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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente : Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n) Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Polynômes annulateurs de nombres de la forme tan(kπ╱n) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ci-dessous se trouvent, dans l’ordre croissant des degrés sur
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
des nombres, les polynômes minimaux sur
Q
(
d
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}
ou
Q
(
d
1
,
d
2
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({{\sqrt {d}}_{1}},{{\sqrt {d}}_{2}})}
(ou sur
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
lorsque rien n'est précisé) de quelques nombres de la forme
tan
(
k
π
/
n
)
{\displaystyle \tan(k\pi /n)}
pour
0
<
k
<
n
{\displaystyle 0<k<n}
et k premier avec n .
Remarquons que contrairement à
2
cos
(
r
π
)
{\displaystyle 2\cos(r\pi )}
, le nombre algébrique
2
tan
(
r
π
)
{\displaystyle 2\tan(r\pi )}
n'est pas toujours un entier algébrique : Niven donne l'exemple de
2
tan
(
π
/
6
)
{\displaystyle 2\tan(\pi /6)}
et Calcut ajoute l'exemple
2
tan
(
π
/
50
)
{\displaystyle 2\tan(\pi /50)}
, dont il explicite le polynôme minimal. D'autres exemples sont
2
tan
(
π
/
n
)
{\displaystyle 2\tan(\pi /n)}
pour
n
=
10
,
14
,
18
,
22
{\displaystyle n=10,14,18,22}
.
Dans ce premier cas, il est très facile de déduire le polynôme minimal de
tan
(
k
π
/
n
)
{\displaystyle \tan(k\pi /n)}
de celui de
cos
(
2
k
π
/
n
)
{\displaystyle \cos(2k\pi /n)}
, en utilisant l'identité
cos
2
θ
=
1
−
tan
2
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \cos 2\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
. On construit ainsi un polynôme unitaire
Ψ
n
(
X
)
∈
Q
[
X
]
{\displaystyle \Psi _{n}(X)\in \mathbb {Q} [X]}
de degré
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
ayant pour racines les
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
nombres
tan
(
k
π
/
n
)
{\displaystyle \tan(k\pi /n)}
, pour k premier avec n et
0
<
k
<
n
{\displaystyle 0<k<n}
(ou
−
n
/
2
<
k
<
n
/
2
{\displaystyle -n/2<k<n/2}
). Vu le degré de ces nombres,
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
est leur polynôme minimal.
Début de l'exemple
Exemple : n = 11
φ
(
11
)
=
10
{\displaystyle \varphi (11)=10}
et le polynôme minimal des 10 nombres
±
tan
(
k
π
/
11
)
{\displaystyle \pm \tan(k\pi /11)}
(
1
≤
k
≤
5
{\displaystyle 1\leq k\leq 5}
) se déduit de celui de
cos
(
2
π
/
11
)
{\displaystyle \cos(2\pi /11)}
qui, d'après les deux chapitres précédents, est
C
11
(
X
)
=
X
5
+
1
2
X
4
−
X
3
−
3
8
X
2
+
3
16
X
+
1
32
{\displaystyle C_{11}(X)=X^{5}+{\frac {1}{2}}X^{4}-X^{3}-{\frac {3}{8}}X^{2}+{\frac {3}{16}}X+{\frac {1}{32}}}
.
Les 10 nombres en question ont pour polynôme minimal commun :
Ψ
11
(
X
)
=
−
32
(
1
+
X
2
)
5
C
11
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
=
X
10
−
55
X
8
+
330
X
6
−
462
X
4
+
165
X
2
−
11
{\displaystyle \Psi _{11}(X)=-32\left(1+X^{2}\right)^{5}C_{11}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)=X^{10}-55X^{8}+330X^{6}-462X^{4}+165X^{2}-11}
.
Détail des calculs
C
11
(
X
)
=
2
−
5
[
(
2
X
)
5
+
(
2
X
)
4
−
4
(
2
X
)
3
−
3
(
2
X
)
2
+
3
(
2
X
)
+
1
]
=
X
5
+
1
2
X
4
−
X
3
−
3
8
X
2
+
3
16
X
+
1
32
{\displaystyle C_{11}(X)=2^{-5}\left[(2X)^{5}+(2X)^{4}-4(2X)^{3}-3(2X)^{2}+3(2X)+1\right]=X^{5}+{\frac {1}{2}}X^{4}-X^{3}-{\frac {3}{8}}X^{2}+{\frac {3}{16}}X+{\frac {1}{32}}}
.
