Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : fonction de transfert harmonique et diagramme de Bode

Fonction de transfert d'un filtre R C série avec sortie aux bornes de C, diagramme de Bode

Schéma d'un circuit R C série en r.s.f. alimenté sous e(t) avec sortie ouverte s(t) aux bornes de C

......Le circuit ci-contre est alimenté par une tension sinusoïdale $\;e(t)$. Pour la suite on notera $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ les représentations complexes associées aux grandeurs sinusoïdales $\;e(t)\;$ et $\;s(t)$.

Étude théorique

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre ainsi que de son gain en dB et de sa phase

......Exprimer l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$ du filtre en fonction des paramètres du circuit et de la pulsation imposée par le générateur.

......En déduire le gain en dB $\;G_{dB}=G_{dB}(\omega )\;$ du filtre et

......En déduire sa phase $\;\varphi =\varphi (\omega )$.

Solution

......Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ par les tensions instantanées complexes $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ et en représentant le condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$.

......L'amplification complexe en tension du filtre s'obtient par pont diviseur de tension en sortie ouverte soit $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}\;$ soit finalement $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$ dont on tire :

• le gain $\;G(\omega )=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$ puis le gain en dB $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]=-10\,\log \!\left[1+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$ et
• la phase $\;\varphi (\omega )=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(R\,C\,\omega \right)$.

 

Tracé des courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, principales propriétés du filtre

......Tracer les courbes de gain et de phase du diagramme de Bode, on précisera :

• le comportement asymptotique B.F. et H.F.,
• le transfert statique,
• la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}$,
• la nature du filtre,
• la bande passante à -3dB $\;B.P._{-3\,dB}\;$ et
• la valeur de la phase $\;\varphi \;$ à la fréquence de coupure.

Solution

......On reconnaît un 1^er ordre fondamental de pulsation de coupure à -3dB $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{R\,C}}\;$ et de transfert statique $\;A_{0}=1\;$ d'où

• la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}$,
• la nature du filtre : un passe-bas,
• sa bande passante à -3dB $\;B.P._{-3dB}=f_{c}={\dfrac {1}{2\,\pi \,R\,C}}\;$,
• son gain statique en dB $\;G_{0,\,dB}=0$,
• la valeur de la phase à la fréquence de coupure $\;\varphi (\omega _{0})=-{\dfrac {\pi }{4}}$ ;

......le comportement B.F. supposant $\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim 1\;$ on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{dB,\,{\text{asymptotique}}\,B.F.}=0\\\varphi _{{\text{asymptotique}}\,B.F.}=0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......le comportement H.F. supposant $\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{j\,R\,C\,\omega }}\;$ on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}G_{dB,\,{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-20\,\log \!\left[R\,C\,\omega \right]\\\varphi _{{\text{asymptotique}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace$, soit une pente asymptotique de la courbe de gain de $\;-20dB/{\text{décade}}\;$ et un comportement intégrateur à H.F. ;

......pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir le chap.$33$ de la leçon «Signaux physiques (PCSI)» aux paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental », les tracés avec les valeurs numériques seront donnés à la question suivante.

 

Applications numériques

......Calculer le gain statique en dB $\;G_{0,\,dB}\;$ et la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ pour les filtres suivants :

• filtre $\;({\mathfrak {1}})\;$ construit avec $\;R=4,7\,k\Omega \;$ et $\;C=6,8\,nF$,
• filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ construit avec $\;R=680\,k\Omega \;$ et $\;C=47\,pF$.

Solution

......Calcul du gain statique en dB $\;G_{0,\,dB}\;$ et de la fréquence de coupure à -3dB $\;f_{c}\;$ pour les filtres suivants :

• filtre $\;({\mathfrak {1}})$, $\;G_{0,\,dB,\,({\mathfrak {1}})}=0\;$ et $\;f_{c,\,({\mathfrak {1}})}={\dfrac {1}{2\,\pi \times 4,7\,10^{3}\times 6,8\,10^{-9}}}\simeq 4980\,Hz$,
• filtre $\;({\mathfrak {2}})$, $\;G_{0,\,dB,\,({\mathfrak {2}})}=0\;$ et $\;f_{c,\,({\mathfrak {2}})}={\dfrac {1}{2\,\pi \times 680\,10^{3}\times 47\,10^{-12}}}\simeq 4980\,Hz$,

......les deux filtres ont donc mêmes caractéristiques dès lors que leur sortie reste ouverte, les tracés communs de leurs courbes de gain et de phase sont donnés ci-dessous :

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental de gain statique en dB nul et de fréquence de coupure à -3dB 4 980 Hz

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental de transfert statique égal à 1 et de fréquence de coupure à -3dB 4 980 Hz

 

Étude expérimentale

Schéma d'un circuit R C série en r.s.f. alimenté sous e(t) avec sortie s(t) aux bornes de C fermée sur un oscilloscope modélisé par R₀ en parallèle sur C₀

......Dans l'étude expérimentale de ces filtres, on mesure les valeurs de crête de $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ en envoyant la tension correspondante à l'entrée d'un oscilloscope cathodique, par l'intermédiaire d'un câble coaxial.

......Si le tracé expérimental de la courbe de gain du diagramme de Bode donne une courbe tout à fait voisine de la courbe théorique pour le filtre $\;({\mathfrak {1}})$, il n'en est pas du tout de même pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ pour lequel $\;G_{0,\,dB,\,{\text{exp}}}\neq G_{0,\,dB,\,{\text{th}}}\;$ ainsi que $\;f_{c,\,{\text{exp}}}\neq f_{c,\,{\text{th}}}\;$ et on cherche à justifier les écarts observés en modélisant l'oscilloscope fonctionnant en r.s.f. par son impédance complexe d'entrée, le D.P. d'entrée de l'oscilloscope étant un condensateur parfait de capacité $\;C_{0}=30\,pF\;$ en parallèle sur un conducteur ohmique de résistance $\;R_{0}=1\,M\Omega \;$ (voir schéma ci-contre).

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fermé sur l'oscilloscope utilisé et ses principales propriétés

......Calculer la nouvelle amplification complexe en tension ${\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}\;$ du filtre fermé sur l'oscilloscope et vérifier qu'il s'agit d'un filtre de même nature que le filtre en sortie ouverte.

......En déduire le nouveau gain statique en dB $\;{G'}_{0,\,dB}\;$ du filtre et

......En déduire sa nouvelle fréquence de coupure à -3dB $\;{f'}_{c}$

......dû à la fermeture du filtre sur l'oscilloscope.

