'incessants chipotages. La formulation de ses défis, qui souvent ne comportaient que quelques lignes et pouvaient paraître inconvenants de la part d'un notable, témoignait aussi de ce cruel manque de temps.

Alors qu'il a affirmé dans sa correspondance posséder la preuve du cas particulier n=4 de son grand théorème, il ne nous dit pas explicitement, dans l'Arithmetica, quelle est cette preuve. Il livre sa démonstration du “Théorème de Fermat sur les triangles rectangles” sans du tout préciser qu'elle a un rapport quelconque avec le cas n=4. Or la preuve de ce cas est immédiatement déductible du théorème, et c'est la seule démonstration qu’il révèle – dans ses 48 observations en tout cas. Pour quelle raison alors n'évoque-t-il pas ce cas n=4, si ce n’est pour indiquer qu'il a placé une première balise et qu'il faudra nous attacher à en chercher d'autres, mieux cachées encore, dans ses écrits. Ainsi il ne faudra pas prendre à la légère : a) son défi plusieurs fois réitéré sur le cas particulier n=3, jusqu'à son affirmation, finalement, qu'il a fait la preuve de l'impossibilité de ce cas ; b) son affirmation d'avoir assurément dévoilé l'explication étonnante (ou admirable) de son théorème général. Qu'il se soit abstenu de mentionner le cas n=4 dans sa démonstration nous semble être le tout premier des arguments en faveur d’une maîtrise complète, par Fermat, de la situation : il sait de quoi il parle et nous le fait savoir. On est assuré par ailleurs qu'il possède effectivement la preuve du cas n=3, mais là encore, alors qu'il n'a cessé dans parler dans ses lettres, il passe complètement sous silence ce dernier cas dans ses 48 observations.

Sûrement avait-il aussi une revanche à prendre sur la communauté des mathématiciens (« Ah ! ils n'ont pas voulu me prendre au sérieux ? Eh bien ce n'est plus à ces esprits négligents que je penserai dorénavant. »). S'est-il dit aussi : «  Nous allons bien nous amuser. » ? Sans doute. Certains de ses correspondants en effet à qui il avait soumis des problèmes qu'ils avaient été incapables de résoudre, avaient méprisé ses travaux, les jugeant totalement inutiles (ils se révélèrent pourtant d'une importance considérable). Il en fut certainement contrit au point de vouloir les punir de leur négligence. La nature de son caractère dut aussi y être pour quelque chose, on le savait très humble, mais il était parfaitement conscient de sa force, et la fausse humilité était étrangère à ce Gascon. Une démonstration complète d'un cas particulier (n=3) de son grand théorème ne sera trouvée que deux siècles plus tard par Gauss, un autre immense mathématicien. Gauss qui écrivait en 1801 à propos du petit théorème de Fermat : « Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement théorème de Fermat, du nom de l'inventeur. » Cet intérêt de Gauss pour le travail de Fermat fut d'ailleurs en partie à l'origine de sa future carrière de mathématicien. Par ailleurs, en citant E.T. Bell, « Gauss discréditait les assertions sans fondement. » Un ami de Gauss lui avait demandé pourquoi il ne concourait pas pour le prix offert en 1816 par l’Académie française des sciences qui récompenserait le découvreur d'une preuve (ou d'une invalidation) du Dernier Théorème. « J’avoue, répondit-il, que le Théorème de Fermat est une proposition isolée qui a très peu d’intérêt pour moi, puisque je pourrais facilement trouver une multitude de propositions du même genre, que personne ne pourrait jamais ni valider ni invalider [...]. Bien qu’il ne l’ait jamais dit explicitement, Gauss semblait douter que Fermat avait prouvé son théorème. » Gauss n'a-t-il jamais essayé de prouver cette conjecture ? Ça peut sembler étonnant.

  • D'autre part, beaucoup des écrits les plus importants de Fermat sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant expert en cette langue, il nous a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le manque de temps ; b) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents ; enfin, d) son goût pour la pédagogie, qui s'accorde à son tour avec les points précédents. Quatre raisons donc d'en dire le moins possible...

Lorsqu'on étudie Fermat, il y a deux façons de procéder :
1) Avec un a priori favorable : toujours se souvenir que c’est un grand pédagogue, rechercher sans relâche des indices, et finalement tous les bons arguments (nous en avons dénombré plus de 26). Notons que quasiment tous les auteurs ayant publié un livre consacré au grand théorème ont eu la sagesse de rester objectifs.
2) Avec un a priori très suspicieux : le sous-estimer, occulter son désir le plus cher de ne jamais nous mâcher le travail. On imagine alors n'importe quel "argument" pour le discréditer. Citons Alexandre GROTHENDIECK :
« L’aspect de cette dégradation auquel je pense surtout ici (qui en est juste un aspect parmi de nombreux autres) est le mépris tacite, quand ce n’est la dérision sans équivoque, à l’encontre de ce qui (en mathématique, en l’occurrence) ne s’apparente pas au pur travail du marteau sur l’enclume ou sur le burin – le mépris des processus créateurs les plus délicats (et souvent de moindre apparence) ; de tout ce qui est inspiration, rêve, vision (si puissantes et si fertiles soient-elles), et même (à la limite) de toute idée, si clairement conçue et formulée soit-elle : de tout ce qui n’est écrit et publié noir sur blanc, sous forme d’énoncés purs et durs, répertoriables et répertoriés, mûrs pour les ‘’banques de données’’ engouffrées dans les inépuisables mémoires de nos méga-ordinateurs. Il y a eu (pour reprendre une expression de C.L. Siegel) un extraordinaire ‘’aplatissement’’, un ‘’rétrécissement’’ de la pensée mathématique, dépouillée d’une dimension essentielle, de tout son ’’versant d’ombre’’, du versant ‘’féminin’’. Il est vrai que par une tradition ancestrale, ce versant-là du travail de découverte restait dans une large mesure occulté, personne (autant dire) n’en parlait jamais – mais le contact vivant avec les sources profondes du rêve, qui alimentent les grandes visions et les grands desseins, n’avait jamais encore (à ma connaissance) été perdu. Il semblerait que dès à présent nous soyons déjà entrés dans une époque de dessèchement, où cette source est non point tarie certes, mais où l’accès à elle est condamné, par le verdict sans appel du mépris général et par les représailles de la dérision. »[4]

Si l’on cherche le livre entier que Fermat aurait consacré à la science des nombres, on trouvera beaucoup de choses dans l’Arithmetica de 1670 qui icontient 48 observations très stimulantes. La pépite (sur le théorème) qui y figure est une galéjade qui laisse pantois. Jamais on n’avait vu, jamais plus on ne verra, un génie fût-il universel livrer la démonstration d’un puissant théorème sous forme d’une affirmation qui laisse tant à penser : « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante que la marge trop étroite ne contiendrait pas ».

« La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Traité du Sublime (auteur inconnu, peut-être Longin).

« Le génie n’est pas imitable, il est incommunicable. On ne peut pas le transmettre parce que le génie lui-même serait incapable d’en donner les règles, c’est du côté du sublime plutôt que du beau. » Hélène Frappat.

Être mathématicien professionnel a des avantages et des inconvénients. Parmi ces derniers l’un émerge : vous ne pensez plus pratiquement qu’à votre travail, votre esprit, consciemment ou inconsciemment, y est occupé jour et nuit. Quant à l'étude du cas Fermat, de nombreux mathématiciens et historiens s’y sont penchés, mais un consensus ne s’est jamais fait. Allez-vous perdre votre temps à l’étudier ? Si vous êtes un simple amateur, confiant, objectif et audacieux, le problème se pose différemment, vous constatez d’abord qu’aucun des arguments avancés par les commentateurs sceptiques n'est vraiment sérieux. Leur assemblage l'est d'autant moins et tout l’édifice s'écroule si vous ôtez les plus mauvais :

1) Fermat s’était déjà trompé avec les nombres de la forme 22n + 1 (nous verrons plus loin de quelle façon et dans quel but ce fut un coup de bluff de sa part).
2) Il a dû encore se tromper, il s’en est aperçu plus tard, mais puisque ces observations « étaient réservées à son seul usage » (...) il n’a pas jugé utile de rectifier.
3) Il ne disposait pas de nos outils modernes.

Si donc vous êtes juste un amateur très attentionné, vous voyez immédiatement qu’il y a anguille sous roche. Alors vous vous documentez. Longtemps si vous êtes un passionné. Une remarque très vite vous est venue à l’esprit : ces commentateurs semblent être partis de l’a priori que Fermat n’avait pu trouver une preuve, puis ont cherché tout ce qui pourrait les conforter dans cette idée, agrégeant leurs arguments en un seul bloc pour en faire une quasi-certitude – si ce n'est plus. Vous vous posez alors pas mal de questions sur l’honnêteté intellectuelle de certains savants. L’amateur que vous êtes se dit : « Tout ceci n’est qu’un écran de fumée », smoke and mirrors disent les Britanniques. Fermat dont la véritable profession est magistrat, a toujours considéré l’émulation comme le meilleur moteur dans ses recherches arithmétiques. Il aura tout essayé, pendant 19 ans il a mis au défi 7 de ses correspondants : prouver, ou infirmer, sa fausse conjecture sur les nombres de Fermat. Mais aucun n'a vraiment donné suite.

L’attitude que l’on a, face au ‘’Dernier théorème’’ (on dirait le titre d’un roman, ce qu’il est en effet) dépend donc de l’a priori choisi au départ. Si l’on choisit celui qui est favorable, on se dit que Fermat, pédagogue et facétieux à la fois, et honnête homme s'il en est, n’a pas dû en rester là. On est prêt alors à chercher assidûment tous les indices qu’il aurait pu nous laisser, ne négligeant aucune piste. Eric Temple Bell croyait en une preuve de Fermat et pensait que la civilisation probablement s'éteindrait avant que le Dernier théorème soit résolu. Il n'était pourtant pas totalement exclu que le théorème soit un jour prouvé par une méthode très complexe : ce fut le cas, et on découvrira d'autres preuves complexes. Vouloir à tout prix croire que Pierre de Fermat n’a pu trouver une preuve empirique, donc beaucoup plus simple que celle de Wiles en 1994, est une mal-mesure criante de la science des nombres et plus généralement de la méthode scientifique.

Mathématique et poésieModifier

Blaise Pascal, dans les Pensées, distingue l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse.

À un pur mathématicien qui n’est que mathématicien, les plus grandes évidences toujours échapperont. J’ai lu très peu de mathématiciens en qui, en dehors de leurs mathématiques, on pouvait accorder toute confiance. Seul peut raisonner clairement le mathématicien qui a gardé son esprit d’enfance, ce doit être un poète, qui jamais ne bride son imagination créatrice. Etienne Klein dit à propos d'Einstein : « C'est peut-être ce que j'admire le plus chez lui. Cette capacité qu'il avait à se poser des questions toutes simples, des questions d'enfant, et à leur trouver des réponses élaborées avec toute la rigueur d'un cerveau d'adulte. » Souvenons-nous aussi que Fermat a écrit de la poésie (en plusieurs langues). De même Giordano Bruno. Pensons aussi à l’inoubliable logicien qu’était Lewis Caroll, auteur de ‘’Alice au pays des merveilles’’ et de “De l'autre côté du miroir’’. Pensons à Jacques Roubaud, écrivain et mathématicien, membre de l'Oulipo, joueur de go et poète bien connu des mathématiciens, qui concilie opportunément « l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse ». Puis remarquons que Catherine Goldstein, chercheuse en mathématiques et historienne, qui a toujours dit contrairement à une ribambelle de sachants que l’existence d’une preuve du Théorème de Fermat par Fermat lui-même n’avait rien d’improbable, avait pour père un poète, Isidore Isou (1925-2007), qui fut aussi peintre, romancier, dramaturge, économiste… N'oublions pas non plus les écrits littéraires d'Alexandre Grothendieck (voir infra).

Selon le mathématicien Jacques Hadamard la rêverie, l’imagination, joue un grand rôle dans l’invention mathématique, c’est souvent en imaginant un chemin nouveau que les plus grands chercheurs ont «vu» une solution jusqu'alors inaccessible. Le mot “théorème” vient d’ailleurs du grec ancien θεώρημα (theốrêma en latin) : une proposition objet de contemplation, de méditation. Selon Bachelard l’imagination confère surtout le pouvoir de nous libérer des images premières fournies par la perception en les déformant, en les changeant : « Le vocable fondamental qui correspond à l’imagination, ce n’est pas image, c’est imaginaire. » (L’air et les songes. Paris, José Corti, p. 7).

La mathématique s’occupe des quantités et des formes, elle n’est pas le tout. La raison ne doit pas être gouvernée par la seule logique algébrique mais par la logique générale, abstraite. Les mathématiciens ont implicitement postulé qu’une vérité purement algébrique devait être une vérité générale. La confusion est si énorme, l'erreur si grossière, qu'on ne peut que s'émerveiller de l'unanimité avec laquelle elle fut acceptée. De même un axiome mathématique ne peut être un axiome d’une vérité générale. Les mathématiciens ont aussi cru bon d’appliquer le terme ‘’analyse’’ à un domaine de leur discipline, considérant ainsi que les mots tirent leur valeur de leur application. Essayez, si vous ne craignez de vous faire écharper, d’expliquer cela à un pur mathématicien qui ne raisonne qu’avec sa raison algébrique. L'assujettissement à un biais cognitif aussi pernicieux empêche tout imaginal de prendre sa place dans une réflexion englobante.

Extrait de la lettre de Fermat à Claude Clerselier à propos de la démonstration de Descartes sur la réfraction (21 mai 1662) : « […] Car si cette demonstration est dans les regles des demonstrations certaines et infaillibles, il n’est rien de plus vray, sinon que ceux qui n’en sont pas convaincus ne l’entendent point. La qualité essentielle d’une demonstration est de forcer à croire, de sorte que ceux qui ne sentent pas cette force, ne sentent pas la demonstration mesme, c’est à dire, qu’ils ne l’entendent pas. […] ».

Fermat sur le DivanModifier

Premier maillon, le coup de bluf : Nombres de la forme 22n + 1Modifier

« C’est ce que trouve qui m’apporte ce que je cherche. » Pierre Soulages[5]
« En plein cœur de toute difficulté se cache une possibilité. » Albert Einstein

 
Voyageur contemplant une mer de nuages (Der Wanderer über dem Nebelmeer), de Caspar David Friedrich

Nos mathématiciens s’accordent à dire que Fermat connaissait la méthode qui montre si les nombres de la forme 22n + 1 (nombres de Fermat) sont premiers ou non. En l'occurrence ils ne le sont pas. Une des explications que donne ses commentateurs les plus illusionnés sur ce que pensait Fermat à propos de sa fausse conjecture, est qu'il avait dû faire une erreur de calcul (...), mais qu’il n’avait pas vérifié son assertion (...), alors que la vérification se fait immédiatement (...). Pendant quasiment un tiers de sa vie, il a pressé tous ses correspondants, chacun à leur tour, de venir l'aider (...). Une période de 19 ans, assurément n'était pas suffisante pour permettre à ce génie des mathématiques de vérifier un calcul très simple qui ne prend que quelques minutes pour le cas F5  . Une jolie démonstration peut se lire sur le site blogdemaths. Michael Mahoney, un professeur d'histoire et d'histoire des sciences, estimait que Fermat se serait assuré de la validité de la conjecture seulement jusqu’à F4, et en aurait déduit qu'elle devait être toujours valide sans même vérifier le cas F5. On est émerveillé de voir avec quelle facilité des personnes instruites peuvent parfois écrire d'éminentes balourdises.

En utilisant les nombres de la forme 74k+1 Fermat inventa une méthode très ingénieuse pour prouver que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. En utilisant le même argument, avec les diviseurs de la forme 64k+1 cette fois, il pouvait montrer en 4 courtes divisons que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), donc qu'il n'est pas premier, donc que la conjecture est fausse. Fermat écrit sans cesse qu'il n'a pas la preuve de cette proposition. D'ailleurs il ne la joint pas à ses 48 Observations en rapport avec l’Arithmetica de 1621 que son fils transcrira sur l'Arithmetica de 1670 (« où toutes ces propositions, à mesure qu’on s’en est occupé, ont été trouvées rigoureusement exactes »). Cette décision de Samauel conforte notre thèse qui soutient qu'il l'a toujours sue fausse. Mentionnons aussi une lettre de Fermat à Mersenne (datée du 7 Avril 1643) dans laquelle on peut lire :
« Vous me demandez si le nombre 100 895 598 169 est premier ou non, et une méthode pour découvrir, dans l’espace d’un jour, s’il est premier ou composé. À cette question, je réponds que ce nombre est composé et se fait du produit de ces deux : 898 423 et 112 303, qui sont premiers. » Les méthodes que proposera plus tard Gauss (1777-1855) dans ses Disquitiones arithmeticae pour décomposer un nombre composé en ses facteurs premiers n'auraient pu résoudre le problème proposé par Mersenne.
Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein étudie particulièrement l’Observation XLV traitant du Théorème de Fermat sur les triangles rectangles : sa formulation, les lectures qu'en ont fait les différents commentateurs, etc.. Cette preuve montre l’impossibilité, comme en passant, du cas n=4. Au cours du temps les mathématiciens ont fait différentes lectures de ce théorème. C.G. y fait sa propre lecture qui a l’avantage de répondre « à toutes objections soulevées jusqu’à présent ». À la page 148, note 4, elle note que « des lettres importantes pour les recherches sur les nombres ne figurent pas dans les VARIA OPERA MATHEMATICA[6] (publiées par son fils en 1679), comme la lettre de Carcavi de 1659 » (où figure la fausse conjecture sur les nombres de Fermat). C'est la formulation d'un passage de cette lettre qui a fait dire à de nombreux commentateurs que Fermat avait dû se tromper sur cette conjecture (et donc... aussi, sur son fameux théorème) (...). Concernant cette fausse conjecture et ses diverses formulations, ce sont au total 5 lettres qui sont absentes des Varia opera (“Œuvres mathématiques diverses”), un recueil de mémoires et de correspondances de Fermat). Une seule de ces lettres en rapport direct y est mentionnée. Voici les lettres absentes :

1) à Frénicle de Bessy en août (?) 1640, où figurent ces mots, dont le contexte dans lequel Fermat les écrit n’a jamais été étudié (voir infra) par les commentateurs : « [...] mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles [...] » Fermat cherche à stimuler Frénicle.

2) à Mersenne, Noël 1640, : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle. » On peut penser que c'est moins de son ami le père Marin Mersenne que de Frenicle (avec lequel Fermat aurait souhaité ferrailler dans la plus grande courtoisie) que Fermat donne l'impression qu'il pourrait attendre une réponse (somme toute ardue pour l'époque). L'appât tendu par Fermat était alléchant, mais d'après ce que l'on sait Frénicle n'a pas répondu et Fermat n'aura pas à faire part des choses merveilleuses qu'il a déjà trouvées. Cette absence de réponse sera pour lui un bon prétexte pour garder par devers lui ces choses merveilleuses. Ses habiletés, son don de psychologue, on le voit dans toute sa correspondance, sont confondants.

3) à Pascal, le 29 août 1654 : « et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout. Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. » Un nouvel appât tendu, plus discret cette fois, au grand Blaise Pascal, dont Fermat sait certainement qu'il est déjà bien éloigné de ces considérations.

4) à Digby pour John Wallis, le 19 juin 1658 : « Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie. » (Lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405. Ces affirmations répétées à propos de sa prétendue certitude sur les nombres de la forme 22n + 1 feront le régal, dans leur ignorance, de ses détracteurs.

5) à Carcavi, en août 1659, dans une lettre bilan à destination du jeune Huygens, qui avait de tout autres centres d'intérêt... La formulation de cette conjecture est très inhabituelle chez Fermat :

« J’ay ensuite considéré certaines questions [qui, bien que] négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

– Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n'y a qu'un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
– Il n'y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu'elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre. » (Voir la lettre complète).

Cette formulation à l'attention de Huygens, qui a prêté à confusion et fait un peu polémique, deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les nombres de Fermat. Huygens était un jeune mathématicien de 30 ans, le seul qui aurait pu encore le suivre, mais il ne donna pas suite. La formulation de ce dernier ballon d'essai était pourtant fort excitante.

  • Dans ces lettres il demande du secours (!) à ses six principaux correspondants. L'un après l'autre il les teste, les stimule, les encourage à le suivre dans ses travaux (quelle motivation pour eux, venir à l'aide du grand Fermat !). Mais aucun ne répondra.
  • Cette fois Fermat a ‘’considéré” certaines ‘’questions”. Il n'emploie plus, comme il l'a toujours fait, l'expression «propositions négatives». La nouvelle formulation question(s) négative(s) n'est d'ailleurs pas très correcte, une question, formellement, est toujours une interrogation. La formulation de tout le paragraphe, et à la fin l'allusion aux nombres premiers “qui ne peuvent être divisés par aucun autre nombre”, lui permettent d'introduire le terme «négative». Fermat, philologue, l'utilise dans une lettre testament, une lettre bilan. Insinue-t-il alors qu'à cette question, la réponse est négative ? C'est notre thèse.
  • La formulation de Fermat : « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » est admirable. Cette question qu'il nous pose à nous lecteurs, il en majore encore l’intelligence en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse». Continuons à lui faire confiance en faisant preuve nous aussi de finesse, de créativité, et « considérons la question ». La formulation du paragraphe peut avoir un double sens : la recherche qu'il évoque c'est peut-être aussi, outre l'aspect mathématique, une recherche de subtilités dans ce qu'il écrit. Transformons légèrement sa question : « Cette formulation est d'une très subtile et très ingénieuse recherche [...] ». L'agencement singulier des mots dans l'entièreté du paragraphe est d'une extrême finesse.
  • Comme nous l'avons vu cette proposition est absente des observations transcrites par son fils sur l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite, et elle est aussi absente des Varia opera.
  • Les 3 premières ‘’questions‘’ ayant une reçu réponse positive, les détracteurs seront enclins et motivés à croire qu'il a cru avoir démontré que la dernière avait elle aussi une réponse positive. Pourtant il a bien écrit “négative”.
  • Notons que la lettre à Mersenne de juin (?) 1640 (voir infra) où Fermat utilise une méthode similaire, avec les diviseurs de la forme 74k+1, son fils l’omet elle aussi des Varia. Ce sont donc 6 lettres importantes en rapport avec la fausse conjecture que Samuel n'inclut pas dans les Varia.
  • Nous disons que ces 5 lettres, dès la première, sont un énorme coup de bluff. Non seulement Fermat veut nous montrer à quel point il aurait souhaité trouver des partenaires qui l'accompagnent dans ses recherches arithmétiques (y croyait-il vraiment ?), mais toutes ces lettres absentes des Varia, ainsi que la sixième qui y figure (voir infra) ont une autre utilité, elles préparent le terrain en donnant au lecteur naïf l’impression que, finalement, Fermat n'est pas un mathématicien sérieux. Dans cette lettre à Carcavi, alors qu’il a certainement de gros doutes quant à une réponse de Huygens, il laisse à la postérité un premier message mémorable qui se veut ambigu et fera effectivement beaucoup jaser. Il n'a cessé de jouer avec nous, le jeu a commencé en 1640 et ne cessera de s’intensifier. Le point culminant sera évidemment sa fameuse observation sur le théorème qu’il se garde bien de publier de son vivant. Un clin d’œil magnifique venu 30 ans plus tard de l’au-delà grâce à son fils Samuel pour d’éventuels lecteurs attentionnés.

D'un autre immense savant, une très jolie formulation : « Parfois, commentant sur quelques impressions souvent confuses, au sujet peut-être de tel et tel passage particulièrement obscur et déroutant, j’arrivais au fil de la plume à pénétrer plus avant dans le sens d’un texte qui avait semblé hermétique. […] Au fil des jours et des semaines, je me suis aperçu que le simple fait de recopier in extenso tel passage du texte que je scrutais, modifiait de façon surprenante ma relation à ce passage, dans le sens d’une ouverture à une compréhension de son sens véritable. » Alexandre GROTHENDIECK, Récoltes et semailles, p. 428.

Ainsi que : « Je crois même que l'apparition soudaine d’un tel sentiment [d’évidence] est plus ou moins commune à tout travail de découverte, aux moments où celui-ci soudain débouche sur une compréhension nouvelle, grande ou petite. J’en ai fait l’expérience encore et encore tout au long de ma vie de mathématicien. Et ce sont les choses les plus cruciales, les plus fondamentales, au moment où elles sont enfin saisies, qui sont celles qui frappent le plus par leur caractère d’évidence ; celles dont on se dit après coup qu’elles “crevaient les yeux” – au point qu’on se trouve stupéfait que soi-même ni personne n’y ait songé avant et depuis longtemps. Ce même étonnement, je l’ai rencontré à nouveau, et tout autant, dans le travail de méditation – ce travail à la découverte de soi-même qui est venu, peu à peu, à se confondre quasiment avec le travail sur mes rêves. [...] Les gens ont tendance à ne pas y faire attention, à ce sentiment d’évidence qui accompagne si souvent l’acte de création et l’apparition de ce qui est nouveau. Souvent même on refoule la connaissance de ce qui peut sembler, en termes des idées reçues, un étrange paradoxe. » Alexandre GROTHENDIECK, La Clef des songes, p 24.

Pour Fermat l'arithmétique est à la fois une passion, un art, un travail et un jeu. Il s'est fort plu par exemple à travailler sur les carrés magiques, allant jusqu'à réaliser un rectangle magique de plus de 400 cases. Il utilise beaucoup le latin (toujours, dans les 48 observations), dont la rigueur et la concision correspondent parfaitement aux exigences des mathématiques. Or, déroger aux règles précises de cette langue permet de jouer avec les mots. L'usage de « l’ellipse énigmatique ou du cryptage » (Ludivine Goupillaud) en est l'exemple le plus remarquable. Dans cette lettre bilan il opère un glissement du latin vers le français et pour la première et unique fois il utilise le procédé du cryptage dans un texte sibyllin écrit en français. Si donc on veut bien lire entre les lignes : « Pour comprendre les tenants et aboutissants de cette lettre bilan il ne vous suffira pas d’en faire la lecture objective, vous devrez aussi la soumettre à une analyse rigoureuse car elle est le fruit d’une très ingénieuse recherche. À votre tour vous devrez vous astreindre à une très subtile recherche. »

Ses détracteurs en déformant son propos douteront toujours de ses compétences et feront de cette lettre un argument majeur pour dire qu'il avait présenté son plus grand théorème comme vrai sans en avoir trouvé la preuve. La plupart auront aussi recours à des paralogismes ou des sophismes. Ses partisans se réjouiront en découvrant les subtilités de cette lettre bilan, qui si elles ne sont pas aussi déterminantes que le cryptage de sa plus célèbre observation (voir infra) sont elles aussi sublimes.

Quand Samuel publie les Varia opera après la mort de son père, comme il l'a fait pour les Observations, mais cette fois-ci 9 ans plus tard, il n'y insère qu'une lettre évoquant cette fausse conjecture, celle adressée à Monsieur de ****. On est quasiment assuré qu’il s’agit encore de Frénicle de Bessy.:

6) 18 octobre 1640 : « Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l’exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous avais envoyée et que vous m’avez confirmée, touchant les nombres 3, 5, 17, 257, 65537, etc. Car, bien que je réduise l’exclusion à la plupart des nombres et que j’aie même des raisons probables pour le reste, je n’ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition, de laquelle pourtant je ne doute non plus à cette heure que je le faisais auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m’obligerez de me la communiquer ; car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. » Cette affirmation n'est-elle pas là surtout pour aiguiser la curiosité de Frénicle, le stimuler ? Tant il est vrai que si ce dernier avait pu trouver le contre-exemple F5, Fermat aurait eu le partenaire idéal, leurs échanges futurs auraient pu faire l'objet de joutes et d'échanges qui auraient considérablement enrichi l'historiographie. S'il ne parle plus de ‘’démonstrations infaillibles‘’, il n'y va pas de main morte. Pourtant, deux mois seulement après sa première lettre à Frénicle, il semble vouloir un peu le rassurer sur la difficulté.

Samuel de Fermat a donc omis, en particulier dans les Varia, toutes les formulations sur cette conjecture (dont celle qui a soulevé la controverse) sauf celle avec une formulation claire, ne prêtant pas à confusion, et dans un document officiel, puisque c'est un ouvrage publié où figurent ces mots de son père : « [...] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas. » (Ndlr : il ne peut montrer que cette proposition est vraie puisqu'il la sait fausse : ce n'est même plus un mensonge).

Le choix de Samuel précisément pour cette lettre où son père dit être toujours honnête à n'en pas douter veut nous faire comprendre qu'il faudra prendre au sérieux l'observation de Fermat sur son grand théorème. Ses commentateurs ne se sont pas interrogés sur la raison de ce choix. On pardonnera facilement à une basse-cour trop excitée – la ponte fut en rapport – pour réfléchir sereinement. Les optimistes se diront que cet étroit labyrinthe où les balises ne cessent de se laisser découvrir en s'ajoutant les unes aux autres quand on avance dans un chemin hérissé de pièges pour nous guider vers le but de la randonnée, n'a pas été construit par hasard. Nous sommes certain quant à nous que Pierre de Fermat, qui institua Clément-Samuel comme seul héritier en 1660, l'a très précisément informé de ce qu'il aurait à faire pour parachever le grand œuvre.

