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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Techniques de régressions au mieux : Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires Techniques de régressions au mieux/Régressions harmoniques simple, multiple et combinatoires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Courbes de régression harmoniques impaires
Simple sinus
Combinaison linéaire de sinus
Courbes de régression harmoniques paires
Simple cosinus
Combinaison linéaire de cosinus
Courbes somme résultantes
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Il s'agit d'approcher les échantillons EI et EP par une courbe-fonction
y
=
a
∗
s
i
n
(
w
∗
x
)
{\displaystyle y=a*sin(w*x)}
y
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
∗
x
)
)
{\displaystyle y=a*(1-cos(w*x))}
Analyse de la partie impaire EI
modifier
modifier
Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
{
y
0
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
0
w
)
)
y
1
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
1
w
)
)
y
2
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
w
)
)
y
3
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
3
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}}
sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
D'où :
{
y
0
=
0
y
2
=
2
y
1
∗
(
1
+
c
o
s
(
w
2
)
)
y
3
=
y
1
∗
(
1
+
4
c
o
s
(
w
2
)
+
4
c
o
s
2
(
w
2
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y2=2y1*(1+cos(w_{2}))\\y3=y1*(1+4cos(w_{2})+4cos^{2}(w_{2}))\\\end{cases}}}
Puis:
{
y
2
−
2
y
1
2
y
1
=
c
o
s
(
w
2
)
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
=
c
o
s
2
(
w
3
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2-2y1}{2y1}}=cos(w_{2})\\{\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}=cos^{2}(w_{3})\\\end{cases}}}
ET ENFIN :
{
L
o
g
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
=
L
o
g
(
c
o
s
(
w
2
)
)
L
o
g
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
)
=
2
L
o
g
(
c
o
s
(
w
3
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})=Log(cos(w_{2}))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})=2Log(cos(w_{3}))\\\end{cases}}}
D'où :
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
=
L
o
g
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
)
+
2
L
o
g
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
4
{\displaystyle Log(cos(w))={\frac {Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})+2Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})}{4}}}
w
=
a
c
o
s
(
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
)
×
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
2
)
1
4
{\displaystyle w=acos(({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})\times ({\frac {y2-2y1}{2y1}})^{2})^{\frac {1}{4}}}
a
=
y
1
1
−
c
o
s
(
w
)
{\displaystyle a={\frac {y1}{1-cos(w)}}}
modifier
Pour EI on vérifie que :
{
y
0
=
a
∗
s
i
n
(
0
w
)
y
1
=
a
∗
s
i
n
(
1
w
)
y
2
=
a
∗
s
i
n
(
2
w
)
y
3
=
a
∗
s
i
n
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=a*sin(0w)\\y1=a*sin(1w)\\y2=a*sin(2w)\\y3=a*sin(3w)\\\end{cases}}}
sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
{
y
0
=
0
y
1
=
a
∗
s
i
n
(
w
)
y
2
=
2
a
∗
s
i
n
(
w
)
∗
c
o
s
(
w
)
y
3
=
a
∗
s
i
n
(
w
)
∗
(
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y1=a*sin(w)\\y2=2a*sin(w)*cos(w)\\y3=a*sin(w)*(-1+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}}
{
y
0
=
0
y
1
=
a
∗
s
i
n
(
w
)
y
2
=
2
a
∗
s
i
n
(
w
)
∗
c
o
s
(
w
)
y
3
=
a
∗
s
i
n
(
w
)
∗
(
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y1=a*sin(w)\\y2=2a*sin(w)*cos(w)\\y3=a*sin(w)*(-1+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}}
ET ENFIN :
{
L
o
g
(
y
1
)
=
L
o
g
(
a
∗
s
i
n
(
w
)
)
L
o
g
(
y
2
2
)
=
L
o
g
(
a
∗
s
i
n
(
w
)
)
+
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
L
o
g
(
y
3
+
y
1
4
)
=
L
o
g
(
a
∗
s
i
n
(
w
)
)
+
2
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log(y1)=Log(a*sin(w))\\Log({\frac {y2}{2}})=Log(a*sin(w))+Log(cos(w))\\Log({\frac {y3+y1}{4}})=Log(a*sin(w))+2Log(cos(w))\\\end{cases}}}
D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):
w
=
(
y
1
+
y
3
4
y
1
)
1
2
{\displaystyle w=({\frac {y1+y3}{4y1}})^{\frac {1}{2}}}
L
o
g
(
a
∗
s
i
n
(
w
)
)
=
L
o
g
(
y
1
5
∗
y
2
2
∗
y
1
+
y
3
4
)
3
{\displaystyle Log(a*sin(w))={\frac {Log(y1^{5}*{\frac {y2}{2}}*{\frac {y1+y3}{4}})}{3}}}
a
=
(
y
1
5
∗
y
2
2
∗
(
y
1
+
y
3
4
)
−
3
)
1
3
s
i
n
(
w
)
{\displaystyle a={\frac {(y1^{5}*{\frac {y2}{2}}*({\frac {y1+y3}{4}})^{-3})^{\frac {1}{3}}}{sin(w)}}}
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction impaire que la sinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
modifier
Pour chaque couple de EP, on vérifie que :
{
y
0
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
0
w
)
)
y
1
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
1
w
)
)
y
2
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
w
)
)
y
3
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
3
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}}
sin étant pair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de la parité.