Solution

......Il convient bien sûr de refaire le schéma du circuit ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ par les tensions instantanées complexes $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ et en représentant chaque condensateur par un rectangle à côté duquel on met la valeur de son impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ pour le condensateur de capacité $\;C\;$ ou $\;{\underline {Z_{C_{0}}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C_{0}\,\omega }}\;$ pour le condensateur de capacité $\;C_{0}$.

......$\;R_{0}$, $\;{\underline {Z_{C_{0}}}}(j\,\omega )\;$ et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ étant montées en $\;\parallel$, l'association est d'impédance complexe équivalente $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {1}{R_{0}}}+j\,C_{0}\,\omega +j\,C\,\omega =$ ${\dfrac {1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }{R_{0}}}\;$ d'où $\;{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )={\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;$ et on reconnaît un pont diviseur de tension en sortie ouverte $\Rightarrow$ $\;{\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {s'}}(t)}{{\underline {e}}(t)}}={\dfrac {{\underline {S'}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}=$ ${\dfrac {\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}{R+{\dfrac {R_{0}}{1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R\left[1+j\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega \right]}}={\dfrac {R_{0}}{R_{0}+R+j\,R\,R_{0}\,(C_{0}+C)\,\omega }}\;$ ou, en normalisant mettre sous la forme d'un 1^er ordre, $\;{\underline {A'}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {R_{0}}{R+R_{0}}}{1+j\,{\dfrac {R\,R_{0}}{R+R_{0}}}\,(C_{0}+C)\,\omega }}$.

......On en déduit que la nature du filtre reste la même puisque le 1^er ordre est fondamental mais avec des caractéristiques modifiées selon ce qui suit :

• un nouveau gain statique en dB $\;G'_{0,\,dB}=20\,\log \!\left({\dfrac {R_{0}}{R+R_{0}}}\right)<0=G_{0,\,dB}\;$ et
• une nouvelle fréquence de coupure à -3dB $\;{f'}_{c}={\dfrac {R+R_{0}}{2\,\pi \,R\,R_{0}\,(C_{0}+C)}}$, soit encore $\;{f'}_{c}=f_{c}\,{\dfrac {R+R_{0}}{R_{0}}}\,{\dfrac {C}{C+C_{0}}}\;$ laquelle peut être $\;>\;$ ou $\;<\;$ à $\;f_{c}$.

 

Applications numériques et commentaires

......Calculer le gain statique en dB $\;{G'}_{0,\,dB}\;$ et la fréquence de coupure à -3dB $\;{f'}_{c}\;$ pour les filtres $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})$.

......L'expérience donne pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})\;$ le gain statique en dB $\;G'_{0,\,dB}=-4,5\;dB$. Commenter les résultats.

Solution

......Calcul du nouveau gain statique en dB $\;{G'}_{0,\,dB}\;$ et de la nouvelle fréquence de coupure à -3dB $\;{f'}_{c}\;$ pour les filtres suivants :

• pour le filtre $\;({\mathfrak {1}})$ : $\;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {1}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{{\cancel {4,7\,10^{3}+}}10^{6}}}\right]\simeq 0\;$ et $\;{f'}_{c,\,({\mathfrak {1}})}\simeq 4980\times {\dfrac {{\cancel {4,7\,10^{3}+}}10^{6}}{10^{6}}}\times {\dfrac {6,8\,10^{-9}}{6,8\,10^{-9}{\cancel {+30\,10^{-12}}}}}\simeq 4980\,Hz$,
• pour le filtre $\;({\mathfrak {2}})$ : $\;{G'}_{0,\,dB,\,({\mathfrak {2}})}=20\,\log \!\left[{\dfrac {10^{6}}{680\,10^{3}+10^{6}}}\right]\simeq -4,5\,dB\;$ et $\;{f'}_{c,\,({\mathfrak {2}})}\simeq 4980\times {\dfrac {680\,10^{3}+10^{6}}{10^{6}}}\times {\dfrac {47\,10^{-12}}{47\,10^{-12}+30\,10^{-12}}}\simeq 5107\,Hz$.

......Pour que le gain statique ne soit pas perturbé, il faut $\;R_{0}\gg R\;$ [ainsi, avec $\;R_{0}=1\,M\Omega$, ne pas dépasser $\;100\,k\Omega {\big ]}\;$ et
......pour que la bande passante à -3dB reste la même, il faut $\;C_{0}\ll C\;$ [ainsi, avec $\;C_{0}=30\,pF\;$ ne pas aller au-dessous de $\;300\,pF=0,3\,nF\;$].

 

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale ou en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en série et alimenté par un générateur idéal de tension sinusoïdale

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre L et d'un conducteur ohmique de résistance R en série, de tension d'entrée u_E et de tension de sortie ouverte u_S aux bornes du conducteur ohmique

Sortie ouverte aux bornes du conducteur ohmique

......Soit le quadripôle $\;R,\,L\;$ série, représenté sur le schéma ci-contre, de tension d'entrée $\;u_{E}\;$ et de sortie ouverte $\;u_{S}$.

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du filtre

......Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}\;$ ${\big [}U_{E}\;$ étant la tension permanente imposée en entrée et $\;U_{S}\;$ la tension permanente de sortie (ouverte)].

Solution

......En statique (régime permanent établi) il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ étant équivalente à un court-circuit, on a $\;U_{S}=U_{E}\;$ et par suite $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}=1$.

 

Détermination de l'amplification complexe en tension du filtre fonctionnant en r.s.f.

......Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$ en régime sinusoïdal forcé en fonction de $\;\omega \;$ et $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ série

......et retrouver la valeur de $\;A_{0}\;$ trouvée à la question précédente.

Solution

......Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;u_{e}(t)$, $\;u_{s}(t)$ et les intensités instantanées des courants $\;i_{e}(t)\;$ et $\;i_{s}(t)=0\;$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, $\;{\underline {u_{s}}}(t)$, $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$.

