Repérage et coordonnées/Vecteur

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Coordonnées d’un vecteur

Début d’un théorème

Théorème

On se place dans un repère (O, I, J) où l’on a deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$, alors les coordonnées (ou composantes) du vecteur $\scriptstyle {\overrightarrow {AB}}$ sont :

$(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

Fin du théorème

Remarque : les coordonnées d’un vecteur n’indiquent pas où il se trouve (un vecteur n’a pas de lieu), mais comment aller de l’origine du vecteur à son extrémité.

Exemple : Dans l'exemple ci-dessous, les flèches pointillées indiquent que pour aller de l'origine à l'extrémité du vecteur, il faut se déplacer de 8 unités vers la droite (première coordonnée du vecteur +8 = 4-(-4)) et monter de 8 unités (deuxième coordonnée +8=5-(-3)).

Début d’un théorème

Théorème

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées

Fin du théorème

Coordonnées d’une somme de vecteurs

Début d’un théorème

Théorème

Soient deux vecteurs ${\overrightarrow {u}}(x;y)$ et ${\overrightarrow {v}}(x';y')$.

Le vecteur ${\overrightarrow {u}}+{\vec {v}}$ a pour coordonnées

$(x+x';y+y')$

Fin du théorème

Coordonnées d’un produit entre un vecteur et un nombre

Début d’un théorème

Théorème

Soit k un nombre réel et un vecteur ${\overrightarrow {u}}(x;y)$.

Le vecteur $k{\overrightarrow {u}}$ a pour coordonnées

$(kx;ky)$

Fin du théorème