Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible

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Grand théorème de Fermat

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Derniers ajouts, 16/10/2020

« La conviction profonde et partagée que Fermat n’a pas possédé une démonstration de son théorème vient de la longue histoire des tentatives faites pour l’établir. […] Les suiveurs des suiveurs, dans toutes les situations de ce genre, ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. » Jacques Roubaud, “Mathématique :” (1997).

« Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein (1995).

Il arriva un jour où plus aucun mathématicien contemporain de Fermat n’accepta de répondre à ses défis. Sa riposte fut à la hauteur de sa pédagogie, il lança un défi au monde.

  • Grand théorème de Fermat :

    xn + yn = zn,

    impossible quand n est un nombre entier supérieur à 2.

Ce qui rend le problème fascinant est la simplicité de son énoncé. Pendant trois siècles, les plus grands mathématiciens ont tenté de prouver la véracité de ce théorème, dont Pierre Fermat (ou Pierre de Fermat) dit avoir « vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante » (c'est la traduction après décryptage de sa deuxième ‘’OBSERVATIO‘’). Des milliers d'amateurs à travers le monde s'en sont eux aussi passionnés, imaginant une démonstration à leur portée. Las, cette simplicité apparente pose un voile sur des difficultés insoupçonnées. Si cet Himalaya des mathématiques a pu être gravi en 1994, après 324 ans d'efforts et d'espoirs déçus, c'est uniquement par des moyens modernes, une voie très indirecte et une démonstration d'une complexité et d'une longueur énormes (environ 1 millier de pages dans sa première mouture). La preuve beaucoup plus courte que veut nous donner Fermat n’a toujours pas été comprise par nos mathématiciens.

Genèse de l'étudeModifier

La première lecture (vers 1997) qui m'a fait m'intéresser à ce problème est celle du célèbre ouvrage de vulgarisation de Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, lecture qui m'avait été suggérée par une amie étudiante en mathématiques. Là j'ai commencé à sentir que je tenais quelque chose[1]. Baudelaire dit dans un de ses poèmes : « J’aime passionnément le mystère parce que j’ai toujours l’espoir de le débrouiller. » J'ai moi aussi cette passion, poussée à un haut degré ma foi. Souvent on considère un mystère comme insoluble, par la raison même qui devrait le faire regarder comme facile à résoudre. En faisant simplement preuve de bon sens, dans une perception fine des choses, une approche objective dénuée de tout préjugé, alors à mesure qu’on progresse dans la recherche les découvertes apportent un lot de satisfactions inestimable, c'est un merveilleux cadeau qu'on se fait à soi-même. Vers 1646 Roberval écrivait à Torricelli, évoquant Fermat : « Cet homme remarquable, le premier d’entre nous, m’envoya deux propositions très subtiles, sans les accompagner de leurs démonstrations. Et alors que je lui demandais les démonstrations de ces propositions ardues, il me répondit, par lettre, en ces termes : « J'ai dû travailler pour les découvrir. Travaillez vous aussi ; vous prendrez ainsi conscience que c’est dans ce travail que consiste la majeure partie du plaisir. » Qui a l'esprit de discernement sait faire preuve de simplicité, de confiance, d'humilité, d'imagination, d'audace, d'analyse rigoureuse, aptitudes nécessaires à la résolution d'une énigme. Je crois que la résolution des énigmes les plus importantes de la vie, soit que la notion d’infini représente une pièce essentielle du mystère, soit qu'elle y soit absente, est toujours possible. Mais dans ce cas-ci j'ai eu beau chercher, presque toujours avec le même enthousiasme, je ne trouvais que quelques indices de-ci de-là. Il est vrai qu'en les assemblant ils me confortaient dans mon intuition initiale, et même s'ils n'aboutissaient à rien de concret, ils constituaient déjà, après à un survol objectif du contexte général plusieurs fois réitéré (où j'incluais les mots de Fermat et ceux de tous ses détracteurs), un bon début d'analyse. Il me fallut attendre une douzaine d'années avant de recevoir un message privé via Wikipedia, d'un mathématicien amateur (Monsieur Roland Franquart) qui allait beaucoup m'aider. Nous nous sommes téléphoné et je crois bien que nous avons conversé pendant une heure. Par la suite nous avons beaucoup échangé et travaillé sur un blog dédié où une doctorante était intervenue. Puis j'ai continué à tenter de rendre l'article de Wikipédia sur le théorème un peu plus fiable sans parvenir à grand-chose, une très vive opposition, même pour les plus simples détails, m'en empêchant. Les professeurs ou anciens professeurs de mathématiques que j’y ai rencontrés ont la manie d’appeler banales toutes choses situées au-delà de leur compréhension, et vivent ainsi au milieu d’une immense légion de banalités. Renonçant finalement à tenter d'améliorer un peu plus cet article (et quelques autres), j'ai quitté Wikipedia et repris mes recherches. Je ne me doutais pas qu'en travaillant seul, l'esprit libéré, j'allais pouvoir progresser au fil de trouvailles de plus en plus nombreuses et étonnantes qu'après Roland Franquart j'allais faire à mon tour. Je dois à la justice de dire que sans ses découvertes je n'aurais rien trouvé de neuf, et toute cette recherche n'aurait pu se faire, à tout seigneur tout honneur.

Vers 2006 après avoir consulté la fiche Wikipédia concernant ce théorème j'avais tout de suite vu que de tous les arguments avancés par les contempteurs de Pierre de Fermat et repris par les wikipédiens, absolument aucun ne tenait la route. Pourtant, tous y étaient réunis, la partie de l'article concernant la possibilité d'une preuve par Fermat lui-même avait été rédigée à partir de tous ces arguments très orientés et parfois péremptoires, sans jamais prendre en compte un seul argument d'un mathématicien disant que Fermat, immense génie de la valeur de Pascal sans doute, grand pédagogue et juge à la fois, ait pu détenir la preuve qu'il affirmait avoir mise au jour, défiant tous les “savants” de la trouver à leur tour. C'est ainsi que les gardiens du temple interdisaient par exemple que figure dans l'article le nom de la chercheuse et mathématicienne la plus experte (Catherine Goldstein) et universellement reconnue, de Pierre Fermat et de ses travaux. De même vous rêvez si vous pensez qu'aurait pu y figurer le nom de Jacques Roubaud. Quant à l'opinion de ce dernier, toujours au sujet du théorème, sur « les suiveurs des suiveurs qui ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs, qui pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements », les amateurs dont je parle sont toujours aussi persuadés qu'ils savent « tout ce qu’il y a à savoir. »

Nombreux sont les scientifiques contemporains, toutes disciplines confondues, qui raisonnent avec une forme de pensée magique, font preuve de condescendance quand ce n'est pas un mépris ouvert envers les Anciens. Cette condescendance fait d'ailleurs partie des mœurs courantes des mathématiciens accomplis. Dieu sait si je suis averti pour dire combien il peut y avoir de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes, de ces personnes que la reconnaissance académique conforte dans leurs certitudes béates. La question à se poser en voyant la façon étonnante dont était rédigé l'article était « Pourquoi donc ? ». C'était la première pierre à soulever impérativement, pour ne pas être contaminé par le pessimisme ambiant et partir du bon pied. Il peut paraître étonnant que les professeurs qui ont écrit ce texte n’en aient pas perçu tout le ridicule, non seulement en contribuant à propager la rumeur mais en la portant à son maximum désirable. Tel semble être le destin de ces sites où les experts, quand ils ne se font pas exclure, s’en vont un jour d’eux-mêmes, lassés d’avoir eu à batailler contre des amateurs. Ces amateurs, se prenant pour des encyclopédistes, durant de longues années ont causé beaucoup de tort à l'encyclopédie participative. À ce rythme elle aura un jour perdu toute crédibilité.

Cette conformité jalouse et exacerbée avec la pensée unique était évidente. Ça devint dès lors un formidable défi d'abord de révéler ce parti pris et ses conséquences pitoyables, mais, par-dessus tout, de chercher patiemment tout ce que Fermat avait voulu qu'on entende – la difficulté résidant en ceci qu'il n'en disait jamais plus que nécessaire et que les meilleurs signaux qu'il envoyait étaient les plus difficiles d'accès. Ainsi est née cette recherche, laborieusement d'abord, d'autant que j'étais encore dans “la vie active” (y a-t-il une vie passive ?). Tenter de résoudre de la façon la plus exhaustive possible cette formidable énigme, qui fait appel à une analyse très maîtrisée de la psychologie de Fermat, de son admirable sagacité (ainsi que, dans les premières années de ma recherche, à la psychologie de détracteurs frustrés et revanchards) m'est toujours aussi enrichissant.

« L’historien ne doit rien refuser d’entendre. » (Cicéron)Modifier

Les Anciens étaient parvenus à extraire d’une gangue arithmétique informe les concepts principaux sans même disposer du symbolisme algébrique (signes +,–, etc.) que connaissent de nos jours tous nos écoliers. Puis Pierre de Fermat, comme ses contemporains mais à un degré plus élevé, a maîtrisé l’art de contourner les difficultés auxquelles se heurteront ceux qui viendront après lui, au point de pouvoir se passer des outils qu’on découvrira par la suite. Nous trouvons maintenant évidentes des notions que ces Anciens ont eu tant de mal à exposer. Jusqu’au siècle dernier, et même encore parfois de nos jours, ce caractère d’évidence a engendré chez quelques savants, quand ils ont eu à ferrailler avec Pierre de Fermat, leur maître pourtant, une coupable arrogance.

Les mathématiques, surtout les mathématiques de Fermat, sont aussi de la philosophie. Notre étude fait appel à de nombreuses disciplines : mathématiques, histoire des math, philosophie (dont la logique philosophique), psychologie, sociologie (beaucoup), linguistique, pédagogie, didactique. La question considérée est aussi un outil adapté pour étudier notre époque. Réciproquement, le subtil mathématicien, le philosophe et en général celui qui sait réfléchir trouvera ici du grain à moudre.

Cet essai initié en janvier 2019, en septembre 2020 ne semble toujours pas vouloir se terminer. L'étude des travaux de Fermat, de sa correspondance, a nécessité beaucoup de temps, nous sommes allé de découverte en découverte. Appréhender la psychologie d'un tel personnage pour tenter de découvrir tout ce qu'il a voulu signifier par ses astuces littéraires est un travail sans fin. Ce n'est qu'au fil de ces découvertes (et on va de surprise en surprise) et au prix de longues méditations que l'on peut y progresser. Il est difficile ce travail, car l'imaginaire collectif est là, qui sans cesse nous rappelle le jugement définitif qu'ont porté de très grands savants à l'encontre de Pierre de Fermat. Il est surtout très plaisant ce travail.

L’histoire du ‘’Dernier théorème de Fermat‘’ (son ultime défi) commence aux alentours de l’année 1638. Fermat est alors âgé d’une trentaine d’années. On peut mieux comprendre son inextinguible soif de connaissances en considérant qu'il vit à une époque où sans rien renier des connaissances des Anciens, au contraire en les admirant, on s'attache à leur étude pour mieux aller de l'avant. On y est polymathe, tout est digne d'intérêt. Fermat est de ces hommes, humaniste, lettré, philologue, il connaît le grec et l'italien, fait des vers français, latins et espagnols. Natif de Beaumont-de-Lomagne dans le Tarn-et-Garonne, il s'installe d'abord à Bordeaux, puis à Toulouse, faisant carrière dans la magistrature où il s'acquitte de sa tâche d'une manière plus qu'honorable. Lorsqu'il découvre l'arithmétique des Anciens, il y voit une telle intelligence, une telle stimulation pour l'esprit, que se contenter d'une activité rémunérée ayant surtout l'avantage d'assurer se subsistance n'est même pas une question à se poser. Il voit dans l'étude des nombres le moyen le plus sublime de contempler les mystères de la Nature. Son enthousiasme débordant a trouvé le moyen de s'exprimer et sa voie est toute tracée, grâce à lui, la Connaissance pourra s'accroître et se propager. La science des nombres n'est pas sa seule passion, le latin, langue des savants et des lettrés, n'a aucun secret pour lui. « Il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. » Il est très croyant (voir son poème latin ‘’Soumets-toi à Dieu ou l'agonie du Christ‘’, dédié à Jean-Louis GUEZ de BALZAC) et très discret, et bien que ce fût un génie, « le plus grand homme du monde » selon Blaise Pascal, on sait très peu de choses sur sa vie. Par sa correspondance, on connaît quelques unes de ses plus belles démonstrations, une des plus formidables par sa difficulté étant celle où il démontre que le nombre 26 est le seul de tous les nombres (jusqu'à l'infini, donc) à être compris entre un carré et un cube : 25 (5x5), et 27 (3x3x3).

Si aller à l'encontre de tous les jugements négatifs qui ont été portés à son encontre n'est pas aisé, deux choses pourtant aident à garder intacts l'enthousiasme et la confiance.
1) On sait d'une part qu'il disposait de très peu de temps pour assouvir sa passion des nombres. Ce n'est qu'en gardant par devers lui la grande majorité de ses inventions au fur et à mesure qu'il les faisait, qu'il pouvait préserver sa tranquillité et exploiter tout son potentiel créatif. S'il avait commencé à rédiger des démonstrations complètes de ses inventions, la compréhension en ayant été ardue, des esprits tatillons lui auraient fait perdre son temps avec d'incessants chipotages. La formulation de ses défis, qui souvent ne comportaient que quelques lignes et pouvaient paraître inconvenants de la part d'un notable, témoignait aussi de ce cruel manque de temps.

Il ne livre pas explicitement sa démonstration sur le cas particulier n=4 de son grand théorème, mais celle des triangles rectangles, dont elle est immédiatement déductible (c’est en outre la seule démonstration qu’il révèle – dans ses 48 ‘’observations’’ en tout cas). À première vue cela pourrait sembler étonnant, voire incompréhensible, il possède la preuve complète pour n=4 et il ne la donne pas. Pour quelle raison alors si ce n’est pour indiquer qu’il ne faudra pas prendre à la légère ses affirmations sur l’impossibilité de n=4, de n=3 et du théorème général. Cela nous semble être le tout premier des arguments en faveur d’une maîtrise complète, par Fermat, de la situation : il sait de quoi il parle et nous le fait savoir. On est certains par ailleurs qu'il possède la preuve pour n=3 et là encore il ne la donne pas. Il s'arrange donc, comme il l'a fait dans ses lettres, pour n'en révéler que le minimum. S'il avait renoncé à ce principe, les mathématiciens n'auraient eu aucun effort à fournir.

En outre il avait une revanche à prendre sur cette communauté (« Ah ! ils n'ont pas souhaité me prendre au sérieux ? Eh bien qu'il continuent, ce n'est plus à eux que je pense dorénavant. »). Certains de ses correspondants en effet, à qui il avait soumis des problèmes qu'ils avaient été incapables de résoudre, avaient méprisé ses travaux, les jugeant totalement inutiles (alors qu'ils se révélèrent plus tard d'une importance considérable). Fermat en fut contrit et vexé, certainement il voulut aussi les punir de leur négligence. La nature de son caractère dut y être pour quelque chose, on le savait très humble, mais il était conscient de sa force, et la fausse humilité était étrangère à ce Gascon. Une démonstration complète d'un cas particulier (n=3) de son grand théorème ne sera trouvée que... deux siècles plus tard par Gauss, un autre immense mathématicien.

2) D'autre part, certains de ses écrits les plus importants sont rédigés en latin, la langue de l'ellipse par excellence. Fermat étant un expert en latin, il nous a fallu débusquer le plus possible de ses non-dits – écrits, mais subtilement cachés – auxquels l'obligeaient : a) le souci de discrétion dans une époque troublée (alors qu'il est magistrat) ; b) le manque de temps ; c) le principe même du défi, qui s'accordait avec les deux points précédents, enfin, c) son goût pour la pédagogie (qui s'accorde à son tour avec les points précédents).

Un jour, alors qu'il est en contemplation devant la beauté du théorème de Pythagore (a²=b²+c²), il s'interroge. Pourrait-on ajouter quelque chose au sujet, quelque chose que personne encore n'aurait tenté ? Et surtout osé ? Dans la formule de Pythagore, l'exposant est le nombre 2, le seul nombre qui élevé au carré soit égal à son double (2² = 2+2). Fermat put penser que cette propriété lui conférait des propriétés particulières et il a l'idée qui allait bouleverser les mathématiques pour les siècles à venir. L'impensable se produit, il remplace l'exposant 2 par un 3. Est-ce que l'égalité pourrait encore exister pour certains cas en choisissant avec soin les valeurs de a, b et c ? On perçoit déjà l'étendue de sa curiosité et de ses ambitions. A priori il ne semblait pas que ce fût possible, on pouvait toujours s’en approcher de très près, parfois même à une unité, mais trouver une solution semblait impossible. Le nombre 2, monstre mathématique, le suggère d'ailleurs fortement (à l'unité, on a ajouté l'unité pour en faire une double unité, une manipulation philosophiquement blasphématoire – ou merveilleusement créatrice !). Non seulement 2 est le premier des nombres premiers, mais il est aussi le seul nombre premier à être pair. Pour Fermat, tenter de prouver l'impossibilité de son égalité serait un défi formidable, et c'est tout ce qu'il lui faut. Il utilise une méthode qu'il nomme ‘’descente infinie’’ (ou descente indéfinie), un raisonnement par récurrence et un autre par l'absurde, le tout extrêmement efficace. Peut-être se rend-il compte qu’il serait plus facile de tester d'abord sa méthode avec un 4 en exposant, le carré de 2, ce nombre qui semble narguer tous ses suivants. Quoi qu'il en soit sa méthode fonctionne parfaitement avec 4. Plus difficilement elle fonctionne avec 3. Fermat excitera la curiosité de ses correspondants en les défiant de prouver ces deux impossibilités. Après le 5, pour tous les nombres jusqu’à l’infini, il comprend vite que la méthode n'est pas adaptée. Le philosophe notera avec amusement que dans la mystique chrétienne, le 4, qui comprend deux traits l'un horizontal et l'autre vertical, deux directions donc, symbolise l'heure du choix ; le nombre précédent, 3, avec ses deux courbes (douceur, inclination, attirance), l'une orientée vers la terre et l'autre vers le ciel, symbolise le règne animal. le suivant, 5, avec sa courbe vers le bas, vers la Terre, et son trait horizontal qui l'ancre au ciel, représente l'homme spirituel [voir par exemple cet ouvrage (citations)] ; ce symbolisme est repris par Bernard Werber dans Pouvoir des chiffres, page 29 (édition : 2000). Il faut pour Fermat trouver une autre voie que sa méthode de la descente, une voie qui très certainement n’aura aucun rapport avec la première. En 1670, cinq ans après sa mort, dans une courte “OBSERVATIO” énigmatique et provocatrice qu'il a écrite en latin, tenue jalousement secrète de son vivant mais que son fils Clément-Samuel fait connaître, il affirme avoir « assurément mis à nu l'explication tout à fait étonnante que la marge du livre [où il écrit], trop étroite ne saurait contenir ». À cette observation Samuel en a ajouté 47 autres. Le tout est inséré aux endroits adéquats dans le Livre VI de l’Arithmetica du mathématicien grec Diophante qui fut publiée en 1621, et où Bachet de Méziriac avait ajouté une traduction du grec au latin. On dispose donc en 1670 d'une Arithmetica un tout petit peu augmentée. L'observation dont on parle est relative à la question VIII, c'est la deuxième des 48 et elle se distingue notablement des autres. Nous y reviendrons.

Chez les Anciens on n’était pas sollicité dès le plus jeune âge par toutes les vanités qui encombrent maintenant l’esprit de nos enfants. De grandes intelligences ont pu ainsi atteindre à un grand savoir en pénétrant l’essence des choses. Socrate, Euclide, furent de ces grands hommes. Bien plus tard et dans le même siècle, Fermat, Pascal, Leibnitz. Pierre de Fermat fut un fameux exemple dans les mathématiques (théorie des nombres), construisant de puissants raisonnements avec parfois le seul recours aux mots. Nos mathématiciens ne savent plus raisonner sainement sur les concepts primordiaux, n’y ayant jamais été contraints puisque leurs prédécesseurs, de plus en plus, ont brûlé les étapes. Ils sont en conformité avec l’époque, une ère matérialiste. L’esprit est de plus en plus encombré de pensées compliquées, tout comme l’est leur manière de chercher. L'abstraction dans le simple leur est devenue inaccessible, le pur spirituel, sa beauté, sont définitivement perdus. Pour raisonner ils recourent maintenant à de plus en plus de symboles mathématiques, des formules de plus en plus compliquées, leur pensée s’appuie sur cette complexité, ainsi que sur ‘’la quantité aux dépens de la qualité‘’, au lieu d’être une pensée pure.

Comme Pythagore, Fermat sait que quand l’homme a posé 1, puis 2, tout est déjà posé, l’unicité, la pluralité du monde. Quelque chose pourtant a dû spécialement lui plaire avec ce premier nombre pluriel, pour rendre le théorème de Pythagore décidément inégalable par sa puissance, sa singularité, en imaginant une conjecture beaucoup plus plurielle. Il fallait mettre sur un des deux plateaux de la balance une propriété importante du premier nombre entier suivant l’unité, l'unité doublée, premier nombre pair. Puis mettre sur l’autre plateau sa conjecture avec une propriété qui soit en rapport, mais appelant cette fois l’infinité des nombres entiers (remarquons que 1, le nombre unitaire, n’est pas directement présent dans la «comparaison», il est «à part»). Peser le pour et le contre semblait a priori un défi gigantesque. Certainement très vite il voit que les deux plateaux de la balance ne pourront jamais se trouver à la même hauteur, une mise en abyme est impossible. Il va donc s’attacher à le prouver.

La question du Dernier théorème est bien plus qu’une question arithmétique. Son histoire est, elle aussi, comme un symbole profond de l'historiographie trop humaine de la Mathématique. En reprenant l'idée de Eric Temple Bell nous sommes certain que la civilisation s'éteindra avant que nos mathématiciens puissent comprendre – et admettre – l'explication de Fermat.

Mathématique et poésie, esprit de géométrie et esprit de finesseModifier

À un pur mathématicien qui n’est que mathématicien, les plus grandes évidences toujours échapperont. J’ai lu très peu de mathématiciens en qui, en dehors de leurs mathématiques, on pouvait accorder toute confiance. Seul peut raisonner clairement le mathématicien qui a gardé l’esprit d’enfance, ce doit être un poète, qui jamais ne bride pas son imagination créatrice. Citons Etienne KLEIN : « C'est peut-être ce que j'admire le plus chez [Einstein]. Cette capacité qu'il avait à se poser des questions toutes simples, des questions d'enfant, et à leur trouver des réponses élaborées avec toute la rigueur d'un cerveau d'adulte. » Souvenons-nous que Fermat a écrit de la poésie (en plusieurs langues). De même Giordano Bruno. Pensons à l’inoubliable logicien qu’était Lewis Caroll, auteur de ‘’Alice au pays des merveilles’’ et de ‘’ De l'autre côté du miroir’’. Pensons à Jacques ROUBAUD, écrivain et mathématicien, membre de l'Oulipo, joueur de go fort spirituel et poète bien connu des mathématiciens, qui concilie opportunément « l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse ». Puis remarquons que Catherine Goldstein, chercheuse mathématicienne et historienne, qui a toujours dit contrairement à une ribambelle de ‘’sachants’’ que l’existence d’une preuve du Théorème de Fermat par Fermat lui-même n’avait rien d’improbable, avait pour père un poète, Isidore Isou (1925-2007), qui fut aussi peintre, romancier, dramaturge, économiste,… Et n'oublions pas les écrits littéraires d'Alexandre GROTHENDIECK (voir infra).

Dans les lignes qui suivront on verra combien la stratégie que Fermat a mise en place pour livrer son ultime défi, non seulement est un défi à l’imagination, mais confine à une énigme policière à laquelle en enquêtant on trouve le charme d'une poésie. Edgar Allan Poe, poète, fameux nouvelliste précurseur du roman dit ‘’policier’’ (qui fuit traduit par Charles Baudelaire), s’il avait eu connaissance en son temps des découvertes faites par Roland Franquart, se serait réjoui d’avoir à mener une enquête cette fois bien réelle et à n’en pas douter l’aurait menée à son terme.

La mathématique s’occupe des quantités et des formes, elle n’est pas le tout. Une raison cultivée par la seule logique algébrique est invalide. Seule est valide une raison gouvernée par la logique générale (abstraire). Les mathématiciens ont implicitement postulé qu’une vérité purement algébrique devait être une vérité générale. La confusion est si énorme, l'erreur si grossière, qu'on ne peut que s'émerveiller de l'unanimité avec laquelle elle fut acceptée. De même un axiome mathématique ne peut être un axiome d’une vérité générale. Ils ont aussi cru bon (les mathématiciens français sont les plus coupables de cette imposture scientifique) d’appliquer le terme ‘’analyse’’ à des domaines de leur discipline, considérant ainsi que les mots tirent leur valeur de leur application. Essayez, si vous ne craignez de vous faire écharper, d’expliquer cela à un pur mathématicien, celui qui ne raisonne qu’avec sa raison algébrique.

Blaise Pascal, dans les Pensées, distingue l'esprit de géométrie et l'esprit de finesse.

Fermat sur le DivanModifier

Le premier chaînon, nombres de FermatModifier

« En plein cœur de toute difficulté se cache une possibilité. » Albert Einstein

Les commentateurs de Fermat n'ont pas lu Fermat, mais ce qu'ils veulent que Fermat ait écrit, que ce soit dans sa plus célèbre observation ou dans celle qu'il adresse à Carcavi en août 59. Ce que nous allons montrer.

Fermat soumet la conjecture sur les nombres de la forme 22n + 1 à sept de ses correspondants en leur demandant de bien vouloir l'aider à la prouver (!). En utilisant les nombres de la forme 74k+1 il avait déjà trouvé que 237 – 1 (soit 137 438 953 471) est divisible par 223. Avec le même argument et avec les diviseurs de la forme 64k+1 il aurait pu leur montrer en 4 courtes divisons que F5 est divisible par (64×10) + 1 (soit 641), donc qu'il n'est pas premier, et que la conjecture est donc fausse. Fermat leur a toujours dit qu'il n'a pas la preuve de cette proposition, et comme dans notre thèse il l'a toujours sue fausse il ne la joint pas à ses 48 “Observations” en rapport avec l’Arithmetica de 1621 que son fils transcrira sur l'Arithmetica de 1670, « où toutes ces propositions, à mesure qu’on s’en est occupé, ont été trouvées rigoureusement exactes ».

Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein étudie particulièrement l’Observation XLV de Fermat (sa formulation, ses lectures, etc.), qui est rappelons-le la seule preuve complète d'un théorème (Théorème des triangles rectangles) figurant dans ses observations. Cette preuve montre l’impossibilité, comme en passant, du cas n=4. Au cours du temps les mathématiciens ont fait différentes lectures de ce théorème. C.G. y fait sa propre lecture qui a l’avantage de répondre « à toutes objections soulevées jusqu’à présent ». À la page 148, note 4, elle note que « des lettres importantes pour les recherches sur les nombres ne figurent pas dans les VARIA OPERA MATHEMATICA[2] [publiées par son fils en 1670] comme la lettre de Carcavi de 1659 » (où figure la conjecture sur les nombres de Fermat). C'est la formulation d'un passage de cette lettre, absente des Varia opera, qui a fait dire à de nombreux commentateurs que Fermat avait dû se tromper. Concernant cette fausse conjecture et leurs diverses formulations ce sont au total 5 lettres qui sont absentes des Varia opera (Œuvres mathématiques diverses), un recueil de mémoires et de correspondances de Fermat. Une seule y était mentionnée. Voici les lettres absentes :

1) à Frénicle de Bessy en août (?) 1640, où figurent ces mots, dont le contexte dans lequel Fermat les écrit n’a jamais été étudié (voir infra) par les commentateurs de Fermat : « [...] mais j’ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles [...] » Fermat cherche à stimuler Frenicle.

2) à Mersenne, Noël 1640, : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j’ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.  » Les habiletés de Fermat, son don de psychologue, on le voit dans toute sa correspondance, sont confondants.

3) à Pascal, le 29 août 1654 : « et je vous avoue que je n’ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher, si j’en étais venu à bout. Cette proposition sert à l’invention des nombres qui sont à leurs parties aliquotes en raison donnée, sur quoi j’ai fait des découvertes considérables. Nous en parlerons une autre fois. Je suis, [etc.] ».

4) à Digby pour John Wallis, le 19 juin 1658 : « Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, certainement belle mais aussi très vraie. » (Lettre XCVI dans Œuvres de Fermat, t. 2, p. 402-405.

5) à Carcavi, en août 1659, dans une lettre bilan à destination du jeune Huygens, qui avait de tout autres centres d'intérêt et n'avait pas grande considération pour Fermat. La formulation de cette conjecture est très inhabituelle chez lui :

« J’ay ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :
– Il n'y a aucun cube divisible en deux cubes.
– Il n'y a qu'un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
– Il n'y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
– Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.
Cette dernière question est d'une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu'elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre. »

Cette formulation à l'attention de Huygens, qui a prêté à confusion, deviendra après sa mort la plus célèbre de ses remarques sur les “nombres de Fermat”. Huygens était un jeune scientifique et mathématicien de 30 ans, le seul qui aurait pu encore le suivre, mais il ne donna pas suite. La formulation de ce dernier ballon d'essai était pourtant très excitante :

  • Dans ces lettres il demande du secours (!) à ses six principaux correspondants. L'un après l'autre il les teste, les stimule, les encourage à le suivre dans ses travaux (quelle motivation pour eux, venir à l'aide du grand Fermat). Mais aucun ne répondra, à part Frenicle.
  • Cette fois Fermat a ‘’considéré” certaines ‘’questions”. Fermat n'emploie pas, comme il le fait souvent, l'expression «propositions négatives». L'expression question(s) négative(s) n'est pas très correcte, une question, formellement, est toujours une interrogation. La formulation de tout le paragraphe et à la fin l'allusion aux nombres premiers qui ne peuvent être divisés par aucun autre nombre lui permet d'introduire le terme «négative». Fermat, ce philologue, l'utilise dans une lettre testament. Insinue-t-il qu'à la question la réponse est négative ?
  • Cette proposition peut être formulée d'une manière légèrement différente en en conservant rigoureusement le sens : « La question de savoir si cette dernière proposition est vraie ou fausse est d'une très subtile et très ingénieuse recherche [...] »
  • Comme nous l'avons vu elle est absente de ses observations retranscrites par son fils sur l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.
  • Elle est aussi absente des Varia Opera.
  • L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe est d'une habileté diabolique.
  • Concernant les 3 premières ‘’questions‘’, il a montré que ces propositions étaient vraies. Un détracteur sera donc facilement enclin à croire que Fermat a cru avoir montré que la dernière l'était aussi.
  • Notons que la lettre à Mersenne de juin 1640 (voir infra) où Fermat utilise une méthode similaire, cette fois avec les diviseurs de la forme 74k+1, son fils l’omet elle aussi des Varia opera. Ce sont donc 6 lettres importantes en rapport avec la fausse conjecture qui sont absentes.
  • Ces 7 lettres nous semblent être (dès la première) un énorme coup de bluff. Non seulement Fermat veut nous montrer à quel point il aurait souhaité trouver un complice dans ses recherches arithmétiques (y croyait-il vraiment ?), mais les 6 premières lettres ont une autre utilité, elles ‘’préparent le terrain’’ en laissant au lecteur naïf l’impression que, Fermat n'est pas un mathématicien sérieux, finalement. Dans la dernière lettre, alors qu’il a certainement de gros doutes quant à une réponse de Huygens, il laisse à la postérité un premier message mémorable qui se veut ambigu et fera beaucoup jaser. Il n'a cessé de jouer pour nous enseigner et nous gronder tout à la fois. Le jeu commence dès 1640 et ne cesse de s’intensifier au fil des ans. Le point culminant est la fameuse “observation”, qu’il se garde bien de publier de son vivant. Un clin d’œil magnifique, venu de l’au-delà 30 ans plus tard, pour d’éventuels suiveurs attentionnés.

« Parfois, commentant sur quelques impressions souvent confuses, au sujet peut-être de tel et tel passage particulièrement obscur et déroutant, j’arrivais au fil de la plume à pénétrer plus avant dans le sens d’un texte qui avait semblé hermétique. […] Au fil des jours et des semaines, je me suis aperçu que le simple fait de recopier in extenso tel passage du texte que je scrutais, modifiait de façon surprenante ma relation à ce passage, dans le sens d’une ouverture à une compréhension de son sens véritable. » Alexandre GROTHENDIECK, Récoltes et semailles, p. 428.

« C’est ce que trouve qui m’apporte ce que je cherche. » Pierre Soulages, peintre.


La phrase « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] », est admirable pour l'observateur attentif, Fermat nous dit que l'étude de cette question, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche, il majore l’intelligence de la recherche en ajoutant sans raison apparente à l'adjectif «subtile» son synonyme «ingénieuse». S'il veut ainsi mettre encore plus l'accent sur quelque chose d'important qu'il ne fait pourtant qu'insinuer à l'intention de ses suiveurs, alors la recherche qu'il évoque c'est, aussi, notre recherche de subtilités dans ce qu'il écrit. À nous donc, comme il l'a fait lui-même, de faire preuve de finesse, de créativité en « considérant cette question ».


Pour Pierre Fermat la géométrie et l'arithmétique sont à la fois une passion, un travail et un jeu (rappelons qu'il s'est plu à travailler sur les carrés magiques). Il utilise beaucoup le latin, dont la rigueur et la concision correspondent parfaitement aux exigences des mathématiques. En effet déroger aux règles précises de cette langue lui permet de jouer avec les mots, l'usage de « l’ellipse énigmatique ou du cryptage » (Ludivine Goupillaud) en étant l'exemple le plus remarquable. Dans cette lettre bilan il opère une translation du latin vers le français et pour la première et unique fois il utilise le procédé du cryptage dans un texte sibyllin écrit dans sa langue natale. Si on veut lire entre les lignes : « Pour comprendre les tenants et aboutissants de cette lettre testament il ne vous suffira pas d’en faire une lecture objective, vous devrez aussi la soumettre à une analyse rigoureuse, elle est en effet le fruit d’une très ingénieuse recherche. À votre tour vous devrez vous astreindre à une très subtile recherche. » Ses détracteurs en déformant son propos douteront de ses compétences et feront de cette lettre l'argument principal pour nier qu'il ait pu avec ses propres outils trouver une preuve de grand théorème. Ses partisans se réjouiront en découvrant ces subtilités, qui si elles ne sont pas aussi déterminantes que le cryptage de sa plus célèbre observation (voir infra) sont sublimes elles aussi.

Quand Samuel publie les Varia opera après la mort de son père (comme il l'a fait pour les Observations, mais 9 ans plus tard), il y insère une seule lettre évoquant cette fausse conjecture, celle adressée à Monsieur de ****. On est quasiment assuré qu’il s’agit encore de Frenicle de Bessy.:

6) 18 octobre 1640 : « Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l’exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous avais envoyée et que vous m’avez confirmée, touchant les nombres 3, 5, 17, 257, 65537, etc. Car, bien que je réduise l’exclusion à la plupart des nombres et que j’aie même des raisons probables pour le reste, je n’ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition, de laquelle pourtant je ne doute non plus à cette heure que je le faisais auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m’obligerez de me la communiquer ; car, après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières. » (!) S'il ne parle plus de ‘’démonstrations infaillibles‘’, il n'y va pas de main morte. Deux mois seulement après sa première lettre à Frenicle, il semble vouloir un peu le rassurer sur la difficulté de la proposition tout en suscitant l'émulation.

Le fils de Fermat a donc omis, en particulier dans les Varia Opera, toutes les formulations sur cette conjecture (dont celle qui a soulevé la controverse) sauf celle avec une formulation claire, qui ne prête pas à confusion, dans un document officiel, puisque c'est un ouvrage publié (placer le curseur de la souris tout en haut, dans la bande noire qui apparaît, taper le numéro de page 181, on a alors accès aux pages réelles 162 à 164 de l'ouvrage où figure la lettre complète de Fermat, c'est un régal). Les commentateurs de Fermat ne se sont pas interrogés sur la raison qu'eut Samuel de publier cette seule formulation.