......On reconnaît alors un pont diviseur de tension en sortie ouverte d'où $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {R}{R+j\,L\,\omega }}\;$ soit, en divisant haut et bas par $\;R\;$ pour normaliser la fonction de transfert, $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,\tau \,\omega }}\;$ en posant $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ constante de temps du $\;R\,L\;$ série ;

......Il s'agit donc d'un 1^er ordre fondamental de transfert statique $\;A_{0}=1\;$ en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

 

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du filtre construit

......Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

......en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Solution

......Le gain associé est $\;G(\omega )={\dfrac {U_{s}(\omega )}{U_{e}}}=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {1}{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\;$ correspondant à un passe-bas de pulsation de coupure à -3dB $\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}$ ;

......le gain en décibels se définissant par $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]$, ou encore $\;G_{dB}(\omega )=-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$ et

......sa phase $\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)$ ;

......le comportement asymptotique B.F. correspondant à $\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$ conduit à une amplification complexe en tension $\;{\underline {A_{B.F.}}}\sim 1\;$ d'où les asymptotes B.F. de la courbe de gain $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0\;$ alors que

......le comportement asymptotique H.F. correspondant à $\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$ conduit à une amplification complexe en tension $\;{\underline {A_{B.F.}}}\sim {\dfrac {1}{j\,\tau \,\omega }}\;$ entraînant l'équivalence à un circuit intégrateur à H.F. avec les asymptotes H.F. de la courbe de gain $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-20\,\log(\tau \,\omega )\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$, enfin

......la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à -3dB est $\;\varphi (\omega _{0})=-{\dfrac {\pi }{4}}$.

......Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir le chap.$33$ de la leçon «Signaux physiques (PCSI)» aux paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre fondamental ».

 

Sortie ouverte aux bornes de la bobine parfaite

......Après permutation du conducteur ohmique et de la bobine parfaite on reprend les mêmes questions.

Détermination directe de l'expression de l'amplification statique en tension du nouveau filtre

......Déterminer directement l'expression de l'amplification statique en tension $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}\;$ ${\big [}U_{E}\;$ étant la tension permanente imposée en entrée et $\;U_{S}\;$ la tension permanente de sortie (ouverte)].

Solution

......En statique (régime permanent établi) il n'y a pas de phénomène d'induction, la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ étant équivalente à un court-circuit, on a $\;U_{S}=0\;$ et par suite $\;A_{0}={\dfrac {U_{S}}{U_{E}}}=0$.

 

Détermination de l'amplification complexe en tension du nouveau filtre fonctionnant en r.s.f.

......Déterminer l'expression de l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$ en régime sinusoïdal forcé en fonction de $\;\omega \;$ et $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ série

......et retrouver la valeur de $\;A_{0}\;$ trouvée à la question précédente.

Solution

......Il convient bien sûr de faire un schéma de situation en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;u_{e}(t)$, $\;u_{s}(t)$ et les intensités instantanées des courants $\;i_{e}(t)\;$ et $\;i_{s}(t)=0\;$ par leurs expressions instantanées complexes associées $\;{\underline {u_{e}}}(t)$, $\;{\underline {u_{s}}}(t)$, $\;{\underline {i_{e}}}(t)\;$ et $\;{\underline {i_{s}}}(t)=0\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ aux bornes de laquelle se trouve la sortie par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$.

......On reconnaît alors un pont diviseur de tension en sortie ouverte d'où $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega }}\;$ soit, en divisant haut et bas par $\;R\;$ pour normaliser la fonction de transfert, $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,\tau \,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}\;$ en posant $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ constante de temps du $\;R\,L\;$ série ;

......Il s'agit donc d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul $\;A_{0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]=0\;$ en accord avec le résultat trouvé à la question précédente.

 

Allure du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension du nouveau filtre construit

......Donner l'allure du diagramme de Bode associé à cette fonction de transfert en

......en précisant la nature du filtre et ses principales propriétés.

Solution

......Le gain associé est $\;G(\omega )={\dfrac {U_{s}(\omega )}{U_{e}}}=\vert {\underline {A}}(j\,\omega )\vert ={\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$ correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à -3dB $\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}$ ;

......le gain en décibels se définissant par $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]=20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$ et

......sa phase $\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{u_{e}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)$ ;

......le comportement asymptotique B.F. correspondant à $\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$ conduit à une amplification complexe en tension $\;{\underline {A_{B.F.}}}\sim j\,\tau \,\omega \;$ entraînant l'équivalence à un circuit dérivateur à B.F. avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\,\log(\tau \,\omega )\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ alors que

......le comportement asymptotique H.F. correspondant à $\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$ conduit à une amplification complexe en tension $\;{\underline {A_{H.F.}}}\sim 1\;$ d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=0\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0$, enfin

......la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à -3dB est $\;\varphi (\omega _{0})=+{\dfrac {\pi }{4}}$.

......Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir le chap.$33$ de la leçon «Signaux physiques (PCSI)» aux paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul ».

 

Circuit construit à l'aide d'un conducteur ohmique et d'une bobine parfaite montés en parallèle alimenté par un générateur idéal de courant sinusoïdal

Schéma d'un quadripôle construit à l'aide d'une bobine parfaite d'inductance propre L et d'un conducteur ohmique de résistance R en parallèle, d'intensité de courant d'entrée i_G et de tension de sortie ouverte u_S aux bornes de l'ensemble

......Soit le circuit linéaire $\;R\,L\;$ parallèle, représenté sur le schéma ci-contre, commandé par un générateur de courant parfait de c.e.m. $\;i_{G}$.

Détermination de l'expression de la transimpédance complexe du filtre commandé en courant et fonctionnant en r.s.f.

......Déterminer l'expression de la transimpédance complexe $\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {I_{g}}}}\;$, en régime sinusoïdal forcé en fonction de $\;\omega$, $\;R\;$ et $\;\tau ={\dfrac {L}{R}}\;$ la constante de temps du $\;R\,L\;$ montées en parallèle.

......En déduire l'expression de la transrésistance $\;R_{t,\,0}={\dfrac {U_{S}}{I_{G}}}\;$ de ce filtre.

Solution

......Il convient bien sûr refaire le schéma ci-dessus en complexe en remplaçant le c.e.m. instantané $\;i_{g}(t)\;$ et la tension instantanée $\;u_{s}(t)\;$ par leurs expressions instantanées complexes $\;{\underline {i_{g}}}(t)\;$ et $\;{\underline {u_{s}}}(t)\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ par un rectangle à côté duquel on met son impédance complexe $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega$ ;

......la transimpédance complexe du filtre $\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {i_{g}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {I_{g}}}}\;$ n'est rien d'autre que l'impédance complexe équivalente vue des bornes d'entrée soit $\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )=$ $j\,L\,\omega \,\parallel \,R={\dfrac {R\,j\,L\,\omega }{R+j\,L\,\omega }}={\dfrac {j\,L\,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}\;$ et finalement $\;{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )=R\,{\dfrac {j\,\tau \,\omega }{1+j\,\tau \,\omega }}$.

