Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases

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Soit P la matrice de changement de base (matrice de passage) permettant de passer d’une base (e₁, e₂, … e_n) à une base (f₁, f₂, … f_n). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f₁, f₂, … f_n dans la base (e₁, e₂, … e_n).

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Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule qui est :

$X^{c}=PY^{c}$

X^c étant la matrice colonne des coordonnées contravariantes d'un vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Y^c étant la matrice colonne des coordonnées contravariantes du même vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous insistons sur le fait que pour obtenir cette formule, nous avons dû mettre X et Y sous forme de matrices colonnes.

Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.

Soient x₁, x₂, … ,x_n, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Soient y₁, y₂, … ,y_n, les coordonnées covariantes du même vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous avons par définition :

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad x_{k}=e_{k}.u\qquad {\text{(1)}}$

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad y_{k}=f_{k}.u\qquad {\text{(2)}}$

Si l’on appelle p_i^j le coefficient de la ligne i et colonne j de la matrice P, on a :

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad f_{k}=\sum _{i=1}^{n}p_{k}^{i}.e_{i}$

En reportant cette relation dans la relation (2), nous obtenons :

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad y_{k}=\sum _{i=1}^{n}p_{k}^{i}.e_{i}.u$

Et compte tenu de la relation (1), on obtient :

$\forall k\in \{1,2,\cdots ,n\}\qquad y_{k}=\sum _{i=1}^{n}p_{k}^{i}.x_{i}$

Pouvons-nous représenter cette relation sous forme de produit matriciel ?

Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci :

${\begin{pmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{1}^{1}&p_{2}^{1}&\cdots &p_{n}^{1}\\p_{1}^{2}&p_{2}^{2}&&p_{n}^{2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\p_{1}^{n}&p_{2}^{n}&\cdots &p_{n}^{n}\\\end{pmatrix}}$

Nous remarquons que nous avons dû cette fois mettre les coordonnées covariantes sous forme de matrices lignes.

Soit X_c la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Soit Yc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous avons alors :

$Y_{c}=X_{c}P$

Nous remarquons aussi que, compte tenu de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrices de vecteurs), nous pouvons écrire :

${\begin{pmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}p_{1}^{1}&p_{2}^{1}&\cdots &p_{n}^{1}\\p_{1}^{2}&p_{2}^{2}&&p_{n}^{2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\p_{1}^{n}&p_{2}^{n}&\cdots &p_{n}^{n}\\\end{pmatrix}}$

Nous voyons que les coordonnées covariantes vérifient la même formule que les vecteurs des bases respectives. Ce qui justifient a posteriori le nom de coordonnées covariantes.

Et nous voyons que les coordonnées contravariantes vérifient une formule opposée par rapport aux vecteurs des bases respectives. Ce qui justifie a posteriori le nom de coordonnées contravariantes.

Nous retiendrons que les coordonnées contravariantes se représentent par des matrices colonnes X^c, Y^c, et nous avons la formule X^c = P.Y^c.

Nous retiendrons que les coordonnées covariantes se représentent par des matrices lignes X_c, Y_c, et nous avons la formule Y_c = X_c.P.

De plus, nous constatons que, dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contravariantes. Nous avons donc, dans une base orthonormée, les formules :

Formules uniquement valables dans les bases orthonormées $X_{c}=^{t}X^{c}\qquad \qquad Y_{c}=^{t}Y^{c}$

Remarque

Comme dans les bases orthonormées, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contravariantes, il n’y a pas grand inconvénient à représenter les coordonnées d’un vecteur aussi bien par des matrices colonnes que par des matrices lignes. Mais on doit bien prendre conscience qu’il n’en est pas de même si la base n’est pas orthonormée compte tenu de la définition de la matrice de passage.