On peut lire dans l'ouvrage Fermat par Tannery, p.199 qu'il avait utilisé l'argument des nombres de la forme 74k+1 :

7) Lettre à Mersenne, Juin (?) 1640. « Au reste vous ou moi avons équivoqué de quelques caractères au nombre que j’avais cru parfait, ce que vous connaîtrez aisément, puisque je vous baillais 137 438 953 471Note 1 pour son radical, lequel j’ai depuis pourtant trouvé, par l’Abbregé tiré de la 3ème proposition, être divisible par 223 ; ce que j’ai connu à la seconde division que j’ai faite, car l’exposant dudit radical étant 37, duquel le double est 74, j’ai commencé mes divisions par 149, plus grand de l’unité que le double de 74 ; puis, continuant par 223, plus grand que l’unité que le triple de 74, j’ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.
De ces Abbregez j’en vois déjà naître un grand nombre d’autres, Et mi par di vedere un gran lumeNote 2.
Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frénicle ne vient au secours et n’abbrege par ce moyen ma recherche des Abbregez. En tout cas je vous conjure de faire en sorte que Mr de Roberval joigne son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d’occupations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces choses. Je suis (etc.) »

Note 1. Nombre de Mersenne non premier M37.
Note 2. Traduction de l'occitan : « Et il me semble voir une grande lumière. »

Au vu de ces quelques lettres comme dans toute sa correspondance on remarque deux choses qu'on pourrait trouver contradictoires.

  • Fermat ne cesse de s'émerveiller, à juste titre, de ses plus belles trouvailles. Il vante tellement leur importance que certains de ses correspondants on fait de lui un vantard.
  • Il n'a jamais recherché la gloire. Le seul ouvrage qu'il ait publié l'a été sous le pseudonyme M.P.E.A.S., dont on a longtemps ignoré la signification (voir infra).

Le premier point s'explique aisément : comme on le voit dans ses écrits, il s'attache à faire progresser la science et souhaiterait que les savants collaborent entre eux.
Le deuxième point s'explique encore plus aisément :

  • C'est l'honnête homme par excellence, reconnu d'une grande modestie par ceux qui ont su l'apprécier. Descartes très jaloux, et quelques autres qui ne purent rivaliser étaient d'un avis opposé.
  • Eût-il recherché la gloire qu'elle aurait nui à sa tranquillité, l'époque est politiquement troublée et se mettre en avant aurait nui à sa carrière de magistrat.

Une fois admise l'analyse ci-dessous exposée sur la question d'une fausse conjecture, l'argument des contempteurs (« il s'est déjà trompé une fois ») perd tout son sens. Reste à étudier la problématique du théorème par une analyse poussée de son observation.

Dernier problèmeModifier

« L’énigme, c’est la puissance infinie du connu, c’est ce qui pousse le connu vers son infini, vers sa soif de connaissance, […] c’est un lieu de future adéquation. » [...] « L’imagination ouvre sur la création et sur l’éthique. » Cynthia Fleury, Métaphysique de l’imagination.

Au fil des siècles et de leurs découvertes, les mathématiciens sont devenus de plus en plus sûrs d'eux, parfois imbus de leur savoir. Cet orgueil du métier (que nous avons tous, et qui est humain), ainsi qu'une rationalité à œillères, prennent parfois le pas sur l'imagination créatrice, la brident. Pour reprendre les mots de Jacques Roubaud, « Les suiveurs des suiveurs [... ] ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. »

L’analyse rigoureuse de la deuxième OBSERVATIO de Fermat (question VIII de l’Arithmetica de 1670), l’étude de ses travaux, de sa correspondance, de sa vie, de sa psychologie surtout, est un sujet de méditations indéfectible. Son grand œuvre consiste essentiellement en :

– quarante-sept observations notées ‘’OBSERVATIO D.P.  F.‘’,

– une observation notée ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT‘’ (la fameuse note).

Ces 48 observations qui tiendraient en quelques pages ont été ajoutées par son fils Clément-Samuel à l'édition de l’Arithmetica de 1621, pour composer l’Arithmetica de 1670. Voilà un nouveau livre qui a énormément contribué à la connaissance, un livre dont le “prologue”, par Diophante, est bien plus long que le texte de Fermat. Au fil du temps cette observation du XVIIe siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés : le “théorème” y étant parfaitement énoncé ils s'en sont contenté. Jamais ils n'auraient imaginé que l'explication de Fermat était sous leurs yeux ! Il faut reconnaître que puisque qu'on savait Fermat très avare de démonstrations, il était bien difficile d'imaginer que pour son plus gros théorème, il nous aurait mâché le travail... La note en latin elle-même fut souvent mal retranscrite, on en connaît une dont le premier mot a été transformé en Cubem : « Que nous dormions ! » On n'a pas encore vu une traduction de Cubum autem in duos cubos par « mais je dors les deux coudes sur la table » mais un élève bien peu doué ou alors très blagueur aurait bien pu la faire...

Voici à nouveau la traduction exacte, Fermat la destine au chercheur sérieux et honnête. Nous verrons plus loin qu'une seconde interprétation de cette note énigmatique, évidente après le décodage effectué par Roland Franquart en 2008, est possible. L'évidence de cette seconde interprétation est encore accentuée quand on a sous les yeux une version de l'Arithmetica très particulière (voir infra) que nous découvrîmes en 2017 au terme de laborieuses recherches sur internet. Nous verrons aussi que les deux interprétations ont chacune leur utilité.
« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément ou dévoilé (ou mis à nu) l’explication (ou la démonstration) étonnante (ou admirable, ou merveilleuse). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »

En termes modernes :
« x, y, z étant des entiers positifs, xn + yn = zn est impossible pour toute valeur de n (nombre entier) supérieure à 2. »

  • La traduction que l'on rencontre usuellement comporte deux erreurs majeures dans la partie la plus cruciale du texte.

– Première erreur : « J'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse. » Fermat a écrit detexi et non inveni, du verbe invenio, trouver, découvrir.
– Deuxième erreur : Puisque Fermat a placé l'adverbe sane (“vraiment”, “assurément”) devant le verbe detexi (‘’j’ai mis à nu‘’, ‘’j'ai dévoilé‘’, ‘’j'ai mis à découvert‘’), c'est donc au verbe que l'adverbe se rapporte : « J'en ai réellement dévoilé une démonstration admirable. » Les mathématiciens qui ont mal traduit la note auraient voulu faire de cette conjecture une plaisanterie qu'ils ne s'y seraient pas pris autrement. Ce faisant ils ont encore accentué l'aspect mystérieux de l’observation, empêchant ainsi qu'on puisse sérieusement l'étudier. En traduisant par “j'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse” on a fait de Fermat, définitivement, un vantard, un amateur qui prétend une chose vraie sans pouvoir la prouver.

demonstrationem mirabilem sane detexiModifier

 
Fermat et sa muse. Toulouse, Capitole.

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. »
Emmanuel Bury, Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Ed. DROZ. Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E. N. S. Ulm [compte-rendu].

La langue latine est rigoureuse et concise, mais elle n'est pas figée comme la langue française, déroger aux règles précises autorise « l’ellipse énigmatique ou le cryptage » (Ludivine Goupillaud). Par exemple on inversait parfois l'ordre de certains mots, ou bien contrairement à la norme, on attribuait à un mot particulier la première place dans la phrase (ou inversement la dernière). C'était une pratique courante chez les Latins qui pouvaient ainsi souligner l'importance d'un mot, marquer une opposition, sous-entendre quelque chose, etc.

Examinons de près cette phrase, [Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi, formulée d’une façon très singulière.
1. Rappelons que detexi peut aussi se traduire par ‘’j’ai mis à découvert’’, qu’on peut facilement confondre avec ‘’j’ai découvert’’ ou ‘’j’ai trouvé’’ (inveni en latin).
2. L’ordre des mots.
– ‘’[Cuius rei] mirabilem demonstrationem sane detexi’’, aurait été une phrase correcte :
« [Ce dont] j’ai réellement mis à nu l'explication admirable. »
‘’[Cuius rei] sane mirabilem demonstrationem detexi’’ aurait aussi été phrase correcte :
« [Ce dont] j'ai mis à nu l'explication réellement admirable. »
Fermat n’utilise aucune de ces formulations, il place l'adjectif (accusatif) “admirable” entre “démonstration” et “réellement” (sane), et écrit :

  • «[Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi. »

Si sane et detexi sont dans le bon ordre (adverbe devant le verbe), demonstrationem mirabilem ne sont pas dans l’ordre habituel, puisque l'adjectif se place normalement devant le nom. Comme dans la fameuse lettre à Carcavi, Fermat formule d’une façon originale. Ainsi, sane (réellement), peut s'adresser non seulement à detexi (j'ai mis à nu) mais aussi à mirabilem. Dans une ‘’Observatio‘’ déjà surprenante où il utilise le prétexte du manque de place, c'est encoure une curiosité. Nous en mentionnerons bien d'autres. La traduction littérale pour le lecteur attentif sera donc :

  • « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante. »

Puis, en tenant compte de cette première version, et en considérant le décryptage de Roland Franquart :

  • « J'en ai vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante. » Les 2 versions sont valides.

« La concision, en plus de ses vertus stylistiques, joue un rôle de stimulant, en particulier dans les échanges épistolaires. En taisant délibérément ses conclusions, en ne révélant que les linéaments de sa pensée, Fermat crée une émulation par l’ellipse […]. » Ludivine Goupillaud, Tous vos gens à latin.

« S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon Ludivine Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. [...] Le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) […]. »
Emmanuel Bury. Tous vos gens à latin (citations autorisées par les auteurs et l'éditeur).

Nous prétendons que Fermat savait que sa phrase, qu'on traduirait de la façon qui nous arrangerait le plus, fourvoierait les “suiveurs des suiveurs” qui ne verraient en lui qu’un fanfaron ou un étourdi (au choix). C'est le même genre de subterfuge qu'il utilisa en évoquant la fameuse fausse conjecture. On est artiste ou on ne ne l'est pas.

« Les philosophes des sciences portent une attention particulière au langage : ils développent l’idée que l’expérience de Sens commun, exprimée dans le langage courant, doit servir de base au discours scientifique théorique : en effet, la valeur de vérité des énoncés du langage courant est supérieure (dans sa reconnaissance) à celle des énoncés du langage scientifique. » (Marie-Anne PAVEAU).

Les astuces de Fermat sont remarquables. Merci à Roland Franquart qui découvrit les premiers indices, les plus importants, et qui ayant appris que cette énigme me passionnait m’en informa en 2009. Je reprends ici les plus symboliques (notés RF), parfois en les modifiant quelque peu (j'espère ne pas trop trahir sa pensée), et j'y ajoute ceux trouvés par moi-même (CM) et d'autres auteurs.

Le ‘’manque de place‘’ invoqué par FermatModifier

(CM, Jean Rousseau, Laurent Hua). Samuel qui dans notre thèse est “dans le secret des dieux” – i.e. Fermat a transmis à son fils toutes les consignes nécessaires –, nous dit que son père notait ses observations dans les marges de son exemplaire d'une Arithmetica... qui a disparu. Samuel ne l'a pas conservé après l'avoir récupéré chez l'imprimeur alors que toutes les observations étaient censées s'y trouver. Où est donc passée cette Arithmetica ? Voici ce qu'écrit Samuel de Fermat dans la préface de l’édition de 1670 : « Illas [observationes] Parens meus quasi aliud agens et ad altiora festinans margini variis in locis apposuit, præsetim ad quatuor vltimos libros. » (« Ces remarques, mon père les nota dans la marge à différents endroits, surtout dans les quatre derniers livres, comme s’il faisait autre chose et qu’il avait hâte d’atteindre des buts plus élevés. »). La précision “surtout dans les quatre derniers livres” semble parfaitement justifiée puisque ce sont dans ces Livres III à VI, que figurent la majeure partie des 48 observations (45 sur 48). Or c'est justement parmi elles qu'on trouve les plus longues[7]: les 6, 7, 8, 9, 11 et 15èmes, qui n’auraient pu tenir dans une marge. Dans les Livres I et II au contraire, les trois premières observations sont très courtes et y auraient tout à fait trouvé leur place. En outre le style est aussi parfait que dans ses lettres, sont-ce là les manières d'écrire un pense-bête dans une marge ?

Samuel doit évidemment savoir que si les 48 observations avaient été écrites dans les marges, l'ouvrage aurait acquis une valeur historique (et marchande) considérable. Cette disparition n'a pourtant éveillé la curiosité d'aucun commentateur. Toutes ces observations ont-elles réellement été écrites sur l’Arithmetica ? Ou ailleurs ? Nous pensons qu'à la mort de Fermat ne figuraient dans les marges que des annotations personnelles, des amorces de preuves peut-être et éventuellement des repères à l'attention de son fils, et non les 48 observations complètes telles que nous les connaissons. Catherine Goldstein, sans s’attarder sur le sujet, emploie le conditionnel et écrit : « […) observations qu’il aurait écrites dans la marge. » Si Fermat a donné, sur un livret ou sur papier libre, des instructions précises à son fils dans la manière de consigner dans trois versions différentes de l'Arithmetica cette note si importante à ses yeux, alors ces consignes justifient parfaitement la disparition de l'ouvrage, que Samuel, très prudent, aurait été contraint de détruire pour le plan de son père se réalise complètement. Nous ne voyons pas d'autre explication à la disparition de l'ouvrage. Il nous semble évident aussi que Fermat avait demandé à Samuel de ne faire connaître qu'après sa mort ses 48 observations. Pierre et Samuel, voila un bien noble binôme qui a bien mérité sa particule : Pierre, homme de cœur, intègre, ambitieux et audacieux, incisif parfois, ‘’paresseux’’ dit-il de lui, mais plutôt extrêmement occupé. Samuel, humaniste lui aussi, passeur dévoué, il sait d’où il vient, il sait où il va, un vecteur bien orienté en somme, digne héritier de son père.

On n'a retrouvé dans la bibliothèque de Fermat que quelques très rares ouvrages dont une Arithmetica de Diophante. On pouvait s'attendre à ce que ce ne soit pas un exemplaire de l’Arithemica semblable à celui qui avait inspiré Fermat et ne comportant pas les 48 observations, ç'aurait été un indice trop flagrant que Fermat père et fils auraient laissé à la postérité. Ne voulant rien négliger j'ai fait appel aux bons offices de Madame Marielle Mouranche, Conservateur des bibliothèques, responsable du livre ancien à l'Université de Toulouse, qui m'a confirmé que l’Arithmetica retrouvée n'est pas celle de 1621, mais celle éditée à Bâle en 1575 [3] et commentée par cinq personnes, dont Fermat. Cette Arithmetica plus ancienne a-t-elle pu aider notre homme à mieux déchiffrer l'édition de 1621, fautive ?

Le style des ObservationsModifier

  • (CM, Jean Rousseau, Laurent Hua [4], Albert Violant I Holz). Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (leur élégance aussi), montre clairement qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur. En outre, quel besoin aurait-il eu de s'expliquer à lui-même qu'il a réellement dévoilé une explication admirable ? Quel besoin aussi aurait-il eu de répéter sans cesse, uniquement à son intention, qu'il manquait de place – le plus souvent – ou de temps ?
  • Pourtant l’historien Jean Itard écrivait : « réservées à son seul usage. » De même après la découverte de Wiles en 1994, Winfried Scharlau veut nous le faire croire. Un autre argument est avancé : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes ». Il est saisissant de voir comment les mathématiciens qui n'ont pu suivre ses traces ont pu s'ingénier à utiliser des mauvais arguments pour rabaisser encore plus un génie qui les a autant défiés. Certaines légendes urbaines ont la vie dure, surtout quand « des considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique. » (Christophe Breuil).
  • (Paul Tannery). Seul le titre de cette note énigmatique est écrit en toutes lettres : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT, les 47 autres étant abrégés en OBSERVATIO D.P. F. . Fermat nous suggère-t-il alors d’observer de très près, dans tous ses détails, son plus grand, son dernier défi ?

Alexandre Grothendieck : « Et il y a aussi la vérité d'une situation particulière, unique. Ainsi, dans telle situation, nous percevons de façon sûre qu'un interlocuteur est de mauvaise foi, qu'il est dans un état de mensonge (alors qu'il peut fort bien être persuadé lui-même qu'il est de la meilleure foi du monde…) ; ou au contraire, nous percevons que ce qu'il dit est vrai, que c'est dit dans des dispositions de vérité (alors même que le contexte pourrait peut-être avoir toutes les apparences du contraire). La même chose peut avoir lieu en lisant un texte écrit, par exemple tel passage d'un livre. Ou nous pouvons avoir la perception d'un état de vérité ou d'un état de mensonge en nous-mêmes. De telles perceptions, qui ne sont perçues au champ conscient que dans des dispositions de silence intérieur, d'écoute, nous apportent une connaissance véritable, elles nous disent la v é r i t é d'une chose, d'une situation. »[8].

Il est bien difficile de croire que les 3 différences d'écriture du même mot crucial detexi, sur la même observation et dans 3 versions différentes de l'édition de 1670, si elles avaient été des accidents, auraient échappé à son fils Samuel, qui œuvra avec tant d'assiduité à faire connaître l'œuvre de son père. De même pour le point exagérément surchargé qui suit le mot en question dans les 3 versions. Doit-on aussi prendre pour d'incroyables coïncidences toutes les curiosités que l'on découvre rien que dans cette observation (on en compte 9) quand on l'analyse en profondeur ?

Je suis toujours aussi sidéré, et amusé aussi, de voir comment au fil des décennies, puis des siècles, certains grands mathématiciens, têtes pleines d'une logique algébrique mais faisant fi de toute logique abstraite, générale, ont réussi à tisser eux-mêmes les mailles du filet qui les a enfermés, coupés du simple bon sens. Quand on découvert et étudié les nombreux indices, évidents aux yeux de l'humble observateur attentif et sans préjugé, qu'a laissé Fermat, la meilleure conclusion qu'on puisse en donner est : c'est tout simplement sublime. Il est difficile de juger ces intellectuels, dont les pensées et propos relèvent à la fois d'un profond sentiment d'infériorité vis à vis de Fermat et d'une méconnaissance totale de cet homme, et de l'âme humaine en général, on ne peut que s'ébahir de leur aveuglement. Voyant comment une si longue, si tenace, légende urbaine a pu s'élaborer, on en tire un enseignement profond : l'étude de la pensée de groupe, l'observation des rivalités entre grands hommes, nous enrichissent dans notre connaissance de la psychologie humaine : comment un imaginaire collectif peut totalement se pervertir.

Le triangle arithmétiqueModifier

« Les intellectuels résolvent les problèmes, les génies les évitent. » Albert Einstein.

Pierre de Fermat était tout sauf un suiveur, il n’est pas étonnant qu'il fût un aussi grand passionné. Loin de Paris et isolé, il a eu surtout des contacts épistolaires avec d'autres mathématiciens et il était fondé, dans sa solitude intellectuelle, à apprécier les recherches les plus ardues. Ses correspondants rechignèrent de plus en plus à répondre à ses lettres, et finalement tous ont renoncé. Il avait eu connaissance du triangle arithmétique, au moins par les travaux, qu’il connaissait, de François Viète mort en 1603. D'ailleurs ce triangle était déjà connu au onzième siècle du mathématicien persan Al-Karaji et de bien d’autres plus tard, jusqu’à Tartaglia et Marin Mersenne. Fermat s’est forcément intéressé aux propriétés étonnantes de ce triangle. Rappelons qu’il a travaillé sur les carrés magiques et qu'il est allé jusqu'à réaliser un rectangle magique de plus de 400 cases. Il semble logique qu’il n’ait jamais souhaité mentionner ce triangle à personne (jusqu’à ce que Pascal écrive sur le sujet), s’il s’en est servi pour trouver une preuve à son théorème général, ce que le décodage effectué par Roland Franquart en 2009 semble confirmer. Pascal écrit son Traité sur le Triangle arithmétique en 1654. Ayant eu connaissance de cette publication Fermat lui écrit le 29 Août 1654 :

    « Nos coups fourrés continuent toujours et je suis aussi bien que vous dans l'admiration que nos pensées s'ajustent si exactement qu'il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique : et si mon calcul ne me trompe, votre douzième conséquence courrait la poste de Paris à Toloze, pendant que ma proposition des nombres figurés, qui en effet est la même allait de Toloze à Paris. Je n’ai garde de faillir tandis que je rencontrerai de cette sorte, et je suis persuadé que le vrai moyen pour s’empêcher de faillir est celui de concourir avec vous. Mais si j’en disais davantage, la chose tiendrait du compliment, et nous avons banni cet ennemi des conversations douces et aisées. Ce serait maintenant à mon tour à vous débiter quelqu’une de mes inventions numériques ; mais la fin du Parlement augmente mes occupations, et j’ose espérer de votre bonté que vous m'accorderez un répit juste et quasi nécessaire.

Cependant je répondrai à votre question des trois joueurs qui jouent en deux parties. Lorsque le premier en a une, et que les autres n'en ont pas une, votre première solution est la vraie, et la division de l'argent se doit faire en 17, 5 et 5 ; de quoi la raison est manifeste et se prend toujours du même principe, les combinaisons faisant voir d'abord que le premier a pour lui 17 hazards égaux lorsque chacun des deux autres n'en a que 5.

Au reste, il n'est rien à l'avenir que je ne vous communique avec toute franchise.  [...] »

Les commentateurs des Œuvres de Pascal ont écrit : « Ce n'est pas, on le voit, par défi, suivant la coutume du temps, que Fermat propose ces problèmes à Pascal ; c'est parce qu'il cherche à se faire de Pascal un collaborateur. »

Autre lettre à Pascal du 25 Juillet 1660 :

« Des que j'ay su que nous sommes plus proches l'un de l'autre que nous n'étions auparavant, je n'ai pu résister à un dessein d'amitié dont j'ai prié Monsieur de Carcavy d'être le médiateur: en un mot je prétends vous embrasser, et converser quelques jours avec vous ; mais parce que ma santé n'est guère plus forte que la vôtre, j'ose espérer qu'en cette considération vous me ferez la grâce de la moitié du chemin, et que vous m'obligerez de me marquer un lieu entre Clermont et Toulouse, où je ne manquerai pas de me rendre vers la fin de Septembre ou le commencement d'Octobre. Si vous ne prenez pas ce parti, vous courez hasard de me voir chez vous, et d'y avoir deux malades en même. J'attends de vos nouvelles avec impatience, et suis de tout mon cœur, tout à vous... »

Trois versions différentes de l'Arithmetica : premiers codagesModifier

 
L’Arithmetica annotée et publiée par Samuel de Fermat en 1670.

Il existe au moins trois versions différentes de lʼArithmetica de 1670, où la célèbre note énonçant le théorème se présente sous trois aspects différents. C’est grâce à Roland Franquart (je vous recommande vivement la visite de son site, où il explique en détail toutes ses découvertes) qui en 2009 me fit part de ses travaux à partir de l’Observation présente sur l’Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon, que ma passion pour cette énigme, dont le traitement qu’on en avait fait m'avait très choqué, en fut encore accrue. En juin 2017, j'ai passé de longues heures à chercher une bizarrerie qui aurait pu figurer dans une autre version de l'édition de 1670, de préférence sur le mot (detexi) où Roland Franquart avait déjà trouvé (entre autres choses) la bizarrerie du t surchargé (image en haut de page et version B ci-dessous). Je me disais que si Fermat avait voulu mettre toutes les chances de son côté pour que seuls ses suiveurs trouvent son explication, il n'aurait rien risqué à utiliser ce stratagème une seconde fois. Mais, honnêtement, je ne pensais pas trouver une troisième version, différente, et encore moins une deuxième bizarrerie sur le même mot, c'aurait été trop beau ! Si je me suis à ce point obstiné c'est qu'au fond de moi je voulais trouver un « argument massue ». Et finalement je la trouvai, cette deuxième grosse bizarrerie, sur l'exemplaire de l'Université de Rome (detex). Je n'en crus pas mes yeux, cette découverte était si inattendue qu'elle me laissa sidéré, le coup de massue, c'est moi qui l'aui reçu. Pendant longtemps je restai dans cet état, ne sachant quoi en penser. Personnellement trop impliqué, il m'était difficile de réfléchir calmement à cette nouvelle situation. Cette bizarrerie supplémentaire, ça “paraissait trop‘’, c'était “trop gros‘’, même venant du très facétieux Pierre de Fermat. Mais je n'avais pas assez considéré qu'il travaillait à une époque sans internet. Je mis presque deux ans à trouver la solution, pourtant d'une clarté aveuglante. Une fois sur le site, monter le pointeur tout en haut, une bande horizontale noire apparaît, y taper le N° de page 141, puis agrandir l’image (signe + en bas à droite).


Version A. Université de Rome.

 
Arithmetica de l'Université de Rome



 
→ Le i est remplacé par le graphème avec son point en chef




(CM) : On observe que l’élément précédant le point final, étrangement n’est ni un i , ni un s, mais ce caractère étrange, , qui a priori est incongru dans ce texte latin. La lettre “s” diacritée d’un point suscrit (ou “point en chef” ) est un graphème du latin étendu, autrefois utilisé dans l’alphabet irlandais. Une diacritique est souvent utilisée pour distinguer un mot d'un autre mot, homonyme. Pourquoi Fermat, philologue, a-t-il transformé le mot detexi (“j’ai mis au jour”) en detexṡ ? Ce mot étant inconnu de la langue latine, examinons le dernier caractère, . Il est formé d'un “i ” deux fois bosselé (tordu), inclus dans le “”. Les deux caractères “i” et “s” sont confondus, le graphème peut alors se décomposer en i + s, ce qui nous donne → is. Le mot inconnu detexṡ devient le mot detexis, du verbe detexo cette fois, et non plus detego. Or detexo signifie “tisser complètement”, et conjugué au présent de l’indicatif, à la 2ème personne du singulier, tu tisses complètement (ou « tu représentes complètement », « tu achèves un tissu »), ce qui rejoint et confirme complètement le décryptage alphanumérique effectué par Roland Franquart en 2009 d'après l'édition présente à Lyon (version B).

  • Voir detexis sur Dicolatin en bas de page. Du verbe detexo : tu tisses complètement, tu tresses, tu arranges en tresses.

Fermat a fait preuve ici de beaucoup d'ingéniosité. Avait-il noté que “detexis” est aussi l'anagramme d existe ? (Merci à Jean-Paul Blanc qui me signala cette curiosité). Connaissant la sagacité du personnage j'en suis certain.

Pourtant la trouvaille qui m'a le plus réjoui n'est pas la découverte de cette très curieuse version de l’Arithmetica, car bien que j'ai passé énormément de temps à la rechercher, j'ai surtout eu beaucoup de chance (et d'entêtement), elle aurait pu ne pas être présente sur internet, et finalement le décodage de cette anomalie n'en fut pas tropdifficile, surtout avec les données dont je disposais déjà grâce à Roland Franquart. Non, là où j'ai été le plus heureux, c'est quand j'ai fait cette découverte relative aux “nombres de Fermat”. Quand on suit les traces de Fermat on devient de plus en plus audacieux pour s'aventurer de l'autre côté du miroir, là où personne n'est encore allé. Il en a fallu du temps, de la disponibilité intellectuelle, des méditations, ainsi qu'une certaine aptitude à la sérendipité pour que, après de multiples relectures de la lettre à Carcavi et la connaissant par cœur, je la relise une dernière fois comme en pensant à autre chose, et soudainement la ruse de Fermat m'apparut dans toute sa splendeur. Il m'avait d'abord fallu oser imaginer que son astuce pouvait être d'une habileté diabolique, puis peser chaque mot de la proposition adressée à Carcavi. Il y a quelque chose d'infiniment réjouissant en ce que nous les humbles avons souvent une vie bien plus apaisée, donc une vision des choses plus claire et plus fine que les personnalités très en vue soumises à toutes sortes de contraintes professionnelles.

  • Lorsque je fis part à Catherine G de ma découverte du mot «detex» (rappelons que le mot, ici comme sur les autres versions, est suivi d'un point surchargé), elle me fit cette réponse laconique : « L'arithmetica est fautive. » J'ai immédiatement compris pourquoi elle bottait en touche, même si pendant quelques jours (ou semaines ?) j'ai trouvé que sa réponse était tout de même extraordinaire. Cer si de nombreux passages du texte de Diophante de 1621 sont en effet totalement inexploitables au point que Huygens avait renoncé à en poursuivre la lecture, et que Fermat lui-même n'avait pu entièrement l'exploiter, les 48 Oservations de Fermat que son fils y a ajoutées aux endroits adéquats en 1670, sont quant à elles écrites dans un style aussi parfait que dans ses correspondances et ne comportent aucune erreur, à moins de considérer comme une “erreur” le fait par exemple qu'il existe, au moins, 3 éditions différentes de l’Arithmetica – nous n'en avons pas trouvé davantage sur internet –, et comme d'extraordinaires coïncidences les multiples arguments (on en comptera pas moins de 26). J'évitai de demander à Catherine pourquoi elle m'avait fait cette blague formidable pour ne pas la mettre dans l'embarras, ce qui d'ailleurs aurait nui à la qualité des quelques échanges que nous avions par courriels. Je sais d'une part qu'elle ne souhaite pas s'impliquer dans une affaire depuis longtemps trop polémique. Et surtout, je suis certain qu'elle non plus n'a pu venir à bout de l'explication très sibylline que donne Fermat – qui n'a pas grand-chose à voir avec nos mathématiques modernes –, et qu'elle n'a pu “boucher les trous”. Après tout cela convient fort bien à cette étude, en ménageant le suspense... et en reportant aux calendes grecques une étude mathématique attentionnée. Il semble donc que logiquement tout s'enchaîne au mieux pour que cette épopée soit loin de s'achever, tout comme Pierre de Fermat. Pouvait-on mieux remercier ce génie qu'en lui consacrant cette étude ? Merci, Monsieur de Fermat !

