Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles

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Certaines fonctions sont fréquemment utilisées en physique du fait de leur simplicité ou de leur intérêt pratique. Quelques unes d'entres elles sont rassemblées dans la fiche mémoire. Ce chapitre les présente un peu plus en détails.

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Pic de Dirac

Représentation temporelle Représentation fréquentielle La distribution de Dirac (pic de Dirac) à l'instant $t=0$ peut être définie, de façon abusive, comme suit : $\delta (t)={\begin{cases}\infty \ {\rm {si}}\ t=0\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}\qquad {\text{et}}\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\cdot \mathrm {d} t=1$. Cette définition n’est pas vraiment rigoureuse mais nous suffira pour ce chapitre. De plus, en physique on s'intéresse principalement à l'énergie ou à la puissance du signal. On représente souvent le spectre d'amplitude du pic de Dirac avec une valeur unité qui, en réalité, correspond à son énergie. Sa transformée de Fourier est constante : ${\mathcal {F}}\left(\delta (t)\right)=1$, ce qui signifie qu'un pic de Dirac comporte toutes les fréquences. Plus de détails dans l’article wikipédia : Distribution de Dirac.

La distribution de Dirac à l'instant $t=t_{0}$ correspond au pic de Dirac décalé dans le temps :

$\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})$.

Sa transformée de Fourier a la même amplitude mais présente un retard de phase :

${\mathcal {F}}\left(\delta _{t_{0}}(t)\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {-j} .2\pi .f.t_{0}}$.

Manipulations utiles $s(t)\cdot \delta (t-t_{0})=s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})$ $\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=s(t_{0})$ $\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t=\delta (f-f_{0})$

Peigne de Dirac

Représentation temporelle

La distribution peigne de Dirac est une somme de distributions de Dirac espacées de $T_{e}$ :

$\mathrm {III} _{T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k.T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k.T_{e})$.

Dans le cadre du traitement du signal numérique $T_{e}$ est la période d’échantillonnage.

Décomposition en séries de Fourier

Représentation fréquentielle.

Puisque cette distribution est périodique, on peut la développer en série de Fourier :

$\mathrm {III} _{T_{e}}(t)={\frac {1}{T_{e}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\operatorname {e} ^{\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}$.

Démonstration

$\mathrm {III} _{T_{e}}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}\operatorname {e} ^{\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}$

où les coefficients de Fourier $c_{n}$ sont ($t_{0}$ désignant un nombre réel arbitraire) :

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T_{e}}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T_{e}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}\,\mathrm {dIII} _{T_{e}}(t)\\&={\frac {1}{T_{e}}}\int _{-T_{e}/2}^{T_{e}/2}\operatorname {e} ^{-\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}\,\mathrm {dIII} _{T_{e}}(t)\\&={\frac {1}{T_{e}}}\int _{-T_{e}/2}^{T_{e}/2}\operatorname {e} ^{-\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}\,\mathrm {d} \delta _{0}(t)\\&={\frac {1}{T_{e}}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {j} 2\pi nf_{e}\,0}\\&={\frac {1}{T_{e}}}.\end{aligned}}$

 

On peut en déduire que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac :

${\mathcal {F}}\left(\mathrm {III} _{T_{e}}(t)\right)=f_{e}\,\mathrm {III} _{f_{e}}(f)$.

Application aux signaux échantillonnés

$s_{e}(t)$ est le signal échantillonné à la période $T_{e}$ du signal $s(t)$ : $s_{e}(t)=s(t)\cdot \mathrm {III} _{T_{e}}(t)$.

Fonction porte

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

$\Pi _{{T_{0}}/2}(t)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ t\in \left[-{\frac {T_{0}}{2}};{\frac {T_{0}}{2}}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}$

${\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)={T_{0}}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.{T_{0}})$

Démonstration

${\begin{aligned}{\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\Pi _{{T_{0}}/2}(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}1\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .f}}\right]_{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .f}}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f}}\\\ &=T_{0}\cdot {\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f.T_{0}}}\\\ &=T_{0}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.T_{0})\\\end{aligned}}$

 

Fonction porte convoluée par un peigne de Dirac

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

Dans de nombreux cas pratiques, l'échantillonnage ne peut pas être considéré instantané. La fonction d'échantillonnage n'est alors plus un peigne de Dirac mais une somme de portes de largeur $\varepsilon$ espacée d'une durée $T_{e}$ : elle correspond à la convolution d'une porte $\Pi _{\varepsilon }(t)$ par un peigne de Dirac $\mathrm {III} _{T_{e}}(t)$ de période $T_{e}$.

$h(t)=\Pi _{\varepsilon }(t)*\mathrm {III} _{T_{e}}(t)$

${\hat {h}}(f)={\hat {\Pi }}_{\varepsilon }(f)\cdot {\hat {\mathrm {III} }}_{T_{e}}(f)=\varepsilon \cdot \mathrm {sinc} (\pi \cdot \varepsilon \cdot f)\cdot {\frac {1}{T_{e}}}\cdot \mathrm {III} _{f_{e}}(f)$

Fonction exponentielle complexe $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$

$s(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$

${\hat {s}}(f)=\delta (f-f_{0})$

Démonstration

${\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\delta (f-f_{0})\\\end{aligned}}$

 

Fonction sinus et cosinus

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

Les fonctions sinus et cosinus sont indispensables car elles décrivent un signal le plus simple qui soit : ce dernier ne comporterait alors qu'une seule fréquence (positive).

$s(t)=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$

${\hat {s}}(f)={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$

Démonstration

${\begin{aligned}s(t)&=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}$

 

$s(t)=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$

${\hat {s}}(f)={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$

Démonstration

${\begin{aligned}s(t)&=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2}}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}$

 

Fonction sinus cardinal

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

$s(t)=2\cdot f_{0}\cdot {\rm {sinc}}(2\pi .f_{0}.t)=2\cdot f_{0}\cdot {\frac {\sin(2\pi .f_{0}.t)}{2\pi .f_{0}.t}}$

${\hat {s}}(f)=\Pi _{f_{0}}(f)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ f\in \left[-{f_{0}};f_{0}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}$

Démonstration

$s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} f$

$s(t)=\int _{-f_{0}}^{+f_{0}}1\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} f$

$s(t)=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .t}}\right]_{-{f_{0}}}^{+{f_{0}}}$

$s(t)={\frac {1}{\pi .t}}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}}{-2.\mathrm {j} }}$

$s(t)={\frac {\sin(2\pi .f_{0}.t)}{\pi .t}}$

$s(t)=2\cdot f_{0}\cdot {\frac {\sin(2\pi .f_{0}.t)}{2\pi .f_{0}.t}}$