Série et transformée de Fourier en physique/Comparaison des différents développements

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Comparaison des différents développements
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Chapitre no 2
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
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Nous nous proposons d'étudier une fonction simple, une sinusoïde dotée d'une composante continue, afin de comprendre et d'interpréter les résultats obtenus lors du développement en séries de Fourier selon plusieurs méthodes.

Soit une fonction .

Développement en série de FourierModifier

Coefficients réels ; fonction réelleModifier

 

Il est assez évident que  , mais la démonstration est développée ci-dessous.

Coefficients complexes ; fonction réelleModifier

 

Dans ce cas la valeur des coefficients,  , aboutissent à l'expression à peine moins évidente :

 .

Coefficients complexes ; fonction complexeModifier

Il est très fréquent pour simplifier les calculs de remplacer la fonction   par la formule d'Euler: i.e. fonction   car il suffit in fine de ne s'intéresser qu'à la partie réelle de la fonction  . Comme l'illustre l'exemple étudié ici, il faut prendre garde à exprimer la fonction de la façon suivante :  , où avec    .

Comparaison des trois développementsModifier

On peut constater que les deux développements ne donnent pas des résultats similaires. Pour les comparer, nous nous proposons de calculer la puissance du signal ainsi que sa valeur efficace et d'y percevoir l'influence de chacune des harmoniques.

On définit la puissance moyenne comme la moyenne quadratique du signal : elle peut être calculée sur une période.

 .
 .

La valeur efficace   est la racine carrée de la moyenne quadratique, alors  . Il est à noter que les puissances des différentes harmoniques s'ajoutent tandis qu'il est nécessaire d'élever au carré les valeurs efficaces avant de les ajouter.

Coefficients réels ; fonction réelle Coefficients complexes ; fonction réelle Coefficients complexes ; fonction complexe
Développement en série de Fourier      
Puissance moyenne      
Spectre de puissance      
Valeur efficace      
Spectre d'amplitude

(valeurs efficaces)

     
Remarques Les coefficients représentent les valeurs maximales des harmoniques. Le coefficient   est à traiter différemment.
 
Les coefficients représentent les valeurs efficaces des harmoniques. C'est aussi valable pour le coefficient  . Les calculs font apparaître des fréquences négatives qui n'ont pas de sens physique. Il est toutefois nécessaire de tenir compte de leur influence et d'ajouter la puissance de l'harmonique et de l'harmonique symétrique quand elle est présente.
 
La notation complexe   pour la fonction à transformer doit être précédée de la valeur efficace. Les coefficients représentent alors, comme dans le cas précédent, les valeurs efficaces.