......La transrésistance $\;R_{t,\,0}={\dfrac {U_{S}}{I_{G}}}\;$ étant la limite de la transimpédance complexe quand la pulsation $\;\omega \;$ tend vers $\;0$, on en déduit $\;R_{t,\,0}=\lim \limits _{\omega \,\rightarrow \,0}\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]=0\;$ en accord avec le fait qu'en statique les phénomènes d'induction disparaissant, une bobine parfaite en régime permanent est équivalente à un court-circuit d'où $\;U_{S}=0$.

 

Définition et allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre commandé en courant fonctionnant en r.s.f. avec précision de ses principales propriétés

......Pour pouvoir définir un diagramme de Bode associé à une transimpédance complexe, on introduit le gain associé à cette impédance complexe de transfert par $\;G_{z}(\omega )={\dfrac {\vert {\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\vert }{1\,\Omega }}$ ; ainsi ce gain est une grandeur sans unité.

......Définir et donner l'allure du diagramme de Bode associé à la transimpédance complexe du filtre ainsi construit

......en précisant les principales propriétés de ce dernier.

Solution

......Le gain associé est $\;G_{z}(\omega )={\dfrac {\vert {\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\vert }{1\,\Omega }}={\dfrac {1}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {U_{s}(\omega )}{I_{g}}}={\dfrac {R}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}={\dfrac {R}{1\,\Omega }}\;{\dfrac {1}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}}}\;$ correspondant à un passe-haut de pulsation de coupure à -3dB $\;\omega _{c}={\dfrac {1}{\tau }}$ ;

......le gain en décibels se définissant par $\;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[G_{z}(\omega )\right]\;$ se réécrit $\;G_{z,\,dB}(\omega )=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log \!\left[{\dfrac {\tau \,\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}}}}\right]\;$ ou encore $\;G_{z,\,dB}(\omega )=$ $20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )-10\,\log \!\left[1+\tau ^{2}\,\omega ^{2}\right]\;$ et

......sa phase $\;\varphi (\omega )=\varphi _{u_{s}}(\omega )-\varphi _{i_{g}}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{t}}}(j\,\omega )\right]={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left(\tau \,\omega \right)$ ;

......le comportement asymptotique B.F. correspondant à $\;\omega \lesssim {\dfrac {\omega _{0}}{10}}\;$ conduit à une transimpédance complexe $\;{\underline {Z_{t,\,B.F.}}}\sim j\,R\,\tau \,\omega \;$ entraînant l'équivalence à un circuit dérivateur à B.F. avec les asymptotes B.F. de la courbe de gain $\;G_{z,\,dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]+20\,\log(\tau \,\omega )\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ alors que

......le comportement asymptotique H.F. correspondant à $\;\omega \gtrsim 10\;\omega _{0}\;$ conduit à une transimpédance complexe $\;{\underline {Z_{t,\,H.F.}}}\sim R\;$ d'où les asymptotes H.F. de la courbe de gain $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=20\,\log \!\left[{\dfrac {R}{1\,\Omega }}\right]\;$ et de la courbe de phase $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0$, enfin

......la valeur de la phase pour la pulsation de coupure à -3dB est $\;\varphi (\omega _{0})=+{\dfrac {\pi }{4}}$.

......Pour le tracé des courbes de gain et de phase revoir le chap.$33$ de la leçon «Signaux physiques (PCSI)» aux paragraphes « tracé de la courbe de gain et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 1^er ordre non fondamental à transfert statique nul ».

 

Réponse en u_C(t) d'une association parallèle R C soumise, à travers un bobine parfaite d'inductance propre L, à une f.e.m. sinusoïdale de valeur efficace constante et de fréquence variable

Schéma d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre L, le tout étant sous tension sinusoïdale

......On considère le circuit ci-contre constitué d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et d'un condensateur de capacité $\;C\;$ montée en série avec une bobine parfaite d'inductance propre $\;L$ ; il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale $\;u(t)=U_{0}\,{\sqrt {2}}\cos(\omega \,t)\;$.

Détermination de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de l'association parallèle R C, réduction canonique et précision du type de filtre

......Cherchant à déterminer la tension commune $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes de l'association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et du condensateur de capacité $\;C\;$ dans le régime sinusoïdal forcé imposé par le générateur, on adopte le traitement complexe du problème et on demande d'exprimer l'amplification complexe en tension de sortie ouverte aux bornes de $\;R\,C\;$ montées en parallèle $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}\;$ en fonction des données du problème ;

......en faire la réduction canonique ;

......de quel type de 2^ème ordre s'agit-il, du type « réponse en $\;u_{R}$, en $\;u_{C}\;$ ou en $\;u_{L}\;$ d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante » ?

Solution

Schéma en complexe d'une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur d'impédance complexe Z_C(jω) montée en série avec une bobine parfaite d'impédance complexe Z_L(jω), le tout étant sous tension instantanée complexe

......On considère le circuit représenté en complexe ci-contre, alimenté par un générateur imposant une tension instantanée complexe égale à $\;{\underline {u}}(t)=U_{0}\,{\sqrt {2}}\,\exp(j\,\omega \,t)\;$, les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur étant respectivement $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \;$ et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$ ;

......on reconnaît, dans la partie ci-contre en tiretés, un pont diviseur de tension [en sortie ouverte aux bornes de $\;R\,\parallel \,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega ){\big ]}\;$ et alimenté en entrée par le générateur de tension soit, en remplaçant $\;R\,\parallel \,{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ par son impédance complexe équivalente $\;{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )={\dfrac {R\,{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}$, la tension instantanée complexe aux bornes du dipôle $\;R\,\parallel \,C\;$ égale à $\;{\underline {u_{C}}}(t)=$ ${\dfrac {{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{R\,\parallel \,C\,{\text{éq}}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )}}\,{\underline {u}}(t)={\dfrac {\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}{{\dfrac {R}{1+j\,R\,C\,\omega }}+j\,L\,\omega }}\,{\underline {u}}(t)={\dfrac {R}{R+j\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)L\,\omega }}\,{\underline {u}}(t)\;$ d'où l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}\;$ s'écrivant $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {R}{R+j\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)L\,\omega }}\;$ soit, en développant le dénominateur et en divisant haut et bas par $\;R\;$ pour normaliser la fonction de transfert $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,\omega )}{U_{0}}}={\dfrac {1}{1\,-\,L\,C\,\omega ^{2}\,+\,j\,{\dfrac {L}{R}}\,\omega }}$.