(
1
+
X
2
)
5
C
11
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
=
(
1
−
X
2
)
5
+
1
2
(
1
−
X
2
)
4
(
1
+
X
2
)
−
(
1
−
X
2
)
3
(
1
+
X
2
)
2
−
3
8
(
1
−
X
2
)
2
(
1
+
X
2
)
3
+
3
16
(
1
−
X
2
)
(
1
+
X
2
)
4
+
1
32
(
1
+
X
2
)
5
=
1
−
5
X
2
+
10
X
4
−
10
X
6
+
5
X
8
−
X
10
+
1
2
(
1
−
3
X
2
+
2
X
4
+
2
X
6
−
3
X
8
+
X
10
)
−
(
1
−
X
2
−
2
X
4
+
2
X
6
+
X
8
−
X
10
)
−
3
8
(
1
+
X
2
−
2
X
4
−
2
X
6
+
X
8
+
X
10
)
+
3
16
(
1
+
3
X
2
+
2
X
4
−
2
X
6
−
3
X
8
−
X
10
)
+
1
32
(
1
+
5
X
2
+
10
X
4
+
10
X
6
+
5
X
8
+
X
10
)
=
X
10
(
−
1
+
1
/
2
+
1
−
3
/
8
−
3
/
16
+
1
/
32
)
+
X
8
(
5
−
3
/
2
−
1
−
3
/
8
−
9
/
16
+
5
/
32
)
+
X
6
(
−
10
+
1
−
2
+
3
/
4
−
3
/
8
+
5
/
16
)
+
X
4
(
10
+
1
+
2
+
3
/
4
+
3
/
8
+
5
/
16
)
+
X
2
(
−
5
−
3
/
2
+
1
−
3
/
8
+
9
/
16
+
5
/
32
)
+
1
+
1
/
2
−
1
−
3
/
8
+
3
/
16
+
1
/
32
=
X
10
(
−
1
/
32
)
+
X
8
(
55
/
32
)
+
X
6
(
−
165
/
16
)
+
X
4
(
231
/
16
)
+
X
2
(
−
165
/
32
)
+
11
/
32
=
−
1
32
(
X
10
−
55
X
8
+
330
X
6
−
462
X
4
+
165
X
2
−
11
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+X^{2}\right)^{5}C_{11}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)&=\left(1-X^{2}\right)^{5}+{\frac {1}{2}}\left(1-X^{2}\right)^{4}\left(1+X^{2}\right)-\left(1-X^{2}\right)^{3}\left(1+X^{2}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}\left(1-X^{2}\right)^{2}\left(1+X^{2}\right)^{3}+{\frac {3}{16}}\left(1-X^{2}\right)\left(1+X^{2}\right)^{4}+{\frac {1}{32}}\left(1+X^{2}\right)^{5}\\&=1-5X^{2}+10X^{4}-10X^{6}+5X^{8}-X^{10}\\&+{\frac {1}{2}}\left(1-3X^{2}+2X^{4}+2X^{6}-3X^{8}+X^{10}\right)\\&-\left(1-X^{2}-2X^{4}+2X^{6}+X^{8}-X^{10}\right)\\&-{\frac {3}{8}}\left(1+X^{2}-2X^{4}-2X^{6}+X^{8}+X^{10}\right)\\&+{\frac {3}{16}}\left(1+3X^{2}+2X^{4}-2X^{6}-3X^{8}-X^{10}\right)\\&+{\frac {1}{32}}\left(1+5X^{2}+10X^{4}+10X^{6}+5X^{8}+X^{10}\right)\\&=X^{10}(-1+1/2+1-3/8-3/16+1/32)\\&+X^{8}(5-3/2-1-3/8-9/16+5/32)\\&+X^{6}(-10+1-2+3/4-3/8+5/16)\\&+X^{4}(10+1+2+3/4+3/8+5/16)\\&+X^{2}(-5-3/2+1-3/8+9/16+5/32)\\&+1+1/2-1-3/8+3/16+1/32\\&=X^{10}(-1/32)+X^{8}(55/32)+X^{6}(-165/16)+X^{4}(231/16)+X^{2}(-165/32)+11/32\\&=-{\frac {1}{32}}\left(X^{10}-55X^{8}+330X^{6}-462X^{4}+165X^{2}-11\right)\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Dans ce second cas