Il m'est revenu hier 10/10/2020 une réflexion que je m'étais faite il y a plusieurs mois, sans en mesurer encore la portée. Samuel de Fermat s'est donc attaché à insérer dans les Varia opera cette seule formulation parmi 7 différentes, formulation où figurent les mots de son père : « [...] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] ». J'avais déjà observé que le choix de Samuel précisément pour cette lettre, où son père dit être toujours honnête, avait un rapport étroit avec la fameuse observation sur le grand théorème (i.e. il faut prendre au sérieux l'observation, Fermat y est franc), mais je n'avais pas mesuré toute la portée du choix de Samuel, et il faut donc ajouter cette nième balise à toutes les autres. Ça commence à en faire un sacré paquet mais même si elles sont nombreuses, aucune ne fut accessible à l’observateur non averti. On pardonnera donc aisément 😉 aux divers commentateurs qui sont montés sur leurs ergots (la basse-cour fut excitée et la ponte en rapport). On ne pourra jamais dire avec certitude si le père et le fils furent de connivence dans cette nième manœuvre. Les “optimistes” (le mot est surtout employé par les détracteurs ou par ceux qui ne se prononcent pas, je préfère pour ma part l'expression “personnes réalistes” (ou objectives, ou lucides, ou honnêtes), les personnes lucides donc, se diront que cet étroit labyrinthe, où les balises ne cessent de se laisser découvrir pour s'ajouter les unes aux autres quand on avance dans un chemin hérissé de pièges, pour nous guider vers le but de la randonnée, ne peut être le fruit d'un hasard. Je suis certain pour ma part que Pierre de Fermat a informé très précisément son fils de ce qu'il aurait à faire pour parachever l'œuvre de son père.

Nos mathématiciens s’accordent à dire que Fermat connaissait la méthode, largement à sa portée et rapide à mettre en œuvre, qui montre si ces “nombres de Fermat” sont premiers ou non. Ils s'étonnent donc que Fermat répète à qui veut l'entendre – pendant quasiment un tiers de sa vie, en les pressant de venir à son secours (...). L’explication que donnent ses plus virulents commentateurs au fait qu'il ait annoncé une fausse conjecture, est qu'il avait commis une erreur de calcul (...) mais qu’il n’avait pas vérifié son assertion. Une période de 19 ans assurément n'était pas suffisante pour permettre à Fermat de vérifier un calcul très simple qui ne prend que quelques minutes . À Frenicle il écrit « après cela, rien ne m’arrêtera en ces matières » mais doit-on prendre au pied de la lettre cette affirmation ? N'est-elle pas là surtout pour aiguiser la curiosité de Frenicle ? Car il est vrai que si Frenicle avait pu trouver le contre-exemple F5, Fermat aurait trouvé le partenaire idéal, leurs échanges futurs auraient pu faire l'objet de joutes et d'échanges qui auraient enrichi l'historiographie.

On peut lire dans l'ouvrage Fermat par Tannery, p.199 qu'il avait utilisé l'argument des nombres de la forme 74k+1 :

6) Lettre à Mersenne, Juin (?) 1640. « Au reste vous ou moi avons équivoqué de quelques caractères au nombre que j’avais cru parfait, ce que vous connaîtrez aisément, puisque je vous baillais 137 438 953 471Note 1 pour son radical, lequel j’ai depuis pourtant trouvé, par l’Abbregé tiré de la 3ème proposition, être divisible par 223 ; ce que j’ai connu à la seconde division que j’ai faite, car l’exposant dudit radical étant 37, duquel le double est 74, j’ai commencé mes divisions par 149, plus grand de l’unité que le double de 74 ; puis, continuant par 223, plus grand que l’unité que le triple de 74, j’ai trouvé que ledit radical est multiple de 223.
De ces Abbregez j’en vois déjà naître un grand nombre d’autres, Et mi par di vedere un gran lumeNote 2.
Je vous entretiendrai un jour de mon progrès, si M. Frenicle ne vient au secours et n’abbrege par ce moyen ma recherche des Abbregez. En tout cas je vous conjure de faire en sorte que Mr de Roberval joigne son travail au mien, puisque je me trouve pressé de beaucoup d’occupations qui ne me laissent que fort peu de temps à vaquer à ces choses. Je suis (etc.) »

Note 1. Nombre de Mersenne non premier M37.
Note 2. Traduction de l'occitan : « Et il me semble voir une grande lumière. »

Le dernier problèmeModifier

Au fil des siècles et de leurs découvertes, les mathématiciens sont devenus de plus en plus sûrs d'eux, parfois imbus de leur savoir. Cet orgueil du métier (que nous avons tous, et qui est humain) et cette rationalité à œillères prennent le pas sur l'imagination créatrice et la brident. Pour reprendre les mots de Jacques Roubaud, « [ces] suiveurs des suiveurs [... ] ne savent plus rien de ce qui a motivé les fondateurs […]. Ils pensent savoir tout ce qu’il y a à savoir, dès les commencements. »

Auguste Guyard, Quintessences (1847) : « Les savants font la guerre aux préjugés populaires, sans s'apercevoir qu'ils sont eux-mêmes tout pleins de préjugés pour le moins aussi nombreux, quoique différents, et bien plus dangereux pour la société. [...] Les savants et les sots, comme les oies sauvages, aiment à se réunir et à voyager en troupes. Le philosophe, comme l'aigle, aime à s'élever solitaire dans les cieux d'où il plane au-dessus des préjugés des savants et des sots.

L’analyse rigoureuse de sa deuxième OBSERVATIO (Question VIII de l’Arithmetica), l’étude de ses travaux, de sa correspondance, de sa vie, de la psychologie du personnage surtout, est un sujet de méditations indéfectible. Sous l'aspect d'une énigme, cette observation est un trésor d’ingéniosité, le point d’acmé du livre entier que souhaitait consacrer Fermat à la Science des nombres. Ce livre, qui devait repousser «  d’une façon étonnante », les bornes de la « Science des nombres  », manque-t-il cruellement ? Le grand œuvre de Fermat consiste principalement en :

– quarante-sept observations notées ‘’OBSERVATIO D.P.  F.‘’,

– une observation notée ‘’OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT‘’ (la note énigmatique),

Ces 48 observations qui tiendraient en quelques pages ont été ajoutées par son fils Clément-Samuel à l'édition de l’Arithmetica de 1621, pour composer l’Arithmetica de 1670. Voilà un nouveau livre qui a énormément contribué à la connaissance, un livre dont le prologue est plus long que le texte de Fermat. Au fil du temps cette observation du XVIIe siècle fut très approximativement traduite dans différentes versions auxquelles les mathématiciens se sont toujours fiés car seul leur paraissait important le principe du théorème, qui y était parfaitement énoncé. La note elle-même fut souvent mal retranscrite, on en connaît une dont le premier mot a été transformé en Cubem : « Que nous dormions ! » On n'a pas encore vu une traduction de Cubum autem in duos cubos par « mais je dors les deux coudes sur la table » mais un élève étourdi ou blagueur aurait bien pu la faire.

Voici, agrandie, une photo de l’Observatio de Fermat, observation qu'il écrivit on ne sait où au juste, à propos de la conjecture qu'il affirme avoir prouvée (vers 1640 pense-t-on généralement). C'est ici l'exemplaire de la Bibliothèque de Lyon, qui attira l'attention de Roland Franquart en 2009.

Exemplaire de l'Université de Lyon


En voici la traduction littérale, que Fermat destine au lecteur non averti. Une version plus élaborée à l'attention du chercheur, après décryptage par Roland Franquart, est disponible sur son site, franquart.fr.
« Mais que ce soit un cube en deux cubes ou bien un carré de carré en deux carrés de carré et en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au carré ne peut être partagée en deux du même nom, ce dont j’ai assurément mis à nu la démonstration (ou l’explication) étonnante (ou merveilleuse). La marge trop étroite ne la contiendrait pas. »

En termes modernes :
« x, y, z étant des entiers positifs, xn + yn = zn est impossible pour toute valeur de n supérieure à 2. »

  • La traduction que l'on rencontre usuellement comporte deux erreurs majeures dans la partie la plus importante du texte.

– Première erreur : « J'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse. » Fermat a écrit detexi et non inveni, du verbe invenio, trouver, découvrir.
– Deuxième erreur : Fermat a placé l'adverbe sane (“vraiment”, “assurément”) devant le verbe detexi (‘’j’ai mis à nu‘’, ‘’j'ai dévoilé‘’, ‘’j'ai mis à découvert‘’). C'est donc au verbe que l'adverbe se rapporte : « J'en ai réellement dévoilé une démonstration merveilleuse. » Seule la traduction du mathématicien d'Émile Brassinne en 1853, la première traduction officielle, fut correcte à cet égard. Pourquoi les mathématiciens qui ont suivi n'ont-ils pas repris scrupuleusement cette traduction et ont-ils produit une autre traduction, très approximative, et même carrément fausse ? Ils auraient voulu faire de cette conjecture extrêmement difficile à prouver une simple plaisanterie pour déconsidérer le maître qu'ils ne s'y seraient pas pris autrement. Ce faisant ils ont encore accentué l'aspect mystérieux de l’Observation et trahissant ainsi leur cause l'ont rendue inaccessible même aux meilleurs d'entre eux. Ne pouvant trouver de preuve à la conjecture la plus difficile, on n'en éprouvait presque plus de dépit, on était assez rassuré. Ainsi, en traduisant par “j'en ai trouvé une démonstration vraiment merveilleuse [...] (La marge trop étroite ne la contiendrait pas)” on a fait de Fermat, définitivement, un plaisantin, un vantard, voire un étourdi ou même un «novice» (sic), ou encore un amateur qui prétend une chose vraie sans jamais pouvoir la prouver. À leur décharge, reconnaissons qu'il a tout fait pour que telle soit la réaction de nombreux commentateurs. C'est le même genre de subterfuge qu'il utilisa pour égarer les éternels contempteurs lorsqu'il évoqua la fameuse et fausse conjecture... à 6 reprises sur une période de... 19 ans (voir infra). On est artiste ou on ne ne l'est pas.

demonstrationem mirabilem sane detexiModifier

« Ludivine Goupillaud s’est interrogée sur l’usage du latin chez le mathématicien Pierre de Fermat (1608-1665) […]. Selon L. Goupillaud, le mérite du latin, aux yeux de Fermat, est d’être une langue rigoureuse conforme aux exigences des mathématiques, ce que ne permettent pas alors les langues vernaculaires. Langue fixée de longue date par des normes grammaticales, elle peut fonctionner aisément comme une « machine à coder et à décoder », même si, comme on le voit sous la plume de Fermat, elle exige parfois des gloses en français pour expliciter le sens exact des termes employés. »
Emmanuel Bury, Tous vos gens à latin. Le latin, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Ed. DROZ. Actes du colloque de l’Université de Saint-Quentin-en-Yvelines, à Paris E. N. S. Ulm [compte-rendu].

Si la langue latine peut paraître complexe au premier abord, c'est une langue rigoureuse, concise, qui possède des règles précises. En même temps, elle n'est pas figée comme l'est la langue française, et déroger aux règles était courant pour les Latins. Cette liberté pouvait avoir différents objets : signaler l'importance d'un mot, marquer une opposition, installer une harmonie... Ainsi on inversait l'ordre de certains mots, ou, contrairement à la norme, on attribuait la première place dans la phrase (ou la dernière) à un mot particulier. Examinons de près cette phrase, [Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi, formulée d’une façon singulière.
1. Notons tout d'abord que detexi peut aussi se traduire par ‘’j’ai mis à découvert’’, qu’on peut facilement confondre avec ‘’j’ai découvert’’, et même ‘’j’ai trouvé’’ (inveni en latin).
2. L’ordre des mots.
– ‘’[Cuius rei] mirabilem demonstrationem sane detexi’’, aurait été une phrase correcte :
« [Ce dont] j’ai réellement mis à nu l'explication étonnante. »
‘’[Cuius rei] sane mirabilem demonstrationem detexi’’ aurait aussi été correct :
«  [Ce dont] j'ai mis à nu l'explication réellement étonnante. »
Fermat n’utilise aucune de ces formulations, il écrit :

  • «[Cuius rei] demonstrationem mirabilem sane detexi. »

Si sane et detexi y sont dans le bon ordre (adverbe devant le verbe), les 2 mots précédents ne sont pas dans l’ordre habituel, puisque l'adjectif se place normalement devant le nom. Comme dans la dernière lettre à Carcavi, Fermat formule d’une façon originale, il place l’adjectif mirabilem après le nom et juste devant l'adverbe sane. Ainsi, sane (réellement), peut s'adresser non seulement à detexi (j'ai mis à nu) mais aussi à mirabilem (admirable, étonnante, merveilleuse, surprenante). Dans une ‘’Observatio‘’ déjà surprenante, où il utilise le prétexte du manque de place, c'est une nouvelle curiosité. Nous en mentionnerons bien d'autres. La traduction littérale, pour le lecteur qui ne s'attarde pas, sera :

  • « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante. »

Puis, en tenant compte de cette première version, et maintenant considérant le décryptage de Roland Franquart :

  • « J'en ai vraiment tissé, entièrement, l'explication tout à fait étonnante. » Les 2 versions sont valides.

« La concision, en plus de ses vertus stylistiques, joue un rôle de stimulant, en particulier dans les échanges épistolaires. En taisant délibérément ses conclusions, en ne révélant que les linéaments de sa pensée, Fermat crée une émulation par l’ellipse […]. » Ludivine Goupillaud, Tous vos gens à latin.

« S’il existe un sublime en mathématique, le latin en est, selon Ludivine Goupillaud, le « marqueur » par excellence, suscitant l’admiration devant les abîmes ouverts par les raisonnements mathématiques. [...] Le caractère formulaire des sentences latines, à la fois gage de clarté et d’élégance, permet la fixation des règles dégagées, sans l’embarras de la glose explicative : la concision – on sait combien les mathématiciens de l’âge classique aiment sauter les étapes intermédiaires du raisonnement – suscite réaction et activité de la part du lecteur, quitte à prendre le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage (ne sommes-nous pas alors dans l’âge d’or du concetto, où le modèle latin demeure prédominant ?) […]. »
Emmanuel Bury. Tous vos gens à latin (citations autorisées par les auteurs et l'éditeur).

Nous pensons que Fermat était certain que sa phrase mal traduite fourvoierait les “suiveurs des suiveurs”, qui ne verraient en lui qu’un vantard ou un plaisantin. Dans son ouvrage Précis des œuvres mathématiques de P. Fermat et de l’Arithmétique de Diophante (Toulouse, 1853), Émile Brassinne livre la meilleure traduction que l’on puisse trouver. Cette traduction est reprise par Serge Coquerand dans son ouvrage À la (re)découverte des dix livres de l'arithmétique de Diophante) ainsi que par Bertrand Hauchecorne, qui l’exprime dans l'émission de France Culture : Pierre de Fermat l’énigmatique (à 19’ 25’’). Elle n’est pourtant pas parfaite car si les mots ‘’j'en ai assurément‘’ sont bien accolés, le mot qui suit, “trouvé’’, est une traduction erronée, qui éloigne le lecteur d’une étude approfondie de l'observation. Dans les autres (nombreuses) traductions qu'on trouve dans les livres ou sur internet, l'adverbe n'est pas à sa place.

« Les philosophes des sciences portent une attention particulière au langage : ils développent l’idée que l’expérience de Sens commun, exprimée dans le langage courant, doit servir de base au discours scientifique théorique : en effet, la valeur de vérité des énoncés du langage courant est supérieure (dans sa reconnaissance) à celle des énoncés du langage scientifique. » (Marie-Anne PAVEAU).

Les astuces de Fermat sont remarquables. Merci à R.F. qui découvrit les indices les plus importants et m’en informa en 2009, ayant appris que cette énigme me passionnait. Je reprend ici les plus symboliques, parfois en les modifiant quelque peu (j'espère ne pas trop trahir sa pensée), et j'y ajoute ceux trouvés par moi-même (CM) et d'autres auteurs.

Le ‘’manque de place‘’ invoqué par FermatModifier

(CM, Jean Rousseau, Laurent Hua). Selon Clément-Samuel, Fermat écrivit ces observations dans les marges de son exemplaire, qui a disparu sans que personne ne s'en soit jamais ému. Est-ce vraiment sur l’Arithmetica qu'ont été entièrement écrites ces observations ? Certaines d'entre elles, comme la VII[3], sont très longues et auraient difficilement tenu dans une marge. Si Fermat a donné, sur un livret ou sur papier libre, des instructions précises à son fils dans la manière d'écrire, dans trois éditions différentes, cette note si importante à ses yeux, ces consignes justifient la disparition d'un ouvrage d'une valeur historique considérable, que Samuel aurait été dans l'obligation de détruire. Il semble évident que Fermat avait demandé à son fils de ne faire connaître qu'après sa mort ces 48 observations, écrites dans un style irréprochable.

Le style des ObservationsModifier

  • (CM, Jean Rousseau, Laurent Hua [1], Albert Violant I Holz). Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (leur élégance aussi), montre clairement qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur. En outre, quel besoin aurait-il de s'expliquer à lui-même qu'il a vraiment mis à nu, entièrement, l'explication tout à fait étonnante ?
  • Pourtant l’historien Jean Itard écrivait : « réservées à son seul usage. » De même après la découverte de Wiles en 1994, Winfried Scharlau veut nous le faire croire. Un autre argument, très présomptueux, est avancé : « puisqu’il [Fermat] ne connaissait pas nos outils modernes ». Il est saisissant de voir comment les mathématiciens qui n'avaient pu suivre ses traces se sont ingéniés à utiliser des arguments spécieux pour discréditer un génie qui les a autant défiés. Certaines légendes urbaines ont la vie dure, surtout quand « des considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique. » (Christophe Breuil).
  • (Paul Tannery). Seul le titre de cette note énigmatique est écrit en toutes lettres : OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT, les 47 autres étant abrégés en OBSERVATIO D.P. F. . Fermat nous suggère-t-il de l’observer de très près, dans tous ses détails, parce que la méthode qu'il a inventée est pour lui d'une importance considérable pour la science des nombres ?

Alexandre Grothendieck : « Et il y a aussi la vérité d'une situation particulière, unique. Ainsi, dans telle situation, nous percevons de façon sûre qu'un interlocuteur est de mauvaise foi, qu'il est dans un état de mensonge (alors qu'il peut fort bien être persuadé lui-même qu'il est de la meilleure foi du monde…) ; ou au contraire, nous percevons que ce qu'il dit est vrai, que c'est dit dans des dispositions de vérité (alors même que le contexte pourrait peut-être avoir toutes les apparences du contraire). La même chose peut avoir lieu en lisant un texte écrit, par exemple tel passage d'un livre. Ou nous pouvons avoir la perception d'un état de vérité ou d'un état de mensonge en nous-mêmes. De telles perceptions, qui ne sont perçues au champ conscient que dans des dispositions de silence intérieur, d'écoute, nous apportent une connaissance véritable, elles nous disent la v é r i t é d'une chose, d'une situation. »[4].