Version B. Bibliothèque de Lyon. Revenons à ce ‘’detexi‘’ qui figure aussi sur la toute première image de cet article.











(Roland Franqquart) : La surcharge sur le t suggère que cette lettre pourrait avoir une grosse importance pour la suite. En outre je pense comme R. Franquart que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l'observation de Fermat, non caperet (n'eût pas contenu ce t dans le triangle de Pascal – explication sur son site). La surcharge a aussi le gros avantage de forcer l’attention sur le mot detexi : “j’ai mis à nu” (ou “j’ai dévoilé”). Le point qui suit le mot est grossi lui aussi sur les 3 versions, comme pour rappeler l'importance du mot. En outre, le t initie texi, signifiant "j'ai caché". Le décryptage de Roland Franquart révèle une deuxième lecture : « [… ] ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication étonnante. Le manque (la petitesse) de la bordure (du bord, de la limite, du cadre, de la marge) ne la contiendrait pas. » Ces codages et décodages peuvent paraître au béotien tirés par les cheveux, mais souvenons-nous que Fermat adore jouer avec ses correspondants et avec les mots (ne parlons pas des nombres ...). À l'instar d'autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il est un fervent lecteur), il est expérimenté en matière de cryptage et s'est s'appliqué à laisser un maximum d'indices en les disséminant un peu partout (cf. infra). Dans ces deux premières versions, il «trafique» donc deux lettres dans le même mot. A-t-il envisagé qu'après sa mort, un mathématicien en possession d'une édition “detex. en soit désorienté et écrive à un collègue pour lui faire part de cette curiosité ? Si ce collègue, souhaitant vérifier de visu l’information avait alors, par chance, consulté une édition de t exi., ces deux personnes se seraient interrogées et mises à la tâche confiantes et assidues. Une telle rencontre semble ne s'est sûrement jamais produite. Quant à nous nous avons maintenant le choix entre deux nouvelles interprétations, que nous pouvons d'ailleurs utiliser ensemble :
« ce dont tu tisses complètement la démonstration admirable (car) j'en ai réellement dévoilé, entièrement tissé, l’explication tout à fait étonnante. »

  • La grossière surcharge sur le t figure sur plusieurs des exemplaires de l'Arithmetica que nous avons trouvés et ces surcharges y sont identiques. Il a donc fallu que l'imprimeur réalise spécialement un nouveau caractère mobile d'imprimerie. Notons par ailleurs que si ce “t” avait souffert dans un premier temps d'un manque d'encre et n'avait pas été parfaitement visible, on l'aurait rendu clairement lisible sans le surcharger aussi grossièrement.


Version C. Bibliothèque de Zurich.

 
Arithmetica de la Bibliothèque de Zurich : la note est correctement écrite









Sur cette version le mot est correctement écrit, seul le point final est surchargé. La preuve « assurément dévoilée » par Pierre de Fermat, si elle est très courte, est d’une difficulté formidable. Le décryptage effectué par R.F. montre que Fermat s’est élégamment servi des propriétés du triangle arithmétique “de Pascal”. Les codages effectués dans le texte latin, avant d’être cassés, recouvrent, cachent, dissimulent (verbe latin tego, is, ere, texi, tectum), un début d'explication.

Codages communs aux trois versionsModifier

CVbum autem in duos cubos, autem quadratoquadratum in duos quadratoquadratos
& generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eiusdem
nominis fas est diuidere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex
Hanc marginis exiguitas non caperet.

J'ai regroupé ci-dessus les 2 anomalies sur le mot detexi, qui figurent dans 2 éditions différentes de l'Arithmetica de 1670, et reporté le point surchargé qui suit “detexi”.

(R F) : Dans le premier mot de l’Observation, CVbum (cubum, nombre cubique), l'exposant, comme c'est le cas de tout premier mot de paragraphe de la page 61, aurait dû être écrit entièrement en lettres capitales. En répétant cette transgression dans les 47 autres observations, Fermat évite de rendre l'anomalie trop flagrante. Or la lettre latine u, quant elle est écrite en capitale d'imprimerie, devient V. L'orthographe correcte est donc CVBVM, la minuscule u est une intruse qui permet qu'il y ait 21 “u”, et établit ainsi une «coïncidence» (u, 21e lettre de l’alphabet) et surtout, nous suggère que cette lettreu”, (tout comme la lettre “t” de la version B), pourrait elle aussi avoir une grosse importance pour la suite.

Dans le texte de Fermat il y a 21 u ( 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (or, t est la 20e). Il manque donc un t dans le texte. Roland Franquart nous montre que ce manque est à mettre en relation avec les deux derniers mots qui terminent la note :

  • « non capere t » = ne pas contenir t (dans le triangle arithmétique) ;
  • cette lettre t, qui est précisément celle qu'il a surchargée dans le mot detexi ;
  • cette lettre t, dont l'importance est encore accrue par le point qui suit le mot detexi dans les trois versions de l'Arithmetica. Allez visiter le site franquart.fr, tout y est remarquablement expliqué.

En outre on trouve dans la note 2 couples de lettres accolées ut dans l'ordre, et plus loin 3 couples tu. Comme le demande Fermat (“tu tisses complètement”), Roland Franquart a effectué un tissage le plus simple qu'on puisse trouver avec les lettres ‘’u’’ et ‘’t ‘’ dans le triangle “de Pascal”. Remarquons que ce Triangle arithmétique révèle dans l’ordre les coefficients du binôme (x+y)n. Or :

Les seuls termes « indépendants » de ce binôme sont justement les puissances xn et yn.

Les codages en latin de Pierre de Fermat paraissent très complexes, mais il n’avait guère le choix s'il voulait coder son explication en... 3 lignes 1/2. Il a aussi eu de la chance, comme il convient aux audacieux : le couple ‘’tu’’ est aussi le pronom personnel ‘’tu’’ qu'on place en français devant “tisses” et qui augmente l'importance du “tu” déjà présent dans la traduction exacte du latin vers le français de “detexis” : « Tu tisses complètement. » Ce cryptage qu’il réussit a mettre en place, quand on l'a lu, relu, relu encore et bien assimilé, on le trouve d'une logique imparable – je n’ose pas dire d’une simplicité formidable, j'évoque plutôt une grande beauté. Il est si idéalement construit qu’on pourrait penser que le canevas sur lequel il a tissé son énigme était déjà présent en grande partie. Mais non bien sûr : Fermat remarque qu'en formulant son observation d'une certaine façon il peut utiliser 21 u (21e lettre de l’alphabet), et 19 t (20e lettre : il manque donc un t, et c'est exactement ce qui lui convient. Il a su profiter des circonstances, les exploiter, révélant ainsi les tout premiers indices. Depuis 2009 et jusqu’à il y a peu de temps, je me posais souvent cette question : a-t-il surtout bénéficié d’une chance inouïe ou était-il doté d’une intelligence vraiment hors normes ? Aujourd’hui en 2021 la deuxième option a toute ma faveur – la chance, il l'a saisie au vol. On ne peut que s'émerveiller devant l'harmonie d'un édifice aussi stable où tous les éléments s'enchâssent si parfaitement les uns dans les autres, c’est du grand art. Citons Georges Soubeille dans Pierre de Fermat, un génie européen, « [il] fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. ». On est époustouflé devant son exploit magistral, mais peut-être sommes-nous nous aussi un peu trop timoré, d'ailleurs nous ignorons tout ce dont il était capable. La stratégie qu’il met en place pour livrer son ultime challenge non seulement est un défi à l’imagination mais confine à une énigme policière que Sherlock Holmes (ou plutôt Sir Arthur Conan Doyle, l'auteur de ses aventures) aurait fort appréciée. Mener l'enquête jusqu'à son terme c'est aussi vivre une expérience spirituelle. C'est aussi une aventure philosophique à laquelle en enquêtant on trouve tout le charme d'une poésie.

Le « Livre entier » qui devait repousser d’une façon étonnante, d'après Fermat, les bornes de la « Science des nombres », nous manque-t-il vraiment ? Les 48 observations n'ont-elles pas aidé les mathématiciens à repousser les bornes de la science des nombres « au-delà des limites anciennement connues » ? Jamais on n’aura vu un livre entier consacré à la science des nombres dont le prologue par Diophante, long de 340 pages, est plus long que le livre lui-même : une quinzaine de pages par Fermat.

Edgar Allan Poe (1809-1849), poète et fameux nouvelliste précurseur du roman à énigmes dit ‘’policier’’, qui fut traduit par Charles Baudelaire, s’il avait eu connaissance en son temps des découvertes faites par Roland Franquart, se serait réjoui d’avoir à mener une enquête cette fois bien réelle. Poe et Fermat ont d'ailleurs bien des points communs, si Poe en son temps était beaucoup plus reconnu en France que chez lui aux Etats-Unis, Fermat était davantage reconnu outre-Manche. Tous deux sont des logiciens lucides, visionnaires, hommes de rupture. Poe et Fermat construisent l'énigme en fonction de l’effet produit, leurs énigmes sont des « sujets » à analyser. Ces créateurs sont un peu comme des « psychanalystes manipulateurs », mais alors qu'en abordant une nouvelle de Poe on sait tout de suite qu'on suivra l'enquête avec lui, Fermat innove, il ne nous avertit pas toujours que ce sera à nous de mener l'enquête : dans un premier temps en osant croire à une trame cachée, pour ensuite la mettre à jour. Une telle mise en abyme est loin d'être tout de suite perçue. Quand Poe manipule ouvertement les lacunes sociales et les symboles pour parvenir à son objectif, Fermat avec un art consommé, insensiblement manipule les lecteurs prévenus contre lui (ainsi que tous les autres), tout dans ses écrits en témoigne. Il se sert habilement de la défiance de ses détracteurs pour les prendre à leur propre jeu, se faisant parfois l’avocat du diable. Et on fera de lui un vantard invétéré.

Au cours des siècles, certains savants ont douté que Fermat avait une preuve. Avec la découverte d’Andrew Wiles en 1994 – une preuve d’une complexité énorme – ils purent encore moins l’imaginer après avoir douté pendant plus de trois siècles. D’autres, plus fins et circonspects, ont écrit qu'on ne peut rien dire à ce sujet. C'est le cas par exemple à notre époque de Jacques Roubaud, de Catherine Goldstein, experte des travaux de Pierre de Fermat, et de bien d'autres mathématiciens. Les codages de Fermat découverts par Roland Franquart sont tellement manifestes qu’on se dit : « Ce ne peuvent être des coïncidences, c'est juste un exploit magistral. » Dans le seul libellé de son observation on trouve déjà 9 curiosités. Après un nouveau décodage on en trouve 4 autres littéralement stupéfiantes. Ensuite dans sa correspondance on en trouve encore de nouvelles.

On connaît le rôle du psychanalyste, il ne révèle pas à la personne (nommée à juste titre l’analysant) allongée sur le divan, quelques-unes des pensées inconscientes qu’il aurait pu découvrir chez lui au fil des séances. Il ne lui révèle pas non plus les mécanismes en jeu. Il s’agit au contraire de laisser dire à l'analysant tout ce qui lui passe par la tête. De temps en temps il pourra lui dire quelques mots pour ouvrir une piste, donner un indice, mais jamais il ne lui dira une chose importante qui n'est pas encore consciente chez lui grâce au filtre protecteur et très nécessaire de l'inconscient : ce lui serait trop difficile de l'accepter. Ce sera à l'analysant lui-même de le découvrir. Le psychanalyste est avant tout un psychologue, un honnête homme, fin, intelligent, empathique, et surtout, qui a déjà fait un travail sur lui-même, une analyse. Fermat n’était pas psychanalyste, il était avant tout un grand mathématicien, intrépide, et surtout l’honnête homme par excellence. Il n’avait pas de patients, seulement des correspondants pas du tout patients. Très peu de ses lecteurs (Pascal, Mersenne) surent l’entendre. Il a agi avec les mathématiciens de son époque et ceux qui les suivraient à la manière d’un psychanalyste persévérant et sagace, qui aurait eu affaire à des cohortes de patients venus là sans même vraiment croire à la psychanalyse. Connaissant leur manque de confiance et surtout leurs lacunes, sans aucunement leur mâcher le travail, il devait leur fournir d'innombrables indices (toujours cachés), espérant qu’un jour un de ces mathématiciens sorte de son apathie, “s'allonge sur le divan” et puisse entendre quelques mots-clefs. Déjà en 1637 quand Fermat fait parvenir à Marin Mersenne sa méthode de recherche des maxima et minima, il ne prend pas le temps tout d'abord d'exposer les arguments qu'il a utilisés. Ce n'est qu'à la demande de Mersenne qu'il les fournira, bien volontiers cependant. Avec cette découverte, le premier coup de génie que l'on connaît de Fermat, on prend déjà conscience de la formidable intuition dont il pouvait faire preuve. Maryvonne Spiesser, mathématicienne, historienne, maître de conférences honoraire, précise à propos de cette méthode :

« Il faut lire le texte de Fermat en “oubliant” nos mathématiques actuelles, notamment l'idée de limite [...]. » J'adhère complètement à cette idée. Mieux, cette conception est pour moi le seul moyen d'accès (en “oubliant” nos mathématiques actuelles) à une compréhension, au moins partielle, de la preuve de Fermat.

Était-il facile pour les mathématiciens qui sont venus après lui, qui s'habituaient de plus en plus à lire des calculs complexes, d’imaginer, même à la vue de deux étranges anomalies dans 2 des 3 éditions de l'Arithmetica, qu'il faille cherche (dans la note elle-même !) des indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Au dix-septième siècle, les mathématiciens professionnels étant rares, les ouvrages mathématiques avaient un public restreint et il était difficile de trouver un éditeur acceptant de s’engager. Il est donc probable que Samuel a été contraint de publier l’Arithmetica à compte d’auteur, possiblement en une cinquantaine d’exemplaires, en tous cas guère plus d’une centaine d’après nos sources. Une option beaucoup plus économique, plus simple et rapide, aurait été de publier un opuscule contenant les 48 observations de son père auxquelles ce dernier aurait ajouté de très courtes démonstrations, très condensées, voire très elliptiques. Mais sont-ce là les manières de ce pédagogue ? Jamais jusqu’à sa mort le magicien des nombres n’a mâché le travail de quiconque, aurait-il été digne – surtout après qu’il ait été lâché par tous – de leur livrer toutes ses découvertes ? L’insertion des 48 observations aux endroits appropriés de l’Arithmetica laissera facilement penser au lecteur non averti que Fermat avait écrit de très longues observations dans les marges. La question : « Pourquoi Samuel n'a-t-il pas conservé l’exemplaire d’une valeur désormais inestimable que possédait son père ? » trouve ici sa réponse.

Citons Fermat à propos de son “OBSERVATIO D.P. F. n° XVIII” (théorème des nombres polygonaux de Fermat) : « Je ne puis ici donner la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au-delà des bornes anciennement connues. ». Comme pour tous ses autres théorèmes (sauf un) qui plus tard furent tous démontrés, il ne livre pas sa démonstration à Digby. Il faudra attendre 175 ans pour en avoir la preuve complète par Cauchy en 1813, après que Lagrange en eût démontré une partie.

Fermat écrit à Mersenne qu’en aucun cas il ne recherche la gloire. De son vivant en effet cette recherche de gloire, alors qu'il excelle dans la magistrature, aurait été très préjudiciable à sa carrière. C'est l'époque troublée de Richelieu, de Mazarin, des mousquetaires du Roy, l'époque aussi des tensions entre catholiques et protestants, or sa charge de magistrat lui imposait de rester très discret. Notre thèse est qu’il était parfaitement conscient que les mathématiciens qui viendraient après lui, n’ayant aucune idée de la façon dont il s’y était pris pour prouver son théorème, seraient nombreux à ‘’botter en touche’’ (« Il n’a pas pu trouver, c’est impossible, ou alors il s’est trompé [à nouveau, comme pour sa fausse conjecture...] »). Ici encore on retrouve l’esprit facétieux de Fermat, non il ne souhaite pas la gloire de son vivant, mais puisque tous les autres mathématiciens, l'un après l'autre, l’ont lâché, il ne lui reste qu’une solution, faire en sorte que ses plus puissants défis deviennent célèbres afin qu’on les étudie, pour que la science progresse. La gloire oui, mais seulement après la mort.

Vers 1800 on pouvait vérifier le grand théorème pour les valeurs de n égales à 3, 4 et leurs multiples respectifs, puis, avec une première grande avancée due aux travaux de Sophie Germain, pour n=5, 14, 7. Cinquante ans plus tard, alors que les mathématiciens désespèrent de pouvoir trouver une preuve arithmétique du dernier théorème de Fermat restant à démontrer, Ernst Kummer amorce un virage qui va donner une tout autre tournure à l’affaire. Changeant radicalement d’approche il a l’idée de faire appel aux nombres complexes, développant la théorie des nombres complexes idéaux, qui allait devenir un outil très important de l’algèbre. Finalement il démontre le théorème pour tous les exposants inférieurs à 100 et profite de l'occasion pour parler du théorème de Fermat comme d’« une simple curiosité ». C’est une nouvelle grande avancée qui, même très relative, suscite l’enthousiasme chez les savants qui jusqu’alors n’avaient guère progressé. Le pli est pris, et on abandonne définitivement la recherche arithmétique pure pour tenter de démontrer le théorème, d’autant que la nouvelle voie est riche de promesses pour une nouvelle mathématique. Désormais on va donc se consacrer à explorer cette nouvelle, étrange et complexe espèce de nombres, ces nombres complexes idéaux, qui vont aider à aller beaucoup plus avant dans la compréhension des nombres premiers, en étudiant les questions mathématiques les plus profondes. Jacques Roubaud note qu’à partir de ce moment, il devient impossible à un mathématicien ne possédant pas comme Fermat autant de connaissances en arithmétique, d’avoir accès à ses raisonnements. On recommencera donc à étudier le Fermat, mais différemment. Oui ce sera difficile, oui ce sera complexe, mais au moins l’espoir est revenu, et surtout, on doute encore plus que Fermat ait pu démontrer son théorème. Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisent de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontrent le théorème pour des cas particuliers, personne ne songera à examiner de près l'observation originale. Il paraît donc logique que ce soit un amateur (Roland Franquart), qui soit allé voir directement à la source pour étudier la note écrite en latin et mettre en évidence tous les codages de Fermat.

Les divers commentateurs ont manqué d'astuce, d'humilité, et surtout de confiance en Fermat. Connaissant son esprit facétieux ils ne se sont pourtant pas interrogés sur la raison qu'il avait pu avoir – lui un Français, qui s'adresse quand même d'abord à des Français – de rédiger son observation la plus importante en latin. Quand on y réfléchit après coup, la démarche la plus naturelle, la plus pertinente, aurait été d'aller voir ce que dit la seule vraie source, mais comme nous l'avons déjà noté les mathématiciens étaient si obnubilés par le théorème en lui même – bluffés aussi par une formulation bravache – qu'ils n'ont pas pensé à s'adresser à un latiniste professionnel pour disposer ainsi d'une traduction rigoureuse. Ni même à se fier à la traduction officielle d'Émile Brassinne, exacte bà un terme près. Il est vrai que cette traduction fut relativement tardive (1853), longtemps après la parution de l’Arithmetica, et déjà Kummer était passé par là.

Depuis que l’Arithmetica de 1670 a été éditée, on ne peut douter que des mathématiciens (français, anglais, allemands…) aient lu l’observation dans l’une des deux versions ‘’arrangées’’ (detex. ou detexi.). Mais est-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations, d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie, qu'il faille chercher d'autres anomalies ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies. Ensuite, alors que les scientifiques utilisaient de moins en moins le latin et qu'ils démontraient le théorème pour des cas particuliers, on ne songea pas davantage à faire traduire correctement la note, puisque « Fermat se vante » , ou qu'« il s'est trompé », ou qu'« il a compris qu'il s'est trompé mais n'a pas jugé bon de se rétracter, à moins qu'il se fiche de nous tout simplement, et de toute façon il ne disposait pas des bons outils puisqu'il n'avait que les siens... ». Fermat espérait-il qu'un jour, un lecteur ait sous les yeux des deux éditions de l’Arithmetica de 1670 ‘’trafiquées‘’ et se pose des questions ? En tout cas, avec les éditions semblables à celle de Rome, et après avoir tant brouillé les pistes dans sa note codée, il donnait à sa stratégie une chance supplémentaire d’aboutir, facilitant un peu la tâche des savants... pour une fois.

Une seule édition «arrangée » a suffi à Roland Franquart pour mettre à jour le cryptage, nous lui sommes reconnaissants d'avoir en 2009 rendues publiques ses découvertes. Quand Fermat écrit qu’il a assurément dévoilé une démonstration étonnante (ou admirable), on aurait pu penser que cette démonstration était très inhabituelle. Si la présence de codages est évidente, son explication sibylline est loin d’être entièrement accessible à des mathématiciens du vingt-et-unième siècle – quand ils veulent bien y réfléchir sans a priori. A contrario, se conformer à la pensée dominante est confortable, qui évite de se prononcer et de se sentir à l’écart de la caste. Quel courage il aurait fallu, chez un découvreur des indices laissés par Fermat, face aux prétendants à la science infuse, aux cohortes de moqueurs et de pinailleurs : « S’il y avait une once de vrai dans tout ceci, pour un théorème si important aux yeux de Fermat, il aurait mis tous les détails. » Pour nous faciliter le travail ? Dans la marge ? Ou entre les lignes... ?

Les observations que Samuel de Fermat a insérées dans le Diophante sont rédigées dans un style irréprochable et les deux bizarreries sur le même mot dans 2 des 3 versions de l'Arithmetica sont à l'évidence volontaires, mais les historiens des mathématiques sont aussi des mathématiciens et ils se fondent sur des calculs explicitement rapportés, et généralement sur des faits précis. En outre ils sont très rarement latinistes. En 1995, dans son ouvrage Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein se montre plus fine que tous les contempteurs : « Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » (page 120 du livre, note 7).

Par ses progrès technologiques et son manque de foi, l'Humanité est devenue de plus en plus orgueilleuse, elle se croit auto-suffisante. Le corollaire le plus pervers de cet orgueil est le pessimisme (individuel et sociétal) qui à son tour nourrit l'orgueil. Ce pessimisme nous éloigne des idées les plus simples, les seules réellement efficaces. Et les orgueilleux pessimistes font florès. Avez-vous remarqué aussi combien, depuis la découverte de Wiles, même les amateurs aiment se rassurer sur internet en le citant pour se dire que, finalement, ils n'ont rien manqué ?

De quelle façon Fermat a-t-il pensé à crypter sa note ?Modifier

Nous pouvons maintenant tenter de répondre à cette question. On notera que dans la première partie il reprend les cas n=3 et n=4 avec lesquels il avait déjà défié ses correspondants respectivement 12 et 4 fois, et dont on sait qu’il les a démontrés, même s’il nous a fourni la démonstration du seul cas n=4, et encore, seulement en filigrane, dans l'unique théorème qu’il a complètement explicité. Pour énoncer son théorème il aurait donc pu se passer de cette première partie de l’énoncé : « Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini », et ne garder que ce qui concerne le théorème lui-même : « Aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux puissances du même nom, [ce dont j’ai assurément dévoilé l'explication admirable]. » Il aurait pu aussi se passer de la coquetterie qu’il utilise dans des formulations voisines pour d’autres observations : « La marge trop étroite ne la contiendrait pas. » Mais seule la formulation complète autorise le cryptage. Voici comment on peut voir les choses, en adoptant la thèse que la preuve est basée sur l’exploitation du ‘’triangle de Pascal’’. Dans la première ligne, en commençant par écrire "mais que ce soit un cube" (CVbum autem) il trouve un premier couple de lettres ut. Ensuite il peut facilement insérer un deuxième ut, puis un premier tu : « in duos cubos, autem quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter [...]. Cette formulation lui permet aussi de livrer l’indice « CVbum ». Puis en introduisant d'abord la notion d’infini : « & generaliter nullam in infinitum vltra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere » il peut placer deux autres tu (reportez-vous au site de Roland Franquart, au milieu de sa cette page où l’on voit qu’en entrelaçant les t et les u on mettra à jour un tissage qu'on pourra exploiter dans le triangle de Pascal.

Fermat et la publicationModifier

S'il a fait connaître par courrier quelques uns de ses courts traités manuscrits, la plupart consacrés à la géométrie, il n'a jamais rien publié à son nom. Fin 1652, une épidémie de peste sévit dans le Sud-Est de la France. Comme beaucoup il est atteint mais il en réchappe. Si Fermat est parfaitement conscient de sa valeur, de l'avis de ceux qui le connaissent il est fort modeste. Quand il meurt le 12 janvier 1665 on grave dans le marbre de sa tombe une épitaphe se terminant par « Vis scire quiddam quod juvet ? nesciri ama. » (« Veux-tu savoir ce qui est utile ? Veille à être ignoré »).En 1659 il tente apparemment de faire publier ses travaux en sollicitant la contribution active de Carcavi et de Pascal, à leur charge de tout mettre en ordre dans ses écrits et de trouver un éditeur. Il leur précise que l’ouvrage ne devra pas porter pas son nom :

9 août, 1654 très certainement (1659 selon une autre source).

Lettre de M. FERMAT
À M. DE CARCAVI

Monsieur,

J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de M. Pascal ; car j'estime infiniment son génie et je le crois très capable de venir à bout de tout ce qu’il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre m'est si chère et si considérable, que je crois ne devoir point faire difficulté d'en faire quelque usage en l'impression de mes Traités. Si cela ne vous choquait point, vous pourriez tous deux procurer cette impression, de laquelle je consens que vous soyez les maîtres ; vous pourriez éclaircir, ou augmenter, ce qui semble trop concis, & me décharger d'un soin que mes occupations m'empêchent de prendre. Je désire même que cet Ouvrage paraisse sans mon nom, vous remettant, à cela près, le choix de toutes les désignations qui pourront marquer le nom de l'auteur, que vous qualifierez votre ami. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde partie, qui contiendra mes inventions pour les nombres. C'est un travail qui n'est encore qu'une idée, & que je n'aurais pas le loisir de coucher au long sur le papier mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes principes et mes premières démonstrations, de quoi je vous réponds à l'avance qu'il tirera des choses non seulement nouvelles & jusqu'ici inconnues, mais encore surprenantes. Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et s'achever dans peu de temps, et cependant on pourra mettre au jour la première partie, que vous avez en votre pouvoir. Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée sur la grande estime que je fais de son génie, de son savoir & de son esprit, je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions numériques. Adieu, je suis, Monsieur, votre…

Cette lettre cavalière interroge. A-t-il réellement pensé que Pascal accepterait de s'atteler à la mise en forme de toutes ses découvertes sur la théorie des nombres, travail qui lui aurait pris beaucoup de temps et d'énergie ? Ou bien, n'a-t-il jamais eu l'intention de faire publier toutes ses démonstrations ? À ses yeux ses découvertes ne furent pas appréciées à leur juste valeur et le « livre important » qu'il disait vouloir consacrer à l'arithmétique ne sera jamais publié, du moins sous la forme que le public aurait souhaité. Sa contribution à la théorie des nombres sera connue par sa correspondance et surtout par ses 48 fameuses observations où il aura mis toute son application, et que Samuel, chargé par son père d'en assurer la publication après sa mort (c'est notre thèse) insérera dans l'Arithmetica de Diophante. Est-ce après avoir découvert la preuve de son grand théorème, et trouvé le moyen de coder son explication, qu'il eut l'idée de consigner toutes ces observations sans démonstration ?

Bref historique de la découverte de WilesModifier

Le théorème est finalement démontré par le mathématicien Andrew Wiles, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration est publiée en 1995 et recourt à des outils très puissants de la théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch en 1971 (note au CRAS), puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. Cette démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes, à une formule des traces…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps. En juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur, cette étape est communément appelée Ėvaluation par les pairs (peer preview). Chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Le groupe est constitué de Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appelé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très complexe, on essaie d'abord d'appliquer le système d'Euler. Font aussi partie des arbitres (referees) Gerd Faltings, Ken Ribet, Richard Taylor et Peter Sarnak, ami proche de Wiles, mis dans la confidence avant la conférence de juin.

