Série et transformée de Fourier en physique/Annexe/Exemple1

Voici quelques exemples de décomposition en série de Fourier de signaux que l’on retrouve souvent en physique.

Créneau symétrique

$y(t)={\begin{cases}+Y_{m},&{\text{si }}t\in ]0,{\frac {T}{2}}[\\-Y_{m},&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}},T[\end{cases}}$

$y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\left\{\sin(\omega t)+{\frac {1}{3}}\sin(3\omega t)+\ldots +{\frac {1}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]+\ldots \right\}$

$y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]$

Démonstration

La fonction est impaire, donc il n'existe que les termes $A_{k}$

$A_{k}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}y(t)\sin(k\omega t)\mathrm {d} t$

Posons $\theta =\omega t$ avec $\omega T=2\pi$

$A_{k}={\frac {2}{2\pi }}\left\{\int _{0}^{\pi }Y_{m}\sin(k\theta )\mathrm {d} \theta +\int _{\pi }^{2\pi }-Y_{m}\sin(k\theta )\mathrm {d} \theta \right\}$

$A_{k}={\frac {Y_{m}}{\pi }}\left\{\left[{\frac {-\cos(k\theta )}{k}}\right]_{O}^{\pi }+\left[{\frac {\cos(k\theta )}{k}}\right]_{\pi }^{2\pi }\right\}$

$A_{k}={\frac {Y_{m}}{\pi }}\left\{\left[{\frac {-\cos(k\pi )}{k}}-{\frac {-\cos(0k)}{k}}\right]+\left[{\frac {\cos(2k\pi )}{k}}-{\frac {\cos(k\pi )}{k}}\right]\right\}$

$A_{k}={\frac {Y_{m}}{\pi }}\left\{\left[{\frac {-\cos(k\pi )}{k}}-{\frac {-\cos(0)}{k}}\right]+\left[{\frac {\cos(2k\pi )}{k}}-{\frac {\cos(k\pi )}{k}}\right]\right\}$

$A_{k}={\frac {Y_{m}}{k\pi }}\left[-2\cos(k\pi )+1+\cos(2k\pi )\right]$

$A_{k}={\frac {Y_{m}}{k\pi }}\left[-2\cos(k\pi )+2\right]$

$A_{k}={\frac {2Y_{m}}{k\pi }}\left[-\cos(k\pi )+1\right]$

$A_{k}={\frac {2Y_{m}}{k\pi }}\left[-\left(-1\right)^{k}+1\right]$

$A_{k}$ est nul pour tout k pair.

Il ne reste donc plus que les $A_{k}$ lorsque $k$ est impair (k = 2n+1, n >= 0), d'où le résultat final

$A_{k}={\frac {4Y_{m}}{\left(2n+1\right)\pi }}$

 

Exemple en reprenant les premiers rangs d'harmoniques.

Signal triangulaire symétrique

Signal rectangulaire à paliers nuls

$y(t)={\begin{cases}0,&{\text{si }}t\in ]0,\alpha [\\+Y_{m},&{\text{si }}t\in ]\alpha ,{\frac {T}{2}}-\alpha [\\0,&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}}-\alpha ,{\frac {T}{2}}+\alpha [\\-Y_{m},&{\text{si }}t\in ]{\frac {T}{2}}+\alpha ,T-\alpha [\\0,&{\text{si }}t\in ]T-\alpha ,T[\\\end{cases}}$

$y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\left\{\cos(\alpha )\sin(\omega t)+{\frac {\cos(3\alpha )}{3}}\sin(3\omega t)+\ldots +{\frac {\cos[(2n+1)\alpha ]}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]+\ldots \right\}$

$y(t)={\frac {4Y_{m}}{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2n+1)\alpha ]}{2n+1}}\sin \left[\left(2n+1\right)\omega t\right]$

Démonstration

$A_{k}={\frac {2}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{y\left(\theta \right)sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }$

$A_{k}={\frac {2}{2\pi }}\left[\int _{\alpha }^{\pi -\alpha }{Y_{M}sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }+\int _{\pi +\alpha }^{2\pi -\alpha }{-Y_{M}sin\left(k\theta \right)\mathrm {d} \theta }\right]$

$A_{k}={\frac {2Y_{M}}{2\pi }}\left\{\left[{\frac {-cos\left(k\theta \right)}{k}}\right]_{\alpha }^{\pi -\alpha }+\left[{\frac {cos\left(k\theta \right)}{k}}\right]_{\alpha +\pi }^{2\pi -\alpha }\right\}$

$A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[-cos\left(k\pi -k\alpha \right)+cos\left(k\alpha \right)+cos\left(2k\pi -k\alpha \right)-cos\left(k\pi +k\alpha \right)\right]$

$A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[{\begin{matrix}-cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)-sin\left(k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\\+cos\left(k\alpha \right)\\+cos\left(2k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+sin\left(2k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\\-cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+sin\left(k\pi \right)sin\left(k\alpha \right)\end{matrix}}\right]$

$A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[-2cos\left(k\pi \right)cos\left(k\alpha \right)+2cos\left(k\alpha \right)\right]$

$A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[\left(-2cos\left(k\pi \right)+2\right)cos\left(k\alpha \right)\right]$

$A_{k}={\frac {Y_{M}}{k\pi }}\left[\left(-2\left(-1\right)^{k}+2\right)cos\left(k\alpha \right)\right]$

Pour tout k pair, $A_{k}$ est nul.

Pour k impair (k = 2n+1, n >= 0), on a

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