On est confondu devant la manière irréprochable avec laquelle les 48 observations ont été écrites. Il est bien difficile de croire que les 3 anomalies très visibles sur le même mot, sur la même observation, dans 3 versions différentes, de l'édition de 1670, si elles avaient été des accidents, auraient échappé à son fils Samuel, qui œuvra avec tant d'assiduité à faire connaître l'œuvre de son père. Doit-on aussi prendre pour d'incroyables coïncidences toutes les curiosités que l'on découvre dans cette observation (on en compte 9) quand on l'analyse en profondeur ? On s'aperçoit d'une part que ces curiosités, quand elles sont étudiées et rassemblées, deviennent interdépendantes en formant un ensemble très cohérent, d'autre part que les arguments spécieux avancés par les détracteurs de Fermat sont souvent eux aussi mis bout à bout, mais sans aucun lien entre eux, sauf pour avancer que Fermat n'aurait jamais pu trouver une preuve. Le seul lien qui les unisse est celui qu'ont imaginé ses dénigreurs cancaniers : Fermat se vante, se trompe, s'avance beaucoup. Ce n'est plus un lien c'est une chaîne !

Le mot detexi a subi 2 transformations en 3 éditions, une seule édition a suffi à Roland Franquart pour mettre à jour un cryptage. Il est possible que Fermat ait espéré que les 2 versions “trafiquées” de l'Observation, éveillant un jour l'attention de ses lecteurs les plus curieux, les confortent dans leur conviction. Après avoir tant brouillé les pistes, voulait-il donner à sa stratégie une chance d’aboutir ? Et il se serait senti obligé, pour une fois, de faciliter (juste un peu...) la tâche de ses lecteurs.

Nous devons être reconnaissants à Monsieur Franquart, qui en 2009 rendit publiques ses découvertes.

Le triangle arithmétiqueModifier

« Les intellectuels résolvent les problèmes, les génies les évitent. » (Albert Einstein).

Pierre Fermat était tout sauf un mouton, il n’est pas étonnant qu'il fût un aussi grand passionné, loin de Paris et isolé, il n'avait pas de contact autre qu’épistolaire avec les autres mathématiciens et il était fondé, dans sa solitude intellectuelle, à apprécier les recherches les plus ardues et les plus enrichissantes. Ses correspondants rechignèrent de plus en plus à répondre à ses lettres, et finalement tous l'abandonnèrent. Huygens s'intéressait à autre chose, quant à Blaise Pascal, malade, il s'éloignait des mathématiques et entrait de plain-pied dans la théologie. Six ans après leur dernier échange épistolaire, le 10 août 1660, alors que la santé de Fermat elle aussi décline, il presse Pascal, encore bien plus malade que lui, d'accepter une rencontre pour « converser quelques jours avec vous ». Il lui écrit : « nos pensées s’ajustent si exactement qu’il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. Était-ce parce que tous les deux étant malades il aurait souhaité, en lui faisant part de sa découverte grâce au fameux triangle arithmétique, qu'ils puissent partager un réconfort moral ? Fermat a pu avoir connaissance du triangle arithmétique bien avant ce dernier, par les travaux, qu’il connaissait, de François Viète, mort cinq ans avant sa naissance (ce triangle était déjà connu au onzième siècle du mathématicien persan Al-Karaji, et de bien d’autres à sa suite, jusqu’à Tartaglia, Viète…). Si donc Fermat s’est intéressé aux propriétés étonnantes du triangle arithmétique (rappelons encore une fois qu’il a travaillé sur les carrés magiques), il paraît logique qu’il n’ait jamais souhaité le mentionner à personne jusqu’à ce que Pascal lui-même en parle, s’il s’en est servi pour son grand théorème. Ce pas de côté qu'il aurait fait pour contourner l'obstacle en utilisant le triangle arithmétique, a-t-il pu lui permettre de trouver une preuve ? Nous le pensons, et le décodage effectué par Roland Franquart en 2009 semble le confirmer. Le fait que Fermat se soit autant appliqué à coder sa note montre qu'il était certain de la justesse de sa preuve. Même après les premiers décodages de la note, que nous croyons pertinents, nous ne saurions dire si la fin de l'explication que nous livre Roland Franquart est correcte. Elle semble en tout cas loin d'être accessible à nos contemporains, et c'est là encore du pur Fermat.

Pendant plus de trois siècles les scientifiques ont planché sur le problème sans jamais s'approcher d'une preuve générale – bien qu'en prouvant la conjecture pour la moitié des n entiers, c'est-à-dire la moitié de l'infini. L'autre moitié de l'infini, c'est-à-dire l'infini, semblait rester toujours aussi inaccessible. C'était comme si, croyant être arrivé au milieu de chemin, on s'apercevait qu'on avait tourné en rond et que tout était à refaire. Cette énigme était véritablement diabolique.

On a parfois pensé que le théorème de Fermat était indémontrable, tandis que des amateurs se persuadaient – et sont toujours persuadés – d'avoir trouvé une preuve très simple. Au fil du temps les mathématiciens s'en sont de plus en plus désintéressés, d'autant qu'on ne voyait aucune utilité pratique à le prouver. Seule son étrangeté, qui en faisait tout le charme, était remarquable. En 1993 se produit un événement totalement inattendu, on apprend que le mathématicien britannique Andrew Wiles semble tout prêt d'avoir résolu le problème, et en 1994 la preuve est faite qu'il a réussi. Les savants avaient douté pendant des siècles, ça avait été frustrant, mais ils s'étaient résignés. En 1995, quand Wiles aidé de Taylor publie sa preuve, l'enthousiasme est à la mesure de la découverte, toute la frustration accumulée est instantanément balayée. Depuis, les mathématiciens, enfin récompensés de leurs efforts, n'ont aucun besoin – aucun désir non plus – de rechercher la preuve de Fermat, une preuve directe, une preuve beaucoup plus courte et plus “élémentaire” bien que d'une difficulté extrême.

Trois versions différentes de l'Arithmetica : premiers codagesModifier

Il existe au moins trois versions différentes de lʼArithmetica de 1670, où la célèbre note énonçant le grand théorème de Fermat se présente sous trois aspects différents. C’est grâce à Roland Franquart (je vous recommande vivement la visite de son site, où il explique en détail ses trouvailles) qui en 2009 me fit part de ses recherches à partir de l’Observation présente sur l’Arithmetica de la Bibliothèque de Lyon, que ma passion pour cette énigme (dont le traitement qu’on en faisait avait de quoi choquer) en fut encore accrue. En juin 2017, j'ai passé de longues heures à chercher une bizarrerie qui aurait pu figurer dans une autre version de l'édition de 1670, sur le mot (detexi) où Roland avait déjà trouvé (entre autres choses) la bizarrerie du t surchargé (image en haut de page). Je me disais que si Fermat avait voulu mettre toutes les chances de son côté pour que ses seuls suiveurs trouvent son explication, il n'aurait rien risqué à utiliser ce stratagème une seconde fois. Mais, honnêtement, je ne croyais pas du tout possible de trouver une troisième version, c'aurait été trop beau. Si je me suis à ce point obstiné c'est qu'au fond de moi je voulais trouver un « argument massue ». Et finalement je la trouvai, cette deuxième grosse bizarrerie ; sur l'exemplaire de l'Université de Rome (detex). Je n'en crus pas mes yeux, cette découverte fut si inattendue qu'elle me laissa sidéré (le coup de massue, c'est moi qui le reçus !). Pendant longtemps je restai dans cet état, ne pouvant en croire mes yeux. Personnellement trop impliqué, il m'était difficile de réfléchir calmement à la nouvelle situation. Cette bizarrerie supplémentaire, ça “paraissait trop‘’, c'était “trop gros‘’, même venant du très facétieux Pierre Fermat. Peut-être n'avais-je pas assez considéré qu'il travaillait à une époque sans internet. Je mis presque deux ans à trouver la solution, qui est d'une clarté aveuglante quand on l'a trouvée. Une fois sur le site, monter le pointeur tout en haut, une bande horizontale noire apparaît, y taper le N° de page 141, puis agrandir l’image (signe + en bas à droite).


Version A. Université de Rome.

 
Arithmetica de l'Université de Rome



 
→ Le i est remplacé par le graphème avec son point en chef





On observe que l’élément précédant le point final, étrangement n’est ni un i , ni un s, mais ce caractère étrange, , qui a priori est incongru dans ce texte latin. La lettre “s” diacritée d’un point suscrit (ou “point en chef” ) est un graphème du latin étendu, autrefois utilisé dans l’alphabet irlandais. Une diacritique est souvent utilisée pour distinguer un mot d'un autre mot, homonyme. Pourquoi Fermat, philologue, a-t-il transformé le mot detexi (“j’ai mis au jour”) en detexṡ ? Ce mot étant inconnu de la langue latine, examinons le dernier caractère, . Il est formé d'un “i ” deux fois bosselé (tordu), inclus dans le “”. Les deux caractères “i” et “s” sont confondus, le graphème peut se décomposer en i + s, ce qui nous donne → is. Le mot inconnu detexṡ devient le mot detexis, du verbe detexo, cette fois, et non plus detego. Or detexo signifie “tisser complètement”, et conjugué au présent de l’indicatif, à la 2ème personne du singulier → tu tisses complètement[5] (ou « tu arranges en tresses », « tu représentes complètement », « tu achèves un tissu » ), ce qui rejoint et confirme le décryptage alphanumérique effectué par Roland Franquart en 2009. Fermat a fait preuve ici de beaucoup d'ingéniosité. Avait-il noté que “detexis” est aussi l'anagramme d existe ? (Merci à Jean-Paul Blanc qui me signala cette curiosité). Connaissant la sagacité du personnage j'en suis certain.



Version B. Bibliothèque de Lyon. Revenons à ce ‘’detexi‘’ qui figure aussi sur la toute première image de cet article.

 
lien=Fichier:Bibliothèque_de_Lyon,_la_note_de_Fermat_où_le_%22t%22_et_le_point_sont_surchargés.jpg











La surcharge sur le t donne de l'importance à cette lettre. Je pense comme Roland Franquart qui avait analysé cette Observatio que ce t a un rapport avec les deux derniers mots de l'observation de Fermat, non caperet (n'eût pas contenu ce t) (explication sur son site). La surcharge a aussi l'avantage de forcer l’attention sur le mot detexi (“j’ai mis à nu ”). Le point qui suit le mot est surchargé lui aussi (ainsi que sur les 2 autres versions de l'édition de 1670), comme pour rappeler l'importance du mot. En outre, le t initie texi, signifiant "j'ai caché". Le décryptage de Roland Franquart révèle une deuxième lecture : « [… ] ce dont j’ai entièrement construit comme un tissu l’explication étonnante. Le manque (la petitesse) de la bordure (ou bord, limite, bordure, cadre, marge) ne la contiendrait pas. » Ces codages et décodages peuvent paraître tirés par les cheveux, mais souvenons-nous que Fermat adore jouer avec ses correspondants et avec les mots (ne parlons même pas des nombres...). À l'instar d'autres penseurs de son époque (François Viète, John Wallis, Francis Bacon dont il est un fervent lecteur), il est expérimenté en matière de cryptage et a dû s'appliquer à laisser un maximum d'indices, les disséminant un peu partout (cf. infra). Dans ces deux premières versions, il trafique deux lettres dans le même mot. A-t-il envisagé qu'après sa mort, un mathématicien en possession d'une édition “detexṡ. en soit désorienté et écrive à un collègue pour lui faire part de cette curiosité ? Si ce collègue, souhaitant vérifier de visu l’information avait alors, par chance, consulté une version A (detexi.), ces deux personnes se seraient interrogées et certainement mises à la tâche confiantes et assidues. Une telle rencontre semble ne s'être jamais produite. Nous avons maintenant le choix entre deux nouvelles interprétations, que nous pouvons d'ailleurs utiliser ensemble :
« ce dont tu tisses complètement la démonstration admirable (car) j'en ai vraiment mis à nu, entièrement tissé, l’explication tout à fait étonnante. »

  • La grossière surcharge sur le t figure sur plusieurs exemplaires de l'Arithmetica et ces surcharges y sont identiques. Il a donc fallu que l'imprimeur réalise spécialement un nouveau caractère mobile d'imprimerie. Notons par ailleurs que si ce t avait souffert dans un premier temps d'un manque d'encre, et n'avait pas été parfaitement visible, on l'aurait rendu parfaitement lisible, sans le surcharger.
  • Lorsque je fis part à Catherine Goldstein de ma découverte, sur l'exemplaire de l'Université de Rome, du mot «detex» (= detexis, « tu tisses complètement ») (rappelons que le mot est suivi d'un point surchargé), elle me fit cette réponse laconique : « L'arithmetica est fautive ». Nous savons que l'ouvrage original de 1621 de Diophante et très fautif, certains passages sont inexploitables, au point que Huygens avait renoncé à en poursuivre la lecture, et que Fermat n'avait pu déchiffrer certains passages. Les observations qu'y a rajoutées son fils en 1670, et qui avait été rédigées (où ?) par Fermat, sont quant à elles écrites dans un style parfait et ne comportent aucune erreur, à moins de considérer comme une “erreur” le fait qu'il existe 3 versions différentes de l'Arithmetica, après avoir recouvert (texi, en latin) d'un voile pudique toutes les découvertes évoquées sur cette page.

Les deux transformations insolites sur le même mot crucial ne peuvent être considérées comme des “erreurs”, et les 48 Observations de Pierre de Fermat ne sont pas «fautives». Il n'aurait servi à rien de demander à Catherine Goldstein pourquoi elle m'avait fait cette plaisanterie, elle a certainement une bonne raison de botter en touche dans une marge étroite. Qu'il est doux de n'appartenir à aucune caste, finalement j'ai aimé sa réponse qui m'a conforté dans l'idée qu'il vaut mieux éviter de contrarier un expert  . La doxa a encore de beaux jours devant elle.


Version C. Bibliothèque de Zurich.

 
Arithmetica de la Bibliothèque de Zurich : la note est correctement écrite









Sur cette version le mot est correctement écrit, seul le point final est surchargé, comme sur les deux autres versions. Jamais on n’aura vu un « livre entier [consacré à la science des nombres] » dont le prologue (Diophante) est plus long que le livre lui-même (Fermat), 340 pages contre une quinzaine. La preuve « assurément dévoilée » par Pierre Fermat au XVIIe siècle, si elle est très courte, est d’une difficulté extraordinaire. Le décryptage par R.F. montre que Fermat s’est élégamment servi des propriétés du triangle arithmétique “de Pascal”, connu depuis le Xe siècle. Les codages effectués dans le texte latin, avant d’être cassés, recouvrent, cachent, dissimulent (verbe latin : tego, is, ere, texi, tectum) un début d'explication.

Codages communs aux trois versionsModifier

(Roland Franquart) Dans le premier mot de l’Observation, CVbum (cubum, nombre cubique), l'exposant, comme c'est le cas de tout premier mot de paragraphe de la page 61, aurait dû être écrit entièrement en lettres capitales. Or la lettre latine u, quant elle est écrite en capitale, devient V. L'orthographe correcte est CVBVM, la minuscule u est donc une intruse. Cette transgression très visible, dans le tout premier mot, est une des transformations qui ont permis à Fermat d'effectuer son cryptage. En répétant cette transgression dans les 47 autres observations, Fermat évite de rendre anomalie trop flagrante.

Les deux étrangetés sur les caractères t. et u, nous aiguillent vers le choix de ces deux lettres pour tenter un tissage, ce qui commence à se confirmer dans son texte où nous trouvons 21 u (u est la 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (mais t est la 20e), il manque donc un t dans le texte. Roland Franquart explique que ce manque est à mettre en relation avec les deux derniers mots de l'observation, non caperet : ne contiendrait pas → ce t, dont l'importance est encore accrue par le point, surchargé dans les 3 versions, qui suit le mot detexi. R.F. effectue à son tour un tissage avec les couples de lettres ‘’tu’’ et ‘’ut ‘’. Il y a 3 couples dans l'ordre ‘’tu’’, et 2 couples dans l’ordre ‘’ut’’. Tout ceci est bien compliqué, il semble évident que Fermat n’avait guère le choix s'il voulait coder son explication en 3 lignes 1/2 de latin. En outre, les lettres latines u et v étant équivalentes en latin, il orthographie deux autres mots de son observation d'une manière assez personnelle (voir le site de R.F.). Avec ce codage Fermat a aussi eu de la chance, le couple ‘’tu’’ est aussi le pronom personnel ‘’tu’’ qu'on place en français devant tisses pour traduire detexis → “tu tisses”.

(CM) Dans le libellé de son OBSERVATIO la présence répétée des lettres u et t dans les déclinaisons et variantes du mot quadratus (nombre carré) a certainement guidé son choix dans l’utilisation de ces deux lettres pour organiser son texte de manière à ce que les codages donnent l’impression d’une volonté délibérée aux yeux du lecteur averti. Il est amusant de noter que l'expression quadratoquadratum in duos quadratoquadratos (carré de carré en deux carrés de carré) fait référence au cas n=4, dont la preuve apparaît dans le seul théorème que Fermat ait complètement explicité. C’est sûrement ici une réelle coïncidence, qui tombe à point.

Au cours des siècles, de nombreux savants ont douté que Fermat eût réellement une preuve. Après la découverte d’Andrew Wiles en 1994 – une preuve d’une complexité formidable – ils purent encore moins l’imaginer, eux-mêmes ayant douté plus de trois siècles. D’autres, plus fins, ne savent qu'en penser. C'est le cas par exemple à notre époque de Jacques Roubaud ou de Catherine Goldstein, spécialiste des travaux de Pierre Fermat.

Quand on considère la possible existence d’un codage de Fermat, celui décrit par Roland Franquart semble tellement palpable qu’on se dit : « Ce ne peuvent être des coïncidences, c'est juste un exploit magistral. » Dans le seul libellé de son observation on trouve 9 curiosités. Après un décodage on en trouve 4 autres, littéralement stupéfiantes. Ensuite dans sa correspondance on en trouve de nouvelles. Citons Fermat à propos d'un autre de ses théorèmes : « Je ne puis ici donner la démonstration, qui dépend de nombreux et abstrus mystères de la Science des nombres ; j’ai l’intention de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à cette partie de l’Arithmétique des progrès étonnants au delà des bornes anciennement connues. » (OBSERVATIO D.P. F. n° XVIII, et une lettre à Digby de 1658). Comme pour tous ses autres « théorèmes» (à part pour un seul) qui plus tard furent tous démontrés, il ne livre pas sa démonstration à Digby. Il faudra attendre 175 ans pour en avoir une preuve (Cauchy, 1813).