......On reconnaît par le dénominateur de la fonction de transfert normalisée écrite sous sa forme usuelle un 2^ème ordre et par son numérateur un 2^ème ordre du type « réponse en u_C d'un R L C série soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace constante ».

......L'identification du dénominateur de la fonction de transfert avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ dans lequel $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite nous permet d'obtenir la réduction canonique de l'amplification complexe en tension d'où :

• la pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une pulsation par identification du terme en $\;\omega ^{2}\;$ soit $\;-L\,C\,\omega ^{2}=-{\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ d'où $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et
• le facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ sans dimension par identification du terme en $\;\omega \;$ soit $\;j\,{\dfrac {L\,\omega }{R}}=j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\;$ d'où $\;Q={\dfrac {R}{L\,\omega _{0}}}\;$ ;

......le numérateur de la fonction de transfert définit le transfert statique $\;A_{0}=1$ ;

......finalement la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert s'écrit $\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,x)}{U_{0}}}={\dfrac {1}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ avec $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\in \mathbb {R} ^{+}\;$ sans dimension.

 

Établissement de la condition de résonance de la réponse en tension aux bornes de l'association parallèle R C

......Déduire de la tension efficace complexe $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\underline {A}}(j\,x)\;U_{0}\;$ la tension efficace $\;U_{C}(x)=G(x)\;U_{0}\;$ puis

......déterminer la condition de résonance de la tension commune $\;u_{C}(t)\;$ aux bornes de l'association parallèle constituée du conducteur ohmique de résistance $\;R\;$ et du condensateur de capacité $\;C$ ; on rappellera la valeur de la pulsation de résonance dans ce cas.

Solution

......De la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {U_{C}}}(j\,x)={\underline {A}}(j\,x)\;U_{0}={\dfrac {U_{0}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ on déduit, en en prenant le module, la tension efficace de sortie $\;U_{C}(x)\;$ soit $\;U_{C}(x)=\vert {\underline {U_{C}}}(j\,x)\vert ={\dfrac {U_{0}}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x^{2}}{Q^{2}}}}}}$ ; ......comme on reconnaît un système du 2^e ordre du type « réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un R L C série soumis à une tension efficace constante », d'après l'étude de cours (revoir le paragraphe « recherche d'une éventuelle résonance en charge (ou en tension aux bornes du condensateur) du R L C série … » du chapitre$31$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ») il y a résonance en $\;u_{C}(t)\;$ pour $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ et
la pulsation réduite (ou fréquence réduite) de résonance est $\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}<1$.

......La condition de résonance $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ se réécrit $\;{\dfrac {R}{L\,\omega _{0}}}\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\Leftrightarrow R\geqslant {\dfrac {L\,\omega _{0}}{\sqrt {2}}}\;$ ou, avec $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}$, la condition de résonance est $\;R\geqslant {\sqrt {\dfrac {L}{2\,C}}}$ ;

......la pulsation réduite (ou fréquence réduite) de résonance $\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}\;$ se réécrit $\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {L^{2}\,\omega _{0}^{2}}{2\,R^{2}}}}}\;$ ou encore, avec $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {1}{L\,C}}$, selon $\;x_{r}={\sqrt {1-{\dfrac {L}{2\,R^{2}\,C}}}}\;$ donnant une fréquence de résonance $\;f_{r}=f_{0}\;{\sqrt {1-{\dfrac {L}{2\,R^{2}\,C}}}}<f_{0}\;$ ou $\;f_{r}={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{L\,C}}-{\dfrac {1}{2\,R^{2}\,C^{2}}}}}<{\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}=f_{0}\;$.

 

Sous la condition de résonance trouvée, tracé du diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension ouverte aux bornes de l'association parallèle R C en fonction de la fréquence réduite

......Dans le cas où il y a résonance, représenter le diagramme de Bode associé à l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {{\underline {u_{C}}}(t)}{{\underline {u}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{C}}}(j\,x)}{U_{0}}}\;$ en fonction de la fréquence réduite, la tension efficace $\;U_{0}\;$ étant constante.

Solution

......Dans le cas où il y a résonance, le diagramme de Bode est celui vu dans le paragraphe « fonction de transfert du 2^ème ordre du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série … » du chapitre$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » avec $\;H_{0}=1\;$ à savoir :

......$\;\succ \;$ pour la courbe de gain :

• une asymptote B.F. de pente nulle, plus exactement avec $\;A_{0}=1$, d'équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0$,
• une asymptote H.F. de pente $\;-40\,dB/{\text{décade}}$, plus exactement d'équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-40\,\log(x)$,
• avec un maximum pour la pulsation réduite de résonance $\;x_{r}<1\;$ de valeur $\;G_{dB,\,{\text{max}}}=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{\sqrt {\left(1-x_{r}^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x_{r}^{2}}{Q^{2}}}}}}\right]=-10\,\log \!\left[\left(1-x_{r}^{2}\right)^{2}+{\dfrac {x_{r}^{2}}{Q^{2}}}\right]\;$ ou $\;G_{dB,\,{\text{max}}}=-10\,\log \!\left[{\dfrac {1}{4\,Q^{4}}}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{2\,Q^{4}}}\right]=-10\,\log \!\left[{\dfrac {1}{Q^{2}}}-{\dfrac {1}{4\,Q^{4}}}\right]\;$ que l'on peut réécrire encore $\;G_{dB,\,{\text{max}}}=20\,\log(Q)-10\,\log \!\left(1-{\dfrac {1}{4\,Q^{2}}}\right)\;$,
• voir le « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode concernant un 2^ème ordre du type réponse en u_C d'un R L C série … » du chapitre$33$ précité ;

......$\;\succ \;$ pour la courbe de phase :

• une asymptote B.F. de valeur nulle, plus exactement d'équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0$,
• une asymptote H.F. de valeur $\;-\pi$, plus exactement d'équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi$,
• avec, à la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1$, la valeur $\;\varphi (x_{0}=1)=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$,
• voir le « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode concernant un 2^ème ordre du type réponse en u_C d'un R L C série … » du chapitre$33$ précité.