Si Wiles avait vraiment réussi à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura, l'objectif final, vaincre «le Fermat», serait atteint, et les répercutions en seraient certainement considérables dans la théorie des nombres. La tension nerveuse est d'autant plus palpable pendant toutes ces vérifications qu'à l'extérieur on espère beaucoup un verdict positif. Les experts doivent travailler en toute sérénité et donc dans la plus grande confidentialité, le poids du secret est lourd à porter. Après que Nick Katz ait transmis à Wiles quelques points à préciser, qui seront rapidement clarifiés, les choses commencent à se gâter, Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital.

Richard Taylor est un ancien élève de Wiles et Peter Sarnak conseille à Wiles de faire appel à lui pour l'aider. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées. Andrew qui jusque là avait travaillé seul et en secret est maintenant sous le feu des projecteurs. C'est difficile à supporter, et après tous ces efforts, à bout de forces il pense qu'il a échoué et se résigne. Neuf mois plus tard, à l'automne, se produit un évènement décisif. Taylor suggère de reprendre la ligne d’attaque utilisée trois ans auparavant (Flach-Kolyvagin). Wiles, bien que convaincu que ça ne marcherait pas, accepte, mais surtout pour convaincre Taylor qu'elle ne pourrait pas fonctionner. Il y travaille environ deux semaines et soudain (19 septembre 1994) :

« En un éclair, je vis que toutes les choses qui l’empêchaient de marcher, c’était ce qui ferait marcher une autre méthode (théorie d’Iwasawa) que j’avais travaillée auparavant. »

Alors que, prises séparément, Flach-Kolyvagin et Iwasawa étaient inadéquates, ensemble, elles se complètent. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : Les courbes modulaires elliptiques et le dernier théorème de Fermat (par Andrew Wiles), et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke (par Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 1995.

Réflexion de John Coates, qui dirigea les thèses d'Andrew Wiles et de Catherine Goldstein :

« J'étais moi-même très sceptique sur le fait que le merveilleux lien entre le dernier théorème de Fermat et la conjecture Taniyama – Shimura, mènerait à quoi que ce soit, je ne pensais pas en effet qu’une preuve de la conjecture Taniyama – Shimura était accessible. Aussi beau que fût ce problème, il semblait impossible à prouver. J'avoue que je ne pensais pas en voir une preuve de mon vivant. »

Wiles et FermatModifier

Réflexion d’un journaliste à Andrew Wiles après sa découverte de 1995 : « Donc la preuve originale de Fermat est toujours présente quelque part. » Réponse : « Je ne crois pas que Fermat avait une preuve. Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. Mais ce qui a rendu ce problème spécial pour les amateurs, c’est qu’il existe une infime possibilité qu’il existe une preuve élégante du XVIIe siècle ». Si j’avais été à sa place j’aurais certainement répondu la même chose (peut-être même exactement), c’eût été très confortable pour moi, ces sept années d’efforts soutenus n’auraient pas été vaines (même si ces travaux ont beaucoup enrichi les mathématiques, mais ceci est une autre question). Wiles est un grand mathématicien, tout comme Fermat. Il est plaisant de noter que le magistrat Pierre de Fermat, qui ne pouvait gaspiller le peu de son temps disponible à détailler tous ses calculs (ne gardant quasiment jamais une copie d’un travail transmis à ses correspondants), obstiné qu’il était d’aller toujours plus loin, se disait « l’homme le plus paresseux du monde ». Tous deux, chacun à leur façon, avec les outils de leur temps, ont fait faire aux mathématiques une avancée considérable. Ces deux génies sont un peu comme deux jumeaux. Andrew a pourtant un handicap, c’est un mathématicien complètement de son temps et dans sa formation il a dû assimiler énormément de mathématiques du vingtième siècle, puis en inventer beaucoup de nouvelles, peut-être que s’il avait vécu à l’époque de Fermat, obligé qu’il eût été de se satisfaire d’une mathématique plus pure, qui tente d’appréhender au plus près les relations profondes entre les nombres, et donc difficile à “saisir”, il aurait pu s'approcher du maître. Les Anciens n’avaient pas encore l’esprit encombré de cette multitude de données complexes que les Modernes ont été obligés d’assimiler pour perpétuer le progrès technologique. Wiles fut tellement émerveillé par son succès que toute pensée relative à l’existence d’une preuve du XVIIe siècle ne pouvait qu’achopper aux contours de son esprit, comblé par sa découverte, rien ne devait altérer sa joie. On peut tenter d'imaginer ce qu'elle a pu être, quand il cherche les mots pour l'exprimer, l'émotion est si forte que les larmes lui montent aux yeux. La course au ‘’Dernier Théorème‘’ fut une longue quête de 324 ans. Son histoire est tellement excitante pour les mathématiciens qui pourtant n'ont jamais percé le secret de Fermat que la légende urbaine qui y a cohabité depuis le début, pour conjurer un dépit irritant et insupportable, logiquement devrait poursuivre tranquillement sa route. Quel sujet passionnant, mêlant la sociologie, la philosophie, la psychologie, l'historiographie, et quelle admirable leçon de pédagogie : après l'avoir entrouverte, Pierre Ferma la porte à tous les sachants.

La légende urbaineModifier

« Je suis toujours surpris de quoy M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sçait pas. » Pierre de FERMAT en 1658.

« Il y a un roman derrière le grand théorème de Fermat, et il est haut en couleur ! » Cédric Villani (“Pour la Science”).

On a parfois pensé que le théorème de Fermat était indémontrable, tandis que des amateurs se persuadaient – et sont toujours persuadés – d'avoir trouvé une preuve très simple. Au fil du temps les mathématiciens s'en sont de plus en plus désintéressés, d'autant qu'on ne voyait aucune utilité pratique à le prouver. On avait cherché à savoir comment Fermat avait pu le prouver, et certains prétendaient qu'il avait dû se tromper (ou beaucoup s'avancer sans l'avoir prouvé). En 1961 est publié un livre d'Eric Temple Bell, The Last Problem, à propos du le théorème de Fermat. Deux ans plus tard le jeune Andrew Wiles, alors âgé de 10 ans, n'y trouvant nulle part la preuve de l’exactitude du Dernier Théorème de Fermat, se promet qu’un jour il le prouverait. Trente ans plus tard se produit un événement totalement inattendu, on apprend que Wiles semble tout prêt d'avoir résolu le problème. Le 25 octobre 1994, aidé de Taylor il diffuse sa preuve. Elle n’est qu’un corollaire d’autres découvertes, et surtout d’une complexité inouïe, mais c'est une preuve. En apprenant la nouvelle, Jean Bénabou fait part de sa joie à Jacques Roubaud en ajoutant avec quelque humeur : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ». Mais enfin la preuve est là et l'enthousiasme est à la mesure de la découverte, toute la frustration accumulée pendant des siècles est instantanément balayée chez beaucoup de mathématiciens. Pour tous c'est une énorme surprise.

Cette journée du 25 octobre marque le début d’une période assez problématique dans l’historiographie des mathématiques. Puisque le théorème est vrai il est encore davantage permis qu'auparavant de penser qu'un génie comme l'était Fermat, lui aussi avait pu le prouver, avec ses propres outils. Pourtant à partir de ce jour, même s'il avait écrit qu’il a « réellement dévoilé une étonnante démonstration », c'est le contraire qui se produit, on relaiera une nouvelle rumeur : puisque la preuve n'a pu être découverte qu’avec des outils très sophistiqués, jamais Fermat n’aurait pu en trouver une avec ses outils à lui. C'est un raisonnement n peu étrange mais on a sa fierté que voulez-vous. Andrew Wiles donna lui aussi du grain à moudre à la rumeur : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve ». Il y a quelque chose de malsain dans un tel biais cognitif. Les mathématiciens ont échoué à retrouver la preuve de Fermat mais ils ont maintenant la leur : le prétexte est tout trouvé pour ne plus avoir à chercher (quasiment sans espoir) une preuve beaucoup plus courte mais extrêmement difficile à comprendre. Après le tapage fait en 1994 autour de la découverte de Wiles, comment imaginer que les mathématiciens les plus académiques puissent se remettre en question ? Comment reconnaître que l'exploit magistral de Fermat est autre chose qu'une illusion réservée à d'incurables optimistes ?

Ce qui a suscité un tel engouement quand on apprit que Wiles avait trouvé une preuve, c'est qu'on en cherchait une (plus ou moins) depuis 1670. Comme Jean Bénabou et bien d'autres, je pourrais moi aussi être déçu de la manière dont ce théorème a été prouvé. Si ce 25 octobre 1994 ne fut pas, bien sûr, une tromperie, il y eut comme un énorme malentendu, l'exploit de Wiles n'a rien à voir avec ce qu'on aurait tant souhaité trouver. Non seulement le dernier défi, pour le chercheur honnête, a gardé tout son attrait, tout son charme, mais il est encore plus vivant qu'autrefois, les savants croient s'en être tirés à bon compte alors que la preuve de Fermat de toute évidence leur a complètement échappé. Si Fermat a pu espérer que son problème tiendrait longtemps en haleine les savants, pouvait-il imaginer qu'un destin très malicieux le comblerait au-delà de tous ses vœux ?

Le mathématicien Harold Edwards voulut vulgariser des mathématiques. Évoquant la conjecture des "nombres de Fermat" il écrivit : « [Fermat] alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers ». Quand Fermat écrit : « J’ai ensuite considéré certaines questions », Edwards tombe dans le piège de Fermat et interprète ainsi : « J'ai ensuite prouvé certaines propositions. ». Eric Temple Bell, lui aussi mathématicien, comme Edwards avait à cœur d'attirer des gens vers les mathématiques, voici ce qu'il écrit dans son livre The Last Problem, édité en 1961, après sa mort survenue en 1960 :

« Fermat a déclaré qu'il pensait que la proposition était vraie, mais n'a jamais prétendu nulle part l'avoir prouvée. Il est temps que les déclarations erronées dans certaines histoires mathématiques soient corrigées – même au prix d'imprimer tout ce que Fermat a dit dans son propre langage. [...]. »

Dans la lettre bilan de Fermat à Carcavi pour Huygens, où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’adjouterai, multi pertransibunt et augebitur sciencia(*)».

(*) « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »

En 1976, dans son ouvrage Fermat's Last Theorem - A Generic Introduction to Algebraic Number Theory (page 38), Edwards discourt d’une étrange façon à propos de cette lettre : « Au contraire, à notre époque, l'attitude générale est que les Anciens ne savaient rien du tout. » Cette appréciation est tout sauf intelligente, Fermat n'a jamais prétendu que les Anciens savaient tout, Edwards sort une phrase de son contexte et oublie quand même beaucoup de choses, par exemple que les Babyloniens, il a 4000 ans, savaient qu'on pouvait déterminer la valeur de   avec une précision proche du millionième (voir Wikipedia, YBC 7289). Ne trouvez-vous pas que des scientifiques peuvent parfois faire preuve d'une arrogance choquante ? C'est ici l'exemple-type du bon mathématicien – sans plus – qui pour tenter de se mettre au niveau des plus grands, leur montrer qu'il existe, tente de nuire à la réputation d'un génie qui n'est plus là pour se défendre.

On peut énoncer une formule générale pour disqualifier Pierre de Fermat, “Juge” et mathématicien.
1. Écrire un livre ou un article sur la théorie des nombres en rappelant tous les apports de Fermat.
2. Lui attribuer de belles qualités (esprit pénétrant, etc.).
3. Faire une remarque négative à son sujet. La plus fréquente concerne la fausse conjecture des "nombres de Fermat", formulée ici par Edwards : « Cet incident semble être la seule tache sérieuse (the one serious smirch) sur la réputation de Fermat en tant que théoricien des nombres. »
4. Pour finir remercier Fermat.
L’historien Jean Itard a utilisé avant lui (1950) ce procédé mais en inversant les points 3 et 4 et en étant bien méchant.

Au fond, c'est surtout le fait que Fermat aurait pu trouver une preuve avec ses propres outils, du dix-septième siècle, que certains mathématiciens ont souvent du mal à concevoir. Si obsédé par son désir de généralité, il n'a jamais évoqué ailleurs que dans cette note le théorème général, avons la certitude qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme détenir une preuve, pourtant il n'en parle jamais de son vivant, n'y fait même jamais allusion. Dans cette affaire digne d'un roman à suspense il fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes d'un côté et de l'autre laissant de nombreux indices. Qu'il ait révélé à l’intention de ses seuls suiveurs un début d'explication à l’aide de trois lignes et demie d’écriture latine – même s’il (Pierre + Samuel) les a écrites différemment (à peine) dans trois versions de l’édition de 1670 – participe du sublime. La seule édition consultable à Zurich, sans anomalie trop flagrante (à part dans le premier mot s'il vous plaît...), n'aurait sans doute pas permis un décryptage, d'autant que l'usage du latin s'est raréfié au cours du XIXe siècle. L'édition de Lyon aurait suffi (elle a suffi à Roland Franquart), celle de Rome, la plus révélatrice (detexis camouflé → « tu tisses complètement  »), la plus excentrique aussi, est d'une force moindre mais confirme le décryptage effectué par Roland Franquart. Les deux particularités sur le même mot, dans deux éditions différentes, se renforcent mutuellement, et encore davantage quand elles sont ajoutées aux cinq autres dans l'«OBSERVATIO», et toujours plus quand elles sont ajoutées à celles présentes dans sa correspondance.

Certains commentateurs ont été animés d'une compulsion d'avoir toujours raison. D'où vient cette incapacité à se défaire de ses préjugés les plus ancrés ? Cette crainte terrible d'avoir tort, quelle pourrait en être la cause première ? Cette peur de perdre un moi alimenté par des décennies de méconnaissance de soi, qui a façonné une personnalité rigide, les rend inaptes à une analyse rigoureuse et les place dans une position de défense agressive très rassurante pour l'égo. Ils continuent ainsi d'alimenter les rumeurs les plus triviales, incapables d'admettre, et de comprendre, qu'ils ont été bernés de la plus subtile des manières par un génie. Dans le passé déjà « des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question » (Libri).

À moins d'avoir pris le temps d'étudier cette énigme, et sa très longue histoire, avec tout le discernement requis et un esprit critique en constante alerte, il est difficile de comprendre comment des intellects français ont pu prétendre dépasser en intelligence le plus grand génie mathématicien du dix-septième siècle, leur compatriote qui plus est. Ainsi de René Descartes, qui ne pouvait suivre Fermat et le jalousait, et dont l'anagramme Tendre caresse témoigne ration-elle-ment de sa jalousie envers Fermat. Les mathématiciens français ont été, et sont toujours, les plus responsables de cette imposture scientifique. Jusque dans l'histoire du théorème qui a généré le plus d'études au monde, ce sont encore trois Français, Descartes, Weil et Itard qui ont été les plus méprisants. Cette histoire ressemble à une assemblée de coqs de villages en lutte contre le plus grand génie mathématique de la nation (peut-être aussi du monde si l'on suit Pascal), pour savoir lequel est réellement le plus intelligent. Si nous étions un peu méchant à notre tour nous dirions que le professeur de mathématiques Jean Itard, qui n'était ni un savant ni un chercheur, est certainement celui qui a été le plus intelligent. Mais nous ne le dirons pas. Et si l'on sait répondre à cette question : « Pourquoi les mathématiciens français sont-ils ceux qui ont été les plus méprisants, davantage encore que les Anglais, envers Pierre de Fermat ? » on comprendra mieux que l'obstination des contempteurs a de beaux jours devant elle. Et à qui se demanderait quelle apogée pourrait atteindre un jour une légende urbaine aussi enracinée et aussi nécessaire aux besoins des demi-habiles, nous répondrons simplement : un silence assourdissant.

Une anagramme étonnante du titre de cette section, la légende urbaine, rendue inégalable.

Un léger désaccordModifier

Blaise Pascal écrivant à Pierre Fermat :

« Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

Jean Itard en 1950 : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. »

M.P.E.A.S.Modifier

Fermat a publié un seul ouvrage, un traité de géométrie sur les courbes et les droites en 1660, De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica. Encore de l'a-t-il pas publié sous son nom, sur la couverture de l'ouvrage, à la suite du titre, la signature se présente ainsi :

Autore M. P. E. A. S. (suit un ajout de bibliothécaire : ‘’de ferm’’, pour ‘’de Fermat’’). Puis sous l’image : TOLOSÆ. Voici ce qu’on en disait en 2001 (page viii), dans l’ouvrage 17 Lectures on Fermat Numbers – From Numbers Theory to Geometry (Société mathématique du Canada, Editions Springer):

« Indeed, he published only one important manuscrit during his lifetime, and signed it using the cryptic initials : M. P. E. A. S. Their meaning remains inexplicably unknown. » (« En effet, il a publié un seul manuscrit important au cours de sa vie, et l’a signé de ces initiales énigmatiques : M. P. E. A. S. Leur sens reste inexplicablement inconnu. »). Sur la première page de l'ouvrage on lit une note du typographe au lecteur (TYPOGRAPHUS LECTORI) qui commence par ces mots latins : « CVM Dissertatio ista… ». Notons au passage que l'usage courant est ici respecté : dans le premier mot du paragraphe l'exposant est entièrement écrit en capitales d'imprimerie, contrairement au premier mot de l'observation de Fermat (CVbum).

L'explication de Roland Franquart en 2014 à propos de la signature M. P. E. A. S. : Magistro Procuratore Enodare Apud Sedem (TOLOSÆ)  → Magistrat Procureur Enquêteur Au Siège (TOULOUSE). Cette signature si tangiblement codée montre encore une fois cette prédilection pour le cryptage.

Bilan de la rechercheModifier

— Nous avons vu qu'aucun des trois arguments avancés par les détracteurs de Fermat n'est valable. Ces arguments peuvent d'ailleurs être renversés au bénéfice de Fermat.
— Regroupons maintenant les arguments favorables à une preuve par Fermat :

  • Dans l'observation relative au grand théorème :

1) Cette observation est la seule des 48 dont le titre ne soit pas abrégé en D.P.F. mais écrit en toutes lettres.

2) CVbum, . L’exposant n’est pas écrit selon la règle habituelle.

3) Une première version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexi’’).

4) Une deuxième version avec un ‘’detexi’’ différent (‘’detexs’’).

5) ‘’detexi’’ ne signifie pas ‘’j’ai trouvé’’ mais ‘’j’ai [assurément) dévoilé’’, ‘’mis à nu’’, ‘’mis à découvert’’.

6) ‘’detex’’ (= detexis), sur l'édition de Rome, se traduit exactement par ‘’tu tisses complètement’’. Or l’expression ‘’j'en ai entièrement tissé’’ avait déjà été trouvée grâce à un autre codage (plus complexe) découvert par Roland Franquart sur l'édition de Lyon. Les deux occurrences se renforcent mutuellement.

7) L’adverbe ‘’sane’’ (assurément), par la façon inhabituelle dont il est placé, s’applique à la fois à ‘’detexi ‘’ (assurément dévoilé).

8) et à ‘’mirabilem’’ : (réellement) admirable, ou merveilleuse.

9) Le point qui suit le mot detexi est grossi (différent du point final) pour mettre encore l’accent sur le mot detexi.

10) Ludivine Goupillaud, ancienne chercheuse et dorénavant enseignante, a noté avant nous que Pierre de Fermat prend « le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage ».

11) La répétition dans l’observation, d'abord des couples de lettres ‘’tu’’ (3 fois), puis ‘’ut’’ (2 fois).

12) On trouve dans l’observation 21 u (et u est la 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (mais t est la 20e, il manque donc un t, la cause en étant ici : «non caperet» (ne contiendrait ce ‘’t’’, ‘’t’’ qui a été mis en évidence dans ‘’detexi’’ et entre en compte dans l'exploitation par Roland Franquart du triangle arithmétique (l’explication détaillée figure sur son site).

13) Ces singularités lui ont permis de « tisser complètement » l’explication donnée par Fermat.

  • Sur les “ Nombres de Fermat ” :

14) La lettre à Carcavi que d’aucuns ont interprétée d’une façon manifestement orientée et non pertinente, n’est pas reprise dans les Varia.

15) Elle est aussi absente des observations de l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.

16) Fermat écrit « j’ai considéré », et non « j’ai démontré que ».

17) Fermat utilise l’expression ‘’questions négatives’’, ce qu’il ne fait jamais ailleurs, l’expression consacrée étant ‘’propositions négatives’’. Ce qui dans le contexte suggère facilement un double sens : ‘’la réponse à cette question est négative’’.

18) L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe permet une deuxième lecture : nous avons vu précédemment que la phrase « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » (avec deux adjectifs synonymes qui font doublon), suggère que la formulation de cette “question”, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, doit faire l'objet d’une très subtile et très ingénieuse recherche.

19) Les mathématiciens s’accordent à dire que Fermat connaissait la méthode à mettre en œuvre (diviseurs de la forme 64k + 1) montrant que ces “nombres de Fermat” ne sont pas premiers.

20) Nous avons vu que la lettre à Mersenne de juin (?) 1640 où Fermat utilise une méthode similaire (diviseurs de la forme 74k+1), son fils l’omet elle aussi des Varia.

21) Fermat évoque la fameuse fausse conjecture... à 6 reprises sur une période de... 19 ans... à tous ses correspondants (...) sur une période de 19 ans (…), et leur réclame de l'aide (!).

22) Lettre à Frenicle de Bessy (18 octobre 1640) : « [… ] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] » : Cette lettre, la seule que Samuel choisit pour l’insérer dans les Varia, est celle où son père dit être toujours honnête. On peut donc la mettre rapport avec l’observation concernant le grand théorème. (i.e. il faut prendre au sérieux son observation).

23) Les observations n'auraient pu tenir dans une marge, certaines d'entre elles sont bien trop longues.

24) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (écrites où ?) montre à l'évidence qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur.

25) Samuel n'a pas conservé l'exemplaire de l’Arithmetica où étaient censées les 48 observations de son père, cet ouvrage aurait acquis une valeur historique considérable mais il a “disparu”.

26) Le 29 août 1654, Fermat écrit à Pascal : « Nos pensées s’ajustent si exactement […] vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. » Or la thèse que développe Roland Franquart est précisément axée sur le triangle arithmétique.

Nous dénombrons 26 arguments en faveur de l'existence d'une preuve par Fermat de son théorème. Il en existe quelques autres moins directs, qui relèvent davantage de la pure psychologie, et que nous avons plus ou moins abordés dans cette étude. Parmi eux un argument que nous jugeons très important et que nous avons développé dans la section « L’historien ne doit rien refuser d’entendre », à propos de sa démonstration complète du théorème de Fermat sur les triangles rectangles et qui contient en germe la preuve du cas particulier n=4. Or Fermat passe cela sous silence. Nous écrivions en conclusion ce qu'il fallait en comprendre : il sait de quoi il parle et, très discrètement, si l'on veut bien lire “entre les lignes”, il nous le fait savoir. D'autres arguments plus complexes ont été développés par Roland Franquart sur son site. Quant à l'argument qui consiste à dire que les 48 observations n'auraient pas été écrites à l'intention du lecteur il est absurde. Prétendre que Fermat aurait affirmé que les nombres de la forme 22n + 1 seraient tous premiers l'est presque autant.

Aucune pensée ne saurait rendre la sublimité des prouesses de Fermat se déployant dans les ténèbres de l’inconscience académique. La sottise révélée par la pensée unique qui a accompagné toute l’épopée du Dernier Théorème de Fermat en a fait la légende urbaine la plus rocambolesque.

« Il est plus facile de briser un atome que de briser un préjugé. » A. E.

Nous sommes quasiment certain que si Alexandre Grothendieck était encore de ce monde il aurait, sans difficulté, complètement explicité la preuve de Fermat que nous livre Roland Franquart grâce à son décryptage. Dans sa très intime connaissance de la science des nombres il aurait je pense réduit à néant tous les chipotages. Alexandre est parti pour un monde meilleur, et je connais tellement bien la mentalité académique que je suis persuadé à 99,9% que nous n'aurons jamais le fin mot de l'histoire. Mais c'est plutôt un bien : le suspense pourra encore durer longtemps, les amateurs de math que nous sommes pourrons continuer à méditer avantageusement sur la nature humaine, ses caprices, ses faiblesses, toutes ses imperfections ; et même à sourire et à s'en amuser.

MoralitéModifier

Quand un scientifique, un politicien, un philosophe, multiplie articles et plateaux télé pour tenter de faire croire que ce qu’il affirme est la vérité vraie, il est important de chercher les raisons personnelles qu'il a pu avoir pour diffuser le plus largement possible sa théorie. Qui connaît bien la nature humaine comprendra que jamais rien ne viendra ébranler la satisfaction de la communauté académique d’avoir « conquis l’Everest », fusse par une température très clémente et en chemisette.

Dans tous les domaines de la connaissance, lorsqu’une armée d’«experts» professionnels se déchaîne contre un petit groupe d’experts indépendants, donc sans conflit d’intérêt, et que l’on perçoit un accent de vérité chez ces derniers, il faut prendre le temps nécessaire pour mener sa propre enquête. Plus longtemps on aura effectué cette enquête et plus l’esprit de discernement se sera affiné.


Par le plus grand des hasards, le jour de mon anniversaire, en mai 2011, je rencontrai au cours d'une randonnée une mathématicienne (le printemps est l'époque où les intellectuels aiment prendre l'air) chez qui je perçus les compétences et l’autorité d'une professionnelle. Nous discutions de choses et d'autres, l'ambiance générale était sympathique. À un moment je me risque à l’informer des découvertes de Roland Franquart et lui fournis le lien web adéquat. Puis je lui dis (c’était le sens en tout cas) : « Nos mathématiciens disposent d’outils très complexes, ils sont peu enclins, comme le faisaient les Anciens, comme le faisait Fermat ou Pascal, à jongler avec les notions les plus fondamentales. » Elle me répliqua, outrée : « Oh non ! » La suite de ses réponses à mes questions fut un royal enfumage. Je n’ai pas insisté. Je suis encore à ce jour estomaqué (de moins en moins cependant) que l'immense mathématicien qu'était André Weil ait cru bon de nier absolument que Fermat ait pu avoir une preuve, avec des arguments tels que celui-ci : « How could he have guessed that he was writing for eternity? » (‘’An approach through history from Hammurapi to Legendre‘’, 2010, p. 104). En français :

« Comment aurait-il pu deviner qu’il écrivait pour l’éternité ? »

Cette déclaration est étrange, si l'on suit André Weil les 48 Observations de Fermat auraient été destinées à son seul usage et il aurait éprouvé le besoin de s'expliquer à lui-même qu'il a prouvé ces théorèmes – en prétextant à 4 reprises, dans ses 48 notes, le manque de place pour ne pas livrer toutes ses démonstrations, et en les qualifiant à 6 reprises d'admirables, de très belles ou de très difficiles. C'est en employant les mêmes adjectifs qu'il évoque ses découvertes dans ses correspondances. Dans une lettre à Mersenne du 3 juin 1636 le mot admirable revient même deux fois dans 2 lignes successives. Même si Weil assurément ne disposait pas d'une bonne traduction, sa déclaration est étonnante (ou non...). Il est vrai qu'il avait une assez haute estime de lui-même et que vis-à-vis de Grothendieck en particulier, de l'avis même de ce dernier, il n'a pas été vraiment bienveillant. Quand le prestige personnel est en jeu on n'est parfois pas très tendres, entre savants. Il y a une ironie amusante à observer qu'André Weil utilise une expression qu'on peut reprendre à notre compte de cette façon : Il est probable que la croyance des Modernes selon laquelle Fermat n'avait pas de preuve reste vivante pour l'éternité.

On notera que « dans sa jeunesse André WEIL espérait la démontrer [la conjecture de Fermat] avant la date du centenaire et la publier en 1959. Il a éclaté de rire le jour où, après la publication de ses Œuvres complètes, je lui ait fait observer que s’il en trouvait finalement une démonstration en quinze pages, Springer-Verlag serait obligé d’ajouter un très mince volume à son édition. » (Roger Godement, Analyse mathématique IV, Ed. Springer-Verlag, 2003, p 281, note 4). Pour mémoire, il a suffi de deux pages à Fermat, ou plutôt trois lignes et demie. Moralité : le sourire est plus spirituel que le rire. « Il est vrai que le regard intérieur ne fait malheureusement pas partie de l’épistémologie scientifique actuelle ». André Weil fut l'un des mathématiciens qui par leurs travaux ont considérablement aidé celui de Wiles. Il ne pouvait qu’être fier d’avoir contribué à la preuve trouvée en 1994 par ce dernier. De là à sous-estimer les capacités de Fermat il n'y a qu'un pas. L'historien Jean Itard quant à lui s’en était pris à Fermat en 1950 (année de ma naissance  ) avec cette affirmation péremptoire et cassante : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème ». Bonjour l'ambiance !

Je vous donne ma parole que ce qui suit est vrai. Un responsable de l’Agence France-Presse s’était étonné en 2009 qu’aucun des journalistes scientifiques auxquels on avait présenté les découvertes de Roland Franquart n’ait souhaité donner suite. Est-ce que vous êtes étonné(e), vous ? Si non, alors peut-être avez-vous aussi compris que ce monde n’aurait pu être fait meilleur qu’il l’a été... La formidable innovation qu’a produit Wikiversity (entre autres choses) est qu’en utilisant les outils de Wikipedia, elle fournit aux chercheurs indépendants le meilleur support de travail qu'ils puissent jamais trouver, permettant à un public de plus en plus large d’accéder à des travaux inédits et introuvables ailleurs. Si ce modeste essai pouvait encourager de jeunes chercheurs à comprendre combien le panurgisme contrarie le discernement et l'initiative personnelle, il aurait pleinement atteint son but.