D'où :
{
y
0
=
0
y
2
=
2
y
1
∗
(
1
+
c
o
s
(
w
2
)
)
y
3
=
y
1
∗
(
1
+
4
c
o
s
(
w
3
)
+
4
c
o
s
2
(
w
3
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y2=2y1*(1+cos(w_{2}))\\y3=y1*(1+4cos(w_{3})+4cos^{2}(w_{3}))\\\end{cases}}}
Puis:
{
y
2
−
2
y
1
2
y
1
=
c
o
s
(
w
2
)
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
=
c
o
s
2
(
w
3
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2-2y1}{2y1}}=cos(w_{2})\\{\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}=cos^{2}(w_{3})\\\end{cases}}}
ET ENFIN :
{
L
o
g
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
=
L
o
g
(
c
o
s
(
w
2
)
)
L
o
g
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
)
=
2
L
o
g
(
c
o
s
(
w
3
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})=Log(cos(w_{2}))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})=2Log(cos(w_{3}))\\\end{cases}}}
D'où :
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
=
L
o
g
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
)
+
2
L
o
g
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
4
{\displaystyle Log(cos(w))={\frac {Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}})+2Log({\frac {y2-2y1}{2y1}})}{4}}}
w
=
a
c
o
s
(
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
y
1
×
(
y
2
−
2
y
1
2
y
1
)
2
)
1
4
)
{\displaystyle w=acos(({\frac {y3+3y1-2y2}{4y1}}\times ({\frac {y2-2y1}{2y1}})^{2})^{\frac {1}{4}})}
a
=
y
1
1
−
c
o
s
(
w
)
{\displaystyle a={\frac {y1}{1-cos(w)}}}
modifier
Pour chaque couple de EP ,on vérifie que :
{
y
0
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
0
w
)
)
y
1
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
1
w
)
)
y
2
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
w
)
)
y
3
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
3
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=a*(1-cos(0w))\\y1=a*(1-cos(1w))\\y2=a*(1-cos(2w))\\y3=a*(1-cos(3w))\\\end{cases}}}
sin étant impair, les équations pour x<0 sont vérifiées de fait de l'imparité.