 

Modélisation du filtre d'antenne d'un récepteur

Schéma de modélisation d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur, le signal d'entrée proportionnel au signal reçu par l'antenne étant sinusoïdal de pulsation ω et de valeur de crête E_m

......L'association d'une antenne et de l'étage d'entrée d'un récepteur est modélisée par le schéma équivalent électrique représenté ci-contre dans lequel le condensateur est variable de capacité $\;C\;$ à déterminer, avec les valeurs numériques $\;L=5\,mH$, $\;r=40\,\Omega \;$ ;

......la source de tension résultant du signal reçu par l'antenne et lui étant proportionnel est de f.e.m. $\;e(t)$ que l'on suppose sinusoïdale de forme $\;e(t)=E_{m}\,\cos(\omega \,t)\;$ avec $\;E_{m}=100\,\mu V\;$ pour valeur de crête ;

......la tension $\;s(t)\;$ aux bornes du condensateur modélise la tension disponible à l'étage d'entrée du récepteur.

Détermination de la plage de variation de la capacité du condensateur pour pouvoir capter un ensemble de canaux de fréquences fixées

......On prélève le signal $\;s(t)\;$ aux bornes du condensateur ; pour un canal donné, on doit ajuster la valeur de $\;C\;$ pour obtenir une résonance aiguë autour de la fréquence centrale du canal.

......Quelle plage de variation de la valeur de $\;C\;$ faut-il prévoir si l'ensemble des canaux susceptibles d'être captés s'étalent entre $\;150\,kHz\;$ et $\;300\,kHz$ ?

Solution

......Il convient bien sûr de refaire le schéma représenté ci-dessus en complexe en remplaçant les tensions instantanées $\;e(t)\;$ et $\;s(t)\;$ par leurs expressions complexes associées $\;{\underline {e}}(t)\;$ et $\;{\underline {s}}(t)\;$ en représentant la bobine parfaite d'inductance propre $\;L\;$ et le condensateur de capacité $\;C\;$ chacun par un rectangle à côté duquel on met leur impédance complexe respective soit $\;{\underline {Z_{L}}}(j\,\omega )=j\,L\,\omega \;$ pour l'un et $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}\;$ pour l'autre.

......S'agissant de la réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension d'amplitude constante, de pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {L\,C}}}\;$ et de facteur de qualité $\;Q=$ ${\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}={\dfrac {1}{R\,C\,\omega _{0}}}$, il y a résonance si $\;Q\geqslant {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ avec une pulsation de résonance $\;\omega _{r}=\omega _{0}\,{\sqrt {1-{\dfrac {1}{2\,Q^{2}}}}}<\omega _{0}$, la résonance étant d'autant plus aiguë que Q est grand ;

......supposant la résonance aiguë, cela nécessite une grande valeur de $\;Q\;$ et par suite, une fréquence de résonance $\;f_{r}={\dfrac {\omega _{r}}{2\,\pi }}\simeq {\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}={\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}$ ;

......pour obtenir $\;150\,10^{3}\,Hz\lesssim f_{r}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz\;$ il faut choisir que $\;C\;$ soit telle que $\;150\,10^{3}\,Hz\lesssim {\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\lesssim 300\,10^{3}\,Hz\;$ dont on déduit, en élevant au carré après avoir multiplié par $\;2\,\pi \,{\sqrt {L}}$, l'encadrement $\;9\,10^{10}\times \pi ^{2}\times L\lesssim {\dfrac {1}{C}}\lesssim 36\,10^{10}\times \pi ^{2}\times L\;$ ou encore, en inversant et remplaçant $\;L\;$ par sa valeur, l'encadrement de la capacité $\;{\dfrac {1}{36\,10^{10}\times \pi ^{2}\times 5\,10^{-3}}}\simeq 5,6\,10^{-11}\,F\lesssim C\lesssim {\dfrac {1}{9\,10^{10}\times \pi ^{2}\times 5\,10^{-3}}}\simeq 2,25\,10^{-10}\,F\;$ soit finalement $\;56\,pF\lesssim C\lesssim 225\,pF$.

 

Choix de la résistance R pour allier sensibilité et sélectivité du récepteur envers un canal fixé

......Dans la suite on raisonne sur un canal de fréquence $\;162\,kHz\;$ ;

......on introduit l'aspect « sensibilité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité du récepteur de pouvoir capter toutes les fréquences de ce canal pour avoir accès à toute l'information contenue dans ce canal et

......on introduit l'aspect « sélectivité » du récepteur envers un canal comme étant la possibilité de réglage du récepteur pour ne pas capter une partie d'un éventuel signal d'un canal adjacent.

......Montrer qu'il existe un compromis sur le choix de la résistance $\;R\;$ pour tenir compte des aspects « sensibilité » et « sélectivité » du récepteur.

Solution

......Dans la mesure où le facteur de qualité $\;Q\;$ est grand, l'acuité de la résonance est sensiblement la même que celle du passe-bande du 2^ème ordre de réponse en $\;u_{R}\;$ du $\;R\,L\,C\;$ série soumis à une tension d'amplitude constante, et ainsi la sélectivité sera d'autant plus grande que le facteur de qualité le sera c'est-à-dire que la résistance sera faible ;

......toutefois il ne faut pas avoir une trop grande sélectivité de façon à pouvoir récupérer toute l'information au voisinage de la fréquence centrale, une trop faible valeur de résistance entraînant certes une très bonne sélectivité mais une médiocre sensibilité dans la mesure où il y aura perte d'information pour les fréquences du signal capté trop éloignée de la fréquence centrale ; ainsi pour maintenir une sensibilité non trop faible il est nécessaire de choisir une résistance non trop petite.

 

Détermination de la résistance R et de la capacité C pour une valeur de bande passante à -3dB fixée

......La bande passante à -3dB ayant pour valeur $\;10\,kHz$, déterminer les valeurs de $\;R\;$ et $\;C\;$ qui conviennent.