Citons Évariste Galois (1811-1832) :
« Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier ; au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera ‘’je ne sais pas le reste’’. »

Et Simon Singh :
« Le culte du secret chez les mathématiciens parisiens était une tradition qui remontait aux cossistes du seizième siècle. Ceux-ci étaient des experts en calculs divers employés par les marchands et les hommes d’argent pour résoudre leurs problèmes de comptabilité. […]. Quand le mathématicien et philosophe Marin MERSENNE arriva à Paris, il résolut de combattre la conspiration du silence et tenta de persuader les mathématiciens d’échanger leurs idées et de se servir les uns des idées des autres. Il organisa des rencontres régulières entre eux et son groupe constitua même le noyau de l’Académie des sciences. »

Fermat par sa célèbre observation a laissé aux savants ce qu’ils ont pris pour une forfanterie – voire une galéjade, même si, étant en effet une magnifique preuve magistralement codée, elle n'en est pas moins une galéjade tout aussi magnifique. J'ai toutes les raisons de penser qu'il a exploré, et réussi à suivre jusqu'au bout, la piste complètement inattendue du triangle arithmétique, à laquelle avait déjà pensé Laurent Hua, mais du point de vue de la géométrie. C’est en quittant ce monde, nous laissant sa plus célèbre observation, que 5 ans plus tard grâce à son fils Fermat entra dans la légende. Un savant qui, mieux que tout autre mathématicien, avait compris l'impérieuse nécessité de mettre toute sa confiance dans la raison.

Le site de Roland Franquart, franquart.fr

Cette étude est comme un devoir de mémoire. Sur mon site personnel je peux voir dans les statistiques de consultation qu'en juin 2021 les États-Unis sont passés devant la Chine où elle était vue très régulièrement. Je suis quand même un peu étonné des fréquentes consultations par la Chine même si la calligraphie chinoise, très complexe, est aussi très symbolique. Les Chinois sont des gens très subtils et fort habiles, et les scientifiques y sont anglophones. Après la Chine viennent la France, le Canada et 16 autres pays. Un mauvais point pour le Japon, avec très peu de visites, et surtout pour la Grande Bretagne, mais cela, on peux aisément comprendre  .

Fermat lança parmi les âges
un court et merveilleux message
qui sans besoin de tant de pages
instruira fort tout homme sage.

Un jour conclurait-on ces pages ?
Non ! Fi des images ! Et fi des pages !
Insensés ! Fous ! qui ne voyez au voisinage
que des histoires d’un autre âge.
Qu’elles soient codages, qu’elles soient messages,
elles ne le sont que pour les sages.
Fermat, ami, si tu es là,
as-tu quelque chose à nous dire ?
Tu ne dis rien bien entendu,
peut-être même que tu souris,
tu vois ces hommes comme je les vois,
eux ne voient pas ce que tu vois.

Moi j’ai compris ton beau message,

avant les nuages,

après l’orage.

Trois éminents scientifiques répondentModifier

Nous avons mentionné cette étude à quelques rares scientifiques réputés, 5 ou 6 peut-être, depuis 2009, parmi tous ceux, innombrables, que nous estimons grandement. J’avoue, toute pudeur écartée, qu’il m’est arrivé – il y a quand même un bout de temps – d’espérer une réponse de l’un d’entre eux, ne serait-ce qu’un simple ‘’merci de votre courrier’’. J’allais dire que je n’en avais jamais reçu aucune, en fait j’en ai reçu trois en comptant la petite blague que me fit C. Goldstein. Une autre, en 2018 ou 2019, était très courte, à peine moins laconique que celle de C. G. (que voulez-vous on est ‘’un Grand’’ ou on ne l’est pas). La voici : « Ce qu’il faudrait, c’est un nouvel outil ». C’était pourtant exactement ce que le découvreur de l'explication de Fermat, Roland Franquart, lui fournissait : un nouvel outil, le ‘’triangle de Pascal’’, grâce à un minutieux et formidable travail de décryptage (même son texte comporte 2 petites erreurs qui ne sont même pas mathématiques et ne concernent ni la note ni le théorème). Seulement voilà, quand on est un scientifique réputé – ce mathématicien ne m’en voudra pas si je dis qu’il n’est pourtant pas si renommé – on a les sourcils chatouilleux. C’était exactement la réponse qu’il ne fallait pas me faire (notre travail, à Roland Franquart et à moi-même, l’avait peut-être irrité pour une raison particulière que je tairai par discrétion). Toujours est-il que grâce à sa drôle de réponse je repris mes recherches de plus belle.

Une autre réponse fut cette magnifique perle : « Ce qui est sûr, c'est que toutes les démonstrations auxquelles Fermat auraient pu penser à son époque se cassent la figure. » C'est le commentaire le plus ubuesque que l'on puisse trouver sur le théorème de Fermat. J'ai laissé la faute d'orthographe révélatrice d'une propension à l'exagération, à prétendre détenir, et eux seuls, la vérité. Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel encensé par Pascal, un autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils pensent que « le plus grand homme du monde », qui s'était attaché, avec une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grands mystères des nombres, et qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres, était doté d'un discernement inférieur au leur. Dans quel aveuglement peuvent être entraînés ces scientifiques confortés par la reconnaissance académique...

Christophe Breuil, « mathématicien spécialisé dans la géométrie algébrique et la théorie des nombres » (Wikipédia), nous livre quelques réflexions qui aident à comprendre la psychologie du savant :

« Voici par exemple une autre petite histoire (encore une boutade) que je tiens d’un autre collègue moins jeune (mais non moins brillant). Pour savoir si le résultat nouveau que l’on vient d’obtenir est intéressant, il faut s’y prendre de la façon suivante :
1) Modestement l’expliquer à un grand expert du sujet.
2) Analyser sa réaction : s’il est content, le résultat n’a probablement que peu d’intérêt, mais s’il fait la tête, alors tout espoir est permis ! Tel peut sembler être le « destin » des mathématiciens : celui de s’attaquer à des problèmes surhumains qui suscitent indifférence et incompréhension du monde extérieur. Mais il y a les maths [pourquoi tous les matheux mettent-ils cette abréviation au pluriel alors que “math” en 4 lettres c'est si joli, si “carré” ?] elles-mêmes, leurs objets et structures d’une infinie richesse, leurs beaux et puissants concepts, leur profonde unité, perpétuelle source de renouvellement et de rajeunissement !

[…] Tout chercheur vous dira que les considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique, ou embrumer une intuition mathématique en train de prendre forme ».  » [5]

Conte à guérir, conte à grandirModifier

« Les savants font la guerre aux préjugés populaires, sans s'apercevoir qu'ils sont eux-mêmes tout pleins de préjugés pour le moins aussi nombreux, quoique différents, et bien plus dangereux pour la société. [...] Les savants et les sots, comme les oies sauvages, aiment à se réunir et à voyager en troupes. Le philosophe, comme l'aigle, aime à s'élever solitaire dans les cieux d'où il plane au-dessus des préjugés des savants et des sots. » (Auguste Guyard, Quintessences, 1847). Fermat a décidément fait un choix judicieux en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour ces mathématiciens entêtés, voici un petit conte qui se propose d'illustrer la vacuité de leur “argument”.

Un jour incertain de l’année 202., dans les sous-sols d’une unité de recherche menacée de dissolution pour cause de dépenses inconsidérées et d'un manque criant de résultats, une expérience unique est rondement menée. Des savants ont l’idée d’utiliser un prototype d’ordinateur à logique floue qui donne de grandes espérances. Après y avoir entré un maximum de données concernant Fermat et son Grand Théorème, ils ont demandé à l’ordinateur, qui d'après eux pouvait ainsi connaître les pensées les plus profondes de Fermat, si ce dernier aurait pu avoir une preuve. Le professeur Gonzalezova raconte : La machine tournait, tournait, tournait, de temps en temps émettait un “Gloups !” ou un “Eh ?”, c’est tout ce qu’on en tirait. C’est Jean Neymar qui a eu l’idée de dire à la machine : Tu sais ce que la grand savant André Weil a dit ? Il a dit : « Jusqu’en 1638, la correspondance de Fermat le montre comme le plus inexpérimenté des novices en théorie des nombres. » C’est à ce moment-là que le bouzin a commencé à bugger. Pas longtemps, toutes les lumières du labo se sont subitement éteintes en même temps que la machine rendait l’âme. Lalampe est parti rétablir le courant, on a bu un verre ou deux pour s’éclaircir les idées, fumé un joint, et on a commencé à réfléchir calmement. Tout d’un coup le visage de Lalampe s’est éclairé : « Et si Fermat n’avait jamais prouvé le cas particulier n=3, comme beaucoup l’ont affirmé ? » On a trouvé l’idée assez géniale, vu qu'elle étayait la théorie d'André Weil. Christiane s’est empressée d’aller chercher le prototype 02, identique en tous points au premier, et l’a posé à côté du défunt. Elle nous regardait mais nous on préférait faire durer le plaisir, on était bien, complètement relaxés, certains du résultat. Folalié est le plus impatient du groupe, dès que la machine commence à gloupser!, il lui dit qu’« elle est bête, le cas n=3 n’a été prouvé qu’un siècle après la mort de Fermat ». La machine semble un peu pensive puis une vidéo s’affiche, c’est Einstein qui se gratte la tête. Folalié reprend : « T’inquiète, Einstein est dépassé, tu peux faire beaucoup mieux. » Cette fois c’est une photo, le grand sourire de Julia Roberts. L’imprimante ronronne deux secondes et lâche sa preuve en 9 exemplaires : « Fermat n’a prouvé aucune de ses conjectures et n'a jamais rien écrit dans une marge. C’est son fils qui les a toutes écrites et démontrées, de la première à la dernière. » Folalié : « On est restés sur le c...calcul. On a mis tous les protos à la benne ».

Anagrammes ébouriffantesModifier

  • Petri de Fermat permettra défi dernier théorème, étreindre Homère. Pierre de Fermat préféra méditer.
  • Le Prince des amateurs réussira déplacement → parlementaires déçus.
  • Prince des amateurs précédera tsunamis [et] sectarisme répandu. Diamants récupérés.
  • Prince des amateurs persécutera admins (de l’Académie).
  • Le grand théorème old math régénéré(s).
  • En latin le ‘i’ s’écrivait parfois ‘j’ (tout comme le ‘u’ s’écrivait parfois ‘v’). Dans l'espace laissé vide à la fin de sa note, Fermat aurait eu exactement la place pour une fois d’écrire une anagramme prémonitoire sous les mots :

« i demonstrationem mirabilem sane detexi » :
« j’immortalisai anxiétés de dénombrement », mais des esprits chagrins et jaloux de Fermat, à l’instar de Descartes, auraient encore moqué ce ‘Gascon’, ce ‘fanfaron’.

Le mathématicien anglais John Wallis n’appréciait pas les manières de Pierre de Fermat, qui prenait un malin plaisir à défier les Anglais et s’étonnait du mépris de Wallis envers les problèmes qu'il lui soumettait. Retirons une aile à Wallis, ce qui nous donne Walis. Il suffit maintenant de remplacer le ‘’i’’ par un ‘’e’’ (le son ‘’i’’ correspond en anglais à la lettre ‘’e’’ → Welis, qui est l’anagramme de Wiles, britannique lui aussi, qui trouva une preuve très compliquée au Grand théorème et conteste que Fermat ait pu trouver une preuve beaucoup plus courte. L’anecdote est d'autant plus savoureuse que les astuces les plus importantes du Français Fermat ont pu être retrouvées par le Français Franquart Roland (on dirait des Rugissements). Impossible en revanche de trouver la moindre anagramme à ‘’Roland Franquart’’, mais en remplaçant les 3 “R” par 3 “E” on trouve Adonné Quête ALFA (Agence de Lutte contre la Fraude dans les Arts).

ÉpilogueModifier

Qu’y a-t-il d’étonnant à ce que Fermat, grand pédagogue et fin psychologue, ait réservé un statut très spécial à son théorème le plus difficile, n’en parlant jamais à quiconque de son vivant sauf à son fils.

Amusons-nous encore un moment, Fermat écrit que la marge ne contiendrait pas son explication, qui pourtant dans son observation ne comporte que trois lignes. Que n'aurait-on pensé s’il avait écrit, au lieu de prétexter le manque de place : « Je pourrais bien vous en donner l’explication très détaillée, mais j’ai travaillé pour trouver cette preuve qui sort complètement des sentiers battus. Vous devrez travailler vous aussi, et vous vous apercevrez que quand un obstacle est insurmontable, il est toujours possible de le contourner. La meilleure façon de faire avancer la science ne consiste pas à vouloir à tout prix chercher une solution à un problème difficile, mais à s’engouffrer dans des chemins encore jamais explorés qu’il semble nous suggérer ; à y cheminer pour s'y enrichir. C’est ainsi que l’on parvient à percer les plus grands mystères, et que soudain, sans qu’on s’y attende, la solution apparaît. Car le problème ne réside pas tant dans le problème lui-même que dans la façon dont on le pose. »

Piet Hein posera trois siècles plus tard :

« Les problèmes dignes d'être attaqués prouvent leur valeur en ripostant. »

351 ans de recherches inabouties (depuis la publication de l’Arithmetica) sur l'éventuelle preuve de Fermat ont très mal engagé l'affaire, certainement destinée à ne jamais aboutir, mais après tout une énigme en suspens (en suspens pour les non initiés) a bien plus d’attrait qu’une énigme totalement résolue. Le minimum que nous pouvions faire était de saluer la pédagogie du “Prince des amateurs”. Méditer sur cette énigme, son histoire, ses acteurs, interrogatifs ou péremptoires, est instructif pour le chercheur en quête de vérité historique. Tous les mathématiciens qui auraient pu suivre Fermat dans ses recherches l’avaient définitivement lâché : ses apports à la science des nombres et ses mérites ne purent être considérés à leur juste valeur, comment ne pas en ressentir quelque amertume ? Que fait un professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, quittent le cours ? Que fait un savant que nul ne veut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline ? Quelle ressource reste-t-il à un pédagogue qui a toujours ardemment souhaité que la connaissance progresse ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, il ne va pas en changer. Pour ceux qui peut-être accepteront de reprendre le flambeau, il livre, sans leur mâcher le travail, 48 brèves et précieuses observations. Parfois il dit manquer de place, parfois de temps, pour exposer une démonstration (toujours admirable) de ce qu’il avance. Une seule fois dans ses observations, il nous livre livre la démonstration complète d’un théorème important. Les mathématiciens modernes, chacun occupés à leur tâche, ne s'intéressent plus du tout à une preuve détenue par Fermat et ont définitivement clos une histoire déjà bien trop longue à leur goût. Le destin a fait que Fermat et Pascal ne puissent se rencontrer en 1660, le même destin suggère que la preuve de Fermat et les mathématiciens jamais ne puissent se rencontrer.

Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son discernement. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard et il en a joué, avec ses façons peu orthodoxes et provocantes. La plus célèbre de ses ‘’observations‘’, Fermat pouvait-il être assuré qu’une démonstration qu'il y aurait cachée, hermétique à l'extrême, serait un jour découverte ? Non bien sûr mais nous pensons qu'il était confiant. À première vue, à première vue seulement, il semble incroyable qu'il ait fallu attendre 3 siècles et 38 ans pour que ce soit un amateur, ancien militaire expérimentateur des radars-sol, qui ait l'idée d'aller observer l'OBSEVATIO de Fermat de près, « à la loupe ». Il est vrai qu'un bon militaire possède ces qualités : 1) Rigueur, ponctualité, goût de le discipline. 2) Adaptabilité, curiosité. 3) Vigilance, efficacité. 4) Honnêteté, esprit de corps. 5) Formation continue. Ce chercheur tenace, Roland Franquart, fut l’auteur de « Commutation des voies radar-Fizeau par découpage des échos des voies linéaires » et de « Contrôle de la superposition des vidéos radars primaires », qui fut intégré par l’industriel aux Programmes Opérationnels de l’Armée de l’Air.

Postulat de Fermat[9] — « Mais que ce soit un pré carré en deux prés carrés ou un quarteron en deux quarterons & en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au binôme ne pourra être partagée en deux autres d’avis contraire. Une admirable démonstration pourra en être faite par ceux qui me suivront. »

Mettons-nous dans la tête d'un mathématicien du XVIIIe siècle (ou suivant) ouvert d'esprit. Regardons-le lire l'observation de Fermat dans une édition semblable à celle de Lyon (sur le mot detexi, une tache soigneusement exécutée, qui dans le contexte appelle la lettre ‘t’. Il réfléchit ainsi : « C'est vraiment bizarre cette tache, personne ne s'en étonne, et pourtant Samuel de Fermat a retranscrit fidèlement les 48 observations de son père. Pourquoi donc cette anomalie ? ». Mais notre homme n’est pas un fin connaisseur de la langue latine, il s'en tient à une traduction approximative (toutes le furent). Il ne voit pas non plus l’autre anomalie dans le premier mot de la note. Son seul indice c’est une tache. A-t-il le réflexe de regarder plus avant et de noter que le point qui suit ce mot est surchargé lui aussi ? Comment pourrait-il envisager que Fermat ait pu cacher de nombreux autres indices dans son texte, pour finalement réussir le tour de passe-passe de mettre à nu sa preuve à l’aide de seulement trois lignes et demie écrites en latin, « le marqueur du sublime par excellence » ? C’est surtout cette dernière question que les commentateurs n’ont jamais pu, jamais osé imaginer. Reconnaissons à leur décharge que Fermat a tout fait pour qu’il en soit ainsi. Il y a ainsi de quoi être vexé de n’avoir jamais su lire ce qu’écrivait Fermat. De n’avoir pas pensé à faire appel à un latiniste pour traduire exactement l’ ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT’’. Pouvez-vous imaginer un mathématicien contemporain clamer : « On s’est tous trompés ! Fermat s’est encore une fois fichu de nous, il avait caché sa démo dans sa note, et nous, on n'avait rien vu venir ! » ? (moi je ne peux pas). Cette dernière question est d’un grand intérêt et, bien qu'elle soit conçue interrogativement, elle est négative, puisque reconnaître que Fermat avait bien une preuve, ce serait reconnaître que « quelques uns d'entre nous, éminents savants, ont fait preuve d'un amateurisme confondant ».

Quelques anecdotes liées au théorèmeModifier

  • La plus romantique des histoires rapporte que Paul Friedrich Wolfskehl (1956-1906), un médecin, était tombé en amour d’une fort jolie femme, mais que celle-ci rejeta ses avances. Désespéré il décida de se suicider, fixa le jour, et l’heure. Il mit ses affaires en ordre avant le grand départ, rédigea lettres et testament. Le dernier jour arriva. Comme il lui restait du temps avant l’heure fatidique, il en profita pour étudier des calculs de Kummer, qui expliquaient pourquoi Lamé et Cauchy avaient échoué dans leur tentative sur le Fermat. Croyant avoir découvert une faille dans l’exposé, il se mit assidûment à la tâche pour tenter de la combler, mais réalisa finalement que le raisonnement était bon. L’aube était déjà là, minuit était passé, l’heure du suicide aussi. Mais que les mathématiques sont belles ! Il renonce finalement à son funeste projet. Cette histoire est une de celles qui courent sur Paul Wolfskehl. Ce qui est certain c'est que souffrant de sclérose en plaques il dut renoncer à la carrière de médecin et se tourner vers les mathématiques. Son doctorat en poche (probablement obtenu en 1880) il s’intéressa au Fermat. Après la publication du nouveau Diophante par Samuel en 1670, les mathématiciens, subjugués par la simplicité trompeuse du théorème, avaient en effet commencé à s’en passionner. Plus le temps passait, plus ils faisaient des progrès, mais on ne trouvait toujours pas de preuve. Deux siècles passèrent et on se persuada que Fermat ne pouvait avoir trouvé. Paul Wolfskehl, auquel les mathématiques avaient redonné le goût de vivre, décida de rendre hommage au théorème qui lui avait sauvé la vie en offrant un prix de 100 000 marks à qui le démontrerait.
  • Il a été rapporté qu’Euler aurait demandé à un ami de fouiller la maison de Fermat à la recherche d’indices sur ses démonstrations, dont celle du théorème.
  • Au printemps de l'année 1994, alors que Wiles cherchait toujours à combler la faille dans sa démonstration et que l'affaire se présentait au plus mal, un message Internet courut sur les écrans d'ordinateur du monde entier :

Date : 03 avril 1994
Sujet : Encore Fermat !
« Il y a eu aujourd'hui un développement extraordinaire dans le Dernier théorème de Fermat.
Noam Elkies a communiqué un contre-exemple, et donc le Dernier théorème de Fermat est faux en fin de compte ! (Etc.) ».

Noam Elkies, professeur à Harvard, avait déjà trouvé à l'âge de 22 ans, en 1988, un contre-exemple à la conjecture d'Euler, prouvant ainsi qu'elle était fausse. Le message Internet fut un coup terrible pour Wiles, il ne parviendrait donc jamais à redresser la situation ! On bombarda Elkies de questions sans obtenir aucune explication. Puis un mathématicien s'intéressa de près à cette déclaration et on s'aperçut que si le message était bien daté du 3 avril, c'était parce qu'il avait été reçu de troisième main. Le message était à l'origine daté du 1er avril, ce poisson d'avril toxique avait été imaginé par le mathématicien Henri Darmon. Il eut pourtant un effet salutaire, on cessa de diffuser hypothèses et ragots et on laissa Wiles, Taylor, le théorème et la démonstration, tranquilles pour un moment.

Et ensuite ?Modifier

Roland Franquart, mathématicien amateur plein de ressources, et moi-même qui suis plutôt analyste avons découvert tout ce qu'il nous était possible. Nous sommes absoluments certains tous deux que la l'explication/démonstration de Fermat, bien que plus beaucoup elliptique qu'à son habitude, est exacte et que, Fermat ne s'est pas trompé. Elle aurait maintenant à être finalisée. Le flambeau doit maintenant être passé à un mathématicien plus compétent, voici le profil que je lui vois : extrêmement doué, jeune, très enthousiaste, l'esprit non cadré par ses études, très intutif et très ouvert d'esprit bien sûr, très audacieux évidemment, qui ne craint pas d'aller loin dans le «fondamental » (dans les fondements de l'arithmétique). L'oiseau rare existe forcément, ils doivent même être plusieurs. Alors si vous êtes arrivés sur ce texte, maintenant c'est à vous. Et si vous arrivez à vos fins, n'oubliez pas de nous en avertir ! Merci.

Flashback (fiction)Modifier

Le dialogue ci-dessous imaginé est en effet une pure fiction née de l'imagination de l'auteur. Un lundi de l’an 1640

   Pierre Fermat entre au salon avec son plateau de petit-déjeuner, s’attable à côté de Clément Samuel. Il semble en pleine forme ce lundi, c’est d’autant plus étonnant que ces dernières semaines il a été un peu ronchon, du mal à en décrocher une.

  • Bonjour mon fils, bien dormi ?
  • Oui père, et vous-même ?
  • Fort bien, je te remercie.

Où est-il donc allé ce dimanche sans rien dire à personne ? Fermat semble beaucoup apprécier cette collation en compagnie de son fils, prenant plus de temps que de coutume. S’il n’était si bien éduqué il se permettrait un rot. Finalement il repousse son couvert, sourit à son fils mais ne pipe mot.

  • Vous semblez joyeux, père, une bonne nouvelle ?
  • Fiston, j’ai travaillé une semaine entière sur la question la plus difficile que j’ai jamais eue à examiner. Figure-toi qu’hier j'en suis tombé sur le derrière.
  • [Il est marrant le pater] Où donc étiez-vous toute la journée, mère vous cherchait partout ?
  • J’ai pique-niqué sur les quais de l’Agoût, puis une longue promenade en oubliant tout ce que je savais des nombres. Mais pas ce qu’ils m’ont appris, bien sûr. Es-tu déjà allé sur les quais ?
  • J’y emmenais parfois une jeune fille fort avenante.
  • Tu ne l’y emmènes plus ?
  • Elle s’est fait admonester par son père, sous prétexte que nous n’avons tous deux que dix ans. En réalité il ne veut pas entendre parler des Fermat, il avait l’air méchant m’a-t-elle dit et lui a fait bien peur.
  • Un de plus qui craint pour sa réputation.
  • Elle n’était pas si jolie... mais bien gentille tout de même.
  • Les enfants paient souvent pour les parents. Quant à moi, m’en revenant hier, j’ai trouvé un nouveau trésor, un gros cette fois, le calcul ne me lâchera plus, mon fils.
  • Quel en est le sujet ?
  • Il s’agissait encore de prouver par a+b qu’aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux autres du même nom, tu te souviens que tu m’avais dit que ce serait rigolo de faire comme si le théorème de Pythagore était faux, on prouverait ensuite que ce serait la seule possibilité pour que l’on trouve de telles puissances. Mais comme Pythagore a raison, on ne pourrait ainsi trouver aucune puissance qui soit partagée en deux autres. C’est une jolie idée que tu as eue, et je suis fier de toi. On ne peut pas l’exploiter ainsi, mais c'était malgré tout une bien jolie idée. J'y pensais en m’endormant. Je me demandais aussi si tu avais déjà une idée de ce que tu aimerais faire plus tard ?
  • [Yeux écarquillés : il est trop fort le pater, il ne m’en dira pas plus] – Je pense que j’aimerais devenir géomètre mais j’ai parfois remarqué que la lampe de votre bureau était allumée en pleine nuit. Je me demande si pour moi ce serait une si bonne idée, j’ai toujours du mal à quitter mon lit le matin.
  • Tu aimes lire n’est-ce pas ?
  • Oh pour ça oui ! Et j’écris même de la poésie.
  • Magnifique ! Tu voudras bien me dire quelques uns de tes poèmes ?
  • D’accord.
  • Pour ce qui est du calcul qui nous a fort occupé, c’est grâce à ta mère que j’ai pu me sortir de l’ornière, je pensais à cette histoire de bahut qui la tracassait et j’ai voulu me changer les idées en marchant, elle ne saura jamais l’immense service qu’elle m’a rendu.
  • Moi je le lui dirai.
  • C’est bien mon fils.
  • Vous avez donc trouvé la preuve pour toutes les puissances ??
  • Toutes.
  • Mais pourquoi une telle preuve était-elle si nécessaire ?
  • L'homme a soif de connaître. Et, quand quelque chose de très beau pourrait apparaître sous tes yeux, que ça paraîtrait tellement évident après coup, mais qu'a priori il semblait totalement impossible de le mettre au jour, j’ai appris qu’il faut s’endormir avec ce paradoxe à l’esprit : la question te titille ainsi pendant la nuit sans même que tu t'en rendes compte. C’est d'ailleurs aussi comme cela qu’on peut faire les rêves les plus étonnants. Mais ceci est une autre histoire...
  • J’ai fait ainsi avec ma copine et ça n’a rien donné.
  • Alors il faut trouver un autre paradoxe, plus adapté à ta situation.
  • Et pour le bahut aussi, vous avez trouvé ?
  • Ah ! pour le bahut… Nous allons nous en débarrasser, il prend trop de place.
  • Cette question des puissances, elle était si difficile ?
  • Ce qui était le plus difficile vois-tu c’était d'y croire très fort, tout en restant très humble. Je ne te cache pas qu'il y fallait aussi de l'audace. Eh oui j’ai trouvé, j’ai même trouvé beaucoup mieux qu’une solution.
  • Je voudrais bien être grand.
  • Ne sois pas trop pressé. Sais-tu mon fils, quand un obstacle semble très difficile, nous pensons souvent qu’il faudrait sauter très haut pour le franchir, la plupart des gens s’y épuisent et finissent par renoncer. Pas un instant ils ne songent que si l’obstacle est aussi élevé, c’est justement pour leur laisser la place de passer par en dessous. Plus l’obstacle est élevé, plus il faut regarder devant soi. Si tu restes le nez en l’air tu ne vois pas tous les chemins qui s’offrent à toi. Pour en revenir à notre question, nous allons la garder pour la fine bouche, on va bien s’amuser fiston.
  • Chouette !
  • Ils se croient plus malins que nous les rosebeef, on va leur donner du boulot – pas seulement à eux d’ailleurs. Ils ne vont pas aimer crois-moi.
  • Tant mieux !
  • L’obstacle que je leur présenterai leur paraîtra énorme. Je les imagine bâtir des échafaudages de bric et de broc pour sauter le plus haut possible. Ce serait bien dans la veine des English, ils sont souvent discrets mais peuvent être terriblement revanchards. Isolés sur leur petit coin de terre, leurs géomètres ont toujours peur de paraître prétentieux en parlant d’eux-mêmes, ils ne goûtent guère ma manière de leur présenter des défis difficiles. Oui, le coup pourrait bien venir des Anglais.
  • Qu’allez-vous faire ?
  • Nous en dirons le minimum. Nous laisserons un fil rouge, tout en brouillant un maximum de pistes. Je me mettrai plus bas que terre, tu verras qu’ils répandront toutes les rumeurs possibles. D'ailleurs... j’aurai besoin de toi quand tu seras plus âgé.
  • J'en suis très heureux, père. Mais... je devrai les laisser dire du mal de vous ?
  • C'est le prix à payer pour que ce soit amusant et efficace. Toi, tu seras le passeur, ce n’est pas pour rien que tu te prénommes Samuel, n'est-ce pas, et tu seras encore plus fier de porter notre nom...
  • Et... pour ma copine ?
  • Elle prend tant de place que ça ?
  • Trop de place.