n
=
4
m
{\displaystyle n=4m}
, le degré des
tan
(
k
π
/
n
)
{\displaystyle \tan(k\pi /n)}
est moitié moindre donc le polynôme
Ψ
n
{\displaystyle \Psi _{n}}
calculé précédemment n'est plus irréductible :
Ψ
n
=
Ψ
n
,
+
×
Ψ
n
,
−
{\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n,+}\times \Psi _{n,-}}
,
les deux facteurs irréductibles étant liés par
Ψ
n
,
−
(
X
)
=
(
−
1
)
φ
(
n
)
/
2
Ψ
n
,
+
(
−
X
)
{\displaystyle \Psi _{n,-}(X)=(-1)^{\varphi (n)/2}\Psi _{n,+}(-X)}
et déterminés de la façon suivante.
Les
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
angles
θ
=
k
π
n
(
mod
π
)
{\displaystyle \theta ={\frac {k\pi }{n}}{\pmod {\pi }}}
considérés vérifient toujours
C
n
(
cos
(
2
θ
)
)
=
0
{\displaystyle C_{n}(\cos(2\theta ))=0}
, mais aussi (k étant premier avec 4m donc impair)
sin
(
2
m
θ
)
=
sin
(
k
π
/
2
)
=
(
−
1
)
(
k
−
1
)
/
2
{\displaystyle \sin(2m\theta )=\sin(k\pi /2)=(-1)^{(k-1)/2}}
. Parmi eux, la moitié — ceux pour lesquels
k
≡
1
mod
4
{\displaystyle k\equiv 1{\bmod {4}}}
— vérifient
sin
(
2
m
θ
)
=
1
{\displaystyle \sin(2m\theta )=1}
(les autres — leur opposés — vérifiant donc
sin
(
2
m
θ
)
=
−
1
{\displaystyle \sin(2m\theta )=-1}
). Or
sin
(
2
m
θ
)
{\displaystyle \sin(2m\theta )}
s'exprime en fonction de
t
=
tan
θ
{\displaystyle t=\tan \theta }
à l'aide d'un polynôme de Tchebychev de seconde espèce :
sin
(
2
m
θ
)
=
sin
(
2
θ
)
U
m
−
1
(
cos
(
2
θ
)
)
=
2
t
1
+
t
2
U
m
−
1
(
1
−
t
2
1
+
t
2
)
{\displaystyle \sin(2m\theta )=\sin(2\theta )U_{m-1}\left(\cos(2\theta )\right)={\frac {2t}{1+t^{2}}}U_{m-1}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)}
Leur polynôme minimal est donc le PGCD de polynômes :
Ψ
n
,
+
(
X
)
=
PGCD
(
Ψ
n
(
X
)
,
2
X
(
1
+
X
2
)
m
−
1
U
m
−
1
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
−
(
1
+
X
2
)
m
)
{\displaystyle \Psi _{n,+}(X)=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{n}(X),2X(1+X^{2})^{m-1}U_{m-1}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{m}\right)}
.
Début de l'exemple
Exemples : n = 8 et n = 12
*
n
=
8
,
m
=
2
{\displaystyle n=8,\quad m=2}
.
C
8
(
X
)
=
2
−
2
[
(
2
X
)
2
−
2
]
=
X
2
−
1
2
{\displaystyle C_{8}(X)=2^{-2}\left[(2X)^{2}-2\right]=X^{2}-{\frac {1}{2}}}
.
Ψ
8
(
X
)
=
2
(
1
+
X
2
)
2
C
8
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
=
2
(
1
−
X
2
)
2
−
(
1
+
X
2
)
2
=
X
4
−
6
X
2
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{8}(X)&=2\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{8}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=2(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-6X^{2}+1.\end{aligned}}}
2
X
(
1
+
X
2
)
U
1
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
−
(
1
+
X
2
)
2
=
4
X
(
1
−
X
2
)
−
(
1
+
X
2
)
2
=
−
X
4
−
4
X
3
−
2
X
2
+
4
X
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}2X(1+X^{2})U_{1}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{2}&=4X(1-X^{2})-(1+X^{2})^{2}\\&=-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1.\end{aligned}}}
Ψ
8
,
+
(
X
)
=
PGCD
(
Ψ
8
(
X
)
,
−
X
4
−
4
X
3
−
2
X
2
+
4
X
−
1
)
=
X
2
+
2
X
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{8,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{8}(X),-X^{4}-4X^{3}-2X^{2}+4X-1\right)\\&=X^{2}+2X-1.\end{aligned}}}
Le polynôme minimal de
tan
(
k
π
/
8
)
{\displaystyle \tan(k\pi /8)}
est donc
X
2
+
2
X
−
1
{\displaystyle X^{2}+2X-1}
si
k
=
1
{\displaystyle k=1}
ou
−
3
{\displaystyle -3}
, et
X
2
−
2
X
−
1
{\displaystyle X^{2}-2X-1}
si
k
=
−
1
{\displaystyle k=-1}
ou
3
{\displaystyle 3}
. On peut vérifier que
(
X
2
+
2
X
−
1
)
(
X
2
−
2
X
−
1
)
=
Ψ
8
(
X
)
{\displaystyle (X^{2}+2X-1)(X^{2}-2X-1)=\Psi _{8}(X)}
.
n
=
12
,
m
=
3
{\displaystyle n=12,\quad m=3}
.
C
12
(
X
)
=
2
−
2
[
(
2
X
)
2
−
3
]
=
X
2
−
3
4
{\displaystyle C_{12}(X)=2^{-2}\left[(2X)^{2}-3\right]=X^{2}-{\frac {3}{4}}}
.
Ψ
12
(
X
)
=
4
(
1
+
X
2
)
2
C
12
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
=
4
(
1
−
X
2
)
2
−
3
(
1
+
X
2
)
2
=
X
4
−
14
X
2
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{12}(X)&=4\left(1+X^{2}\right)^{2}C_{12}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)\\&=4(1-X^{2})^{2}-3(1+X^{2})^{2}\\&=X^{4}-14X^{2}+1.\end{aligned}}}
2
X
(
1
+
X
2
)
2
U
2
(
1
−
X
2
1
+
X
2
)
−
(
1
+
X
2
)
3
=
2
X
[
4
(
1
−
X
2
)
2
−
(
1
+
X
2
)
2
]
−
(
1
+
X
2
)
3
=
−
X
6
+
6
X
5
−
3
X
4
−
20
X
3
−
3
X
2
+
6
X
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}2X(1+X^{2})^{2}U_{2}\left({\frac {1-X^{2}}{1+X^{2}}}\right)-(1+X^{2})^{3}&=2X[4(1-X^{2})^{2}-(1+X^{2})^{2}]-(1+X^{2})^{3}\\&=-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1.\end{aligned}}}
Ψ
12
,
+
(
X
)
=
PGCD
(
Ψ
12
(
X
)
,
−
X
6
+
6
X
5
−
3
X
4
−
20
X
3
−
3
X
2
+
6
X
−
1
)
=
X
2
−
4
X
+
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{12,+}(X)&=\operatorname {PGCD} \left(\Psi _{12}(X),-X^{6}+6X^{5}-3X^{4}-20X^{3}-3X^{2}+6X-1\right)\\&=X^{2}-4X+1.\end{aligned}}}
Le polynôme minimal de
tan
(
k
π
/
12
)
{\displaystyle \tan(k\pi /12)}
est donc
X
2
−
4
X
+
1
{\displaystyle X^{2}-4X+1}
si
k
=
1
{\displaystyle k=1}
ou
5
{\displaystyle 5}
, et
X
2
+
4
X
+
1
{\displaystyle X^{2}+4X+1}
si
k
=
−
1
{\displaystyle k=-1}
ou
−
5
{\displaystyle -5}
. On peut vérifier que
(
X
2
−
4
X
+
1
)
(
X
2
+
4
X
+
1
)
=
Ψ
12
(
X
)
{\displaystyle (X^{2}-4X+1)(X^{2}+4X+1)=\Psi _{12}(X)}
.