Solution

......Pour avoir une fréquence de résonance de $\;f_{r}=162\,kHz\;$ correspondant à $\;Q\;$ grand, il faut choisir $\;C\;$ telle que $\;{\dfrac {1}{2\,\pi \,{\sqrt {L\,C}}}}\simeq 162\,10^{3}\,Hz\;$ dont on tire $\;C\simeq$ ${\dfrac {1}{4\,\pi ^{2}\left(162\,10^{3}\right)^{2}L}}\simeq {\dfrac {1}{4\,\pi ^{2}\left(162\,10^{3}\right)^{2}\!\times 5\,10^{-3}}}\simeq 1,93\,10^{-10}\,F\;$ soit $\;C\simeq 193\,pF$ ; ......la bande passante à -3dB c'est-à-dire la largeur de l'intervalle passant $\;\Delta f=10\,kHz\;$ entraîne une acuité de résonance $\;{\mathcal {A}}={\dfrac {f_{r}}{\Delta f}}\simeq {\dfrac {f_{0}}{\Delta f}}=Q\;$ dans la mesure où ce dernier est grand d'où $\;Q\simeq {\dfrac {162}{10}}=16,2\;$ ou $\;Q={\dfrac {L\,\omega _{0}}{R}}\simeq 16,2\;$ soit encore $\;R\simeq {\dfrac {L\,2\,\pi \,f_{0}}{Q}}\simeq {\dfrac {5\,10^{-3}\times 2\,\pi \,\times 162\,10^{3}}{16,2}}\;$ ou $\;R\simeq 314\,\Omega \;$ et finalement une résistance additionnelle de $\;274\,\Omega$.

 

Détermination de la valeur de crête de la tension captée à l'entrée du récepteur

......Quelle est la valeur de crête $\;S_{m}\;$ de la tension captée à l'entrée du récepteur et proportionnelle au signal sélectionné dans le canal choisi précédemment ?

Solution

......Dans les conditions où $\;Q\;$ est grand, le signal reçu centré sur la fréquence de résonance a pour amplitude $\;S_{m}\simeq Q\,E_{m}\;$ soit numériquement $\;S_{m}\simeq 16,2\times 100\,10^{-6}\,V\;$ et finalement $\;S_{m}\simeq 1,62\,mV$.

 

Coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul

......Une fonction de transfert du 2^ème ordre est dite « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul » ssi sa forme normalisée usuelle s'écrit selon

$\;{\underline {H}}(j\,\omega )={\dfrac {H_{0}\left(1-\beta '\,\omega ^{2}\right)+j\,\gamma '\,\omega }{1-\beta '\,\omega ^{2}+j\,\alpha '\,\omega }}\;$ avec $\;H_{0}\;\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ transfert statique homogène au transfert harmonique,
$\;\beta '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène au carré d'une constante de temps, $\;\alpha '\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ homogène à une constante de temps et
$\;\gamma '\in \mathbb {R} ^{*}\;$ homogène au transfert harmonique multiplié par une constante de temps telle que $\;\vert \gamma '\vert <\vert H_{0}\vert \;{\dfrac {\alpha '}{\sqrt {2}}}\;$.

Détermination de la forme canonique réduite usuelle d'un coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul

......Définir la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ ainsi que le facteur de qualité $\;Q\;$ du filtre du 2^ème ordre introduit puis

......en déduire que la forme canonique réduite de ce filtre s'écrit $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ en introduisant la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$ et la grandeur $\;\alpha ={\dfrac {\gamma '\;\omega _{0}}{H_{0}}}\;$ sans dimension.

Solution

......L'identification du dénominateur de la fonction de transfert écrite sous sa forme normalisée usuelle avec $\;1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}\;$ dans laquelle $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite, $\;\omega _{0}\;$ définissant la pulsation propre du système, et $\;Q\;$ le facteur de qualité du système permet de définir

• la pulsation propre $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ par $\;\beta '\;\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;\forall \omega \;$ d'où $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {\beta '}}}\;$ et
• le facteur de qualité $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ par $\;\alpha '\;\omega ={\dfrac {x}{Q}}={\dfrac {\omega }{Q\;\omega _{0}}}\;\forall \omega \;$ d'où $\;Q={\dfrac {1}{\alpha '\;\omega _{0}}}$ ;

......avec l'introduction de ces deux grandeurs canoniques $\;\left(\omega _{0}\,,\,Q\right)\;$ et celle de la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}$, la fonction de transfert « du type coupe-bande avec un gain minimal non nul » se réécrit sous forme canonique réduite usuelle selon $\;{\underline {H}}(j\,x)={\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ avec le transfert statique $\;H_{0}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ de même homogénéité que le transfert harmonique,
$\;x\in \mathbb {R} ^{+}\;$ définissant la pulsation réduite, $\;Q\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$ le facteur de qualité, toutes deux sans dimension tout comme
$\;\alpha ={\dfrac {\gamma '\;\omega _{0}}{H_{0}}}\in \,\mathbb {R} ^{*}\;$ telle que $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\;{\sqrt {2}}}}\;$.

 

Détermination de la forme canonique réduite pratique d'un coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul

......Une forme canonique est dite « pratique » quand son dénominateur a été mis en fonction de la grandeur $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ fonction croissante de la pulsation réduite et que son numérateur est constant ou fonction uniquement de $\;X(x)$ ;

......déterminer la forme canonique réduite « pratique » de ce filtre en divisant haut et bas par $\;1-x^{2}\;$ puis en divisant le terme du numérateur et du dénominateur autre que 1  par $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}$.

Solution

......Pour obtenir la forme canonique pratique de la fonction de transfert,

• dans un 1^er temps on divise haut et bas par $\;1-x^{2}\;$ soit $\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}}{1+{\dfrac {j\,x}{Q\left(1-x^{2}\right)}}}}\;$ puis
• dans un 2^e temps on transforme le terme du numérateur et du dénominateur autre que 1  à savoir $\;{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}\;$ et $\;{\dfrac {j\,x}{Q\left(1-x^{2}\right)}}\;$ en divisant haut et bas par $\;{\dfrac {j\,x}{Q}}\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {j\,\alpha \,x}{1-x^{2}}}={\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\\{\dfrac {j\,{\dfrac {x}{Q}}}{1-x^{2}}}={\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la forme canonique pratique de cette fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\,X(x)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\,X(x)}}}}\;$ où $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ est une grandeur $\;\nearrow \;$ de $\;x\;$.

 

Expression du gain d'un coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul et sa variation en fonction de la fréquence réduite

......Exprimer le gain $\;G(x)\;$ de ce filtre et

......étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite (ou pulsation réduite) et

......vérifier que la grandeur sortante entre en antirésonance pour la fréquence propre du filtre.

