Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

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Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps d'une grandeur notée .

Série de Fourier
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Chapitre no 1
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
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Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

  • La période est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : .
  • La fréquence , exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
  • La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime .

Théorème

Tout signal périodique de période peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de .

La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réels

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Dans le domaine temporel

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Si   est une grandeur périodique de période  , et   un entier alors :

 

ou de façon condensée :

 

 ,

ou

 

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit   :

 

 ,

 ,

 ,

 .

 

Remarques

  • On peut observer que   représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur   ;
  • La fonction   est nommée harmonique de rang   ;
  • L'harmonique de rang 1 est nommé fondamental ;
  •   représente l'amplitude de l'harmonique de rang   ;
  •   est la phase à l'origine de l’harmonique de rang  .
  • Si   est une fonction paire,  , alors  ,  .
  • Si   est une fonction impaire,  , alors  ,  .

Dans le domaine des angles

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On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation   et de période  ,sachant que  , on applique le changement de variable  . Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

 

 ,

avec, et quel que soit  ,

 ,

 .

Coefficients complexes

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En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.

 

 ,

avec, et quel que soit  ,

 .

 

Remarques

  • Le module de   correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine de l'harmonique de rang   :
  ;
 .
  •   représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur  .