Ils ont ditModifier

1637. Fermat à Roberval  : « Au reste, quoi qu’on juge digne d’impression de moi, je ne veux pas que mon nom y paraisse. »
1637. À Mersenne : « […] nous trouvons souvent à tâtons et parmi les ténèbres ce que nous cherchons, … »
1641. À Mersenne  : « Les occupations que les procès nous donnent sur la tête m’ont empêché de pouvoir lire à loisir les Traités que vous m’avez fait la faveur de m’envoyer. »
1641. Frenicle à Fermat : « Les méthodes que vous donnez […] sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage… »
Frenicle via Digby, à Fermat : « Jamais homme n’a approché votre fond de science. »
1650. Fermat à Carcavi : « Je n’ajoute pas l’opération entière, pource que la longueur du travail me lasseroit. »
1650 (vers). René DESCARTES : « Monsieur Fermat est Gascon. Moy non. »
1656. Blaise PASCAL, Les Provinciales (la XIIe) : « Tous les efforts de la violence ne peuvent affaiblir la vérité, et ne servent qu’à la relever davantage. »
1657. Fermat à Digby : « Le hasard et le bonheur se mêlent parfois aux combats de science aussi bien qu’aux autres. »
Condorcet : « Fermat est le seul dont ce grand homme (i.e. Descartes) eût pu être jaloux. »
1845. Guglielmo LIBRI : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
Eric Temple BELL : « En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux. »
Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie ».
1979. Ian STEWART : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ».
1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée », il n’a pas eu à se rétracter.
2001. Andrew WILES : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
2008. David Ruelle est un physicien mathématicien, non spécialiste de théorie des nombres et non spécialiste de Fermat : « Pierre de Fermat pensait qu’il avait une preuve de cette affirmation mais il s’était sans doute trompé, et ce n’est qu’en 1995... »
2020. Edwy PLENEL sur France culture : « Dieu sait si je suis quand même averti pour dire qu’il peut y avoir de grandes imbécillités académiques, de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes. »

RemerciementsModifier

Un immense merci à Andrew WILES, qui décida à l'âge de 10 ans de relever un jour le défi de Fermat, y consacra plus tard 7 ans de sa vie, et finalement trouva une preuve (beaucoup trop compliquée pour moi).
Merci à Simon SINGH, grâce à son très beau livre, qui résume merveilleusement, depuis Euclide, l'histoire des math et celle du théorème en particulier, je me suis pris de passion en 1998 pour cette énigme. On y trouve aussi de savoureuses anecdotes.
Merci à Roland FRANQUART, évidemment.
Merci à WIKIPEDIA où j'ai pu largement me documenter. Merci aux contributeurs que j'y ai côtoyés et ont su me supporter, parfois avec beaucoup de patience. Je dois beaucoup à des échanges fructueux avec en particulier Cgolds, mais aussi Anne Bauval, Marvoir, Jean-Christophe BENOIST, Cphil, Proz, et bien d'autres qui se reconnaîtront sur d'autres thèmes : sociologie du travail, philosophie, théologie, littérature. Les nombreuses sources que j'ai pu consulter sur Wikipedia m'ont beaucoup appris sur le phénomène de “pensée de groupe”, j'y ai collecté les pseudo-arguments véhiculés par la doxa depuis trois siècles.
Merci au professeur Emmanuel BURY, à la chercheuse et professeure Ludivine GOUPILLAUD pour son étude sur l'usage du latin chez Pierre de Fermat.
Merci à Jean ROUSSEAU et Laurent HUA, pour leurs fines observations dans leur ouvrage. Laurent HUA, polymathe, membre de l'équipe française des Experts de Bologne, a été le premier à exploiter la piste du triangle de PASCAL, mais par la voie géométrique alors que FERMAT donne sa solution par la voie arithmétique. Leur ouvrage m'a été d'une aide considérable.
Toute ma reconnaissance à Catherine GOLDSTEIN pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheuse et d'historienne, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage, parfois ardu, est magnifique, l'étude est très documentée, et surtout les analyses sont d'une grande profondeur. L'ouvrage est malheureusement épuisé et difficile à trouver.
Merci à Aurélien ALVAREZ et à Albert Violant I HOLTZ pour leur objectivité.
Merci à Madame Marielle MOURANCHE, Conservateur des bibliothèques, responsable du livre ancien, Université de Toulouse, SICD.
Merci à Madame Claire Adélaïde Montiel, professeure certifiée honoraire de lettres modernes, présidente de l'association Fermat Science.
Merci à la plateforme de numérisation E-rara où j'ai pu trouver une troisième version de l'Arithmetica de 1670, ce qui fut pour moi une aide fort précieuse.
Merci à l'Encyclopédie en ligne GALLICA (BNF).
Merci au site blogdemaths.
Merci à tous ceux qui m'ont encouragé dans ma démarche.
Merci à Alexandre GROTENDIECK (1928-2014) pour le témoignage si fort qu'il nous a laissé, ses découvertes mathématiques sont d'une telle profondeur que beaucoup d'entre elles sont encore inexploitées.
Merci à tous ceux que j'oublie.
Claude Mariotti

Annexe IModifier

Lettre bilan de Fermat à Pierre de Carcavi en août 1659Modifier


RELATION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES[10].


 ... 1. Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres, étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. J'appelai cette manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie, etc. ; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les propositions négatives, comme, par exemple :

Qu’il n’y a aucun nombre, moindre de l’unité qu’un multiple de 3, qui soit composé d’un carré et du triple d’un autre carré ;

Qu’il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un nombre quarré[11].

La preuve se fait par απαγωγην εις αδυνατον en cette manière :

S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second, moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y en a point infinis en descendant moindres que celui-là (j'entends parler toujours des nombres entiers). D'où on conclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarrée.
On infère de là qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il peut se prouver par la descente.
Je n'ajoute pas la raison d'où j'infère que, s'il y avoit un triangle rectangle de cette nature, il y en aurait un autre de même nature, moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et que c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.

 2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé, que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Le progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre Premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y a là un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

 3. Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si malaisée qu'on peut n'y peut y venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusque-là qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit point de voie pour la résoudre[12].

Tout nombre est carré ou composé de deux carrés, de trois ou quatre carrés.

Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que si un nombre n’étoit point de cette nature, il y en aurait un moindre qui le serait pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc., à l'infini d’où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

 4. Celle que j’avois proposée à M. Frenicle et autres[13] est d’aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non q narré est de telle nature qu’il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins 1. Je la démontre par la descente appliquée d’une manière toute particulière.
J’avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et proprement appliquée : ce que je leur indique, afin qu’ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu’ils ont données.

 5. J’ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes[14].
Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
Il n’y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121[15].
Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers[16].

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre.
Je mets en cet endroit la question suivante dont j’ai envoyé la démonstration à M. Frenicle, après qu’il m’a avoué et qu’il a même témoigné dans son Écrit imprimé[17] qu’il n’a pu la trouver :

Il n’y a que les deux nombres 1 et 7 qui, étant moindres de l’unité qu’un double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l’unité qu’un double quarré.

 6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de différente façon de démontrer, j’ai passé à l’invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante.
On propose, par exemple,

2Q + 7967 égaux à un quarré.

J’ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités.
On propose cette équation double :
   2N + 3       et       2N + 5 égaux chacun à un quarré.
Bachet se glorifie, en ses Commentaires sur Diophante[18], d’avoir trouvé une règle en deux cas particuliers ; je la donne générale en toute sorte de cas et détermine par règle si elle est possible ou non.
J’ai ensuite rétabli la plupart des propositions défectueuses de Diophante et j’ai fait celles que Bachet avoue ne savoir pas et la plupart de celles auxquelles il paraît que Diophante même a hésité, dont je donnerai des preuves et des exemples à mon premier loisir.

 7. J’avoue que mon invention pour découvrir si un nombre donné est premier ou non n’est pas parfaite, mais j’ai beaucoup de voies et de méthodes pour réduire le nombre des divisions et pour les diminuer beaucoup en abrégeant le travail ordinaire. Si M. Frénicle baille ce qu’il a médité là dessus, j’estime que ce sera un secours très considérable pour les savants.

 8. La question qui m’a occupé sans que j’aie encore pu trouver aucune solution est la suivante, qui est la dernière du Livre de Diophante De multangulis numeris.

Dato numero, invenire quot modis multangulus esse possit.

Le texte de Diophante étant corrompu, nous ne pouvons pas deviner sa méthode ; celle de Bachet ne m’agrée pas et elle est trop difficile aux grands nombres. J’en ai bien trouvé une meilleure, mais elle ne me satisfait pas encore.

 9. Il faut chercher en suite de celle proposition la solution du problème suivant :

Trouver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu’on voudra, et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.

 10. Voilà sommairement le compte de mes rêveries sur le sujet des nombres. Je ne l’ai écrit que parce que j’appréhende que le loisir d’étendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces méthodes me manquera; en tout cas, cette indication servira aux savants pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point, principalement si MM. de Carcavi et Frénicle leur font part de quelques démonstrations par la descente que je leur ai envoyées sur le sujet de quelques propositions négatives. Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre[19], suivant le sentiment et la devise duquel j’ajouterai[20] :

Multi pertransibunt et augebitur scientia.

ÉLOGE DE MONSIEUR DE FERMAT, Conseiller au Parlement de Toulouse.Modifier

Du Journal des Sçavans, du Lundy 9 Fevrier 1665.

On a appris icy avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Tolose. C'estoit un des plus beaux esprits de ce siecle, et un genie si universel et d'une estendue si vaste, que si tous les sçavans n'avoient rendu temoignage de son merite extraordinaire, on auroit de la peine a croire toutes les choses qu'on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses loüanges.
II avoit toujours entretenu une correspondance tres-particuliere avec Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Hugens, etc. et avec la pluspart des grands Geometres d'Angleterre et d'ltalie. Mais il avoit lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils estoient confreres dans le Parlement de Tolose, que comme il a este le confident de ses estudes, il est encore aujourd'huy le depositaire de tous ses beaux écrits.
Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connoitre par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues celebres dans la republique des lettres; on se contentera de donner icy le catalogue des écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de luy faire un éloge plus ample et plus pompeux.
Il excelloit dans toutes les parties de la Mathematique; mais principalement dans la science des nombres et dans la belle Geometrie. On a de luy une methode pour la quadrature des paraboles de tous les degrez.
Une autre de maximis et minimis, qui sert non seulement à la determination des problemes plans et solides; mais encore à l'invention des touchantes et[21] des lignes courbes, des centres de gravité des solides, et aux questions numeriques.
Une introduction aux lieux, plans et solides; qui est un traite analytique concernant la solution des problemes plans et solides; qui avoit este veu devant que M. Descartes eut rien publie sur ce sujet.
Un traité de contactibus sphaericis, où il a demonstré dans les solides ce que M. Viet Maître des Requestes, n'avoit demonstré que dans les plans.
Un autre traité dans lequel il rétablit et demonstre les deux livres d'Apollonius Pergæus, des lieux plans.
Et une methode generale pour la dimension des lignes courbes, etc.
De plus, comme il avoit une connoissance tres-parfaite de l'antiquité, et qu'il estoit consulté de toutes parts sur les difficultez qui se presentoient; il a éclaircy une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprime depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athenée; et celuy qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inseré dans son ouvrage une tres-belle sur une Epistre de Synesius, qui estoit si difficile, que le Pere Petau qui a commenté cét autheur, a advoiie qu'il ne l'avoit peu entendre. Il a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de Smyrne et sur d'autres Autheurs anciens. Mais la pluspart ne se trouveront qu'eparses dans ses Epitres; parce qu'il n'ecrivoit gueres sur ces sortes de sujets, que pour satisfaire a la curiosite de ses amis.
Tous ces ouvrages de Mathematique, et toutes ces recherches curieuses de l'antiquité, n'empéchoient pas que M. de Fermat ne fit sa charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.
Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la force d'esprit qui estoit necessaire pour soûtenir les rares squalitez dont nous venons de parler, il avoit encore une si grande delicatesse d'esprit, qu'il faisoit des vers Latins, Francois et Espagnols avec la meme elegance, que s'il eût vécu du temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus grande partie de sa vie à la Cour de France et à celle de Madrid.
On parlera plus particulierement des ouvrages de ce grand homme, lors qu'on aura recouvert ce qui en a esté publié, et qu'on aura obtenu de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore esté.

Bibliographie sommaireModifier

  • Ludivine Goupillaud, “Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat”, in ‘’Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Éditions Droz, 2005. ISBN 2600009752.
  • Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995 (épuisé). Voir l’article de Alain Herreman et celui de Hélène Gispert [6] au sujet de l’ouvrage.
  • Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, 2013. Une collection présentée par Cédric Villani.Marielle Mouranche (sous la direction de), PIERRE DE FERMAT L’ÉNIGMATIQUE, Éditions midi-pyrénéennes – Université fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, 2017.
  • Eric Temple Bell, The Last Problem, Ed. Simon and Schuster, 1961.
  • Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal », Essai. L’Harmattan, 2002. La 1re partie (128 pages), écrite par Jean Rousseau, est une excellente étude historiographique : les formulations partielles et leur contexte. La deuxième partie, Laurent Hua la consacre à l'hypothèse «Pascal».
  • Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, Éditions Jean-Claude Lattès, 1998. Pour qui veut découvrir l'histoire de ce théorème, un livre très plaisant à lire.

RepèresModifier

  • Alexandre Grothendieck, LA CLEF DES SONGES, pdf (milieu de page), un texte captivant où l'auteur révèle la méthode qui lui a permis de résister avec une conviction et une force peu communes aux préjugés, fausses croyances et avis les plus académiques. Pour information, avec un peu de l'histoire mathématique de Grothendieck, un peu de ses ressentis, de ses intuitions, une esquisse : Sketch of a programme (Mathématiques/Algèbre).

RéférencesModifier

  1. Jacques Roubaud, “Mathématique :”, p. 211 (1997).
  2. J. Jacques Roubaud, “Le grand incendie de Londres”, chapitre 17 (1970).
  3. « Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner. » (Récoltes et semailles, p 51).
  4. Alexandre Grothendieck, « RECOLTES ET SEMAILLES - Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien » (consulté le 21 février 2021), p. 85, un texte sur lequel le chercheur pourra avantageusement méditer.
  5. Voir aussi : Sérendipité.
  6. Pierre de Fermat, Varia Opera mathematica, Toulouse, Apud Joannem Pech, 1679 [lire en ligne] 
  7. Paul Tannery : Pierre de Fermat, Œuvres de Fermat - I - partie 2, Paris, Gauthier-Villars (p. 290-358), 1891 [lire en ligne] 
  8. Un merveilleux texte de Alexandre Grothendieck, NOTES pour LA CLEF DES SONGES (pdf), p. N39
  9. Si Fermat n’a jamais formulé ce postulat, cette étude soutient l’idée que sa démarche y est résumée.
  10. Publiée pour la première fois par M. Charles Henry, d'après une copie de la main de Huygens. Cette pièce avait été envoyée « depuis peu » par Fermat à Carcavi, lorsque celui-ci la communiqua à Huygens, le 14 août 1659
  11. Voir Observ. XLV sur Diophante.
  12. Voir la note de la page 403
  13. Voir Pièces LXXX et LXXXI.
  14. Voir Observ. II sur Diophante
  15. Voir Lettre LXXXIV, 5. Cf. Observ. XLII sur Diophante.
  16. Voir Lettre XCVI, 3. t°.
  17. Cet Écrit, aujourd’hui introuvable, était intitulé Solutio duorum problematum etc., dédié à Kenelm Digby, et commençait comme suit : En tibi, Vir Illustrissime, Lutetia præbet... Deux exemplaires en arrivèrent en Hollande, pour Schooten et Huygens, le 26 octobre 1657. En Angleterre, Brouncker en reçut un seulement en décembre.
  18. Voir Observ. XLIV sur Diophante et l'Appendix à cette Observation.
  19. BACON, De dignitate et augmenta scientiarum, L IV, cap. 2.
  20. Voir page 35, note 2
  21. Lire des touchantes des lignes courbes.

Annexe IIModifier

L’esprit de géométrie et l’esprit de finesse (Blaise Pascal)Modifier

« En l’un [l'esprit de géométrie] les principes [axiomes, définitions...] sont palpables mais éloignés de l’usage commun, de sorte qu’on a peine à tourner la tête de ce côté‑là, manque d’habitude. Mais pour peu qu’on l’y tourne, on voit les principes à plein, et il faudrait avoir tout à fait l’esprit faux pour mal raisonner sur des principes si gros qu’il est presque impossible qu’ils échappent.
Mais dans l’esprit de finesse les principes [les observations...] sont dans l’usage commun et devant les yeux de tout le monde. On n’a que faire de tourner la tête ni de se faire violence, il n’est question que d’avoir bonne vue. Mais il faut l’avoir bonne, car les principes sont si déliés et en si grand nombre, qu’il est presque impossible qu’il n’en échappe. Or l’omission d’un principe mène à l’erreur. Ainsi il faut avoir la vue bien nette pour voir tous les principes, et ensuite l’esprit juste pour ne pas raisonner faussement sur des principes connus.
Tous les géomètres seraient donc fins s’ils avaient la vue bonne, car ils ne raisonnent pas faux sur les principes qu’ils connaissent. Et les esprits fins seraient géomètres s’ils pouvaient plier leur vue vers les principes inaccoutumés de géométrie.
Ce qui fait donc que de certains esprits fins ne sont pas géomètres, c’est qu’ils ne peuvent du tout se tourner vers les principes de géométrie. Mais ce qui fait que des géomètres ne sont pas fins, c’est qu’ils ne voient pas ce qui est devant eux et qu’étant accoutumés aux principes nets et grossiers de géométrie, et à ne raisonner qu’après avoir bien vu et manié leurs principes, ils se perdent dans les choses de finesse où les principes ne se laissent pas ainsi manier. On les voit à peine, on les sent plutôt qu’on ne les voit, on a des peines infinies à les faire sentir à ceux qui ne les sentent pas d’eux‑mêmes. Ce sont choses tellement délicates, et si nombreuses, qu’il faut un sens bien délicat et bien net pour les sentir et juger droit et juste selon ce sentiment, sans pouvoir le plus souvent le démontrer par ordre comme en géométrie, parce qu’on n’en possède pas ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de l’entreprendre. Il faut tout d’un coup voir la chose d’un seul regard, et non pas par progrès de raisonnement, au moins jusqu’à un certain degré. Et ainsi il est rare que les géomètres soient fins et que les fins soient géomètres, à cause que les géomètres veulent traiter géométriquement ces choses fines et se rendent ridicules, voulant commencer par les définitions et ensuite par les principes, ce qui n’est pas la manière d’agir en cette sorte de raisonnement. Ce n’est pas que l’esprit ne le fasse mais il le fait tacitement, naturellement et sans art [sans besoin de règles], car l’expression en passe tous les hommes, et le sentiment n’en appartient qu’à peu d’hommes.
Et les esprits fins au contraire, ayant ainsi accoutumé à juger d’une seule vue, sont si étonnés quand on leur présente des propositions où ils ne comprennent rien, et où pour entrer il faut passer par des définitions et des principes si stériles, qu’ils n’ont point accoutumé de voir ainsi en détail, qu’ils s’en rebutent et s’en dégoûtent.
Mais les esprits faux ne sont jamais ni fins ni géomètres.
Les géomètres qui ne sont que géomètres ont donc l’esprit droit, mais pourvu qu’on leur explique bien toutes choses par définitions et principes ; autrement ils sont faux et insupportables, car ils ne sont droits que sur les principes bien éclaircis.
Et les fins qui ne sont que fins ne peuvent avoir la patience de descendre jusque dans les premiers principes des choses spéculatives [i.e. abstraites] et d’imagination qu’ils n’ont jamais vues dans le monde, et tout à fait hors d’usage. »

FERMAT, par Libri en 1845, sur la Revue des deux mondesModifier

       On sait combien Cicéron se glorifie, dans les Tasculanes, d’avoir, lui étranger (arpinas homo), retrouvé devant les Syracusains étonnés le tombeau d’Archimède, de cet homme incomparable dont le génie sut aider également aux progrès des sciences et à la défense de sa patrie. En peu d’années, cette gloire si pure, ce patriotisme si dévoué, étaient tombés dans l’oubli. Depuis lors, le nom d’Archimède a retenti partout, sa mémoire a été vengée d’un injuste dédain, et, si le grand orateur romain revenait au monde, il ne pourrait plus appeler un homme assez obscur l’immortel défenseur de Syracuse.

Ce que durant sa questure Cicéron fit pour Archimède, M. Villemain, pendant qu’il était au pouvoir, a voulu le faire pour Fermat. Frappé par la découverte récente de quelques écrits inconnus du rival heureux de Descartes, M. Villemain, dont l’esprit sait apprécier toutes les gloires, jugea qu’il fallait élever un monument national à la mémoire d’un homme qui honore la France, et dont cependant le nom est à peine prononcé hors des académies. Il pensa qu’après avoir rendu un juste hommage au génie de Laplace, ce serait accroître le patrimoine public que de réunir et de faire imprimer aux frais de l’état les œuvres éparses et devenues aujourd’hui si rares de l’illustre magistrat de Toulouse : il sentit que, dans un pays où les noms des savants de l’antiquité sont dans toutes les bouches, on ne devait pas laisser aux géomètres seuls le soin de rendre honneur à la mémoire d’un des plus grands esprits que la France ait enfantés. La surprise qu’à la chambre des députés excita le projet de loi présenté dans ce dessein par M. Villemain a dû prouver, mieux que tout ce qu’on pourrait en dire, l’opportunité d’une telle détermination.

La vie de Fermat est à peine connue. M. Maurice, habile mathématicien, auquel on doit une notice fort intéressante sur les travaux de Fermat, a fait laconiquement sa biographie en ces termes : « Pierre de Fermat naquit à Toulouse vers l’an 1595 et y mourut en janvier 1665, âgé de soixante-dix ans. Il paraît qu’il quitta fort peu sa patrie[N 1], où il était pourvu d’une charge de conseiller au parlement, qu’il y laissa la réputation d’un magistrat intègre et dévoué à ses devoirs, et qu’il passa même pour un des plus grands jurisconsultes de son temps. C’est là tout ce qu’on sait aujourd’hui des évènements de sa vie. » En annonçant la mort de Fermat, le Journal des Savans du 9 février 1665 n’en dit guère davantage, et l’on doit ajouter que, quoique très succincte, la biographie donnée par M. Maurice est loin d’être établie d’une manière incontestable. Ainsi, tandis que Genty, dans un discours couronné en 1783 par l’Académie de Toulouse, et qui a pour titre : l’Influence de Fermat sur son siècle, fait naître en 1590 et mourir en 1664 ce grand géomètre, l’inscription placée en 1782 sur le tombeau qui était dans l’église des Augustins à Toulouse, et qui fut profané en 1794, porte que Fermat mourut le 12 janvier 1665, à l’âge de cinquante-sept ans. Cette inscription existe encore ; nous l’avons vue récemment au musée de Toulouse.

Ces doutes, ces incertitudes, paraissent enfin devoir se dissiper. Des recherches entreprises à l’occasion de la loi concernant la publication des œuvres de Fermat ont fait découvrir à Beaumont-de-Lomagne des actes authentiques qui semblent prouver que Fermat n’est pas né à Toulouse et qu’il a vu le jour à Beaumont, dans le mois d’août 1601. Bien que, dans l’esprit de certaines personnes, il puisse rester encore à cet égard quelques doutes, que probablement de nouvelles recherches dissiperont tout-à-fait, les probabilités sont désormais acquises à cette nouvelle opinion, et les nombreux documents compulsés patiemment à Beaumont par M. Taupiac établissent du moins que Fermat avait des propriétés considérables dans cette ville, qu’il s’y rendait souvent, qu’à plusieurs reprises il y présida le conseil de la commune, qu’il y fit baptiser ses enfants, et qu’il aimait à multiplier ses relations avec les habitants de ce pays. Ces documents font connaître bien des détails intimes, touchants, de la vie de Fermat. On aime à voir celui auquel Pascal, saisi d’admiration, écrivait : Je vous tiens pour le plus grand géomètre de toute l’Europe… vos enfants portent le nom du premier homme du monde, prendre la défense des pauvres habitants de Beaumont, soutenir leurs privilèges et assister à leurs délibérations. Un jour, il rédige des remerciements pour le prince de Conti, qui a donné l’ordre à une compagnie de chevau-légers de ne plus loger chez les habitants ; une autre fois, il prend soin d’expliquer à de pauvres paysans qui ne les comprenaient pas leurs vieilles coutumes écrites en latin. A notre avis, cette affectueuse sollicitude, qui honore et fait aimer un grand esprit, est un des plus solides arguments propres à démontrer que Fermat naquit à Beaumont.

Le caractère spécial des sciences exactes, c’est de s’agrandir et de se perfectionner sans cesse, soit par a découverte de vérités nouvelles, soit par l’invention de nouvelles méthodes ou par la généralisation de celles qui étaient déjà connues. Transmises successivement de peuple en peuple, les connaissances scientifiques des Grecs sont arrivées jusqu’à nous par l’intermédiaire des mahométans, qui en ont gardé le dépôt pendant que l’Europe était dans l’ignorance, et qui ne les ont rendues à l’Occident qu’enrichies de quelques vérités inconnues à leurs devanciers. Après le moyen-âge, le progrès des sciences a été si rapide en Europe, que les plus beaux théorèmes d’Archimède s’exposent aujourd’hui dans des cours élémentaires, et qu’actuellement un licencié ès-sciences est tenu d’en savoir plus sur l’analyse infinitésimale que n’en surent jamais Leibnitz et Newton. Les nouvelles méthodes ont produit des résultats bien extraordinaires ; elles ont pu en quelque sorte se substituer au génie et y suppléer.

Depuis deux siècles surtout, le progrès des mathématiques a été si rapide, que peu d’années ont suffi généralement pour ne laisser qu’un intérêt historique aux sublimes conceptions des plus illustres géomètres. Jamais la science n’est restée stationnaire ; jamais la perte d’un savant, quelque éminent qu’il fût, n’a pu arrêter ce progrès. Une seule exception se présente à cette loi générale. Dans une branche de mathématiques, un homme, au XVIIe siècle, était plus avancé qu’on ne l’est aujourd’hui. Cet homme savait des choses que nous ignorons ; pour l’atteindre, il faudrait des méthodes plus perfectionnées que celles qu’on a inventées depuis. En vain les plus beaux génies s’y sont exercés ; en vain Euler, Lagrange, ont redoublé d’efforts ; un seul homme jouit du privilège unique de s’être avancé plus loin que ses successeurs, et cet homme, c’est Fermat.

Un tel fait suffirait pour établir sa gloire, mais il ne suffit pas pour montrer l’importance de ses travaux. Ce grand géomètre ne s’est pas borné, sur un point particulier, à pénétrer dans des régions où nul jusqu’ici n’a pu le suivre ; il a contribué activement aux plus mémorables découvertes mathématiques des temps modernes et les juges les plus compétents ont déclaré que Fermat était le véritable inventeur de ces nouveaux calculs qui ont changé la face de la science.

Il n’est pas nécessaire d’être un profond mathématicien pour savoir que Newton et Leibnitz sont deux des plus puissants esprits qui aient honoré l’humanité. L’un, l’orgueil de l’Angleterre, a su dérober à la nature le plus imposant de ses secrets, et faire connaître aux hommes les lois éternelles qui règlent le cours des astres et qui établissent l’équilibre du monde ; l’autre, s’emparant de tous les sujets et les fécondant tout à tour, a laissé dans la philosophie, dans l’histoire, dans les mathématiques, dans la philologie, l’empreinte de son génie prodigieux. On ne connaît que trop la rivalité qui divisa deux hommes si dignes de s’admirer mutuellement. Ils se disputèrent la découverte du calcul infinitésimal, instrument puissant, source des plus brillants progrès que les mathématiques aient faits dans les derniers temps, de ce calcul sans lequel Newton n’eût pu expliquer le système du monde, et qui fit pendant si longtemps la force de l’école de Leibnitz. Chacun d’eux avait fait probablement cette découverte, mais les savants anglais ne voulurent pas reconnaître les droits du grand géomètre allemand. Un jugement de la Société royale de Londres (jugement que la postérité n’a pas ratifié) essaya de porter atteinte à l’honneur de Leibnitz, et le taxa de plagiat. Toute l’Europe prit part dans cette querelle, et Leibnitz répondit à cette injuste sentence en fondant une école qui pendant un siècle éclipsa celle de Newton.

