Recherche:Techniques de régressions au mieux/Régressions monômiales et polynômiales

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• Régressions monômiales

Courbes de régression impaires

• Du premier degré : droite de régression dite des moindre carrés
• Autres degrés impairs : troisième : cubique de régression, etc.

Courbes de régression paires

• De degré deux : parabole de régression
• Autres degrés pairs

• Régressions polynômiales

Courbe de régression impaire

Courbe de régression paire

Courbe somme résultante

Monôme au plus près

Il s'agit d'approcher l'échantillon par une courbe-fonction $y=a*x^{k}$, k étant un entier ou une fraction à numérateur impair pour EP ou pair pour EI, positif ou négatif.

Méthode avec passage par trois points y(-1),y(0)y(1)pour EI ou EP à 7 données

Pour EI on vérifie que :

${\begin{cases}y_{0}=a*0^{k}=0\\y_{1}=a*1^{k}=a\\y_{2}=a*2^{k}\\y_{3}=a*3^{k}\\\end{cases}}$

k étant impair, les équations pour x< sont vérifiées de fait de l'imparité.

D'où :

${\begin{cases}y2-y0=(y_{1}-y_{0})*2_{2}^{k}\\y3-y0=(y_{1}-y_{0})*3_{3}^{k}\\\end{cases}}$

ET enfin:

${\begin{cases}Log({\frac {y2-y0}{y_{1}-y_{0}}})=k_{2}Log2\\Log({\frac {y3-y0}{y_{1}-y_{0}}})=k_{3}Log3\\\end{cases}}$

D'où par la méthode des moindres carrés :

$k={\frac {{\frac {Log{\frac {y_{2}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Log3}}+{\frac {Log{\frac {y_{3}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Log2}}}{2}}$

$k={\frac {Log3Log{\frac {y_{2}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}+Log2Log{\frac {y_{3}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{2Log2Log3}}$

$a=y_{1}$

Qui est une moyenne des deux k.

Cela nécessite, pour être possible, que $(y_{1}-y_{0})(y_{2}-y_{0})>0$ et $(y_{3}-y_{0})(y_{1}-y_{0})>0$

Dans le cas contraire, considérer 9 couples ou se servir de la méthode suivante, plus approchée car ayant une contrainte en moins,pas de passage par (x_1,y_1)

Méthode avec passage par 1 point (0,0)pour EI ou EP à 7 données

${\begin{cases}y1=a\\y2=a*2^{k}\\y3=a*3^{k}\\\end{cases}}$

D'où :

${\begin{cases}Log(y1)=Log(a)\\Log(y2)=Log(a)+kLog2\\Log(y3)=Log(a)+kLog3\\\end{cases}}$

D'où , par la méthode de résolution des systèmes linéaires ( en Log(a) et k, 2 inconnues pour 3 équations ):

$6Log(a)=Log(y1^{5}*y2^{2}*y3^{-1})$

$a=(y1^{5}*y2^{2}*y3^{-1})^{\frac {1}{6}}$

$k={\frac {Log({\frac {y3}{y1}})}{2}}$

Les k seront approximés par une fraction à numérateur pair pour EP et impair pour EI au plus près de la valeur calculée. Le résidu sera traité par un monôme si possible sinon considérer la suite .

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 9 données ou de tester un autre type de fonction que le monôme. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Passage par 3 points avec 11 et 3+4n données

On démontrerait pour 3+4*2=11 données que :

à corriger :

$k={\frac {\sum _{i=2}^{4}{\frac {Log{\frac {y_{i}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Logi}}}{3}}$

$a=y_{1}$

On démontrerait pour 3+4*n données que :

à corriger :

$k={\frac {\sum _{i=2}^{n+1}{\frac {Log{\frac {y_{i}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Logi}}}{n+1}}$

$a=y_{1}$

Les k seront approximés par une fraction à numérateur pair pour EP et impair pour EI au plus près de la valeur calculée. Le résidu sera traité par un monôme si possible sinon considérer la suite .

S'il n'y a pas de solution vu les conditions de signe, on envisagera de considérer 4 données en plus ou de tester un autre type de fonction que le monôme. On peut aussi considérer un nombre impair quelconque de données dès le départ mais il vaut mieux travailler par plages pour voir l'évolution des données.

Polynôme au plus près

Il s'agit d'approcher l'échantillon par une courbe-fonction $y=\sum _{i=0}^{n}a*x^{k}$, k étant un entier ou une fraction à numérateur impair pour EP ou pair pour EI, positif ou négatif ; a n et le k sont inconnus.

Soit l'exemple d'un échantillon impair $y=4*x^{3}+3*x$

D'où :$y_{0}=0;y_{1}=7;y_{2}=38;y_{3}=117;y_{4}=268$

Méthode des 7 , 11, ou 3+4n données

et d’après le calcul ci-dessus : $a=7;k={\frac {{\frac {Log{\frac {y_{2}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Log2}}+{\frac {Log{\frac {y_{3}-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}}{Log3}}}{2}}=0.5({\frac {Log{\frac {31}{7}}}{Log2}}+{\frac {Log{\frac {110}{7}}}{Log3}})=2.33$

Cette méthode ne donne donc pas le résultat escompté.

Méthode plus générale à exposants entiers

On considère que le polynôme impair, régression de EI, est de degré 2k+1 , par exemple 5.

$y=ax^{5}+bx^{3}+cx$

3 inconnues d'où au minimum 2(3+1)+1 données dont $y_{0}=0,y_{1},y_{2},y_{4},y_{5}$

${\begin{cases}y_{0}=a*0^{5}+b*0^{3}+0c=0\\y_{1}=a*1^{5}+b*1^{3}+1c=a+b+c\\y_{2}=a*2^{5}+b*2^{3}+2c\\y_{3}=a*3^{5}+b*3^{3}+3c\\y_{4}=a*4^{5}+b*4^{3}+4c\\\end{cases}}$

Il faut donc considérer un polynôme de degré 3 au minimum ( 2 inconnues b et c, 3 équations de y_1 à y_3) même si le résultat est une régression linéaire en x (b=0)

On considère que le pôlynôme pair, régression de EP, est de degré 2k+2par exemple 6.

$y=ax^{6}+bx^{4}+cx^{2}$

3 inconnues d'où au minimum 2(3+1)+1 données dont $y_{0}=0,y_{1},y_{2},y_{4},y_{5}$

${\begin{cases}y_{0}=a*0^{6}+b*0^{4}+c0^{2}=0\\y_{1}=a*1^{6}+b*1^{4}+c1^{2}=a+b+c\\y_{2}=a*2^{6}+b*2^{4}+c2^{2}\\y_{3}=a*3^{6}+b*3^{4}+c3^{2}\\y_{4}=a*4^{6}+b*4^{4}+c4^{2}\\\end{cases}}$

Il faut donc considérer un polynôme de degré 4 au minimum ( 2 inconnues b et c, 3 équations de y_1 à y_3) même si le résultat est une régression parabolique en x^2 (b=0)

Ces systèmes se résolvent par la méthode au plus près ( 4 équations , 3 inconnues ) et doivent donner des solution ssatisfaisantes. Pour k ( 2k+1 et 2k données ), il faudra 2k+1 données avec une valeur centrale.

Reprise de l'exemple précédent :

$y=4*x^{3}+3*x$

D'où :$y_{0}=0;y_{1}=7;y_{2}=38;y_{3}=117;y_{4}=268$

On considère que la solution est de degré 5 maximum soit $y=ax^{5}+bx^{3}+cx$ et le sytème ci-dessus devient :

${\begin{cases}0=a*0+b*0+0c\\7=a+b+c\\38=32a+8b+2c\\117=243a+27b+3c\\268=1024a+64b+4c\\\end{cases}}$

${\begin{pmatrix}7\\38\\117\\268\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1\\32&8&2\\243&27&3\\1024&64&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&32&243&1024\\1&8&27&64\\1&2&3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}7\\38\\117\\268\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&32&243&1024\\1&8&27&64\\1&2&3&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1&1\\32&8&2\\243&27&3\\1024&64&4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}7*1+38*32+117*243+268*1024\\7*1+38*8+117*27+268*64\\7*1+38*2+117*3+268*4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\1*1+8*32+27*243+64*1024&1*1+8*8+27*27+64*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\1*1+2*32+3*243+4*1024&1*1+2*8+3*27+4*64&1*1+2*2+3*3+4*4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