Fin de l'exemple
Liste exhaustive jusqu'au degré 12
modifier
Nous éviterons les redondances dans la liste ci-dessous, en remarquant que si
X
m
+
a
m
−
1
X
m
−
1
+
a
m
−
2
X
m
−
2
+
⋯
+
a
0
{\displaystyle X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +a_{0}}
est le polynôme minimal sur K de
tan
(
k
π
/
n
)
{\displaystyle \tan(k\pi /n)}
,
alors
celui de son opposé,
tan
(
n
−
k
)
π
n
{\displaystyle \tan {\frac {(n-k)\pi }{n}}}
, est
X
m
−
a
m
−
1
X
m
−
1
+
a
m
−
2
X
m
−
2
+
⋯
+
(
−
1
)
m
a
0
{\displaystyle X^{m}-a_{m-1}X^{m-1}+a_{m-2}X^{m-2}+\dots +(-1)^{m}a_{0}}
;
celui de son inverse,
tan
(
n
−
2
k
)
π
2
n
{\displaystyle \tan {\frac {(n-2k)\pi }{2n}}}
, est
1
a
0
+
a
m
−
1
a
0
X
+
a
m
−
2
a
0
X
2
+
⋯
+
X
m
{\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {a_{m-1}}{a_{0}}}X+{\frac {a_{m-2}}{a_{0}}}X^{2}+\dots +X^{m}}
.
Le cas
n
=
2
n
′
{\displaystyle n=2n'}
avec
n
′
{\displaystyle n'}
impair se ramène ainsi au cas
n
=
n
′
{\displaystyle n=n'}
.
Le polynôme minimal de
tan
π
4
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}}
est
X
−
1
{\displaystyle X-1}
.
n
=
3
,
6
,
8
,
12
{\displaystyle n=3,6,8,12}
.
X
2
−
3
{\displaystyle X^{2}-3}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}}
et son opposé.
X
2
+
2
X
−
1
{\displaystyle X^{2}+2X-1}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
8
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}}
et l'opposé de son inverse.
X
2
−
4
X
+
1
{\displaystyle X^{2}-4X+1}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
12
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}}
et son inverse.
n
=
5
,
10
,
16
,
20
,
24
{\displaystyle n=5,10,16,20,24}
.
X
4
−
10
X
2
+
5
{\displaystyle X^{4}-10X^{2}+5}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
5
,
tan
2
π
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}},\quad \tan {\frac {2\pi }{5}}}
et leurs opposés.
X
2
+
2
X
(
1
+
2
)
−
1
{\displaystyle X^{2}+2X(1+{\sqrt {2}})-1}
est le polynôme minimal sur
Q
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}
des nombres :
tan
π
16
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{16}}}
et l'opposé de son inverse.
X
2
−
2
X
(
1
−
2
)
−
1
{\displaystyle X^{2}-2X(1-{\sqrt {2}})-1}
est le polynôme minimal sur
Q
(
2
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}
des nombres :
tan
3
π
16
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{16}}}
et l'opposé de son inverse.
X
4
−
4
X
3
−
14
X
2
−
4
X
+
1
{\displaystyle X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
20
,
tan
13
π
20
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}},\quad \tan {\frac {13\pi }{20}}}
et leurs inverses.
X
4
+
8
X
3
+
2
X
2
−
8
X
+
1
{\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}
est le polynôme minimal des nombres :
tan
π
24
,
tan
5
π
24
,
tan
13
π
24
,
tan
17
π
24
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}},\quad \tan {\frac {5\pi }{24}},\quad \tan {\frac {13\pi }{24}},\quad \tan {\frac {17\pi }{24}}}
.
n
=
7
,
9
,
14
,
18
,
28
,
36
{\displaystyle n=7,9,14,18,28,36}
.