De tels hommes ne sauraient combattre que pour la plus glorieuse des couronnes et cette lutte, qui devint celle du continent contre l’Angleterre, doit faire comprendre même aux personnes le plus étrangères aux sciences, quelle est l’importance de ce calcul différentiel dont on revendiquait avec un tel acharnement l’invention. Eh bien ! quand on examine avec impartialité les pièces originales, on trouve que l’auteur réel de cette découverte est Fermat. Au premier coup d’œil, une telle assertion doit paraître si extraordinaire, tranchons le mot, si incroyable, que, ne pouvant donner ici les développements techniques ni les preuves tirées des œuvres mathématiques de Fermat, nous croyons devoir la placer sous la garantie de d’Alembert, de Lagrange et de Laplace, qui ont tous reconnu les droits de l’illustre magistrat de Toulouse.

Lorsque d’Alembert réclama en faveur de Fermat, il avait sur ce point à combattre l’opinion de tous les géomètres de l’Europe, qui attribuaient les uns à Newton, les autres à Leibnitz, l’invention des nouveaux calculs. Il doit donc s’exprimer avec beaucoup de réserve, et il se borna, dans l’Encyclopédie, à déclarer qu’on devait a Fermat « la première application du calcul aux quantités différentielles pour trouver les tangentes » Quoiqu’une opinion plus explicite fût ensuite défendue avec beaucoup de talent par Genty dans son discours sur l’influence de Fermat, elle ne semblait pas suffisamment motivée et trouvait peu de partisans, lorsque Lagrange, qui avait fait une étude approfondie des principes du calcul infinitésimal et qui s’appliquait avec un soin particulier aux questions historiques, affirma dans ses Leçons sur le calcul des Fonctions « qu’on peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs. » Ce témoignage d’un géomètre supérieur qui ne défendait pas un concitoyen dans Fermat est ici d’un poids immense. A mesure que la question a été étudiée, elle a paru s’éclaircir davantage et à une époque plus rapprochée de nous, Laplace, dans son introduction à la Théorie analytique des probabilités, a déclaré positivement que « Fermat doit être considéré comme le véritable inventeur du calcul différentiel » dont on revendiquait avec un tel acharnement l’invention. Eh bien ! quand on examine avec impartialité les pièces originales, on trouve que l’auteur réel de cette découverte est Fermat. Au premier coup d’œil, une telle assertion doit paraître si extraordinaire, tranchons le mot, si incroyable, que, ne pouvant donner ici les développements techniques ni les preuves tirées des œuvres mathématiques de Fermat, nous croyons devoir la placer sous la garantie de d’Alembert, de Lagrange et de Laplace, qui ont tous reconnu les droits de l’illustre magistrat de Toulouse.

Il faut être placé à une très grande hauteur pour juger des questions de cet ordre, et pour attribuer à chacun avec autorité la part qui lui revient dans une semblable découverte. Le calcul infinitésimal, comme toutes les grandes inventions, est le résultat des efforts de plusieurs esprits éminents, et Lagrange, dans l’ouvrage déjà cité, a fait la part de chacun. L’influence de Fermat sur la découverte des nouveaux calculs n’a pas été acceptée sans contestation par les savants anglais, qui, après avoir repoussé d’abord si outrageusement les droits de Leibnitz, n’ont admis le grand géomètre allemand à partager la gloire de Newton qu’afin de mieux masquer leur opposition contre Fermat. Un article, fort remarquable d’ailleurs, inséré en 1814 dans l’Edinburgh Review, au sujet de la Théorie analytique des Probabilités, par Laplace, donne le mot de ce changement de tactique. Tant qu’on n’avait à discuter que les droits de Leibnitz, on pouvait les méconnaître ; mais, dès qu’un concurrent français se présente avec des titres incontestables, Newton et Leibnitz s’embrassent, et l’Angleterre se ligue avec l’Allemagne contre la France. De l’autre côté du détroit, on a toujours mis habilement en pratique le système des coalitions.

C’est par incident seulement que, dans sa Théorie des Probabilités, Laplace a rendu ce jugement si honorable pour Fermat. Dans cet ouvrage, l’illustre auteur de la Mécanique céleste a dû plus particulièrement s’arrêter aux recherches de Fermat sur le calcul des probabilités, dont on peut dire qu’il a été avec Pascal l’un des inventeurs. Depuis longtemps on s’était appliqué à déterminer, soit par les combinaisons, soit en prenant les moyennes d’un grand nombre d’observations, quelques éléments qui dépendent de la théorie des probabilités. Une loi du Digeste relative à une question alimentaire prouve que les Romains avaient recherché quelle est, à différens âges, la durée moyenne de la vie humaine. Nous dirons en passant que, quoique nécessairement imparfaites, quand on les compare aux résultats obtenus par la statistique moderne, ces premières données numériques consignées dans le Digeste annoncent que la durée moyenne de la vie des hommes a diminué (dans certaines parties du moins de l’Europe) depuis les Romains jusqu’au moyen-âge, et qu’elle a augmenté de nouveau dans les derniers siècles, de manière à suivre assez régulièrement la marche de la civilisation. Les compagnies d’assurances maritimes établies dans les républiques italiennes du moyen-âge font supposer aussi qu’on avait déterminé, d’une manière approximative du moins, la probabilité que le bâtiment assuré se perdrait ou arriverait au port. L’instinct des joueurs habiles dut les porter de tout temps à rechercher dans les jeux de hasard quels sont les coups plus ou moins probables, et l’on trouve des traces de ce genre de recherches dans des ouvrages où l’on ne devrait pas s’attendre à voir traiter des questions relatives au calcul des probabilités. La Vieille (de Vetula), poème en latin barbare, qu’on a eu l’audace d’attribuer à Ovide, renferme à côté des obscénités les plus révoltantes des problèmes relatifs aux combinaisons qu’offrent certains jeux. Dans un ancien commentaire sur la Divine Comédie, on lit à propos de ce vers :

Quando si parte il gioco della zara, (ndlr : « Quand la partie de zara s'interrompt. » “zara” : jeu de hasard qui se jouait au Moyen-âge avec des dés).

que Dante a placé au commencement de son admirable chant de Sordello, une dissertation sur la probabilité d’amener certains points en jouant aux dés ; mais ces recherches, qu’on peut rattacher à ce que la théorie des combinaisons offre de plus simple, ne constituaient pas encore le calcul des probabilités. Galilée, qui de près ou de loin a touché à toutes les questions que les sciences physiques et mathématiques pouvaient présenter de son temps, s’est occupé d’un problème qui forme à lui seul un chapitre important de la théorie des probabilités, savoir de la détermination et de l’influence des erreurs dans les observations. À propos du prix d’un cheval, ce grand esprit s’est demandé s’il fallait estimer l’influence de l’erreur d’après la différence arithmétique ou d’après le rapport géométrique, et si par exemple un homme qui estimerait cinquante écus un cheval qui en vaudrait réellement cent se tromperait autant que celui qui l’estimerait cent cinquante, ou qu’un autre qui en porterait le prix à deux cents écus. Galilée se prononce pour la progression géométrique : un homme qui évalue une chose la moitié de ce qu’elle vaut se trompe, dit-il, autant que celui qui l’estime le double de sa véritable valeur. C’est là une question très délicate : ordinairement, en prenant la moyenne d’un nombre considérable d’observations, on suppose que les erreurs doivent être rangées en progression arithmétique ; mais il est très vraisemblable que cette pratique est parfois inexacte, et que, du moins dans certains cas, Galilée avait raison.

Ces problèmes, résolus seulement par quelques personnes, n’avaient guère excité l’attention des géomètres : les solutions étaient peu connues, et chaque fois il fallait les recommencer. Aussi voit-on Pascal et Fermat, dans la seconde moitié du XVIIe siècle, s’occuper d’abord de ces questions relatives aux combinaisons que Galilée aussi avait déjà traitées ; bientôt, cependant, un problème proposé à Pascal par le chevalier de Méré, joueur fort adroit, porta l’illustre auteur des Provinciales à établir la règle des partis, d’après laquelle il faut partager l’enjeu entre différentes personnes qui, n’ayant pas le même nombre de points, veulent quitter le jeu avant que la partie soit terminée. Voici la question la plus simple résolue à ce sujet par Pascal.

Si deux personnes jouent à un jeu quelconque, de manière que les chances soient égales des deux côtés, et avec la condition que celui qui gagne le premier trois parties prend tout l’argent qui est au jeu, comment faut-il partager cet argent, en supposant que la mise de chacun soit de trente-deux pistoles, et qu’on veuille quitter le jeu lorsque l’un des joueurs a une partie et l’autre deux ?

Pascal trouva que celui qui avait gagné une seule partie ne devait recevoir que seize pistoles, et que les quarante-huit autres revenaient à celui qui avait déjà deux parties ; et, comme il ne connaissait personne à Paris qui pût résoudre des questions de cette nature, il proposa ce problème à Fermat, qui trouva immédiatement une solution générale contre laquelle Pascal fit d’abord différentes objections, mais dont il dut plus tard reconnaître l’exactitude. C’est ainsi que Fermat s’associa, dès l’origine, à l’établissement de la théorie analytique des probabilités, science dont l’auteur de la Mécanique céleste a placé la découverte parmi les plus remarquables qu’ait enfantées le XVIIesiècle, et qui, cultivée de tout temps avec prédilection par les plus célèbres géomètres français, a fait de nos jours de notables progrès par les efforts de Laplace et de Poisson. Il serait à désirer que les principes philosophiques du calcul des probabilités fussent plus répandus et mieux appréciés dans la société. Lorsqu’on les applique surtout à un grand nombre de faits semblables ou à la discussion de phénomènes auxquels se rattachent des chances nombreuses et qui dépendent de causes connues, ces principes conduisent infailliblement à la découverte de la vérité.

Il serait impossible d’exposer ici avec clarté toutes les recherches mathématiques de Fermat. Nous nous bornerons à rappeler qu’il doit partager avec Descartes la gloire d’avoir créé l’application de l’algèbre à la géométrie : il parait même que sur ce point, qui forme le principal titre mathématique de Descartes, Fermat avait devancé cet illustre philosophe. A une époque où la mécanique rationnelle venait à peine de naître entre les mains de Galilée, Fermat sut tirer d’un principe métaphysique une belle solution du problème de la réfraction de la lumière, et il dut, à cette occasion soutenir une longue lutte avec Descartes et avec ses principaux adhérents. Également habile dans la synthèse et dans l’algèbre, il savait résoudre des problèmes de géométrie qui eussent embarrassé Apollonius, et proposer à Descartes des questions sur les quantités irrationnelles, que non-seulement celui-ci ne résolvait pas, mais dont il ne semblait même pas saisir toute la difficulté.

Un homme qui a coopéré aux plus belles découvertes du XVIIe siècle, un mathématicien qui dispute à Descartes le mérite d’avoir créé la géométrie analytique, et à Pascal l’invention du calcul des probabilités, un analyste qui, de l’avis des juges les plus compétents, aurait devancé Newton et Leibnitz dans leurs plus mémorables découvertes, mériterait certes l’hommage de la postérité ; cependant, nous l’avons dit, Fermat a un autre titre à notre admiration. Il est le seul qui, dans une branche importante et difficile des mathématiques, ait su à certains égards aller plus loin que ses successeurs. Tout homme qui a étudié un peu d’arithmétique sait ce que sont les nombres entiers et les nombres fractionnaires. Dans les éléments des mathématiques, on rencontre ces nombres qui sont d’un emploi continuel pour tous les usages, de la vie, et qu’on abandonne bientôt dès qu’on pénètre plus avant dans l’algèbre. Après avoir étudié les diverses branches des mathématiques, on retrouve de nouveau, aux limites, pour ainsi dire, de la science, les nombres entiers et les fractions, dont certaines propriétés, fort difficiles à découvrir, constituent une sorte d’arithmétique transcendante, qu’on appelle théorie des nombres. Cette théorie a de tous temps occupé les géomètres ; elle parait même avoir précédé partout l’algèbre proprement dite. Les Grecs s’y appliquèrent de bonne heure. Pythagore résolut des questions de cette nature, et tout semble indiquer qu’Archimède lui-même cultiva ce genre d’arithmétique. Le génie curieux et subtil des Grecs devait se plaire dans ces recherches, qui devinrent presque populaires chez eux, et qui exercèrent même l’imagination des poètes, comme le prouvent certaines épigrammes de l’Anthologie. L’Arithmétique de Diophante, géomètre alexandrin qui vivait probablement vers le milieu du IVe siècle de l’ère chrétienne, renferme une foule de problèmes difficiles résolus avec une sagacité d’autant plus remarquable, que les méthodes algébriques étaient alors tout-à-fait dans l’enfance.

A une époque reculée, d’autres peuples paraissent avoir cultivé avec une grande prédilection cette haute arithmétique, et l’on sait que Brahmegupta, qui vécut dans l’Inde un siècle avant Charlemagne, avait résolu des questions relatives à la théorie des nombres, qu’on n’a traitées en Europe avec le même succès qu’après la mort de Newton Les Indiens, dans cette science, avaient fait un tel progrès que si, lorsque les Portugais allèrent s’établir en Orient, ils eussent traduit certains poèmes mathématiques composés en sanscrit depuis longtemps, cette branche de l’algèbre aurait reçu en Europe un notable accroissement. Les Arabes ne négligèrent pas la théorie des nombres, et les premiers Européens qui transportèrent l’algèbre chez nous cultivèrent avec succès cette théorie ; quelques fragments d’un ouvrage composé au commencement du XVIIe siècle par Léonard de Pise sur cette matière prouvent que, dès cette époque, les chrétiens s’appliquaient avec succès à la théorie des nombres. Plus tard, Diophante fut traduit et commenté par différents géomètres qui cultivèrent l’arithmétique transcendante, et, en particulier, par Bachet de Meziriac. Dans la seconde édition d’un ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables, et imprimé à Lyon en 1624, il donna une méthode pour résoudre généralement certaines équations qu’on appelle indéterminées du premier degré, et fit faire ainsi à cette branche des mathématiques un progrès digne d’être signalé. Par une rencontre singulière, cette méthode coïncide avec celle qu’Aryabhatta, géomètre hindou très ancien, avait trouvée.

Quoique fort intéressants, les travaux de tant de mathématiciens divers sur la théorie des nombres furent complètement éclipsés par les découvertes de Fermat, qui, à l’aide de méthodes aussi nouvelles que fécondes, changea complètement la face de cette branche si difficile des mathématiques. Il paraît que les recherches de Frenicle, qui résolvait sans le secours de l’algèbre et avec une grande adresse les questions les plus difficiles sur les nombres entiers, excitèrent l’émulation de Fermat. En effet, dans une lettre que celui-ci écrivait au père Mersenne, et dans laquelle il disait : Je ne fais que commencer, il lui parlait de Frenicle comme d’un homme très habile dans cette branche des mathématiques. Cette lettre contient le théorème important qui a gardé le nom de Fermat, et qui semblait à l’inventeur devoir le conduire à des résultats remarquables. Mi par di veder un gran lume! ajoutait-il à ce propos en italien au instinct de géomètre ne le trompait pas ; il avait vu effectivement une grande lumière, et, à partir de ce jour, il ne cessa de cultiver, avec une prédilection marquée, cette théorie des nombres à laquelle il attacha indissolublement son nom.

De toutes les branches des mathématiques, la théorie des nombres est celle dont il est peut-être le moins difficile de donner quelque idée aux personnes du monde. Les énoncés des questions les plus simples relatives à cette théorie peuvent souvent s’expliquer assez clairement et ont été parfois compris dans ce qu’on appelle les jeux de société. Supposons, par exemple, qu’une maîtresse de maison, ayant du monde à dîner, dise à sa cuisinière qu’elle veut dépenser soixante francs, ni plus ni moins, pour son rôti, et qu’il faut que ce rôti se compose à la fois de bécasses, de perdreaux et de mauviettes, de manière qu’il y ait soixante en tout de ces animaux. La cuisinière se rend au marché et là elle trouve que les bécasses valent trois francs pièce, qu’un perdreau vaut deux francs, et qu’on lui donne cinq mauviettes pour un franc. Le prix est invariable, il n’y a rien à rabattre. Voilà notre cuisinière bien embarrassée : l’ordre qu’elle a reçu est positif ; elle ne peut acheter ni la moitié d’un perdreau ni le tiers d’une bécasse ; il lui faut soixante pièces pour soixante francs. Une telle question est du ressort de la théorie des nombres. Aryabhatta dans l’Inde et Bachet en France ont donné chacun la même méthode pour traiter tous les problèmes du même genre, qu’habituellement on résolvait autrefois par tâtonnement Cette cuisinière n’a que deux manières de contenter sa maîtresse : ou elle dois acheter vingt-deux perdreaux, trois bécasses et trente-cinq mauviettes, ou bien huit perdreaux, douze bécasses et quarante mauviettes. Hors de là, ou elle n’aura pas soixante pièces ou elle dépensera plus ou moins de soixante francs.

Les problèmes de cette nature semblent, à raison de leur apparente facilité, offrir un attrait tout particulier, et Legendre a fait depuis longtemps cette remarque, que ceux qui s’appliquent à la théorie des nombres paraissent la cultiver avec une sorte de passion. On se tromperait cependant si l’on croyait que tous les problèmes qu’on sait résoudre à ce sujet peuvent s’énoncer d’une manière aussi simple et se réduire à des questions de pure curiosité. Les progrès que cette branche des mathématiques a faits de nos jours ont montré son intime liaison avec les branches les plus élevées de l’analyse.

Cependant, comme la théorie des nombres n’a offert, jusqu’à ces derniers temps, que peu de points de contact avec les autres parties des mathématiques, et qu’elle emprunte plutôt sa force à l’étude approfondie de propriétés difficiles qu’aux notations nouvelles, si utilement introduites dans l’analyse moderne, il ne faut pas s’étonner qu’un homme d’un génie supérieur, méditant sans cesse sur un tel sujet, ait pénétré en quelques points plus avant que ne l’ont fait ses successeurs. Nous savons que Fermat avait entrepris des ouvrages considérables sur diverses parties de l’analyse indéterminée, mais ces écrits ne sont pas arrivés jusqu’à nous, et tout ce qui nous reste de lui sur cette matière se réduit à peu près à des théorèmes qu’il avait découverts et qu’il a énoncés, sans les démontrer, dans ses lettres, et à quelques notes sur l’ouvrage de Diophante. Ces énoncés prouvent qu’il avait fait des découvertes très importantes dans l’analyse indéterminée, et comme depuis un siècle les géomètres les plus illustres ont cherché la démonstration de ces divers théorèmes, souvent sans pouvoir y parvenir, on peut juger par là de la grande difficulté de ces propositions et des progrès que Fermat avait faits. Ces théorèmes ont exercé successivement l’esprit d’Euler, de Lagrange, de Legendre, d’Abel et des plus célèbres mathématiciens de notre temps. Peu à peu et avec de grands efforts, on en a retrouvé les démonstrations ; mais il en reste toujours un qui, jusqu’à présent, a résisté à toutes les tentatives et dont on n’a prouvé que quelques cas particuliers. Par une circonstance assez bizarre, Fermat avait donné une méthode pour démontrer ce théorème dans certains cas, et c’est précisément celui-là qui a bravé les efforts désespérés des géomètres, forcés d’avouer que sur ce point Fermat était plus avancé il y a deux siècles que nous ne le sommes aujourd’hui.

C’est surtout en établissant des propositions négatives que Fermat a déployé toute la puissance de son génie. Des propriétés de cette nature se rencontrent dans l’arithmétique la plus élémentaire. On connaît généralement la différence qu’il y a entre les nombres pairs et les nombres impairs, et l’on comprend sans peine qu’en ajoutant deux nombres pairs entre eux, on ne formera jamais un nombre impair. Voilà ce qu’on appelle une proposition négative. Quoique bien élémentaire, elle donne une idée de ce genre de propositions. Fermat en énonça de très difficiles, entre autres celle-ci : Si l’on prend deux nombres entiers à volonté, et qu’on multiplie chacun de ces nombres, deux fois de suite par lui-même, il est impossible que la somme de ces deux produits soit égale à un nombre quelconque multiplié également deux fois par lui-même. Si l’on choisit, par exemple, les nombres 3 et 10, en multipliant 3 d’abord par 3 on a 9, et en multipliant encore ce produit par 3, on obtient 27 ; en multipliant 10 deux fois de suite par lui-même, on a 1,000 ; la somme de 27 et de 1,000 est 1,027, qui n’est pas le produit d’un nombre multiplié deux fois par lui-même. Cela est vrai toujours, quels que soient les nombres que l’on choisisse. Cette proposition difficile, énoncée d’abord par Fermat sous la forme d’un défi adressé surtout aux géomètres anglais et hollandais, qui n’en aperçurent pas la difficulté, a été démontrée par Euler. Elle n’est qu’un cas particulier d’un théorème général dont on cherche encore la démonstration.

Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. Certes, si Fermat nous était parfaitement inconnu, si l’on ne savait pas combien il était modeste et réservé, s’il n’avait laissé que des énoncés sans démonstration, le doute serait à la rigueur possible ; mais, quand il s’agit d’un homme aussi éminent, qui a fait d’autres découvertes dont il a donné des démonstrations qu’il n’a pourtant pas publiées, et que nous ne connaissons que parce que ses manuscrits n’ont pas été tous perdus, il faut admettre que ces vérités, il les avait démontrées rigoureusement par des méthodes qui lui étaient propres et que nous ignorons. D’ailleurs, toutes ces propositions, à mesure qu’on s’en est occupé, ont été trouvées rigoureusement exactes : une seule fois il paraît avoir cru à la vérité d’une proposition dont Euler reconnut plus tard l’inexactitude, et ce fait même confirme ce que nous venons de dire ; car Fermat, qui affirme posséder la démonstration de tous les autres théorèmes, répète sans cesse qu’il n’a jamais pu démontrer la propriété dont il s’agit. C’est donc là, comme on le voit, un motif de plus pour croire qu’il possédait la démonstration des autres propositions dont on a prouvé la vérité. Prétendre du reste que Fermat, par la seule intuition, a pu découvrir, sans jamais se tromper, tant de beaux théorèmes, tant de propositions si difficiles, c’est le supposer doué d’une faculté merveilleuse, d’un sixième sens mathématique beaucoup plus extraordinaire que le génie qu’il possédait réellement.

Deux causes principales nous ont privés de ces démonstrations : l’aversion que Fermat manifesta constamment contre toute publication qui porterait son nom, et les obstacles que son fils, qui n’était pas mathématicien, rencontra lorsqu’il voulut rassembler les manuscrits dispersés de son père, et lorsqu’il chercha un savant capable de diriger l’édition.

Fermat n’a jamais rien publié sous son nom, et il ne paraît avoir fait imprimer qu’une seule dissertation anonyme sur la comparaison des lignes courbes avec les lignes droites. A la vérité, il fut commis quelques indiscrétions, malheureusement trop rares, par ses amis. En 1644, Herigone inséra dans le sixième volume de son Cours de Mathématiques un abrégé de la méthode des tangentes, que l’on doit à ce grand géomètre, et Saporta, à la suite de sa traduction (imprimée à Castres en 1664) du traité du mouvement des eaux par Torricelli, publia quelques remarques de Fermat sur un passage de Synesius relatif à l’aréomètre, et qu’aucun érudit n’avait pu comprendre jusqu’alors. Dans l’édition d’Athénée, qui parut à Lyon en 1657, on lit aussi quelques notes de Fermat. Ces divers fragments étaient loin de révéler tout le génie de l’auteur. Une indiscrétion plus considérable fut commise en Angleterre par Wallis, profond géomètre, qui fit paraître, en 1658, un volume très intéressant, intitulé : Commercium epistolicum, et renfermant plusieurs lettres de Fermat. Ce recueil, qui contient en outre des lettres de Brouncker, de Digby, de Frenicle, de Wallis et de Schooten, a pour objet spécial la démonstration de certaines questions que Fermat proposait comme des espèces de défis aux géomètres anglais. Dans une lettre imprimée, mais toujours anonyme, adressée à Digby, et qui paraît avoir échappé à tous les biographes, Fermat se plaignit avec raison de cet étrange abus de confiance qu’on ne craint pas de commettre en publiant des lettres confidentielles sans en avoir obtenu l’autorisation. Il résulte de ses lettres au père Mersenne que Fermat, très libéral de communications scientifiques, ne voulait pas souffrir que rien de ce qu’il lui envoyait parût sous son nom[N 2]. Une lettre de Descartes, qui est la soixante-huitième du troisième volume de l’édition de 1667, confirme la vérité de ce fait, et l’on voit, par une autre lettre de Bernard Medon à Heinsius, que les prières de tous les amis de Fermat, que les instances du chancelier de France même, n’avaient pu rien obtenir sur ce point. En désespoir de cause, Medon engage Heinsius à s’adresser à la reine Christine, afin qu’elle exhorte Fermat à publier les ouvrages achevés qu’il avait dans son cabinet. Cette lettre, que Burmann a insérée dans son grand recueil épistolaire, est de l’année 1651, et, comme Fermat vécut encore quatorze ans sans rien faire imprimer, il faut croire que, si elles eurent lieu, les démarches de cette femme célèbre ne réussirent pas à ébranler une si ferme résolution.

La modestie de ce grand géomètre a été, sans contredit, une des causes qui l’ont porté à ne rien publier. Il sentait sa force, et ne craignait pas les discussions ; mais il travaillait pour lui-même et non pas pour la gloire. « J’ay si peu de commodité (écrivait-il au père Mersenne) d’écrire mes démonstrations… que je me contente d’avoir découvert la vérité et de savoir le moyen de la prouver lorsque j’aurai le loisir de le faire. »[N 3] Satisfait de vaincre les plus grandes difficultés, il communiquait ses découvertes à ses amis, à des géomètres tels que Pascal, Descartes, Roberval, Frenicle, Wallis, Torricelli, Huyghens, et souvent il ne gardait pas même copie des démonstrations qu’il leur adressait. C’était surtout par l’entremise du père Mersenne, dont la correspondance était si étendue, que se faisaient ces communications. Dans une lettre inédite, du 26 mai 1664, écrite par Fermat à ce savant religieux, nous lisons : « En tout cas, vous m’obligeriez de me renvoyer ma démonstration, parce que je n’en ay pas gardé copie. » On voit par la même lettre que Fermat n’avait pas de copie de ses écrits les plus importants qu’il avait envoyés à Paris. Très ferme dans ses opinions, il se défendait sans rien céder, et il ne se fâchait pas des injures. Nous avons dit qu’il eut une discussion avec Pascal sur le calcul des probabilités, et que l’immortel auteur des Provinciales finit par reconnaître que Fermat avait raison. On rencontre plus de difficulté avec Descartes, esprit dominateur, qui ne souffrait pas d’égal, et qui ne pouvait pardonner à Fermat ses découvertes. Pour critiquer victorieusement une méthode de Fermat, il la défigura de mille manières, et il parvint aisément ainsi à trouver en défaut l’auteur, qu’il appelait ironiquement le conseiller de minimis. Ce mauvais jeu de mots n’empêcha pas Fermat d’avoir raison et d’obtenir le suffrage et l’appui des géomètres les plus célèbres de son temps. Traité fort durement par Descartes, il répondit toujours avec la plus grande modération, et il opposa à ses dédains cette déclaration : « M. Descartes ne saurait m’estimer si peu que je ne m’estime encore moins. » Il fit plus : après la mort de son illustre adversaire, il redoubla d’éloges et ne cessa d’exalter ce beau génie.

Quant à Descartes, malgré un rapprochement ménagé par le père Mersenne, et à la suite duquel ce grand philosophe, écrivant à Fermat, le comparait à la belle Bradamante de l’Arioste, « laquelle ne voulait recevoir personne pour serviteur, qu’il ne se fust auparavant éprouvé contre elle au combat, » il ne put jamais pardonner au magistrat de Toulouse d’avoir, après lui, reculé les bornes de la géométrie. Tantôt il affectait de proposer à un écolier nommé Gillot les problèmes que Fermat adressait à Mersenne, tantôt il ne prenait pas même la peine de comprendre l’énoncé de ces propositions, et il donnait des solutions peu dignes de lui. Une fois entre autres, il annonça qu’il ne lui avait fallu qu’un demi-quart d’heure pour résoudre une question proposée par Fermat, et il a été prouvé que la méthode de Descartes répondait si peu au but, qu’en supposant le calcul effectué, cet illustre mathématicien aurait dû employer plus de vingt-quatre heures sans interruption pour lire seulement le résultat.