On connaît le rôle du psychanalyste, il ne s’agit pas de révéler à la personne (appelée à juste titre l’analysant) allongée sur le divan, quelques-unes des pensées inconscientes qu’il aurait pu découvrir chez elle au fil des séances. Ni de lui révéler les mécanismes en jeu. Il s’agit au contraire de laisser dire à la personne tout ce qui lui passe par la tête. De temps en temps il pourra lui dire quelques mots pour ouvrir une piste, donner un indice, mais jamais il ne lui dira ce qui est pour le moment inconscient chez elle, auquel l’esprit conscient, grâce à un filtre protecteur et nécessaire, n’a pas encore accès. Le psychanalyste est avant tout un psychologue, un ‘’honnête homme’’ (homme ou femme), intelligent, fin, empathique, et surtout ayant déjà fait un travail profond sur lui-même. Fermat n’était pas psychanalyste, il était avant tout un grand mathématicien, intrépide, et surtout l’honnête homme par excellence. Il n’avait pas de patients, seulement des correspondants pas du tout patients. Très peu de ses lecteurs (Pascal, Mersenne), surent l’entendre. Il a agi avec les mathématiciens de son époque et ceux qui les suivraient à la manière d’un psychanalyste persévérant et sagace, qui aurait eu affaire à des cohortes de patients (non patients) venus là sans même croire à la psychanalyse, refusant de quitter leur chaise pour le divan. Connaissant leur manque de confiance, sans pour autant leur mâcher le travail, il devait leur fournir un maximum d’indices, espérant qu’un jour (quand ?) un de ces professionnels, las de se battre contre des moulins à vents, sorte enfin de son apathie, s'allonge sur le divan et puisse entendre quelques mots-clefs.

Mais est-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie dans l'« Observation », qu'il faille chercher d'autres indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies qui ont suivi. Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisaient de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontraient le théorème pour des cas particuliers (et encore plus après que Kummer, au milieu du dix-neuvième siècle, eût « inventé » la théorie des nombres complexes idéaux – en profitant au passage pour parler du théorème de Fermat comme d’une simple curiosité), personne ne songea à examiner de près l'observation originale, écrite en latin. Il paraît donc logique que ce soit un amateur (Roland Franquart), qui soit allé à la source, à l'original, pour mettre en évidence les codages de Fermat.

Finalement il n'a pas manqué grand-chose aux mathématiciens et historiens, juste un peu de confiance et d'humilité. Même s'ils connaissant son esprit facétieux, ils n’ont pas songé non plus à se fier à la traduction officielle de Brassinne, quasiment parfaite, la première à notre connaissance à avoir été publiée dans un ouvrage de mathématiques. Il est vrai que ce fut relativement tardif (1853), longtemps après la parution de l’Arithmetica. Et déjà, Kummer était passé par là, développant sa théorie. Tous ses collègues s'engouffrèrent dans la brèche et cessèrent l'étude du Fermat par les ressources de l'arithmétique élémentaire, ce fut reposant.

Depuis que l’Arithmetica de 1670 a été éditée, on ne peut douter que des mathématiciens (français, anglais, allemands…) aient lu l’Observation dans l’une des deux versions ‘’arrangées’’ (detexṡ. ou detexi.). Mais est-il facile pour un mathématicien professionnel habitué à lire calculs et démonstrations, d’imaginer, même à la vue d’une étrange anomalie, qu'il faille chercher d'autres indices qu'aurait pu laisser Fermat ? Avec beaucoup de chance cela aurait pu se faire dans les premières décennies qui ont suivi. Ensuite, au fil des siècles, alors que les scientifiques utilisaient de moins en moins le latin, et que les mathématiciens démontraient le théorème pour des cas particuliers (et encore plus après que Kummer, au milieu du dix-neuvième siècle, eût « inventé » la théorie des nombres complexes idéaux – en profitant au passage pour parler du théorème de Fermat comme d’une simple curiosité), personne ne songea à examiner de près cette note écrite en latin.

Pour ceux qui avaient lu l’observation sur une des deux éditions de l’Arithmetica de 1670 ‘’trafiquées‘’ par Fermat, c’eût été possible. Quand Fermat écrit qu’il a réellement dévoilé une démonstration étonnante (admirable), ils auraient pu penser que cette démonstration était très inhabituelle. Bien que la présence de codages soit évidente, le début d’explication de Pierre de Fermat est loin d’être facilement accessible à des mathématiciens du vingt-et-unième siècle – quand ils veulent y réfléchir sans a priori. Par ailleurs, après plus de 350 ans d'errances, est-il facile d’admettre que tous les arguments avancés par les détracteurs de Fermat durant la longue histoire de ce théorème sont spécieux ? Par panurgisme, esprit de chapelle et populisme scientifique, au fil des décennies, des commentateurs ont repris ces arguments et les ont augmentés, échafaudant un énorme truc complètement bancal. Se conformer à la pensée dominante est confortable, qui évite de se prononcer et de se sentir à l’écart de sa caste. Quel courage il faudrait face aux prétendants à la science infuse, et aux cohortes de moqueurs et de pinailleurs : « S’il y avait une once de vrai dans tout ceci, pour un théorème si important aux yeux de Fermat, il aurait mis tous les détails. » Pour nous faciliter le travail ? Dans la marge ? Entre les lignes ? Vous n'entendrez jamais un mathématicien faire la moindre allusion aux codages, aux 4 anomalies les plus visibles de son observation, encore moins à celles surprenantes qui apparaissent quand on commence à prendre en compte ces 4 anomalies. Les observations de Fermat que son fils y a ajoutées pour l'édition de 1670 sont rédigées dans un style irréprochable et les deux bizarreries sur le même mot dans 2 des 3 versions sont à l'évidence volontaires. Les historiens des mathématiques sont d'abord mathématiciens et se fondent avant tout sur les calculs explicitement rapportés, et généralement sur des faits précis. En outre ils sont très rarement latinistes, surtout de nos jours. En 1995, dans son ouvrage Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Catherine Goldstein se montre plus fine : « Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » (page 120 du livre, note 7). Les mathématiciens sont allergiques à la simple évocation d'une preuve de Fermat, le sujet est tabou. Le tabou commence dès qu'ils discutent entre eux, et n’en discutent pas. Avez-vous remarqué aussi, combien, depuis la découverte de Wiles, même les amateurs aiment se rassurer, citant ce savant pour se dire que finalement ils n'ont rien raté ?

Par ses progrès technologiques et son manque de foi, l'Humanité est devenue de plus en plus orgueilleuse, elle se croit auto-suffisante. Le corollaire le plus pervers de cet orgueil est le pessimisme (individuel, sociétal) qui à son tour renforce l'orgueil. Ce pessimisme nous éloigne des idées les plus simples, les seules réellement efficaces.

M.P.E.A.S.Modifier

Pierre de Fermat n'a jamais rien publié sous son nom, c'est sous un pseudonyme que fut édité, en 1660, son traité de géométrie. Sur la couverture de l'ouvrage, à la suite du titre, la signature de l'auteur se présente ainsi :
Autore M. P. E. A. S. (suit un ajout de bibliothécaire : ‘’de ferm’’ [pour ‘’de Fermat’’] ). Puis sous l’image : TOLOSÆ
Voici ce qu’on en disait en 2001 (page viii), dans l’ouvrage 17 Lectures on Fermat Numbers – From Numbers Theory to Geometry (Société mathématique du Canada, Editions Springer) :
« Indeed, he published only one important manuscrit during his lifetime, and signed it using the cryptic initials : M. P. E. A. S. Their meaning remains inexplicably unknown. »
« En effet, il a publié un seul manuscrit important au cours de sa vie, et l’a signé de ces initiales énigmatiques : M. P. E. A. S. Leur sens reste inexplicablement inconnu. »
L'explication de Roland Franquart (2014) :
Magistro Procuratore Enodare Apud Sedem (TOLOSÆ)
→ Magistrat Procureur Enquêteur Au Siège (TOULOUSE).

Bilan de la rechercheModifier

— Les arguments avancés par les détracteurs de Fermat sont au nombre de 7 et nous avons vu qu'aucun ne tenait sérieusement la route. D'ailleurs tous peuvent être renversés et deviennent des arguments bénéficiant à Fermat. Les arguments montrant qu'on peut lui faire confiance ont été évoqués précédemment.
— Les arguments favorables mis au jour dans cette étude :

  • Dans l'observation relative au grand théorème :

1) Cette observation est la seule des 48 dont le titre ne soit pas abrégé en D.P.F. mais écrit en toutes lettres.

2) CVbum, . L’exposant n’est pas écrit selon la règle habituelle.

3) Une première version avec un  ‘’detexi’’ différent (‘’detexi’’).

4) Une deuxième version avec un  ‘’detexi’’ différent (‘’detexs’’).

5) ‘’detexi’’ ne signifie pas ‘’j’ai trouvé’’ mais ‘’j’ai (assurément) révélé’’, ‘’mis à nu’’, ‘’mis à découvert’’.

6) ‘’detexs’’ se traduit, exactement, par ‘’tu tisses complètement’’. Or l’expression ‘’tisser complètement’’ avait déjà été trouvée grâce à un autre codage (plus complexe) découvert dans l’observation par Roland Franquart. Les deux occurrences se renforcent mutuellement.

7) L’adverbe ‘’sane’’ (assurément), par la façon inhabituelle dont il est placé, s’applique à la fois à ‘’detexi ‘’ (‘’assurément révélé),

8) et à ‘’mirabilem’’ (réellement admirable, ou merveilleuse).

9) Le point qui suit le mot detexi est grossi, différent du point final, afin de mettre encore l’accent sur le mot ‘’detexi’’.

10) Madame le Professeur Ludivine Goupillaud a noté avant nous que Pierre de Fermat prend « le risque de l’ellipse énigmatique ou du cryptage ».

11) Répétition curieuse, et surtout alternée, dans l’observation, des couples de lettres ‘’tu’’ (3 fois), et ‘’ut’’ (2 fois).

12) On trouve a dans l’observation 21 u (et u est la 21e lettre de l’alphabet), et seulement 19 t (mais t est la 20e, il manque donc un t, la cause en étant ici : «non caperet» (ne contiendrait ce ‘’t’’, ‘’t’’ qui a été mis en évidence dans ‘’detexi’’ et entre en compte dans l'exploitation par R.F. du triangle arithmétique (l’explication détaillée figure sur son site de R.F.).

13) Ces singularités on permis à R.F. de « tisser complèune ment » l’esquisse de l’explication donnée par Fermat.

  • Dans l'observation relative au grand théorème :

14) La lettre à Carcavi que d’aucuns ont interprété d’une façon manifestement orientée et non pertinente, n’est pas reprise dans les Varia opera.

15) Elle est aussi absente des observations de l'Arithmetica de 1670, toutes prouvées exactes par la suite.

16) Fermat écrit « j’ai considéré », et non « j’ai démontré que ».

17) Fermat utilise l’expression ‘’questions négatives’’, ce qu’il ne fait qu’exceptionnellement, l’expression consacrée étant ‘’propositions négatives’’. Ce qui suggère facilement un double sens, ‘’la réponse à cette question est négative’’.

18) L'agencement de formulations singulières dans l'entièreté du paragraphe permet une deuxième lecture. Ainsi, →

19) nous avons vu précédemment que la phrase « Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche […] » (avec deux adjectifs synonymes, qui font un doublon), suggère que l'étude de cette question, pour nous, dans son contexte et avec une formulation aussi particulière, est d’une très subtile et très ingénieuse recherche.

20) On s’accorde à dire que Fermat connaissait la méthode à mettre en œuvre (diviseurs de la forme 64 + 1) montrant que ces “nombres de Fermat” ne sont pas premiers.

21) Nous avons vu que la lettre à Mersenne de juin 1640 où Fermat utilise une méthode similaire (diviseurs de la forme 74k+1), son fils l’omet elle aussi des Varia opera.

22) À 6 reprises (...), à tous ses correspondants et sur une période de 19 ans (…), Fermat... réclame de l'aide (...).

23) Lettre à Frenicle de Bessy (18 octobre 1640) : « [… ] car par avance je vous avertis que, comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas [...] » : Cette lettre, la seule que Samuel choisit pour l’insérer dans les Varia, est celle où son père dit être toujours sincère. On donc la mettre rapport avec l’observation concernant le grand théorème. (i.e. il faut prendre au sérieux l'observation).

24) Les observations n'auraient pu tenir dans une marge, certaines d'entre elles sont bien trop longues..

25) Le style utilisé par Fermat dans ses 48 observations (écrites où ?) montre à l'évidence qu'elles ont été rédigées à l'attention du lecteur.

26) Samuel n'a pas conservé l'exemplaire de l’Arithmetica où étaient censées les 48 observations de son père, cet ouvrage aurait acquis une valeur historique considérable mais il a “disparu”.

27) Le 10 août 1660, Fermat, fatigué et malade, presse Pascal, encore bien plus malade, d'accepter une rencontre pour « converser quelques jours avec vous ». « nos pensées s’ajustent si exactement […] vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. Or la thèse que développe Roland Franquart est précisément axée sur le triangle arithmétique.

Nous dénombrons au moins 27 arguments en faveur de l'existence d'une preuve par Fermat de son grand théorème et il est possible que nous en ayons omis. Il convient d'ailleurs d'y ajouter ceux, plus complexes (désolé...) développés sur le site de Roland Franquart.) D'un autre côté aucun des arguments avancés contre Fermat n'est pour nous recevable. Cette disproportion est d'autant plus significative que nous avons montré combien le principal argument de ses détracteurs – une interprétation de la lettre à Carcavi sur les nombres de Fermat selon laquelle il se serait trompé «une première fois» (sic) – était non seulement illusoire mais au contraire, en analysant judicieusement le texte de Fermat nous trouvons un argument vital supplémentaire en faveur de notre thèse. Nous pourrions même dire que l'acharnement compréhensible avec les détracteurs ont tout tenté pour discréditer Fermat constitue un autre argument de taille, mais soyons magnanimes pour une fois dans cette lutte contre l'ignorance envers des mathématiciens tellement atteints dans leur amour propre et si profondément déçus qui ont cherché sans la trouver la preuve de Fermat pendant 350 ans, jusqu'au jour où Wiles livra une démonstration d'une complexité monstrueuse.
Étonnamment le lendemain la terre continuait de tourner.
Aucune pensée ne pourrait rendre la sublimité des prouesses de Fermat se déployant dans les ténèbres de l’inconscience académique. Les joies qu’on éprouve en discernant petit à petit la pensée de Fermat sont incommunicables. Tentons de faire une analogie avec une expérience de pensée que toute personne peut tenter si elle possède quelques notions de physique et une bonne imagination. Nous savons qu’un électron est à la fois onde et «particule», particule-énergie donc. Partons du postulat, pas du tout farfelu, que les ‘’particules élémentaires’’ elles-mêmes, dans l’infinitésimal, ne sont pas réellement de la matière, de la ‘’matière solide’’, mais que toute la matière est constituée uniquement d’énergie vibratoire.
Je peux donc penser le monde comme immatériel. En somme, je suis dans un rêve, mais un rêve éveillé. Si me trouvant dans la nature en train d’observer un très beau paysage, conscient d'être dans ce “rêve éveillé”, et en même temps voyant de mes yeux l’image du monde (avec ses couleurs et ses formes, que je perçois grâce à mon sens de la vue, image dont je sais qu'elle n'est qu'une illusion physique produite par des phénomènes physiques [fréquences des différentes couleurs] et chimiques [yeux] ), je peux ressentir une sensation étrange et émouvante, qui peut être une joie très intime devant ce fabuleux spectacle qu’est l’Univers : « Ce magnifique paysage n'existe pas vraiment et pourtant il est devant mes yeux. »

Fermat et la publicationModifier

S'il a fait connaître par courrier quelques uns de ses travaux de géométrie (des petits Traités), il n'a jamais rien publié à son nom. Fin 1652, une épidémie de peste sévit dans le Sud-Est de la France. Comme beaucoup il est atteint mais il en réchappe. En 1659, encore affaibli par la maladie qui l'a frappé, il tente de faire publier ses travaux, sollicite la contribution active de Carcavi et de Pascal, à leur charge de tout mettre en ordre dans ses écrits et de trouver un éditeur. Il leur précise que l’ouvrage ne devra pas porter pas son nom :

9 août, 1654 ou 1659 :

Lettre de M. FERMAT
À M. DE CARCAVI

Monsieur,

J'ai été ravi d'avoir eu des sentiments conformes à ceux de M. Pascal ; car j'estime infiniment son génie et je le crois très capable de venir à bout de tout ce qu’il entreprendra. L'amitié qu'il m'offre m'est si chère et si considérable, que je crois ne devoir point faire difficulté d'en faire quelque usage en l'impression de mes Traités. Si cela ne vous choquait point, vous pourriez tous deux procurer cette impression, de laquelle je consens que vous soyez les maîtres ; vous pourriez éclaircir, ou augmenter, ce qui semble trop concis, & me décharger d'un soin que mes occupations m'empêchent de prendre. Je désire même que cet Ouvrage paraisse sans mon nom, vous remettant, à cela près, le choix de toutes les désignations qui pourront marquer le nom de l'auteur, que vous qualifierez votre ami. Voici le biais que j'ai imaginé pour la seconde partie, qui contiendra mes inventions pour les nombres. C'est un travail qui n'est encore qu'une idée, & que je n'aurais pas le loisir de coucher au long sur le papier mais j'enverrai succinctement à M. Pascal tous mes principes et mes premières démonstrations, de quoi je vous réponds à l'avance qu'il tirera des choses non seulement nouvelles & jusqu'ici inconnues, mais encore surprenantes. Si vous joignez votre travail avec le sien, tout pourra succéder et s'achever dans peu de temps, et cependant on pourra mettre au jour la première partie, que vous avez en votre pouvoir. Si M. Pascal goûte mon ouverture, qui est principalement fondée sur la grande estime que je fais de son génie, de son savoir & de son esprit, je commencerai d'abord à vous faire part de mes inventions numériques. Adieu, je suis, Monsieur, votre…

Fermat semble douter que sa demande soit exaucée. Pourquoi aussi son nom ne devrait-il pas apparaître, alors que chacun aurait compris qu'il était l'auteur ? Très modeste de l'avis de ceux qui le connaissaient mais parfaitement conscient de sa valeur, il n'hésite jamais, alors qu’il est éloigné de Paris et des autres mathématiciens, au risque de les agacer, à mettre en avant ses compétences et ses trouvailles dans les défis qu'il leur propose. Il ne cesse de les titiller, ses victimes étant de préférence ceux qui ne peuvent et ne veulent comprendre l’importance de ses travaux. Sa marque de fabrique, c'est vraiment la provocation, piquer la curiosité, son but étant toujours de faire progresser la connaissance. Il a ainsi paru prétentieux aux yeux de l’Anglais Wallis, et de René Descartes jaloux de Fermat et parfois très désobligeant, voire grossier envers d'autres savants. Le plus grand vœu de Fermat, il ne s’en cache pas, est que ses mérites et sa gloire soient un jour reconnus. Mais dans une époque troublée – celle de Richelieu, des mousquetaires du Roy – sa charge de magistrat lui impose de rester très discret en dehors de ses correspondances privées. L'absence de son nom sur l’ouvrage aurait ainsi préservé sa tranquillité.