X
3
+
X
2
7
−
7
X
+
7
{\displaystyle X^{3}+X^{2}{\sqrt {7}}-7X+{\sqrt {7}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
7
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {7}})}
des nombres :
tan
2
k
π
7
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {2^{k}\pi }{7}},\quad k=0,1,2}
.
X
3
−
3
X
2
3
−
3
X
+
3
{\displaystyle X^{3}-3X^{2}{\sqrt {3}}-3X+{\sqrt {3}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
3
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}
des nombres :
tan
4
k
π
9
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {4^{k}\pi }{9}},\quad k=0,1,2}
.
X
3
−
(
4
−
7
)
X
2
−
(
11
−
4
7
)
X
+
8
−
3
7
{\displaystyle X^{3}-(4-{\sqrt {7}})X^{2}-(11-4{\sqrt {7}})X+8-3{\sqrt {7}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
7
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {7}})}
des nombres :
tan
9
k
π
28
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {9^{k}\pi }{28}},\quad k=0,1,2}
.
X
3
−
3
(
2
−
3
)
X
2
−
3
X
+
2
−
3
{\displaystyle X^{3}-3(2-{\sqrt {3}})X^{2}-3X+2-{\sqrt {3}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
3
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}
des nombres :
tan
13
k
π
36
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {13^{k}\pi }{36}},\quad k=0,1,2}
.
X
4
−
6
X
3
3
+
8
X
2
+
2
X
3
−
1
{\displaystyle X^{4}-6X^{3}{\sqrt {3}}+8X^{2}+2X{\sqrt {3}}-1}
est le polynôme minimal sur
Q
(
3
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}
des nombres :
tan
7
k
π
15
,
k
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle \tan {\frac {7^{k}\pi }{15}},\quad k=0,1,2,3}
.
n=32,40,48,60
n
=
11
,
22
,
44
{\displaystyle n=11,22,44}
X
5
−
3
X
4
11
+
22
X
3
−
2
X
2
11
−
11
X
+
11
{\displaystyle X^{5}-3X^{4}{\sqrt {11}}+22X^{3}-2X^{2}{\sqrt {11}}-11X+{\sqrt {11}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
11
)
{\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {11}}\right)}
des nombres :
tan
3
k
π
11
,
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle \tan {\frac {3^{k}\pi }{11}},\quad k=0,1,2,3,4}
.
n=44
n
=
13
,
21
,
26
,
42
,
52
,
56
,
72
,
84
{\displaystyle n=13,21,26,42,52,56,72,84}
.
(
2
7
+
3
3
)
x
3
+
x
2
−
(
2
7
+
3
)
x
+
1
{\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}+{\sqrt {3}})x+1}
est (à un facteur près) le polynôme minimal sur
Q
(
3
,
7
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}
des nombres :
tan
4
k
π
21
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {4^{k}\pi }{21}},\quad k=0,1,2}
.
(
2
7
−
3
3
)
x
3
+
x
2
−
(
2
7
−
3
)
x
+
1
{\displaystyle (2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})x^{3}+x^{2}-(2{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}})x+1}
est (à un facteur près) le polynôme minimal sur
Q
(
3
,
7
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}
des nombres :
tan
2
×
4
k
π
21
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \tan {\frac {2\times 4^{k}\pi }{21}},\quad k=0,1,2}
.
n=13,52,56,72,84
Exemples de nombres de degré 20
modifier
X
5
−
5
X
4
5
−
2
5
−
10
X
3
+
10
X
2
5
−
2
5
+
5
x
−
5
−
2
5
{\displaystyle X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+5x-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\right)}
des nombres :
tan
6
k
π
25
,
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle \tan {\frac {6^{k}\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4}
.
X
5
−
5
X
4
5
+
2
5
−
10
X
3
+
10
X
2
5
+
2
5
+
5
X
−
5
+
2
5
{\displaystyle X^{5}-5X^{4}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-10X^{3}+10X^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+5X-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
est le polynôme minimal sur
Q
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\right)}
des nombres :
tan
2
×
6
k
π
25
,
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle \tan {\frac {2\times 6^{k}\pi }{25}},\quad k=0,1,2,3,4}
.