{
y
0
=
0
y
1
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
y
2
=
a
∗
(
1
−
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
)
y
3
=
a
∗
(
1
−
(
4
c
o
s
3
(
w
)
−
3
c
o
s
(
w
)
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y1=a*(1-cos(w))\\y2=a*(1-(2cos^{2}(w)-1))\\y3=a*(1-(4cos^{3}(w)-3cos(w)))\\\end{cases}}}
{
y
0
=
0
y
1
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
y
2
=
2
∗
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
(
1
+
c
o
s
(
w
)
)
y
3
=
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
(
1
+
4
c
o
s
(
w
)
+
4
c
o
s
2
(
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y0=0\\y1=a*(1-cos(w))\\y2=2*a*(1-cos(w))(1+cos(w))\\y3=a*(1-cos(w))(1+4cos(w)+4cos^{2}(w))\\\end{cases}}}
d'où :
1
+
4
c
o
s
(
w
)
=
1
+
4
(
y
2
2
y
1
−
1
)
=
−
3
y
1
+
2
y
2
y
1
{\displaystyle 1+4cos(w)=1+4({\frac {y2}{2y1}}-1)={\frac {-3y1+2y2}{y1}}}
ET ENFIN :
{
L
o
g
(
y
1
)
=
L
o
g
(
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
L
o
g
(
y
2
−
2
y
1
2
)
=
L
o
g
(
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
+
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
L
o
g
(
y
3
+
3
y
1
−
2
y
2
4
)
=
L
o
g
(
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
+
2
L
o
g
(
c
o
s
(
w
)
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log(y1)=Log(a*(1-cos(w)\\Log({\frac {y2-2y1}{2}})=Log(a*(1-cos(w))+Log(cos(w))\\Log({\frac {y3+3y1-2y2}{4}})=Log(a*(1-cos(w))+2Log(cos(w)))\\\end{cases}}}
D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( 2 inconnues en Log(a*sin(w)) et Log(cos(w)) pour 3 équations ):
w
=
(
7
y
1
+
y
3
−
2
y
2
4
y
1
)
1
2
{\displaystyle w=({\frac {7y1+y3-2y2}{4y1}})^{\frac {1}{2}}}
L
o
g
(
a
∗
(
1
−
c
o
s
(
w
)
)
=
L
o
g
(
y
1
5
∗
y
2
−
2
y
1
2
∗
(
7
y
1
+
y
3
−
2
y
2
4
)
−
3
)
3
{\displaystyle Log(a*(1-cos(w))={\frac {Log(y1^{5}*{\frac {y2-2y1}{2}}*({\frac {7y1+y3-2y2}{4}})^{-3})}{3}}}
a
=
(
y
1
5
∗
y
2
−
2
y
1
2
∗
(
7
y
1
+
y
3
−
2
y
2
4
)
−
3
)
1
3
1
−
c
o
s
(
w
)
{\displaystyle a={\frac {(y1^{5}*{\frac {y2-2y1}{2}}*({\frac {7y1+y3-2y2}{4}})^{-3})^{\frac {1}{3}}}{1-cos(w)}}}
S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction paire que la 1-cosinusoïde. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.
modifier
E
a
p
p
=
[
(
−
3
,
1
)
;
(
−
2
,
−
2
)
;
(
−
1
,
1
)
;
(
0
,
1
)
;
(
1
,
2
)
;
(
2
,
1
)
;
(
3
,
3
)
]
{\displaystyle Eapp=[(-3,1);(-2,-2);(-1,1);(0,1);(1,2);(2,1);(3,3)]}
E
I
=
[
i
,
z
(
−
i
)
−
z
(
i
)
2
]
{\displaystyle EI=[i,{\frac {z(-i)-z(i)}{2}}]}
E
I
a
p
p
=
[
(
−
3
,
−
1
)
;
(
−
2
,
−
1.5
)
;
(
−
1
,
−
0.5
)
;
(
0
,
0
)
;
(
1
,
0.5
)
;
(
2
,
1.5
)
;
(
3
,
1
)
]
{\displaystyle EIapp=[(-3,-1);(-2,-1.5);(-1,-0.5);(0,0);(1,0.5);(2,1.5);(3,1)]}