On ne sait si Carcavi fit mention de cette lettre à Huygens, quoiqu'il en soit, ni Pascal, déjà très malade, ni Carcavi, ne donneront suite. Fermat termine sa lettre par un poignant ‘’Adieu‘’, suggérant qu’il ne prendra plus contact avec eux. Le 10 août 1660 pourtant, bien que malade, il tentera de rencontrer Pascal dans une lettre où il lui écrit : « nos pensées s’ajustent si exactement qu’il semble qu’elles aient pris une même route et fait un même chemin : vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. ».

À ses yeux, ses découvertes ne furent pas appréciées à leur juste valeur et le Livre important ne sera jamais publié. Un génie qui a autant contribué à « augmenter la connaissance » peut-il accepter facilement cet état de fait ? Sa contribution à la théorie des nombres sera surtout connue par sa correspondance, principalement des défis. Il chargera son fils d'assurer, mais seulement après sa mort, la diffusion des 48 notes lapidaires. Où il aura mis toute son application, à l’intention des mathématiciens qui lui auront conservé leur confiance, leur permettant tous les espoirs. Mais les nombreux sceptiques, et assurément ils ne manqueront pas, indignés et frustrés, ne pourront que s’arracher les cheveux devant l’incroyable provocation d’un amateur – « le Prince des amateurs » tout de même.

sage parmi les fous
dans la cité la rumeur
et le ciel d'azur

Wiles et FermatModifier

Réflexion d’un journaliste à Andrew Wiles après sa découverte de 1995 : « Donc la preuve originale de Fermat est toujours présente quelque part. » Réponse : « Je ne crois pas que Fermat avait une preuve. Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. Mais ce qui a rendu ce problème spécial pour les amateurs, c’est qu’il existe une infime possibilité qu’il existe une preuve élégante du XVIIe siècle ». Si j’avais été à sa place j’aurais certainement répondu la même chose (peut-être même exactement), c’eût été très confortable pour moi, ces sept années d’efforts soutenus n’auraient pas été vaines (même s’ils ont beaucoup enrichi les math, mais c’est une autre question). Wiles est un grand mathématicien, tout comme Fermat. Il est plaisant de noter que le magistrat Pierre de Fermat, qui ne pouvait perdre le peu de son temps disponible à détailler tous ses calculs (ne gardant quasiment jamais une copie d’un travail transmis à un correspondant), obstiné qu’il était d’aller toujours plus loin, se disait « l’homme le plus paresseux du monde ». Tous deux, chacun à leur façon, avec les outils de leur temps, ont fait faire aux mathématiques des avancées considérables. Ces deux génies sont un peu comme deux jumeaux. Andrew a pourtant un handicap, c’est un mathématicien complètement de son temps, il a dû dans sa formation assimiler énormément de mathématiques du vingtième siècle, en inventer beaucoup de nouvelles, peut-être que s’il avait vécu à l’époque de Fermat, obligé qu’il eût été de se satisfaire d’une mathématique plus élément-aire, plus pure, plus puissante, qui tente d’appréhender au plus près les relations profondes entre les nombres, il aurait pu s'approcher du maître. Les Anciens n’avaient pas encore l’esprit encombré de cette multitude de données complexes que les Modernes ont été obligés d’assimiler pour perpétuer le progrès technologique. Andrew Wiles a été tellement émerveillé par son succès après tous ses efforts (et un gros problème vers la fin, qui semblait insurmontable et fut pourtant résolu), que toute pensée relative à l’existence d’une preuve du dix-septième siècle ne pouvait qu’achopper aux contours de son esprit, merveilleusement comblé par sa découverte. Rien ne devait altérer sa joie. On peut tenter d'imaginer ce qu'elle a pu être, mais quand il cherche les mots pour l'exprimer, l'émotion est si forte que les larmes lui montent aux yeux. La course au ‘’Dernier Théorème‘’ fut une longue quête de 324 ans. Son histoire est tellement excitante pour les mathématiciens qui pourtant n'ont jamais percé le secret de Fermat que la légende urbaine qui y a cohabité depuis le début pour conjurer un dépit irritant et insupportable, logiquement poursuivra tranquillement sa route. Quel sujet passionnant, sociologique, philosophique et psychologique, quelle admirable leçon de pédagogie : après l'avoir entrouverte, Pierre fermat la porte à tous les sachants.

La légende urbaineModifier

« La certitude absolue est un privilège des ignorants et des fanatiques. » Cassius Jackson Keyser, superviseur de E.T. Bell.

Le mathématicien Harold Edwards voulut vulgariser des mathématiques. Évoquant la conjecture des "nombres de Fermat" il écrit : « Il alla même jusqu’à dire, plus tard dans sa vie, qu’il pouvait prouver que ces nombres étaient tous premiers ». Eric Temple Bell, lui aussi mathématicien, comme Edwards avait à cœur d'attirer des gens vers les mathématiques, voici ce qu'il écrit dans son livre The Last Problem, édité en 1961, après sa mort donc survenue en 1960 :

« 10.1 Fermat a déclaré qu'il pensait que la proposition était vraie, mais n'a jamais prétendu nulle part l'avoir prouvée. Il est temps que les déclarations erronées dans certaines histoires mathématiques soient corrigées – même au prix d'imprimer tout ce que Fermat a dit dans son propre langage. [...]. »

Là où Fermat écrit : « J’ai ensuite considéré certaines questions », Edwards tombe dans le piège et interprète ainsi : « J'ai ensuite prouvé certaines propositions. » Wikipédia, l'encyclopédie la plus lue au monde, suit le mouvement avec cette affirmation inexacte (lu le 30/09/2020) : « En effet après avoir écrit plusieurs fois à ses correspondants qu'il n'avait pas de démonstration de ce résultat, il assure en posséder une par descente infinie dans une lettre de 1659 à Carcavi ». Les méfaits d'internet, avec ici la recherche d'un consensus par des internautes non spécialistes qui décident eux mêmes de ce qui est exact et de ce qui ne l'est pas, bref qui décident de ce qu'est la vérité.

D'autres commentateurs ont prétendu eux aussi, avec des arguments bancals, paralogismes et sophismes, que Fermat n’aurait pu trouver une preuve de son grand théorème avec ses propres outils. Tout mathématicien sérieux et familier des travaux de Fermat sait qu'aucun de ces arguments ne tient et qu'ils relèvent de la pensée magique. Seul le fait qu'il ait pu trouver une preuve avec ses seuls outils leur paraît véritablement étonnant. La rumeur qu'il ne pouvait l'avoir fait, réconfortante pour beaucoup, s'est propagée et a grossi au cours des siècles. Si, obsédé par son désir de généralité, il n'a jamais évoqué ailleurs que dans cette note le théorème général, on sait qu'il l'a toujours eu présent à l’esprit. Il affirme en détenir une preuve, pourtant il n'en parle jamais de son vivant. Dans cette affaire digne d'un roman à suspense il a fait preuve d’une maîtrise et d’une virtuosité confondantes, brouillant les pistes mais laissant par ailleurs de nombreux indices. Qu'il ait révélé à l’intention de ses seuls suiveurs un début d'explication à l’aide de trois lignes et demie d’écriture latine – même s’il (Pierre + Samuel) les a écrites différemment (à peine) dans trois versions de l’édition de 1670, participe du sublime. La seule édition consultable à Zurich, sans anomalie trop flagrante, aurait sans doute difficilement permis un décryptage, d'autant que l'usage du latin s'est raréfié au cours du XIXe siècle. L'édition de Lyon aurait suffi (elle a suffi à Roland Franquart), celle de Rome, la plus révélatrice (detexis camouflé → « tu tisses complètement  »), la plus excentrique aussi, bien que d'une force moindre, confirme le décryptage qu'avait effectué Roland Franquart. Les deux anomalies sur le même mot et dans deux éditions différentes se renforcent mutuellement, et encore davantage quand elles sont ajoutées aux cinq autres, et toujours plus quand elles sont regroupées avec celles présentes dans sa correspondance.

Dans sa lettre bilan à Carcavi pour Huygens, où il ne fait toujours aucune allusion au grand théorème, il termine par ces mots : « Et peut estre la postérité me scaura gré de luy avoir fait connoistre que les Anciens n’ont pas tout sceu, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moy pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel j’adjousteray, multi pertransibunt et augebitur sciencia(*)».

(*) « Ils seront nombreux à aller au-delà, et la connaissance en sera accrue. »

Lorsqu'on étudie Fermat, il y a deux façons de procéder :
1) Avec un a priori favorable : toujours se souvenir que c’est un grand pédagogue, lui faire confiance, détecter tous les arguments spécieux émis par ses innombrables détracteurs, au contraire rechercher les nombreux indices qu’il nous laisse, et tous les bons arguments (j’en ai compté quatorze importants). Les auteurs ayant publié un livre consacré au grand théorème ont eu la sagesse de rester objectifs, neutres.
2) Avec un a priori très suspicieux : le sous-estimer, ne pas faire confiance à son désir le plus cher et le plus louable de ne jamais nous mâcher le travail On imagine alors de multiples arguments pour le discréditer. Citons Alexandre GROTHENDIECK :
« L’aspect de cette dégradation auquel je pense surtout ici (qui en est juste un aspect parmi de nombreux autres) est le mépris tacite, quand ce n’est la dérision sans équivoque, à l’encontre de ce qui (en mathématique, en l’occurrence) ne s’apparente pas au pur travail du marteau sur l’enclume ou sur le burin – le mépris des processus créateurs les plus délicats (et souvent de moindre apparence) ; de tout ce qui est inspiration, rêve, vision (si puissantes et si fertiles soient-elles), et même (à la limite) de toute idée, si clairement conçue et formulée soit-elle : de tout ce qui n’est écrit et publié noir sur blanc, sous forme d’énoncés purs et durs, répertoriables et répertoriés, mûrs pour les ‘’banques de données’’ engouffrées dans les inépuisables mémoires de nos méga-ordinateurs. Il y a eu (pour reprendre une expression de C.L. Siegel) un extraordinaire ‘’aplatissement’’, un ‘’rétrécissement’’ de la pensée mathématique, dépouillée d’une dimension essentielle, de tout son ’’versant d’ombre’’, du versant ‘’féminin’’. Il est vrai que par une tradition ancestrale, ce versant-là du travail de découverte restait dans une large mesure occulté, personne (autant dire) n’en parlait jamais – mais le contact vivant avec les sources profondes du rêve, qui alimentent les grandes visions et les grands desseins, n’avait jamais encore (à ma connaissance) été perdu. Il semblerait que dès à présent nous soyons déjà entrés dans une époque de dessèchement, où cette source est non point tarie certes, mais où l’accès à elle est condamné, par le verdict sans appel du mépris général et par les représailles de la dérision. »[6]

Si l’on cherche le livre entier que Fermat aurait consacré à la science des nombres, il n’est que de lire l’Arithmetica de 1670 qui inclut 48 observations très stimulantes. Ont-elles aidé les mathématiciens à repousser les bornes de la science des nombres ‘’au-delà des limites anciennement connues‘’ ? La pépite qui y figure est une galéjade qui laisse pantois. Jamais on n’avait vu, jamais plus on ne verra, un génie fût-il universel livrer la démonstration d’un puissant théorème sous la forme d’une affirmation qui laisse tant à penser : « J'en ai réellement mis à nu l'explication tout à fait étonnante [mais malheureusement pour vous] je n'ai pas la place ici ».

« La marque infaillible du sublime, c’est quand nous sentons qu’un discours nous laisse beaucoup à penser, qu’il fait d’abord un effet sur nous, auquel il est bien difficile, sinon impossible, de résister, et qu’ensuite le souvenir nous en dure, et ne s’efface qu’avec peine. » Traité du Sublime (auteur inconnu, peut-être Longin).

« Le génie n’est pas imitable, il est incommunicable. On ne peut pas le transmettre parce que le génie lui-même serait incapable d’en donner les règles, c’est du côté du sublime plutôt que du beau. » Hélène Frappat.

Être mathématicien professionnel a des avantages et des inconvénients. Parmi ces derniers l’un émerge : vous ne pensez plus pratiquement qu’à votre travail, votre esprit y est occupé jour et nuit, consciemment ou inconsciemment. Quant à l'étude du cas Fermat, de nombreux mathématiciens et historiens s’y sont penchés, mais un consensus ne s’est jamais fait. Allez-vous perdre votre temps à l’étudier ? Si vous êtes un simple amateur, et que vous pensez être objectif, le problème se pose différemment, vous constatez d’abord qu’aucun argument avancé par les commentateurs sceptiques de Fermat n'est sérieux. Leur assemblage l'est d'autant moins, mais a pris le pas sur la réflexion objective. Le souci est que tout l’édifice vacille si vous ôtez les plus mauvais :

1) Fermat ne disposait pas de nos outils modernes – c’est l’argument préféré des commentateurs.
2) Fermat a dû se tromper, il s’en est aperçu plus tard, mais il n’a pas jugé utile de rectifier.
3) Il n’a pas jugé utile de rectifier, puisque ces observations ‘’étaient réservées à son seul usage‘’.
4) Surtout, il s’était déjà trompé une fois, avec les nombres de la forme 22n + 1.

Si donc vous êtes juste un amateur très attentionné, vous voyez immédiatement qu’il y a anguille sous roche. Alors vous vous documentez. Longtemps si vous êtes un passionné. Une remarque très vite vous est venue à l’esprit : ces commentateurs semblent être partis de l’a priori que Fermat n’avait pu trouver une preuve, puis ont cherché tout ce qui pourrait les conforter dans cette idée, agrégeant leurs arguments en un seul bloc pour en faire une certitude. Vous vous posez alors pas mal de questions sur l’honnêteté intellectuelle de certains savants. L’amateur que vous êtes se dit alors : « Tout ceci n’est qu’un écran de fumée », smoke and mirrors, disent les Britanniques. Fermat, dont la véritable profession est magistrat, a toujours considéré l’émulation comme le meilleur moteur dans ses recherches arithmétiques. Il aura tout essayé, pendant 19 ans il a mis au défi 7 de ses correspondants : prouver, ou infirmer, sa fausse conjecture.

L’attitude que l’on a, face au ‘’Dernier théorème’’ (on dirait le titre d’un roman, ce qu’il est en effet) dépend donc de l’a priori choisi au départ. Si l’on choisit celui qui est favorable, on se dit que Fermat, pédagogue et facétieux à la fois, est avant tout un honnête homme et qu'il n’a pas dû en rester là. On est prêt alors à chercher assidûment tous les indices qu’il aurait pu nous laisser, en ne négligeant absolument aucune piste et en cherchant les meilleurs arguments. Eric Temple Bell croyait en une preuve de Fermat et pensait que la civilisation probablement s'éteindrait avant que le Dernier théorème soit résolu. Il n'était pourtant pas totalement exclu que le théorème soit un jour prouvé par une méthode très complexe, ce fut le cas, et on découvrira encore d'autres preuves complexes. Vouloir à tout prix croire que Pierre de Fermat n’aurait pu trouver une preuve empirique, donc beaucoup plus simple que celle de Wiles en 1994, est une mal-mesure criante de la science des nombres, et plus généralement de l'intelligence humaine.

Lorsque je travaillais à la rédaction de la fiche Wikipédia sur le théorème, un wikipédien joueur de go fit appel à son ami et complice Pierre Colmez, joueur de go lui aussi, et dont l'opinion figure maintenant en page de discussion du théorème : « Ce qui est sûr, c'est que toutes les démonstrations auxquelles Fermat auraient pu penser à son époque se cassent la figure. […] » Colmez a donc deviné tout ce à quoi Fermat « “auraient” pu penser. » Ça frise le génie. La meilleure réponse à lui apporter est celle-ci. Ce qui est sûr et symptomatique c'est que Pierre Colmez, en plus de s'adonner à un jeu de stratégie qui fait appel à la ruse, est aussi un mathématicien professionnel, et surtout, il se voit comme supérieur à Fermat. La suite de son intervention ne manque pas de sel : « mais on ne peut pas empêcher les optimistes de croire qu'il a eu une révélation complète de toute une théorie qui nous aurait échappé jusqu'ici, mais va expliquer ça aux gens qui veulent croire à la révélation divine... »

On voit combien certains professionnels non spécialistes de Fermat, censés pourtant être dotés d’un esprit rigoureux, peuvent rester arc-boutés sur leurs préjugés, incapables d'avoir un jugement raisonnable, et ne trouvent parfois pour seul argument que d’évoquer sur un ton persifleur une « révélation divine », désignant ainsi Fermat comme un mystique dont les inventions lui seraient tombées du ciel. Colmez fait partie de ces joueurs de go qui n'aiment pas perdre et utilisent toutes les diversions possibles quand il s'agit de battre un adversaire. Pourtant quand ils le sous-estiment il n'est pas rare qu'ils tombent tête baisée dans le gros piège qui leur est tendu. Ici Colmez n'a même pas eu conscience de s'être fait berner et d'une manière subtile et grossière à la fois, il se plaît à être condescendant (méprisant, en filigrane) vis-à-vis d'un génie, Fermat en l'occurrence. Admirons au passage la faute d’orthographe dans « toutes les démonstrations auxquelles Fermat ‘’auraient’’ pu penser », qui est un joli lapsus. Pourquoi ce pluriel ? Sûrement notre homme est un devin imaginatif, qui connaît une infinité de démonstrationssssss auxquelles Fermat ‘’auraient’’ pu penser   Quant à son ami joueur de go, il n'a pas remarqué de faute d'orthographe. L'ironie de la chose est qu'un mathématicien déclare savoir tout ce à quoi Fermat « auraient pu penser », tandis que nous avons exposé les nombreux indices que Fermat, par des codages très subtils, a pensé à nous laisser  . Où l'on voit encore une fois que dans la sphère mathématicienne la capacité d'analyse n'est pas la vertu la plus répandue.