Fermat, qui avait une si grande déférence pour Descartes, s’exprimait avec moins de réserve à l’égard de certains géomètres, surtout des Anglais, qu’il aimait à harceler par des problèmes. Wallis qui n’attachait pas une grande importance aux propositions négatives dont nous avons déjà parlé, les ayant repoussées avec une sorte de dédain, Fermat écrivit à Digby : « Je suis toujours surpris de quoi M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sait pas. »

Cette modestie, ce mépris d’une popularité à laquelle il ne sacrifia jamais, ne furent pas les seules causes qui éloignèrent Fermat de toute publication. A ces sentiments si honorables se joignait chez lui l’attachement le plus profond à ses devoirs. Nous l’avons dit, Fermat était conseiller au parlement de Toulouse, et il savait si bien ce qu’il devait à cette charge, qu’il oubliait sa gloire scientifique quand il s’agissait de l’administration de la justice. Il ne s’occupait de certaines questions de mathématiques que presque en passant, quasi aliud agens et ad altiora festinans, nous dit son fils[N 4]. Ce géomètre, qui ne se donnait pas le temps de copier les lettres dans lesquelles il consignait le résultat de ses recherches, et qui faisait des découvertes en courant, cet homme qui ne cesse de répéter dans ses lettres que le temps lui manque, donnait toute son application aux affaires dont il était chargé, et nous avons vu récemment avec une admiration respectueuse, dans les archives du parlement de Toulouse, qui sont réunies actuellement à celles de la cour royale de cette ville, une foule de rapports et de travaux judiciaires de Fermat. Il faut espérer que des recherches persévérantes faites dans ces archives, qu’on n’a pas encore complètement mises en ordre, et où cependant nous avons recueilli quelques nouveaux renseignements relatifs à la biographie de ce grand géomètre[N 5], feront mieux connaître la vie de Fermat et répandront une plus grande lumière sur tout ce qui concerne ce génie supérieur.

Sa répugnance pour la publicité n’aurait pas suffi pour nous priver de ses écrits les plus importants, si, après sa mort, on s’était empressé de publier immédiatement tout ce qui restait de lui ; mais, excepté Clerselier, qui, en 1667, fit paraître dans le troisième volume de la correspondance de Descartes un assez grand nombre de lettres de Fermat relatives à ses discussions scientifiques avec les cartésiens, aucun savant ne s’occupa de recueillir et de faire imprimer les manuscrits de Fermat. Nous venons de voir que souvent il ne gardait pas copie des opuscules qu’il adressait à diverses personnes Il conservait encore moins copie de ses lettres, dans lesquelles il jetait à la hâte ses idées sur différents sujets scientifiques Cependant on se communiquait ses travaux, et, dans l’ouvrage que nous avons cité, Herigone dit avoir vu en manuscrit plusieurs écrits mathématiques de Fermat. L’article nécrologique du Journal des Savans nous apprend que Carcavi, ancien collègue de Fermat au parlement de Toulouse, était le dépositaire de tous ses écrits Peut-être cette assertion est-elle trop générale, car nous verrons bientôt qu’une foule de lettres scientifiques de Fermat se trouvaient dispersées entre les mains de différentes personnes . Quoi qu’il en soit, il paraît que Samuel Fermat, fils du grand géomètre, ne trouva parmi les papiers de son père que bien peu d’écrits mathématiques. Une correspondance autographe entre Justel  et Samuel Fermat, que nous avons trouvée récemment dans la bibliothèque de Saint-Etienne à Toulouse, prouve que Samuel, qu’on a souvent accusé de n’avoir pas déployé assez de zèle pour arracher à l’oubli les écrits de son père, n’a cessé d’insister, le plus souvent sans fruit, pour qu’on lui communiquât ceux qui étaient entre les mains de divers savants de Paris.

Samuel Fermat, conseiller aussi au parlement de Toulouse, avait plus hérité de l’érudition que du génie géométrique de son père. Il a laissé des vers latins et français, des dissertations sur divers points de jurisprudence et quelques traductions du grec ; mais, étranger aux mathématiques, il n’aurait pas voulu, sans le secours d’un géomètre, se faire l’éditeur des œuvres de Fermat. D’ailleurs, nous l’avons dit, ces œuvres n’étaient pas en sa possession. Il paraît que ce qu’il trouva de plus intéressant dans le cabinet de son père, ce fut un exemplaire de l’édition donnée en 1621 par Bachet de l’ouvrage de Diophante. A la marge de ce livre, qui est un volume in-folio, Fermat avait écrit quelques observations et l’énoncé de plusieurs théorèmes sur la théorie des nombres. Lagrange, qui s’y connaissait, affirme que ces annotations renferment la partie la plus précieuse des écrits de Fermat qui nous soit parvenue. Samuel Fermat comprit toute l’importance de ces notes marginales, et s’entendit avec le père Billy, habile mathématicien, pour donner une nouvelle édition de Diophante, enrichie de ces annotations. Cette édition parut à Toulouse en 1670, et le père Billy, qui était en correspondance avec Fermat, y ajouta un extrait fort intéressant des lettres scientifiques que ce grand géomètre lui avait adressées. On doit regretter qu’à la place de cet extrait, que Billy appelle Inventum novum, ce savant jésuite n’ait pas publié intégralement les lettres de Fermat. Toutefois, en comparant une lettre autographe de Fermat au père Billy, qui existe encore à la Bibliothèque royale de Paris, avec l’extrait correspondant inséré dans l’Inventum novum, on peut se convaincre que Billy a reproduit fidèlement les idées de l’auteur. Cet abrégé d’une seule correspondance contient trente-six pages in-folio, et l’on y trouve des méthodes de Fermat qu’on chercherait vainement ailleurs. Il donne une idée de tout ce que devaient renfermer les lettres que Fermat adressait si fréquemment à ses amis.

C’est à la marge de la huitième question du second livre de l’ouvrage de Diophante que Fermat avait énoncé cette proposition négative que nous avons citée, et dont on n’a pas encore pu retrouver la démonstration générale. Sans nul doute, Fermat possédait cette démonstration, qui était, à ce qu’il paraît, d’un genre singulier, car, après l’énoncé du théorème, il ajoute : « J’en ai découvert une démonstration admirable, mais il y a trop peu de marge pour que je puisse la donner ici… (hanc marginis exiguitas non caperet). » Ce fait seul justifie les bibliophiles qui recherchent les exemplaires grands de marge. Si le Diophante que possédait Fermat avait été non rogné, peut-être ce grand géomètre aurait-il pu à cet endroit, comme il l’a fait ailleurs, esquisser rapidement une démonstration qu’il est si difficile de retrouver. Ceux qui ont vu à la bibliothèque de Bordeaux l’exemplaire des Essais à la marge duquel Montaigne avait préparé une nouvelle édition complètement refondue de son ouvrage inimitable apprécieront d’autant plus le respect des amateurs pour les marges d’un livre, que ce précieux volume a été horriblement mutilé, dans ces derniers temps par le fer d’un détestable relieur.

Cette nouvelle édition de Diophante, que les géomètres mettent tant d’empressement à se procurer aujourd’hui, n’eut aucun succès en France au moment où elle parut. Les exemplaires ne trouvaient point d’acheteurs, et Samuel Fermat chercha vainement à faire quelques échanges avec les libraires de Paris. Cela résulte des premières lettres adressées à Samuel Fermat par Justel, qui ajoute pourtant : « Tous les Anglais qui sont ici en cherchent. Vous m’obligerez de me faire savoir où on en pourra trouver, afin que je le leur enseigne. Le nom de monsieur votre père est en si grande vénération en ce pays-là, que tout ce qui vient de lui est recherché avec empressement. On me prie de savoir si vous ne donnerez pas dans quelque temps le reste des ouvrages dont M. Carcavi a la plus grande partie et M. Thoinard aussi. »

Samuel Fermat n’avait pas besoin de stimulant pour songer à une telle publication, et la suite de cette correspondance prouve qu’il mit tout en œuvre pour rassembler les manuscrits de son père et pour trouver un mathématicien capable de surveiller l’édition d’un ouvrage qui avait besoin d’être revu avec d’autant plus de soin, que l’auteur était mort sans rien préparer pour l’impression, ne laissant guère que des notes et des brouillons. Tantôt Fermat s’adresse à Bouillaud, astronome et érudit fort connu, pour qu’il veuille se charger de la publication de ses écrits ; tantôt il fait prier Carcavi de diriger cette édition, et de la placer sous le patronage de l’Académie des Sciences que Louis XIV venait de créer. Malheureusement ces tentatives n’eurent aucun succès : Bouillaud commence par accepter, et refuse ensuite ; Carcavi hésite, et l’Académie reste indifférente. Bref, personne ne veut s’en charger en France. Justel écrit alors à Fermat : « N’ayant trouvé personne ici qui veuille prendre le soin de l’impression des ouvrages de monsieur votre père, j’ai eu recours aux étrangers. Il y en a plusieurs en Angleterre qui sont très capables, qui se chargeront de l’impression et de la correction, si vous voulez bien les leur confier. Ils ont tant de vénération et d’estime pour tout ce qui porte votre nom, qu’il n’y a rien qu’ils ne fassent. Si vous jugez à propos de les laisser sortir du royaume, mandez-le-moi et tout ce que vous désirez que je fasse. »

Cette proposition, qui honore les savants anglais auxquels l’illustre magistrat de Toulouse avait souvent montré sa supériorité, ne fut pas acceptée, et Samuel Fermat prit enfin le parti de se faire l’éditeur des ouvrages mathématiques de son père ; mais alors se présenta un autre genre de difficultés. Plusieurs années s’étaient écoulées depuis la mort de Fermat, et les personnes auxquelles il avait communiqué ses écrits les plus remarquables n’existaient plus : Mersenne, Pascal et Descartes étaient morts avant lui ; Midorge, Petit, Frenicle, avaient aussi cessé de vivre, et leurs papiers étaient dispersés. Avant de mourir, Roberval s’était emparé d’une partie de la correspondance du père Mersenne, et Picard s’était laissé prendre beaucoup de lettres de Fermat. Justel nous apprend que ces mêmes savants, qui ne faisaient rien pour que le nom de Fermat passât à la postérité, refusaient de communiquer les lettres qu’il leur avait adressées, sous prétexte qu’elles étaient trop précieuses. Il paraît que Thoinard seul mit avec empressement à la disposition du fils tous les écrits de Fermat qu’il possédait. Thoinard, qui est peu connu aujourd’hui, était un des hommes les plus savants du XVIIe siècle avec Leibnitz et avec Locke, il a laissé une correspondance précieuse dont la partie la plus intéressante est actuellement entre les mains de M. Brunel, le célèbre bibliographe. Si nous sommes bien informé, cette correspondance ne contient aucun écrit de Fermat.

Malgré toutes ces difficultés, Samuel Fermat fit paraître à Toulouse, en 1679, un volume in-folio intitulé Opera varia, qui renferme plusieurs traités géométriques, et un certain nombre de lettres scientifiques adressées à Fermat ou écrites par lui. Parmi ces lettres, il y en a quelques-unes de Pascal, de Roberval et de Descartes. On ignore pourquoi Samuel Fermat, qui a reproduit dans ce volume des pièces déjà publiées précédemment, n’y a inséré ni le Commercium epistolicum, publié par Wallis en Angleterre, ni les lettres qui avaient paru dans la correspondance de Descartes. Quelques vers latins placés à la fin du volume font regretter les vers français et espagnols dont l’article nécrologique si souvent cité du Journal des Savans parle avec tant d’éloge. En 1665, on se connaissait en beaux vers à Paris, et nous voudrions pouvoir être à même d’apprécier cette délicatesse d’esprit, cette élégance, qui caractérisaient, à ce qu’on assure, les poésies de ce génie si profond et si souple à la fois.

Ce n’est donc pas, comme on l’a dit souvent, la négligence de Samuel Fermat qui nous a privés des plus belles découvertes de son père. Si, après la mort de ce grand homme, les savants se fussent intéressés à sa gloire, s’ils eussent compris toute l’importance de ses travaux, les éditeurs n’auraient pas manqué, et Samuel Fermat n’aurait pas eu à lutter contre d’insurmontables difficultés. Justel nous apprend que le mérite de Fermat était plus connu et admiré dans les pays étrangers qu’en France. Et pourquoi ? C’est que, — d’autres l’ont déjà remarqué, — après la mort de Fermat il n’était resté en France aucun géomètre de premier ordre pour apprécier à leur juste valeur ces admirables découvertes. Ce fut seulement au XIXe siècle, lorsqu’Euler, s’appliquant avec une si grande persévérance à la théorie des nombres, dut s’occuper longtemps des théorèmes énoncés sans démonstration par Fermat, que le nom de cet illustre géomètre fut pour ainsi dire ressuscité. La découverte des nouveaux calculs, la lutte qu’elle suscita entre les géomètres anglais et les géomètres du continent, ainsi que les grandes applications à la mécanique céleste, dont l’importance frappa tous les esprits., contribuèrent à éloigner pendant quelque temps les mathématiciens des travaux de Fermat.

Si par des démarches actives et répétées Samuel Fermat n’avait pas réussi à préserver les manuscrits de son père de la dispersion et de l’oubli, on doit penser que cette insouciance coupable ne dut pas s’arrêter lorsque la piété filiale cessa de lutter contre elle. Aussi, dans les débris qui sont arrivés jusqu’à nous des recueils manuscrits formés par Mersenne, par Bouillaud, par Carcavi, par Billy, par Thoinard, et qui, on le sait, contenaient tous des écrits de Fermat, on n’en retrouve plus aucun. De toutes les lettres qu’il avait adressées à Billy une seule, que nous avons mentionnée, reste encore à la Bibliothèque royale de Paris. Les manuscrits de Bouillaud, conservés dans la même bibliothèque, ne renferment plus les travaux mathématiques de Fermat que, d’après un ancien inventaire, Bouillaud possédait avant de mourir. On n’y trouve même plus une lettre autographe de Fermat qu’on y voyait autrefois et qui était relative à l’interprétation d’un passage de Frontin. Cette lettre intéressante, qu’on chercherait vainement dans les Opera varia, a été insérée par Camusat dans son Histoire critique des Journaux. La correspondance de Pascal contenait un nombre considérable de lettres de Fermat, dont quelques-unes seulement ont été publiées par Bossut. Dans sa belle édition des Pensées de Pascal, M. Faugère nous apprend que le père Guerrier, qui travailla tant sur les manuscrits de Pascal, a déclaré, dans une note qui existe encore, qu’il ne transcrivait pas les lettres adressées par Fermat à Pascal, parce qu’elles ne contiennent que de l’algèbre et des figures de géométrie ! On conçoit qu’avec de telles dispositions d’esprit, des hommes instruits aient laissé périr les écrits les plus importants de Fermat.

Cependant, lorsqu’il s’agit de manuscrits, on ne doit jamais désespérer de rien. Souvent ce qu’on croit perdu n’est que caché, et il ne faut pas oublier que les manuscrits autographes de Galilée, que sa correspondance inédite, qu’on supposait depuis longtemps anéantie ont été retrouvés un beau jour dans la boutique d’un charcutier auquel un domestique, qui les avait découverts dans un vieux silo, les vendait au poids. La correspondance originale que Peiresc entretenait avec tous les savants de son temps, correspondance précieuse dont depuis plus d’un siècle on a déploré la perte dans vingt ouvrages divers, et qu’on prétendait avoir été transformée en papillotes par une nièce du célèbre magistrat d’Aix, se trouve depuis longues années à la Bibliothèque royale de Paris, où tout le monde peut la voir ! De tels faits sont bien propres à soutenir le zèle des personnes qui ne désespèrent pas de découvrir des manuscrits importants égarés dans ces derniers siècles.

Le hasard parfois se charge de révélations inattendues. Nous avions, comme tant d’autres, fait d’inutiles tentatives pour retrouver dans les grands dépôts littéraires de la France et de l’Italie quelques-uns des manuscrits inédits de Fermat ; nous savions qu’à la bibliothèque de Toulouse on ne conserve qu’une note écrite par Fermat en tête d’un exemplaire des Dialogues de Galilée, et nous n’avions guère l’espoir de faire quelque intéressante trouvaille à cet égard, lorsqu’il y a six ans un libraire parisien, M. Cretaine, nous communiqua une note informe qu’il avait reçue de la province, et dans laquelle se trouvait l’indication de plusieurs manuscrits qui étaient à vendre chez un bouquiniste de Metz Les premiers mots sur lesquels s’arrêtèrent nos yeux furent ceux-ci : Manuscrits inédits de Fermat ! On pense bien que nous ne perdîmes pas de temps. Grace à l’obligeante intervention d’un professeur distingué de l’école de Metz, M. Didion, vingt lettres scientifiques inédites de Fermat, et huit opuscules mathématiques également inédits de ce grand géomètre, se trouvèrent bientôt en notre possession. On comprendra toute l’importance de cette découverte lorsqu’on saura que ces écrits pourront augmenter de deux tiers environ les travaux de Fermat contenus dans les Opera varia.

Dans l’exposé des motifs du projet de loi relatif à la publication des Œuvres complètes de Fermat, M. Villemain avait fait allusion aux différentes sources auxquelles il fallait puiser, afin que l’édition projetée répondît au vœu des savants. Le rapporteur de la commission nommée par la chambre pour examiner ce projet de loi paraît, chose étrange ! n’avoir peu connaissance de cet exposé de motifs ; car, tout en concluant en faveur de l’adoption, il a raisonné comme si l’on ne connaissait d’autres écrits imprimés de Fermat que les Opera varia et les notes marginales sur l’ouvrage de Diophante . De la publication faite par Wallis, des lettres et des opuscules publiés dans la correspondance de Descartes, de ce que Bossut a inséré dans son édition des œuvres de Pascal, le rapport n’en dit pas un mot. Bien plus, on y propose de supprimer des lettres en assez grand nombre déjà publiées dans les Opera varia, et plusieurs articles relatifs aux recherches que Fermat avait faites sur certaines parties de l’analyse indéterminée. Passant au Diophante, le rapporteur demande qu’on ne le réimprime pas, d’abord, dit-il, parce que les éditions qui existent de cet ouvrage sont bien suffisantes pour les érudits, et ensuite parce que, à son avis, ce serait une faute d’appeler trop vivement l’attention du public vers l’analyse indéterminée. D’ailleurs, ajoute-t-il, doit-on, « à raison de quelques lignes de Fermat, réimprimer le Diophante tout entier ? » Quant aux manuscrits inédits rassemblés par Arbogast, le rapporteur, qui ne les a jamais vus, déclare qu’ils n’offrent pas un grand intérêt, et qu’en tout cas ils ne fourniraient qu’un petit nombre de pages à la nouvelle édition. Ayant ainsi amoindri en étendue et en importance les œuvres de Fermat, l’honorable rapporteur arrive à cette conclusion, qu’il ne resterait pas la matière des deux volumes projetés par M. Villemain, et il demande que cette édition soit complétée par les écrits d’autres savants français, parmi lesquels il cite Viete et Descartes, au sujet de l’application de l’algèbre à la géométrie, Pascal et Roberval, en ce qui concerne quelques-uns de leurs travaux mathématiques et la presse hydraulique, et enfin Papin, pour ses conceptions de la machine et des bateaux à vapeur.

Assurément, si le gouvernement formait le projet de réimprimer les écrits les plus importants des géomètres français, nous applaudirions à cette mesure, surtout si elle s’appliquait à des ouvrages dont la rareté est égale au mérite, et non pas, par exemple, aux travaux mathématiques de Pascal et de Descartes, qui ont été réimprimés récemment et que l’on peut se procurer partout à bas prix ; mais accoler d’autres ouvrages aux écrits de Fermat, ce serait déclarer en quelque sorte que ceux-ci ne méritent pas d’occuper seuls le public, et atténuer la portée d’une grande manifestation nationale. Du reste, nous pensons que l’on ne s’est formé une juste idée ni des écrits de Fermat, ni de ceux qu’on voudrait y joindre. Si l’on adoptait les idées émises dans le rapport, il est fort à craindre que, tout en donnant une édition incomplète des œuvres de Fermat, on ne dépassât de beaucoup les limites de deux volumes. D’ailleurs, quelle relation y a-t-il entre la machine à vapeur et les travaux mathématiques de Fermat ? On dirait, Dieu nous pardonne, que l’honorable rapporteur de la chambre des députés, plus familiarisé avec les instruments d’astronomie et d’optique qu’avec les matières qui formaient l’objet habituel des méditations scientifiques de Fermat, non-seulement n’a pas saisi les indications de M. Villemain relativement aux divers recueils qui contiennent les écrits de Fermat, mais que même il n’a ouvert le Diophante avec les notes de Fermat et les Opera varia qu’à cette occasion ; et fort à la hâte. En effet, après avoir assuré qu’il en a fait le calcul, il déclare que les notes de Fermat sur l’ouvrage de Diophante forment en somme l’équivalent de dix à douze pages, qu’il réduit plus loin à quelques lignes. Or, nous avons déjà vu que ce volume commence par un abrégé de trente-six pages in-folio des travaux mathématiques adressés à Billy par Fermat. Cet important abrégé doit nécessairement être inséré dans la nouvelle édition, il avait complètement échappé au savant rapporteur. Nous ne pensons pas qu’il faille rien retrancher des œuvres de Fermat. On sait que, rareté à part, les anciennes éditions ne sont complètement remplacées par les réimpressions qu’à la condition que celles-ci reproduisent au moins tout ce que les autres contiennent. Si l’on retranchait la moindre partie des œuvres de Fermat, on verrait bientôt l’ancienne édition recherchée avec avidité et placée invariablement dans les bibliothèques à côté de la nouvelle. D’ailleurs, qui oserait, avec le rapporteur, déclarer inutiles certaines questions que Fermat jugea dignes d’occuper son esprit ? Quant au Diophante, qu’on semble rejeter si lestement aujourd’hui par le double motif que cet ouvrage n’est pas assez rare, et qu’il ne faut pas trop encourager l’étude de la théorie des nombres, il suffit de faire remarquer que Lagrange, dont l’autorité ne sera contestée par personne, avait voulu réimprimer cet ouvrage qu’il déclarait très rare il y a longtemps, et dont à plusieurs reprises il a manifesté le vœu qu’on fît une nouvelle édition. Ce livre est si peu commun, que dans ce moment-ci le gouvernement en fait rechercher vainement un exemplaire chez tous les libraires de Paris. S’il est d’ailleurs dangereux d’exciter les jeunes géomètres à diriger leurs efforts vers la théorie des nombres, on ne doit pas seulement omettre l’ouvrage de Diophante, il faut supprimer aussi les notes de Fermat et interdire désormais à l’Institut de proposer pour sujet du grand prix de mathématiques des questions tirées de cette théorie .

Disons-le nettement, si, pour la nouvelle édition des œuvres de Fermat, on avait dû suivre les idées émises par le rapporteur de la chambre des députés, nous pensons que le gouvernement eût été contraint d’y renoncer, car elle serait devenue inexécutable. Heureusement la chambre des pairs a mieux compris ce qu’il fallait faire pour la gloire de Fermat, et la commission, par l’organe de M. de Laplace, a déclaré qu’elle n’approuvait pas cet assemblage d’écrits divers qui, par leur réunion, auraient affaibli l’hommage qu’on voulait rendre à la mémoire de ce grand géomètre . Caractérisant sans phrases et très convenablement les travaux et le génie de Fermat, le nouveau rapporteur a fait justice des idées aventureuses que contenait le premier rapport, et, dans une loi destinée à exalter la gloire de Fermat, il s’est bien gardé de jeter quelque défaveur sur une branche des mathématiques que ce grand géomètre avait cultivée avec passion. Il a parfaitement compris que les sciences se tiennent, que le progrès de l’une est intimement lié à l’avancement de toutes les autres, et que, sous prétexte de favoriser les progrès de la mécanique céleste ou de l’acoustique, parler avec une sorte de dédain de l’analyse indéterminée dont des hommes tels que Fermat ; Euler ; Lagrange, s’occupèrent toute leur vie, et qui est cultivée actuellement en France et en Allemagne par les plus illustres géomètres, c’était, en réalité, s’opposer aux progrès des mathématiques. M. de Laplace a puisé des idées plus élevées dans les écrits de son illustre père, qui connaissait véritablement la mécanique céleste et la théorie mathématique du son, et qui, bien que ses succès le portassent de préférence vers les applications, disait, il y a cinquante ans aux élèves de la première École Normale, à propos de Fermat :

« Ce grand géomètre avait promis de publier les démonstrations de ces derniers théorèmes, mais elles ont été perdues à sa mort ; (Ndlr : Il est bien plus probable que Fermat ait détruit tous ses “brouillons”, ce qui semble se confirmer à la lecture de ses 48 observations) ces théorèmes sont restés comme autant de monuments qui, par la difficulté d’y parvenir, attestent la profondeur de son génie. Il est fort remarquable que les grandes découvertes dont l’analyse s’est enrichie dans ce siècle aient peu influé sur la théorie des nombres. Au reste, ces recherches ne sont jusqu’ici que de pure curiosité, et je ne conseille de s’y livrer qu’à ceux qui en ont le loisir. Cependant il est bon de les suivre, elles fournissent d’excellents modèles dans l’art de raisonner ; d’ailleurs, on en fera un jour, peut-être, des applications importantes. Tout se tient dans la chaîne des vérités, et quelquefois un seul phénomène a suffi pour faire passer les plus inutiles en apparence de notre entendement dans la nature. Rien ne semblait plus futile que les spéculations des anciens géomètres sur les courbes qu’engendre la section de la surface des cônes par un plan : après deux mille ans, elles ont fait découvrir à Kepler les lois générales du système planétaire dont les différents corps se meuvent dans ces courbes. »

Quelques années plus tard, Laplace, faisant réimprimer ce passage, y ajoutait cette note :

« Depuis la première publication de ces leçons, M. Gauss, célèbre géomètre, a réalisé cette prédiction, et, par une application extrêmement ingénieuse de la théorie des nombres, il est parvenu à des résultats étonnants, entièrement nouveaux, sur la résolution des équations et sur l’inscription des polygones réguliers dans le cercle. »

Au lieu donc de faire des vœux pour que les jeunes géomètres négligent la théorie des nombres, espérons que cette nouvelle édition des œuvres de Fermat ranimera leur zèle, et les portera, par un si grand exemple, à cultiver avec une égale ardeur et avec un succès croissant les diverses branches de l’analyse mathématique. Une introduction historique, où l’on exposerait rapidement tout ce que la France a fait pour le progrès des sciences depuis les temps les plus reculés jusqu’au moment de la mort de Fermat, et quelque notes destinées à faciliter la lecture des écrits que l’on doit imprimer, semblent un complément indispensable de cette publication. Il serait à propos de reproduire à cette occasion le portrait de Fermat gravé dans les Opera varia, afin que désormais toute la France pût connaître cette belle tête d’un homme aussi digne par son génie que par ses qualités morales de servir d’exemple à la postérité. Nous désirons vivement, sans pourtant l’espérer, que la personne chargée par le gouvernement de diriger l’édition des œuvres de Fermat ne reste pas trop au-dessous de la tâche qui lui est imposée.

G. LIBRI.

GrothendieckModifier

NotesModifier

  1. On ignore si Fermat vint jamais à Paris. Dans une de ses lettres, il propose a Pascal de faire chacun la moitié du voyage et de se rencontrer entre Clermont et Toulouse, pour converser quelques jours ensemble. Dans sa Vie du père Mersenne, le père Hilarion Coste cite Fermat parmi les personnes qui visitaient Mersenne ; mais ce fait est-il bien avéré, et ne se rapporte-t-il pas d’ailleurs à une époque où Mersenne aurait été en voyage ? Dans la même lettre, qui est du 25 juillet 1660), Fermat écrit à Pascal : Ma santé n’est guère plus forte que la vôtre. Il souffrait peut-être encore des suites de la peste qui désola le Languedoc vers le milieu du XVIIe siècle, et dont une lettre de Bernard Medon, publiée par Burimann, nous apprend que cet illustre géomètre fut atteint.
  2. On voit par une lettre de Fermat à Carcavi qu’enfin ce grand géomètre avait pris la résolution, en 1659, de publier ses écrits de mathématiques, mais à condition que l’ouvrage ne porterait pas son nom.
  3. Fermat, dont l’esprit était si actif quand il s’agissait de faire des découvertes, n’aimait pas à les rédiger. Cela résulte de toutes ses lettres. Une fois, il écrit à Roberval, à propos d’un traité manuscrit qu’il venait de lui communiquer : « Je ne doute pas que la chose n’eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes. » On voit par sa lettre, déjà citée, à Carcavi, que Fermat se proposait d’envoyer à Pascal ses principes et ses premières démonstrations sur la théorie des nombres, afin que celui-ci en tirât les conséquences et se chargeât avec Carcavi de la rédaction. M. Gauss, grand géomètre, que la postérité placera à côté de Fermat non-seulement par ses admirables découvertes dans la théorie des nombres, mais aussi par le peu d’empressement qu’il met à faire paraître ses travaux, répondit à une lettre dans laquelle nous lui demandions de ne pas tarder davantage : Procreare jucundum, sed parturire molestum !
  4. À la même époque, Pascal ne considérait la géométrie que comme un exercice de l’esprit très haut et fort inutile ; mais, moins modeste en réalité que Fermat, il se passionnait pour ses propres travaux. Voyez à ce sujet l’Histoire de la Roulette. Toutefois Pascal a dit quelque part, en partant d’un de ses amis : « Il a un très bon esprit, mais il n’est pas géomètre. C’est, comme vous savez, un grand défaut. »
  5. On ignorait jusqu’à présent où Fermat était mort ; dans un ancien registre du parlement de Toulouse, nous avons, trouvé cette note : « Pierre de Fermat, aux requêtes 14 mai 1631, en la cour 10 janvier 1635. Décédé à Castres le 12 janvier 1665. »