E
P
=
[
i
,
z
(
−
i
)
+
z
(
i
)
2
]
{\displaystyle EP=[i,{\frac {z(-i)+z(i)}{2}}]}
E
I
a
p
p
=
[
(
−
3
,
2
)
;
(
−
2
,
−
0.5
)
;
(
−
1
,
1.5
)
;
(
0
,
1
)
;
(
1
,
1.5
)
;
(
2
,
−
0.5
)
;
(
3
,
2
)
]
{\displaystyle EIapp=[(-3,2);(-2,-0.5);(-1,1.5);(0,1);(1,1.5);(2,-0.5);(3,2)]}
Avec la résultante :
E
=
E
I
+
E
P
{\displaystyle E=EI+EP}
A / Partie EI
B / Partie EP
C / Résultante A / Partie EI
B / Partie EP
C / Résultante
modifier
modifier
Les fonctions de régression au plus près à trouver sont de la forme :
y
=
s
i
n
k
(
x
)
{\displaystyle y=sin^{k}(x)}
y
=
c
o
s
k
(
x
)
{\displaystyle y=cos^{k}(x)}
avec pour EI on cherchera sin et k impair, pour EP on cherchera sin et k pair ou cos et k quelconque
k peut être une fraction irréductible . k conduit à l'imparité si le num et le dén sont impairs. Après transformation le passage de a du côté des y et par les Logarithmes des deux membres, on obtient par exemple:
Pour EI 3points :
{
L
o
g
(
y
0
a
)
=
k
∗
s
i
n
(
0
w
)
L
o
g
(
y
1
a
)
=
k
∗
s
i
n
(
1
w
)
L
o
g
(
y
2
a
)
=
k
∗
s
i
n
(
2
w
)
L
o
g
(
y
3
a
)
=
k
∗
s
i
n
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log({\frac {y0}{a}})=k*sin(0w)\\Log({\frac {y1}{a}})=k*sin(1w)\\Log({\frac {y2}{a}})=k*sin(2w)\\Log({\frac {y3}{a}})=k*sin(3w)\\\end{cases}}}
Ce qui se résout comme le premier point du 1
Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que :
y
=
n
k
×
s
i
n
k
(
x
)
{\displaystyle y={\frac {n}{k}}\times sin^{k}(x)}
Pour EP 3 points
{
L
o
g
(
y
0
a
)
=
k
∗
(
1
−
c
o
s
(
0
w
)
L
o
g
(
y
1
a
)
=
k
∗
(
1
−
c
o
s
(
1
w
)
L
o
g
(
y
2
a
)
=
k
∗
(
1
−
c
o
s
(
2
w
)
L
o
g
(
y
3
a
)
=
k
∗
(
1
−
c
o
s
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}Log({\frac {y0}{a}})=k*(1-cos(0w)\\Log({\frac {y1}{a}})=k*(1-cos(1w)\\Log({\frac {y2}{a}})=k*(1-cos(2w)\\Log({\frac {y3}{a}})=k*(1-cos(3w)\\\end{cases}}}
Ce qui se résout comme le troisième point du 1
Au lieu d'obtenir a comme précédemment, on obtient n = a*k. pour isoler a de k, et les trouver, on écrit que :
y
=
n
k
×
(
1
−
c
o
s
k
(
x
)
)
{\displaystyle y={\frac {n}{k}}\times (1-cos^{k}(x))}
Le théorême général appliqué à une somme d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:
RAPP de la Somme d' harmoniques = Somme des RAPP de chaque harmonique
Exemple :
y
=
3
+
4
∗
s
i
n
(
2
x
)
+
3
∗
c
o
s
(
5
x
)
−
2
∗
s
i
n
3
(
1
x
)
+
1
∗
c
o
s
4
(
4
x
)
{\displaystyle y=3+4*sin(2x)+3*cos(5x)-2*sin^{3}(1x)+1*cos^{4}(4x)}
D'où 11 inconnues à déterminer d'où au minimum 1 valeur centrale + 10 valeurs + 2 minimum soit 13 valeurs au moins pour l'échantillon pour déterminer l'au plus près de l'échantillon.
