Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre

Intégrales dépendant d'un paramètre
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Exercices no2
Cours : Mathématiques en MP

Exercices de niveau 15.

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Rappels de coursModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Intégrale paramétrique ».

Dans les trois théorèmes suivants, toutes les fonctions seront supposées (outre les hypothèses spécifiques à chacun) continues par morceaux, pour éviter de faire appel à la notion de mesurabilité, plus générale mais peu utile dans les cas concrets.   désignera un intervalle réel et   une application définie sur   et à valeurs dans   ou   (  peut être infini). On définit

 

(pour les   pour lesquels cette intégrale converge).

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème


Exercice 2-1Modifier

On considère  , pour  .

  1. Montrer que   est continue (sur  ) et que   est bien définie sur  .
  2. Pour tout  , calculer  .
  3. Pour tout  , calculer  .
  4. L'intégrale   est-elle convergente ?
  5. Étudier de même  , pour  .

Sur le même thème : pour  , on pose   et  .

Montrer que   est de classe C sur   mais que  .

  1. Soit  . Vérifier que sur  ,   est positive, strictement décroissante, que   et que   n'est pas intégrable en 0.
  2. Soit   une suite décroissante de réels tendant vers 0, et telle que  . On pose   (on suppose  ) et  . Vérifier que   simplement et  .
  3. Vérifier que pour tout  , la suite des   est positive mais non monotone. Soit   son sup, vérifier que  . En déduire qu'il n'existe pas de fonction   intégrable telle que  -presque partout.

Exercice 2-2Modifier

On pose   pour tout   et   pour tout  .

  1. À l'aide du théorème de dérivation pour les intégrales à paramètre, montrer que   est de classe C sur   et donner une relation entre la suite   et la suite des dérivées successives de   au point  .
  2. Calculer directement   à partir de sa définition, et en déduire l'expression de ses dérivées.
  3. En déduire  .

Variante : pour   et  , on pose

 .
  1. Montrer que   est bien définie et dérivable sur  . Calculer sa dérivée.
  2. En déduire la valeur de  .

  peut aussi se déduire de   par changement de variable, et   peut se calculer par récurrence à l'aide d'une IPP (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-7 question 1). Il s'agit en fait d'une intégrale de Wallis.

Exercice 2-3Modifier

On sait bien que l'intégrale de Dirichlet   converge, mais non absolument.

Le but de cet exercice est de retrouver sa valeur en appliquant le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre à la fonction

 .
  1. Montrer que   est de classe C1 sur   et calculer  ,  , puis  .
  2. Montrer que  . Pour cela, on est certain de ne pas pouvoir appliquer le théorème d'interversion de   avec  , car si pour tout   (ou au moins tout   proche de  )  , alors (par passage à la limite)  , or   n'est pas intégrable en  . Par contre, on pourra facilement intervertir   avec   pour   fixé (la question de l'intégrabilité en   ne se posant plus). La méthode préconisée ici est de montrer que pour tout   :
    •    ;
    •  .
  3. Conclure.

Exercice 2-4Modifier

On considère la fonction Gamma d'Euler, définie par

 .

On sait déjà (cf. devoir sur la fonction Gamma et la formule de Stirling) que :

  • son domaine de définition est   ;
  •   (pour  ) ;
  •   (pour  ).
  1. Montrer que   est de classe C et donner l'expression de   pour tout  .
  2. Montrer que   et en déduire que   s'annule au plus une fois.
  3. Montrer que   s'annule entre 1 et 2.
  4. Déterminer  ,  ,  ,   et donner l'allure du graphe de  .
  5. Calculer  , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ( ).

Exercice 2-5Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Fonction bêta ».

On définit la fonction bêta par :  .

  1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si les deux réels   et   sont strictement positifs.
  2. Montrer que   (la définition de   est rappelée dans l'exercice précédent). Pour cette question, on admettra le théorème de Fubini car explicitement hors programme en classe de MP.
  3. En déduire une expression simple de   si  .
  4. Démontrer que  .
  5. En déduire que la fonction   se prolonge en une fonction holomorphe sur  , dont les seuls zéros sont les entiers négatifs ou nuls.

Exercice 2-6Modifier

On pose  

  1. Montrer que pour tout réel  ,   est intégrable sur  . On pose alors  .
  2. Montrer que   est continue sur   et dérivable sur  . Calculer   et en déduire  , connaissant la valeur de l'intégrale de Gauss ( ).

On pose   puis  .

  1. Montrer que l'application   est définie et continue sur  .
  2. Montrer qu'elle est de classe C1 sur  .
  3. Calculer  .
  4. À l'aide du changement de variable  , montrer que  .
  5. En déduire une expression de  .

Exercice 2-7Modifier

Soient   et   définies sur   par

 .
  1. Montrer que   et   sont de classe C1 et calculer leurs dérivées.
  2. En déduire que   est constante. Que vaut cette constante ?
  3. Déterminer la limite en   de   puis de  , et retrouver ainsi la valeur de l'intégrale de Gauss,  .

Variante : pour  , on pose

 .
  1. Montrer que sur  ,   est bien définie et continue.
  2. Montrer que   est de classe C1 sur  .
  3. Calculer   et étudier la limite de   en  .
  4. Montrer que pour tout   on a  .
  5. Montrer que  .
  6. En déduire que  .

Exercice 2-8Modifier

Toutes les fonctions considérées sont encore supposées continues par morceaux.

1. À l'aide des deux premiers théorèmes des rappels ci-dessus, démontrer la variante suivante du troisième :

Début d’un théorème
Fin du théorème

2. Démontrer la généralisation suivante, pour   :

Début d’un théorème
Fin du théorème