Fermat n’aurait pas été surpris, sûrement même aurait-il été amusé d'apprendre que des mathématiciens bien comme il faut, bien académiques, aient attribué le prix qui porte son nom à un joueur de go en 2005. Le manque de jugement et l’aveuglement propres aux orgueilleux pessimistes contempteurs de Fermat n’auront pas épargné beaucoup de sachants, et on se demande quelle apogée pourrait un jour atteindre une légende urbaine aussi enracinée et aussi nécessaire à leurs besoins.

Je sais pour y avoir personnellement contribué que quelques savants sont au fait de la brève explication qu'a laissée Fermat, mais ils doivent être rares à la connaître et d'ailleurs ils y seraient complètement indifférents. Que voulez-vous, on n'aime pas toucher aux symboles quand on est mathématicien.

0 . 1Modifier

Jean ITARD, dans un article de 1950 Blaise PASCAL à Pierre de FERMAT, en 1660
« En résumé, la méthode essentielle utilisée par Fermat en théorie des nombres est sa méthode de descente infinie, découverte vers 1638. Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » « Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »

Les meilleures perles des commentateurs de FermatModifier

En 1976, dans son ouvrage Fermat's Last Theorem - A Generic Introduction to Algebraic Number Theory (page 38), Harold Edwards discourt d’une étrange façon [.../...] à propos de Fermat pour amener sa proposition finale :
« Au contraire, à notre époque, l'attitude générale est que les Anciens ne savaient rien du tout. » Edwards semble oublier beaucoup de choses, par exemple les Babyloniens, il a 4000 ans, savaient qu'on pouvait déterminer la valeur de   avec une grande précision, proche du millionième. (Voir Wikipedia, YBC 7289).
On peut énoncer une formule générale pour discréditer Pierre de Fermat, Juge et mathématicien amateur.
1. Écrire un livre ou un article sur la théorie des nombres en rappelant tous les apports de Fermat.
2. Lui attribuer de belles qualités (esprit pénétrant, etc.).
3. Faire une ou plusieurs remarques désobligeantes à son égard. La plus fréquente concerne la fausse conjecture des "nombres de Fermat", reprise dans cet exemple : « Cet incident semble être la seule tache sérieuse sur la réputation de Fermat en tant que théoricien des nombres. » (« the one serious smirch »)
4. Pour finir remercier Fermat.
L’historien Jean Itard, a utilisé avant lui (1950) ce procédé mais en inversant les points 3 et 4 et en étant beaucoup plus agressif.
On ne peut juger ces scientifiques, dont les propos révèlent à la fois un sentiment d'infériorité et une profonde méconnaissance de Fermat et de l'âme humaine en général. On ne peut que se désoler et s'amuser à la fois de leur aveuglement. Ayant compris comment une si longue légende urbaine avait pu s'élaborer au fil des décennies puis des siècles, je suis pourtant toujours aussi sidéré. D'un autre côté je suis admiratif devant tous les pièges, pourtant évidents aux yeux de l'observateur attentif, dans lesquels peuvent tomber les plus grands intellectuels. J'y vois un enseignement profond, l'étude de la pensée de groupe nous apprend énormément sur la psychologie humaine : comment un imaginaire collectif peut complètement se dévoyer.

Ils ont ditModifier

1650 (vers). René DESCARTES : « Monsieur Fermat est Gascon. Moy non. »
1656. Blaise Pascal, Les Provinciales (la XIIe) : « Tous les efforts de la violence ne peuvent affaiblir la vérité, et ne servent qu’à la relever davantage. »
1658. Pierre FERMAT à propos de John WALLIS : « Je suis toujours surpris de quoy M. Wallis méprise constamment tout ce qu’il ne sçait pas. »
1660. Blaise PASCAL à Pierre de FERMAT : « Voilà, monsieur, tout l’état de ma vie présente, dont je suis obligé de vous rendre compte, pour vous assurer de l’impossibilité où je suis de recevoir l’honneur que vous daignez m’offrir, et que je souhaite de tout mon cœur de pouvoir un jour reconnaître, ou en vous, ou en messieurs vos enfants, auxquels je suis tout dévoué ayant une vénération particulière pour ceux qui portent le nom du premier homme du monde. »
1845. Guglielmo LIBRI : « Des mathématiciens qui avaient fait de vains efforts pour démontrer les théorèmes trouvés par Fermat ont voulu jeter quelque doute sur la réalité des démonstrations qu’il déclarait posséder, et ils ont supposé que ce grand géomètre était parvenu à certains résultats plutôt par induction et un peu au hasard que par une analyse rigoureuse de la question. »
Eric Temple Bell : « En mathématiques,"évident" est le mot le plus dangereux. »
Vers 1857, il a été rapporté un propos désobligeant de Ernst KUMMER envers le grand théorème, qui serait « une plaisanterie ».
1950. Jean ITARD : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème pour un exposant supérieur ou égal à cinq. » Le début de la phrase est péremptoire et violent : “Jamais Fermat”. Il poursuit en mettant 2 Capitales d'imprimerie à ‘’Dernier Théorème‘’, manière efficace de démolir un théorème... capital. C'est le commentaire le plus désobligeant qu'on ait lu à l'encontre de Pierre de Fermat.
1979. Ian Stewart : « Les mathématiciens modernes ont quelque mal à croire que Fermat ait pu connaître quelque chose qui leur échappe encore – bien que, pour ma part, cela ne me surprendrait pas. »
1993. Jean BÉNABOU à Jacques ROUBAUD, après l'annonce (prématurée) de la découverte d'une preuve par Andrew WILES : « C’est comme si on avait conquis l’Everest avec des fusées de la Nasa ».
1995. Pour Winfried SCHARLAU, Fermat s’est rendu compte qu’il s’était trompé, mais comme « sa conjecture était restée privée », il n’a pas eu à se rétracter.
2001. Andrew WILES : « Je pense qu’il s’est trompé en disant qu’il avait une preuve. »
2002. G. SOUBEILLE dans P. FÉRON, Pierre de Fermat, un génie européen : « […] Fermat, qui se passionnait pour tout et conserva cette ambition d’un savoir encyclopédique propre aux esprits du siècle précédent, fut un de nos derniers humanistes […] ; dans un sens plus large, l’humaniste, en lui, reflétait sa confiance dans la raison et dans l’avenir de la science. Beaucoup plus géomètre que poète, il fut façonné par la rigueur et l’intelligence latines : c’est sur ce terreau que put s’épanouir son prodigieux génie des mathématiques. »
2009. Roland FRANQUART : « Cette preuve de Fermat n’étant plus nécessaire aujourd’hui, était-elle suffisante en son temps ? »
2020. Edwy Plenel sur France culture : « Dieu sait si je suis quand même averti pour dire qu’il peut y avoir de grandes imbécillités académiques, de personnes qui sont bardées de diplômes comme autant de certitudes. »

  • Des mathématiciens ont prétendu que « toutes les démonstrations auxquelles Fermat aurait pu penser à son époque échouent ». Comment peuvent-ils connaître tout le savoir de Fermat, génie universel, encensé par Pascal, autre génie ? Par excès de confiance en eux-mêmes ils pensent que Fermat (« le plus grand homme du monde »), qui s'était attaché, seul et sans influence extérieure, dans une passion quasi métaphysique, à sonder les plus grandes profondeurs, qui a initié les plus grands progrès en théorie des nombres... était doté d'un discernement bien inférieur au leur. Dans quel aveuglement peut entraîner la connaissance et la reconnaissance académiques... Notre homme a décidément fait un choix pertinent en restant très discret sur ses plus grandes découvertes. Pour ces mathématiciens frustrés voici un petit

Conte à guérir, conte à grandirModifier

qui veut illustrer pourquoi cet “argument” est insensé.
Un jour incertain de l’année 202., dans les sous-sols d’une unité de recherche menacée de dissolution pour cause de dépenses inconsidérées et d'un manque criant de résultats, une expérience unique est rondement menée. Des savants ont l’idée d’utiliser un prototype d’ordinateur à logique floue qui donnait de grandes espérances. Après y avoir entré un maximum de données concernant Fermat et son Grand Théorème, ils ont demandé à l’ordinateur, qui d'après eux pouvait ainsi connaître les pensées les plus profondes de Fermat, si ce dernier aurait pu avoir une preuve. Le professeur Gonzalezova raconte : La machine tournait, tournait, tournait, de temps en temps émettait un “Gloups !” ou un “Eh ?”, c’est tout ce qu’on en tirait. C’est Jean Neymar qui a eu l’idée de dire à la machine : Tu sais ce qu’André Weil a dit ? Il a dit : « Jusqu’en 1638, la correspondance de Fermat le montre comme le plus inexpérimenté des novices en théorie des nombres. » C’est à ce moment-là que le bouzin a commencé à bugger. Pas longtemps, toutes les lumières du labo se sont subitement éteintes. Quand Jeannot a dirigé son smartphone vers la machine, on a constaté avec effroi qu’elle avait rendu l’âme. Lalampe est parti rétablir le courant, on a bu un verre ou deux pour s’éclaircir les idées, et après un joint on s’est tous mis à réfléchir calmement. Tout d’un coup le visage de Lalampe s’est éclairé : « Et si Fermat n’avait jamais prouvé les cas particuliers n=3 et n=4, comme beaucoup l’ont affirmé ? » On a trouvé l’idée assez géniale, vu que ces deux cas soi-disant résolus contredisaient la théorie de Weil. Christiane s’est empressée d’aller chercher le prototype 02, identique en tous points au premier, et l’a posé à côté du défunt. Elle nous regardait mais nous on préférait faire durer le plaisir, on était bien, complètement relaxés, et on était sûrs de ce qu’allait nous dire la machine. Folalié est le plus impatient du groupe. Il dit à la machine qu’« elle est bête, les cas n=3 et n=4 n’ont été prouvés qu’un siècle après la mort de Fermat », donc elle peut oublier ça. La machine semble un peu pensive, une vidéo s’affiche, c’est Einstein qui se gratte la tête. On lui dit : « T’inquiète, Einstein est dépassé, tu sais faire beaucoup mieux. » Cette fois c’est une photo, le grand sourire de Julia Roberts. L’imprimante ronronne deux secondes et lâche sa preuve en 9 exemplaires : « Fermat n’a prouvé aucune de ses conjectures, n'a jamais rien écrit dans une marge. C’est son fils qui les a écrites et toutes démontrées, de la première à la dernière. »
On est restés sur le c... calcul. On a mis tous les protos à la benne.

ÉpilogueModifier

Qu’y a-t-il d’étonnant à ce que Fermat, grand pédagogue et fin psychologue, ait réservé un statut très spécial à son théorème le plus difficile, n’en parlant jamais à quiconque de son vivant, sauf à son fils, très certainement.

Amusons-nous encore un moment, Fermat écrit que la marge ne contiendrait pas son explication, qui pourtant dans son observation ne comporte que trois lignes. Que n’aurait-on pensé s’il avait écrit, au lieu de prétexter le manque de place : « Je pourrais bien vous en donner l’explication très détaillée, mais j’ai travaillé pour trouver cette preuve vraiment merveilleuse, qui sort complètement des sentiers battus. Vous devez donc travailler, vous aussi, vous vous apercevrez que quand un obstacle est insurmontable, il est toujours possible de le contourner. La meilleure façon de faire avancer la science ne consiste pas à vouloir à tout prix chercher une solution à un problème difficile, mais à s’engouffrer dans des chemins encore jamais explorés, qu’il semble nous suggérer ; à y cheminer pour s'y enrichir. C’est ainsi que l’on parvient à percer certains mystères, et que soudain, sans qu’on s’y attende, la solution nous apparaît. Car le problème ne réside pas tant dans le problème lui-même, que dans la façon dont on se le pose. »
Piet Hein dira trois siècles plus tard : « Un problème digne d'attaque montre sa valeur en ripostant. »

349 ans de recherches inabouties (depuis la publication de l'Arithmetica) sur l'éventuelle preuve de Fermat ont très mal engagé l'affaire, certainement destinée à ne jamais aboutir, mais une énigme en suspens a bien plus d’attrait qu’une énigme résolue. Le minimum que nous pouvions faire ici était de saluer la pédagogie du “Prince des amateurs”. Méditer sur cette énigme, sur son histoire, sur ses acteurs, interrogatifs ou péremptoires, est constructif pour le chercheur en quête de vérité historique, ou s'intéressant aux légendes urbaines. Tous les mathématiciens qui auraient pu suivre Fermat dans ses recherches l’avaient définitivement lâché : ses apports à la science des nombres et ses mérites ne purent être considérés à leur juste valeur. Comment ne pas en ressentir de l'amertume ? Que fait un professeur quand tous ses élèves, les uns après les autres, quittent le cours ? Que fait un savant que nul ne veut plus suivre, quand l’âge vient et que la santé décline ? Quelle ressource reste-t-il à un pédagogue qui a toujours ardemment souhaité que la connaissance progresse ? Sa démarche a toujours été la stimulation réciproque, il ne va pas en changer. Pour ceux qui peut-être accepteront de reprendre le flambeau, sans leur mâcher le travail, il livre 48 brèves et précieuses observations. Parfois il n'a pas la place, parfois il n'a pas le temps, d'exposer une démonstration (toujours admirable) de ce qu’il avance. Une seule fois, il nous a livré la démonstration complète d’un théorème important. Ma certitude est que les mathématiciens, occupés chacun de leur côté, ne s'intéressent plus du tout à une preuve de Fermat et ont définitivement clos une déjà trop longue histoire à leur goût. Le destin a fait que Fermat et Pascal ne puissent se rencontrer en 1660, ce même destin suggère que l'énigme ne sera jamais complètement résolue.

Gardons-nous de sous-estimer Fermat, de minimiser son discernement. Il était conscient qu’on pouvait le prendre pour un vantard (il en a joué) avec ses façons peu orthodoxes et provocantes. La rencontre avec Pascal ne put se faire mais sa lettre nous est restée. La plus célèbre de ses ‘’observations‘’, Fermat pouvait-il être assuré qu’une démonstration qu'il y aurait cachée, hermétique à l'extrême, serait un jour découverte ? Non bien sûr.

Postulat de Fermat — « Mais que ce soit un pré carré en deux prés carrés ou un quarteron en deux quarterons & en général jusqu'à l’infini, aucune puissance supérieure au binôme ne pourra être partagée en deux autres d’avis contraire. Une admirable démonstration en sera faite par ceux qui me suivront[7]. »

Sur la suggestion de l’auteur, Wikiversité offrira au premier mathématicien qui aura cru avoir démontré que cette démonstration ne vaut pas pipette, l’opportunité d’exposer sa contre-démonstration dans la page de discussion de ce texte. Des arguments tels que : « si c’était vrai ça se saurait », ou « il est inadmissible que Wikiversité permette à n’importe qui n’écrire n’importe quoi », pourront éventuellement être pris en compte, sous condition toutefois que leur auteur soit reconnu comme étant une personne fiable, respectable et respectée. Si sa contre-démonstration venait à être validée par l’équipe qui aurait été préalablement et promptement mise en place, cette personne se verrait recevoir par l’auteur de ces lignes (hélas peu fortuné) les hommages les plus déférents. En outre et surtout, tout serait fait pour que ses travaux antérieurs, même les plus bénins, soient mis en valeur sur Wikiversité.

Pour rester sérieux (c’est difficile, parfois, dans cette incroyable histoire), j’accueillerais avec grand plaisir toute remarque ou objection. Il est d’ailleurs probable que certains points importants m’aient complètement échappé. Si vous en aviez observé vous-même, ou si vous pensez que des précisions mériteraient d’être apportées, n’hésitez surtout pas à m’en faire part, je vous en serais vivement reconnaissant (!!!). Merci.

À première vue (à première vue seulement), il semble incroyable qu'il ait fallu attendre 3 siècles et 38 ans pour que ce soit un amateur, ancien militaire expérimentateur des radars-sol, qui ait l'idée d'aller observer l'OBSEVATIO de Fermat de près, « à la loupe ». Il est vrai qu'un bon militaire possède ces qualités : 1) Rigueur, ponctualité, goût de le discipline. 2) Adaptabilité, curiosité. 3) Vigilance, efficacité. 4) Honnêteté, esprit de corps. 5) Formation continue.
Ce chercheur tenace, Roland Franquart, fut l’auteur de « Commutation des voies radar-Fizeau par découpage des échos des voies linéaires » et de « Contrôle de la superposition des vidéos radars primaires », qui fut intégré par l’industriel aux Programmes Opérationnels de l’Armée de l’Air.

MoralitéModifier

Quand un scientifique, un politicien, un philosophe, multiplie articles et plateaux télé pour tenter de faire croire que ce qu’il affirme est la vérité vraie, il est important de chercher les raisons personnelles qu'il aurait pu avoir pour diffuser le plus largement possible sa théorie. Celui qui a l’intelligence du réalisme comprendra que jamais rien ne viendra ébranler la satisfaction de la communauté académique d’avoir « conquis l’Everest avec des fusées de la NASA. »

Dans tous les domaines de la connaissance, lorsqu’une armée d’« experts » se regroupe et se déchaîne, s’acharnant avec violence ou mépris contre un petit groupe d’experts indépendants – donc sans conflit d’intérêt –, et que l’on perçoit un accent de vérité chez ces derniers, il faut prendre le temps nécessaire – parfois très long en raison des obstacles rencontrés – pour mener sa propre enquête. Plus longtemps on a effectué ces enquêtes, plus l’esprit de discernement s’affine.


Par le plus grand des hasards, le jour de mon anniversaire, en mai 2011, j'ai rencontré au cours d'une randonnée un mathématicien – le printemps est l'époque où les intellectuels prennent un peu l'air – chez qui je perçus très vite les compétences et l’autorité du grand professionnel. Nous discutions de choses et d'autres, l'ambiance générale était sympathique. À un moment je me risquai à l’informer des découvertes de Roland Franquart et lui donnai le lien web adéquat. Puis je lui dis (c’était le sens en tout cas) : « Nos mathématiciens disposent d’outils très complexes, ils sont peu enclins, comme le faisaient les Anciens, comme le faisait Fermat, à se limiter, dans leurs recherches, à jongler avec les seuls fondamentaux, il y faut beaucoup de courage. » Il me répliqua : « Oh non ! » La suite de ses réponses à mes questions fut un royal enfumage, qu'il serait discourtois de rapporter ici. Je n’ai pas insisté. Je découvrirai ensuite son identité, mais ne comptez pas sur moi pour vous la révéler ! C'est un secret que, précieusement, j'emporterai dans ma tombe.

Le mathématicien Christophe Breuil nous livre quelques réflexions qui aident à comprendre la psychologie du savant.
« Voici par exemple une autre petite histoire (encore une boutade) que je tiens d’un autre collègue moins jeune (mais non moins brillant). Pour savoir si le résultat nouveau que l’on vient d’obtenir est intéressant, il faut s’y prendre de la façon suivante :
1) Modestement l’expliquer à un grand expert du sujet.
2) Analyser sa réaction : s’il est content, le résultat n’a probablement que peu d’intérêt, mais s’il fait la tête, alors tout espoir est permis ! Tel peut sembler être le « destin » des mathématiciens : celui de s’attaquer à des problèmes surhumains qui suscitent indifférence et incompréhension du monde extérieur. Mais il y a les maths elles-mêmes, leurs objets et structures d’une infinie richesse, leurs beaux et puissants concepts, leur profonde unité, perpétuelle source de renouvellement et de rajeunissement ! »
« Tout chercheur vous dira que les considérations d’ordre affectif ou égocentrique (et plus généralement les considérations “humaines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raisonnement logique, ou embrumer une intuition mathématique en train de prendre forme. » [2]

Je suis encore à ce jour (un peu) estomaqué que l'immense mathématicien qu'était André Weil ait cru bon de nier absolument que Fermat ait pu avoir une preuve, avec des arguments tels que celui-ci : « How could he have guessed that he was writing for eternity? » (‘’An approach through history from Hammurapi to Legendre‘’, 2010, p. 104). Weil pense donc que les 48 Observations de Fermat étaient destinées à son seul usage personnel. Fermat aurait donc éprouvé le besoin de s'expliquer à lui-même qu'il a réellement mis à nu une démonstration tout à fait étonnante ! S’il est maintenant certain que Weil ne disposait pas de la bonne traduction en français, cette déclaration est quand-même étonnante (ou non) de la part d’un aussi grand savant. Il est vrai qu'il avait, à tort ou à raison, une haute assez estime de lui-même et que vis-à-vis de Grothendieck en particulier, et de l'avis même de ce dernier, il n'a pas été vraiment bienveillant. Quand il est question de prestige personnel, souvent on n'est pas très tendre chez les sachants, quand de telles considérations sont en jeu, l'esprit de finesse n'est plus là. L'historien Jean Itard quant à lui s’en était pris à Fermat en 1950 (année de ma naissance  ) par une affirmation cassante : « Jamais Fermat n’a été en possession d’une preuve de son Grand Théorème ». Bonjour l'ambiance.
D’autres considérations peuvent expliquer le sentiment de Weil :
« Dans sa jeunesse André WEIL espérait la démontrer avant la date du centenaire et la publier en 1959. Il a éclaté de rire le jour où, après la publication de ses Œuvres complètes, je lui ait fait observer que s’il en trouvait finalement une démonstration en quinze pages, Springer-Verlag serait obligé d’ajouter un très mince volume à son édition. » (Roger Godement, Analyse mathématique IV, Ed. Springer-Verlag, 2003, p 281, note 4). Pour mémoire, il a suffi de deux pages à Fermat, ou plutôt trois lignes et demie. Moralité : le sourire est plus spirituel que le rire. « Il est vrai que le regard intérieur ne fait malheureusement pas partie de l’épistémologie scientifique actuelle ».

– André Weil fut l'un des mathématiciens qui par leurs travaux ont considérablement aidé celui de Wiles. Il ne pouvait qu’être fier d’avoir contribué à la preuve trouvée en 1994 par ce dernier. De là à sous-estimer les capacités de Fermat…

Je vous donne ma parole que ce qui suit est vrai. Un responsable de l’Agence France-Presse s’était étonné en 2009 qu’aucun des journalistes scientifiques auxquels on avait présenté les découvertes de Roland Franquart n’ait souhaité donner suite. Est-ce que vous êtes étonné(e), vous ? Si non, alors peut-être avez-vous aussi compris que ce monde n’aurait pu être fait meilleur qu’il l’a été. La formidable innovation qu’a produit Wikiversity (entre autres choses) est qu’en utilisant les outils de Wikipedia, elle fournit aux chercheurs le meilleur support de travail qu'ils puissent jamais trouver, permettant à un public de plus en plus large d’accéder à des travaux introuvables ailleurs. Si ce modeste essai pouvait encourager de jeunes chercheurs à comprendre combien le panurgisme contrarie le discernement et l'initiative personnelle, il aurait atteint son but.

Citons Évariste Galois (1811-1832) :
« Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier ; au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera ‘’je ne sais pas le reste’’. »

Simon Singh :
« Le culte du secret chez les mathématiciens parisiens était une tradition qui remontait aux cossistes du seizième siècle. Ceux-ci étaient des experts en calculs divers employés par les marchands et les hommes d’argent pour résoudre leurs problèmes de comptabilité. […]. Quand le mathématicien et philosophe Marin MERSENNE arriva à Paris, il résolut de combattre la conspiration du silence et tenta de persuader les mathématiciens d’échanger leurs idées et de se servir les uns des idées des autres. Il organisa des rencontres régulières entre eux et son groupe constitua même le noyau de l’Académie des sciences. »

Fermat par sa célèbre observation a laissé aux savants ce qu’ils n’ont pris que pour une plaisanterie, alors qu'elle est surtout une preuve puissamment codée. C’est en quittant ce monde sans la dévoiler complètement que 5 ans plus tard grâce à son fils il entre dans la légende.

Le site de Roland Franquart : franquart.fr

Cette recherche est comme un devoir de mémoire. Elle est un peu plus détaillée sur certains points mineurs mais incomplète sur d'autres et plus du tout à jour sur mon site Un théorème, une mathématicienne et leur lecteur : l’énigme de Fermat passée au crible

Notes éparsesModifier

Pour saint Augustin, le nombre 2 mesure tous les nombres pairs, pour cette raison il écrit : « Qu’il me suffise d’avertir ici que trois est le premier nombre impair, et quatre le premier pair, et que ces deux nombres pris ensemble font celui de sept. » (Voir ici).

Voir aussi, de saint Augustin, UTILITÉ DE LA CONNAISSANCE DES LANGUES, DE LA NATURE, DES NOMBRES ET DE LA MUSIQUE POUR L'INTELLIGENCE DES SIGNES FIGURÉS.

Anagrammes étonnantesModifier

  • Petri de Fermat permettra défi dernier théorème, étreindre Homère ; Pierre de Fermat préféra méditer.
  • En latin le ‘i’ s’écrivait parfois ‘j’ (tout comme le ‘u’ s’écrivait parfois ‘v’). Dans l'espace laissé vide à la fin de sa note, Fermat aurait eu toute la place pour une fois d’écrire une anagramme prémonitoire sous les mots :

« i demonstrationem mirabilem sane detexi » →
« j’immortalisai anxiétés de dénombrement », mais des esprits chagrins et jaloux de Fermat, à l’instar de Descartes, auraient encore moqué ce ‘Gascon’, ce ‘fanfaron’  

Le mathématicien John Wallis n’appréciait pas les manières de Pierre Fermat, qui prenait un malin plaisir à défier les Anglais et s’étonnait du mépris de Wallis envers ses défis. Retirons une aile à Wallis, ce qui nous donne Walis. Il suffit de remplacer le ‘’i’’ par un ‘’e’’ (le son ‘’i’’ correspond en anglais à la lettre ‘’e’’ → Welis, qui est l’anagramme de Wiles, ce savant qui trouva une preuve au Grand théorème et dit énormément douter que Fermat, lui, ait pu avoir sa preuve. L’anecdote est d'autant plus savoureuse que les astuces formidables de Pierre de Fermat ont pu être retrouvées par le Français Franquart (Roland) (On dirait des Rugissements). Impossible en revanche de trouver la moindre anagramme à ‘’Roland Franquart’’, mais en remplaçant les 3 “R” par 3 “E” on trouve Adonné Quête ALFA (Agence de Lutte contre la Fraude dans les Arts  ).

  • L'anagramme Tendre caresse témoigne, ration-elle-ment, de la considération de René Descartes pour les scientifiques qu’il jalousait.

Une histoire parmi d'autres, liée au théorèmeModifier

La plus romantique des histoires raconte que Paul Friedrich Wolfskehl (1956-1906), un médecin, était tombé en amour d’une fort jolie femme, mais que celle-ci rejeta ses avances. Désespéré il décida de se suicider, fixa le jour, et l’heure. Il mit ses affaires en ordre avant le grand départ, rédigea lettres et testament. Le dernier jour arriva. Comme il lui restait du temps avant l’heure fatidique, il en profita pour étudier des calculs de Kummer, qui expliquaient pourquoi Lamé et Cauchy avaient échoué dans leur tentative sur le Fermat. Croyant avoir découvert une faille dans l’exposé, il se mit assidûment à la tâche pour tenter de la combler, mais réalisa finalement que le raisonnement était bon. L’aube était déjà là, minuit était passé, l’heure du suicide aussi. Que les mathématiques sont belles ! Il renonce finalement à son funeste projet. Cette histoire est une de celles qui courent sur Paul Wolfskehl.
Ce qui est certain est que souffrant de sclérose en plaques, il dut renoncer à la carrière de médecin pour se tourner vers les mathématiques. Son doctorat en poche (probablement obtenu en 1880), il s’intéressa au Fermat. Après la publication du Diophante par Samuel en 1670, les mathématiciens, subjugués par la simplicité trompeuse du théorème, avaient commencé à s’en passionner. Plus le temps passait, plus ils faisaient des progrès, mais on ne trouvait toujours pas de preuve. Deux siècles passèrent, on finit par se persuader que Fermat lui-même ne pouvait en avoir trouvé. Paul Wolfskehl, auquel les mathématiques avaient redonné le goût de vivre, décida à sa manière de redonner une nouvelle vie au théorème en offrant un prix de 100 000 marks à qui démontrerait le Dernier théorème de Fermat.

Rions un peu (encore)Modifier

  • Eût-il été possible que Wiles fasse cette autre réponse au journaliste qui l'interrogeait :

« Bien sûr que c'est possible ! Mais moi je ne l'ai pas trouvée. Et pour tout vous dire, personnellement je m'en fiche un peu car la mienne me plaît. Si vous saviez le plaisir qu'elle m'a donné, ce fut le plus beau jour de ma vie. De plus, cette découverte a soulevé un grand enthousiasme dans la communauté des mathématiciens, et même ailleurs, partout. Grâce à ma passion, à mes travaux et à ceux d’autres mathématiciens, qui m’ont été fort précieux, j'ai pu apporter de nouveaux concepts aux mathématiques, des choses bien intéressantes, qui seront très utiles par la suite. N'est-ce pas une excellente raison de se réjouir ? Même si j'en ai beaucoup bavé enduré ? Maintenant, si d'autres mathématiciens (amateurs, car nous, professionnels sommes maintenant comblés) éprouvent le désir de rechercher la preuve de Fermat, qu'ils se lancent ! À mon avis elle doit être assez géniale pour avoir été trouvée avec ses seuls outils. Le truc donc, c'est qu'elle doit être XXL à comprendre (on connaît Fermat), à tel point que s'il a trouvé, il a dû travailler très subtilement sur une délicate ligne de crête, les axiomes. Ce serait je crois une bonne piste à suivre »
On comprend facilement que cette réponse, humainement, eût été impossible. De quiconque. Imaginons quand même qu’elle l’eût été, et que les bizarreries dans l'observation de Fermat aient été repérées et exploitées avec succès par un mathématicien qui aurait aussi été latiniste, juste après que Wiles dévoile sa propre preuve. Ouille, le Binz ! Qui est le meilleur ? Fermat ? Wiles ? Gros titres dans les journaux :
BRANLE-BAS DE COMBAT CHEZ LES MATHÉMATICIENS, les Anciens contre les Modernes
Andrew Wiles et Luc Beauregard vont-ils se disputer le Prix de 50 000 $ offert par la fondation Wolfskehl ? Le coupera-t-on en deux ?
Émeute à Nanterre, un professeur déculotté par les étudiants. On craint le pire à La Sorbonne
Londres : l’ambassade de France saccagée par des hooligans

RemerciementsModifier

Un immense merci à Andrew WILES, qui décida à l'âge de 10 ans de relever un jour le défi de Fermat, y consacra plus tard 7 ans de sa vie, et finalement trouva une preuve (beaucoup trop compliquée pour moi).
Merci à Simon SINGH, grâce à son très beau livre, qui résume merveilleusement, depuis Euclide, l'histoire des math et celle du théorème en particulier, je me suis pris de passion en 1998 pour cette énigme. On y trouve aussi de savoureuses anecdotes.
Merci à Roland FRANQUART, évidemment.
Merci à WIKIPEDIA où j'ai pu largement me documenter. Merci aux contributeurs que j'y ai côtoyés et ont su me supporter, parfois avec beaucoup de patience. Je dois beaucoup à des échanges fructueux avec en particulier Cgolds, mais aussi Marvoir, Jean-Christophe BENOIST, Proz, et bien d'autres qui se reconnaîtront sur d'autres thèmes : sociologie du travail, philosophie, théologie, littérature. Les nombreuses sources que j'ai pu consulter sur Wikipedia m'ont beaucoup appris sur le phénomène de “pensée de groupe”, j'y ai collecté tous les pseudo-arguments véhiculés par la doxa depuis trois siècles.
Merci au professeur Emmanuel BURY, à la chercheuse et professeure Ludivine GOUPILLAUD pour son étude sur l'usage du latin chez Pierre de Fermat.
Merci à Jean ROUSSEAU et Laurent HUA, pour leurs fines observations dans leur ouvrage. Laurent HUA, polymathe, membre de l'équipe française des Experts de Bologne, a été le premier à exploiter la piste du triangle de PASCAL, mais par la voie géométrique alors que FERMAT donne sa solution par la voie arithmétique. Leur ouvrage m'a été d'une aide considérable.
Toute ma reconnaissance à Catherine GOLDSTEIN pour l’éclairage que m’ont apporté ses travaux de chercheuse et d'historienne, pour des échanges chaleureux et pour ses encouragements. Son ouvrage, parfois ardu, est magnifique, l'étude est très documentée, et surtout les analyses sont d'une grande profondeur. L'ouvrage est malheureusement épuisé et difficile à trouver.
Merci à Aurélien ALVAREZ et à Albert Violant I HOLTZ pour leur objectivité.
Merci à la plateforme de numérisation E-rara qui m'a été d'une aide très précieuse.
Merci à l'Encyclopédie en ligne GALLICA (BNF).
Merci à tous ceux qui m'ont encouragé dans ma démarche.
Merci à Alexandre GROTENDIECK (1928-2014) pour le témoignage si fort qu'il nous a laissé, ses idées sont d'une telle profondeur que beaucoup d'entre elles sont toujours inexploitées.
Merci à tous ceux que j'oublie.
Et merci à HOR des Fields de MAUNY, mon fidèle et magnifique Golden Retriever, qui accepte (parfois difficilement) que je ne sois pas toujours en train de jouer avec lui.

EclairEnZ/Claude Mariotti

Mes autres recherches sont accessibles via ma page utilisateur.

Bibliographie restreinteModifier

  • Ludivine Goupillaud, ‘’Demonstrationem mirabilem detexi : mathématique et merveille dans l’œuvre de Pierre de Fermat‘’, in ‘’Tous vos gens à latin – Le latin langue vivante, langue savante, langue mondaine (XIVe-XVIIe siècles), Éditions Droz, 2005. ISBN 2600009752.
  • Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L’hypothèse « Pascal, Essai. L’Harmattan, 2002. La 1ère partie (128 pages) est une étude historique : les formulations partielles et leur contexte. Une très bonne synthèse.
  • Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Éditions des Presses universitaires de Vincennes (PUV), 1995 (épuisé). Voir l’article de Alain Herreman et celui de Hélène Gispert [3] au sujet de l’ouvrage.
  • Eric Temple Bell, The Last Problem, Ed. Simon and Schuster, 1961.*Jacques Roubaud : “Mathématique :” (récit), Seuil, 1997.
  • Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, Éditions Jean-Claude Lattès, 1998. Pour qui veut découvrir l'histoire de ce théorème, un livre très plaisant à lire.
  • Albert Violant I Holz, L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, 2013. Une collection présentée par Cédric Villani.

RepèresModifier

  • Alexandre Grothendieck, LA CLEF DES SONGES, un texte captivant où il révèle la méthode qui lui a permis de résister avec une conviction et une force peu commune aux préjugés, fausses croyances et avis les plus académiques. Pour info et dans un anglais facile à lire, avec un peu de son histoire mathématique, de ses ressentis, de ses intuitions : une esquisse, Sketch of a programme (Mathématiques/Algèbre).
  • Pour info, une incroyable innovation du génie britannique Martin HAIRER qui remporte au passage un prix de 3 millions de dollars. Article détaillé en anglais, avec hyperliens.

RéférencesModifier

  1. « Dans notre connaissance des choses de l’Univers (qu’elles soient mathématiques ou autres), le pouvoir rénovateur en nous n’est autre que l’innocence. C’est l’innocence originelle que nous avons tous reçue en partage à notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre mépris, et de nos peurs les plus secrètes. Elle seule unit l’humilité et la hardiesse qui nous font pénétrer au cœur des choses, et qui nous permettent de laisser les choses pénétrer en nous et de nous en imprégner. » (Récoltes et semailles, p 51).
  2. Pierre de Fermat, Varia Opera mathematica, Toulouse, Apud Joannem Pech, 1679 [lire en ligne] 
  3. Paul Tannery : Pierre de Fermat, Œuvres de Fermat - I - partie 2, Paris, Gauthier-Villars (p. 290-358), 1891 [lire en ligne] 
  4. Un merveilleux texte de Alexandre Grothendieck, NOTES pour LA CLEF DES SONGES (pdf), p. N39
  5. detexis sur Dictionnaire en ligne
  6. Alexandre Grothendieck, « RECOLTES ET SEMAILLES - Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien » (consulté le 25 octobre 2019), p. 85, un texte sur lequel le chercheur pourra avantageusement méditer.
  7. Si Fermat n’a jamais formulé ce postulat, cette étude soutient l’idée qu'il résume sa démarche