R
A
P
P
(
y
)
=
3
+
R
A
P
P
(
E
I
)
+
R
A
P
P
(
E
P
)
{\displaystyle RAPP(y)=3+RAPP(EI)+RAPP(EP)}
R
A
P
P
(
y
)
=
3
+
R
A
P
P
(
y
/
4
∗
s
i
n
(
2
x
)
)
+
R
A
P
P
(
y
/
3
∗
c
o
s
(
5
x
)
)
+
R
A
P
P
(
y
/
−
2
∗
s
i
n
3
(
1
x
)
+
R
A
P
P
(
y
/
c
o
s
4
(
4
x
)
)
{\displaystyle RAPP(y)=3+RAPP(y/4*sin(2x))+RAPP(y/3*cos(5x))+RAPP(y/-2*sin^{3}(1x)+RAPP(y/cos^{4}(4x))}
{
E
I
=
4
∗
s
i
n
(
2
x
)
−
2
∗
s
i
n
3
(
1
x
)
E
P
=
3
+
3
∗
c
o
s
(
5
x
)
+
c
o
s
4
(
4
x
)
{\displaystyle {\begin{cases}EI=4*sin(2x)-2*sin^{3}(1x)\\EP=3+3*cos(5x)+cos^{4}(4x)\\\end{cases}}}
Le théorême général appliqué à un produit d'harmoniques donne, avec RAPP pour régression au plus près:
RAPP d'un Produit d' harmoniques = Produit des RAPP de chaque harmonique
A PLACER
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
+
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
4
c
o
s
(
w
)
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
(
3
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :
{
z
1
=
C
z
2
=
C
2
z
3
=
C
3
C
=
c
o
s
(
w
)
z
1
=
y
2
+
b
2
(
y
1
+
a
)
z
2
=
y
3
+
c
y
1
+
a
+
1
4
z
3
=
y
4
+
d
8
(
y
1
+
a
)
+
2
8
(
y
2
+
b
)
y
1
+
a
{\displaystyle {\begin{cases}z1=C\\z2=C^{2}\\z3=C^{3}\\C=cos(w)\\z1={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}\\z2={\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}\\z3={\frac {y4+d}{8(y1+a)}}+2{\frac {8(y2+b)}{y1+a}}\end{cases}}}
modifier
Théorême général :
La forme la plus générale d'une fonction F de x, par l'intermédiaire des
X
i
=
x
k
i
{\displaystyle Xi=x^{ki}}
F = ( somme de produit de fonctions_
f
i
n
i
{\displaystyle fi^{ni}}
f
i
n
i
{\displaystyle fi^{ni}}
F
i
{\displaystyle ^{Fi}}
avec
f
i
{\displaystyle fi}
Exemples :
A PLACER :
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
y
4
+
d
=
k
×
sin
(
4
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\\y4+d=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}}
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
c
o
s
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
c
o
s
2
(
w
)
(
2
)
y
4
+
d
y
1
+
a
=
4
c
o
s
(
w
)
(
2
c
o
s
2
(
w
)
−
1
)
(
3
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4cos^{2}(w)&(2)\\{\frac {y4+d}{y1+a}}=4cos(w)\left(2cos^{2}(w)-1\right)&(3)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :
{
z
1
=
C
z
2
=
C
2
z
3
=
C
3
C
=
c
o
s
(
w
)
z
1
=
y
2
+
b
2
(
y
1
+
a
)
z
2
=
y
3
+
c
y
1
+
a
+
1
4
z
3
=
y
4
+
d
8
(
y
1
+
a
)
+
2
8
(
y
2
+
b
)
y
1
+
a
{\displaystyle {\begin{cases}z1=C\\z2=C^{2}\\z3=C^{3}\\C=cos(w)\\z1={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}\\z2={\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}\\z3={\frac {y4+d}{8(y1+a)}}+2{\frac {8(y2+b)}{y1+a}}\end{cases}}}
![{\displaystyle Eapp=[(-3,1);(-2,-2);(-1,1);(0,1);(1,2);(2,1);(3,3)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67789406c81b4cc4b78da637ae75953df87f472c)
![{\displaystyle EI=[i,{\frac {z(-i)-z(i)}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11addc451e83d138b08857a5c3ca7bbaf0a99a5)
![{\displaystyle EIapp=[(-3,-1);(-2,-1.5);(-1,-0.5);(0,0);(1,0.5);(2,1.5);(3,1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c927e13af93988c89ca171ca923cc343277bbb)
![{\displaystyle EP=[i,{\frac {z(-i)+z(i)}{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08fe9e3db9d95044d17dd61efe3010f43a4fc3e2)
![{\displaystyle EIapp=[(-3,2);(-2,-0.5);(-1,1.5);(0,1);(1,1.5);(2,-0.5);(3,2)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e438cb1e0dcb2f8e4b8d6923502b9ecbeb81f1)
