Série et transformée de Fourier en physique/Exercices/Propriétés de la transformation de Fourier
Exercice 1-1
modifierOn considère une fonction intégrable sur et, pour tout réel :
- .
- Justifier que est définie et continue sur .
- Soient et . Exprimer en fonction de .
- Soient et . Exprimer en fonction de .
- Si est C1 et intégrable sur , exprimer en fonction de .
Solution
- + théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre.
- Si , .
Si , .
En résumé : pour tout , . - .
- .
En effet, est nulle à l'infini : par exemple en , admet une limite (égale à ) et cette limite est nulle (car est supposée intégrable).