Série de Fourier/Théorèmes fondamentaux

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Les séries de Fourier sont l'objet de deux théorèmes fondamentaux : le théorème de Parseval et celui de Jordan-Dirichlet.

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Théorème de Parseval

Début d’un théorème

Théorème — égalité de Parseval

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de période $T=2\pi$.

Si $f$ est de carré intégrable, alors l'égalité de Parseval est :

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x}$

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{|c_{n}|^{2}}={\frac {a_{0}^{2}}{4}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{+\infty }\left({a_{k}}^{2}+{b_{k}}^{2}\right)$

Fin du théorème

Théorème de Jordan-Dirichlet

Début d’un théorème

Théorème

Soit une fonction $f$ continue par morceaux et de période $T=2\pi$.

Alors sa série de Fourier converge ponctuellement vers sa normalisée :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \lim _{n\to \infty }{S_{n}(f)}(x)={\frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}$

$f(x+0)$ et $f(x-0)$ sont les limites à droite et à gauche de la fonction $f$.

Fin du théorème

Applications

Ces deux théorèmes sont fréquemment utilisés pour calculer des sommes infinies qu'on ne pourrait pas calculer avec la théorie des séries entières ou des séries numériques.

Voir à ce propos la leçon : « Sommation ».