$:a={\frac {\begin{vmatrix}7*1+38*32+117*243+268*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\7*1+38*8+117*27+268*64&1*1+8*8+27*27+64*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\7*1+38*2+117*3+268*4&1*1+2*8+3*27+4*64&1*1+2*2+3*3+4*4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\1*1+8*32+27*243+64*1024&1*1+8*8+27*27+64*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\1*1+2*32+3*243+4*1024&1*1+2*8+3*27+4*64&1*1+2*2+3*3+4*4\end{vmatrix}}}$

b et c à corriger

$:b={\frac {\begin{vmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&7*1+38*32+117*243+268*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\1*1+8*32+27*243+64*1024&7*1+38*8+117*27+268*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\1*1+2*32+3*243+4*1024&7*1+38*2+117*3+268&1*1+2*2+3*3+4*4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\1*1+8*32+27*243+64*1024&1*1+8*8+27*27+64*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\1*1+2*32+3*243+4*1024&1*1+2*8+3*27+4*64&1*1+2*2+3*3+4*4\end{vmatrix}}}$

$:c={\frac {\begin{vmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&7*1+38*32+117*243+268*1024\\1*1+8*32+27*243+64*1024&1*1+8*8+27*27+64*64&7*1+38*8+117*27+268*64\\1*1+2*32+3*243+4*1024&1*1+2*8+3*27+4*64&7*1+38*2+117*3+268*4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1*1+32*32+243*243+1024*1024&1*1+32*8+243*27+64*1024&1*1+32*2+243*3+1024*4\\1*1+8*32+27*243+64*1024&1*1+8*8+27*27+64*64&1*1+8*2+27*3+64*4\\1*1+2*32+3*243+4*1024&1*1+2*8+3*27+4*64&1*1+2*2+3*3+4*4\end{vmatrix}}}$

Méthode plus générale à exposants fractionnaires

Cette méthode servira aussi à considérer les régressions combinaisons linéaires de puissances de fonctions.

Sachant que toute forme $sin^{k}(wx)$, avec k impair,peut se mettre sous la forme de $sin(x)*P1(cos(x))$ avec P1 pair, et que toute forme $1-cos^{k}(wx)$, avec k quelconque, peut se mettre sous la forme de $(1-cos(x))*P2(cos(x))$, avec P2 impair, tout revient, en divisant les yi par le sin de leur xi, à analyser des Polynômes en cos(x).

Pour EI, k est impair, ce qui veut dire que le numérateur et le dénominateur sont impairs.

Si on se limite aux parties de k prenant les valeurs 1,3,5 par exemple on pourra avoir $k=[1,3,5,1/3,1/5,5/3,3/5,1/15]$. il s'agira, pour se ramener à des exposant entiers de considérer le PPCM de 1,3,5 soit 15 et les transformés de y par le produit$y*x^{15}$, ce qui donnera les exposants [1,3,5,9,16,19,20,25]

$y=x^{1}+x^{3}+x^{5}+x^{\frac {1}{3}}+x^{\frac {1}{5}}+x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {3}{5}}+x^{\frac {1}{15}}$

Pour EP, k est pair, ce qui veut dire que le numérateur et le dénominateur sont impairs.

Si on se limite aux parties de k prenant les valeurs 2,4,6 par exemple on pourra avoir $k=[2,4,6,1/2,1/4,1/6,1/12]$. il s'agira, pour se ramener à des exposant entiers de considérer le PPCM de 2,4,6 soit 24 et les transformés des y par le produit $y*x^{24}$, ce qui donnera les exposants [2,4,6,8,12,48]

$y=x^{2}+x^{4}+x^{6}+x^{\frac {1}{2}}+x^{\frac {1}{4}}+x^{\frac {1}{6}}+x^{\frac {1}{12}}$