Repère euclidien non orthonormé/Produit scalaire

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Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé.

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Soit $n\in \mathbb {N}$.

Soit $u$ un vecteur de coordonnées covariantes (x₁, x₂, ... , x_n) et de coordonnées contravariantes ^t(x¹, x², ... , xⁿ).

Soit $v$ un vecteur de coordonnées covariantes (y₁, y₂, ... , y_n) et de coordonnées contravariantes ^t(y¹, y², ... , yⁿ).

Nous rappelons les formules suivantes :

${\begin{array}{cccc}u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}&&&v=\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\\&&&\\&&&\\x_{k}=e_{k}\cdot u&&&y_{k}=e_{k}\cdot v\\\end{array}}$

Calculons alors le produit scalaire de $u$ par $v$.

Premier calcul

${\begin{aligned}u.v&=\left(\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}\right)\cdot v\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}(e_{k}\cdot v)\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}\end{aligned}}$

Deuxième calcul

${\begin{aligned}u\cdot v&=u\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(e_{k}\cdot u)y^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}\end{aligned}}$

Nous avons obtenu le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u$ un vecteur de coordonnées covariantes (x₁, x₂, ... , x_n) et de coordonnées contravariantes ^t(x¹, x², ... , xⁿ).

Soit $v$ un vecteur de coordonnées covariantes (y₁, y₂, ... , y_n) et de coordonnées contravariantes ^t(y¹, y², ... , yⁿ).

Le produit scalaire de $u$ par $v$ est donné par :

$u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}$.

Nous voyons que cela se ramène à faire le produit matriciel de

(x₁, x₂, ... , x_n)

par

^t(y¹, y², ... , yⁿ)

Fin du théorème

Remarque

Les formules :

$u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y^{k}$

qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes.