Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier

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Série de Fourier
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Chapitre no 1
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
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Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps d'une grandeur notée .

Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.

  • La période est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : .
  • La fréquence , exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
  • La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime .

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Théorème

Tout signal périodique de période peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de .

La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.

Coefficients réelsModifier

Dans le domaine temporelModifier

Si   est une grandeur périodique de période  , et   un entier alors :

 

ou de façon condensée :

 

 ,

ou

 

Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit   :

 

 ,

 ,

 ,

 .

 

Remarques

  • On peut observer que   représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur   ;
  • La fonction   est nommée harmonique de rang   ;
  • L'harmonique de rang 1 est nommé fondamental ;
  •   représente l'amplitude de l'harmonique de rang   ;
  •   est la phase à l'origine de l’harmonique de rang  .
  • Si   est une fonction paire,  , alors  ,  .
  • Si   est une fonction impaire,  , alors  ,  .

Dans le domaine des anglesModifier

On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation   et de période  ,sachant que  , on applique le changement de variable  . Les relations précédentes se transforment de la façon suivante.

 

 ,

avec, et quel que soit  ,

 ,

 .

Coefficients complexesModifier

En utilisant les formules d'Euler, il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.

 

 ,

avec, et quel que soit  ,

 .

 

Remarques

  • Le module de   correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine de l'harmonique de rang   :
  ;
 .
  •   représente la composante continue ou valeur moyenne de la grandeur  .