Solution

......Le gain s'écrit donc $\;G(x)=\vert {\underline {H}}(j\,x)\vert =\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {1+{\dfrac {\alpha ^{2}\,Q^{2}}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}}{1+{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}(x)}}}}}=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {Q^{2}\,X^{2}(x)+\alpha ^{2}\,Q^{2}}{Q^{2}\,X^{2}(x)+1}}}=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {\dfrac {X^{2}(x)+\alpha ^{2}}{X^{2}(x)+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}}\;$ soit finalement $\;G(X)=$ $\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}\;$ avec $\;k(X^{2})={\dfrac {X^{2}+\alpha ^{2}}{X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}$ ;

......pour étudier la variation du gain on évalue la dérivée de la fonction $\;k\;$ par rapport à $\;X^{2}\;$ soit $\;{\dfrac {dk}{dX^{2}}}(X^{2})={\dfrac {\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)-\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}{\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)^{\!2}}}\;$ donnant après simplification évidente $\;{\dfrac {dk}{dX^{2}}}(X^{2})={\dfrac {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-\alpha ^{2}}{\left(X^{2}+{\dfrac {1}{Q^{2}}}\right)^{\!2}}}>0\;$ si $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q}}\;$ c'est-à-dire que $\;k(X^{2})\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;X^{2}$ ;

......$\;\succ \;$ pour $\;x\nearrow \;$ de 0 à 1 $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à 0 $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à 0 $\Rightarrow$ $\;k(X^{2})\searrow \;$ de 1 à $\;\alpha ^{2}\,Q^{2}\;$ et par suite le gain $\;G(X)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}$ $\searrow \;$ de $\;\vert H_{0}\vert \;$ à $\;\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q$ ;

......$\;\succ \;$ pour $\;x\nearrow \;$ de 1 à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de 0 à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\nearrow \;$ de 0 à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;k(X^{2})\nearrow \;$ de $\;\alpha ^{2}\,Q^{2}\;$ à 1 et par suite le gain $\;G(X)=$ $\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k(X^{2})}}\nearrow \;$ de $\;\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\;$ à $\;\vert H_{0}\vert$ ;

......en résumé, nous constatons que le gain est décroissant puis croissant de part et d'autre de son minimum obtenu pour la fréquence propre, minimum à valeur $\;G_{\text{min}}=$ $G(x=1)=\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\neq 0$, les gains à B.F. et à H.F. étant égaux à $\;\vert H_{0}\vert$.

 

Condition pour que le filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences), bande non passante à -3dB et acuité d'antirésonance

......Déterminer la condition pour que ce filtre soit un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences) ainsi que

......Déterminer la bande non passante à -3dB $\;B.n.P._{-3dB}\;$ et

......Déterminer l'acuité de l'antirésonance $\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}$.

Solution

......Pour que ce filtre soit un coupe-bande il faut que les fréquences de coupures à –3dB existent c'est-à-dire que $\;G(x_{c})={\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {2}}}\;$ soit $\;>\;$ à $\;G_{\text{min}}=G(x=1)$ $=\vert H_{0}\vert \,\vert \alpha \vert \,Q\;$ ou encore $\;\vert \alpha \vert \,Q<{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;$ soit finalement le filtre est un coupe-bande (ou réjecteur de fréquences) de fréquence d'antirésonance $\;f_{0}\;$ si $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}$ ;

......le « domaine passant à –3dB »  étant $\;\left[0\,;\,f_{c,\,b}\right]\cup \left[f_{c,\,h}\,;\,+\infty \right[\;$ ne permet pas de définir une « bande passante à –3dB »  mais autorise la définition d'une « bande non passante à –3dB » (définie comme la largeur de l'intervalle non passant) $\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}$ ;

......les fréquences réduites de coupures à –3dB sont définies par $\;G(x_{c})={\dfrac {\vert H_{0}\vert }{\sqrt {2}}}\;$ avec $\;G(x)=\vert H_{0}\vert \;{\sqrt {k\!\left[X^{2}(x)\right]}}\;$ où $\;k\!\left[X^{2}(x)\right]={\dfrac {X^{2}(x)+\alpha ^{2}}{X^{2}(x)+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}\;$ dans laquelle $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ d'où l'équation en $\;x_{c}\;$ suivante $\;k\!\left[X^{2}(x_{c})\right]={\dfrac {1}{2}}\;$ ou $\;{\dfrac {X^{2}(x_{c})+\alpha ^{2}}{X^{2}(x_{c})+{\dfrac {1}{Q^{2}}}}}={\dfrac {1}{2}}\;$ se réduisant en $\;X^{2}(x_{c})={\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}\;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{c,\,h}-{\dfrac {1}{x_{c,\,h}}}={\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\\x_{c,\,b}-{\dfrac {1}{x_{c,\,b}}}=-{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire les mêmes équations que celles recherchant les fréquences réduites de coupure à -3dB du filtre passe-bande du 2^e ordre à condition de substituer $\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\;$ à $\;{\dfrac {1}{Q}}$, on en déduit donc que la bande non passante à -3dB vaut $\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}$,
ce qui permet de définir l'acuité de l'antirésonance $\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}$,
« l'intervalle non passant étant d'autant plus étroit »  que $\;\vert \alpha \vert \;$ est proche de $\;{\dfrac {1}{Q\;{\sqrt {2}}}}$.

 

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode

......Tracer la courbe de gain du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite $\;x\;$ avec un transfert statique $\;H_{0}=1$, un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et un cœfficient $\;\alpha =1\;$ en

......précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que la valeur minimale du gain en dB,

......précisant les valeurs des fréquences réduites de coupure à -3dB et l'acuité d'antirésonance.

Solution

Tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du type coupe-bande à gain minimal non nul pour un transfert statique H₀ = 1, un cœfficient α = 1 et un facteur de qualité Q = 0,25

......Ci-contre la courbe de gain du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul » avec

• un transfert statique $\;H_{0}=1$,
• un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et
• le cœfficient de $\;j\,x\;$ du numérateur après mise en facteur du transfert statique $\;\alpha =1\;$ ;

......en plus des asymptotes B.F. et H.F. d'équation commune $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=$ $20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]=0$, il y a un minimum de gain en dB d'abscisse $\;x=x_{0}=1\;$ et d'ordonnée $\;G_{dB,\,{\text{min}}}=$ $G_{dB}(x=x_{0}=1)=20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]+20\,\log \!\left[\vert \alpha \vert \;Q\right]\simeq -12\;dB\;$ traduisant l'existence d'une antirésonance à gain non nul ou à gain en dB fini ;

......avec ce facteur de qualité et le cœfficient $\;\alpha \;$ de $\;j\,x\;$ du numérateur après mise en facteur du transfert statique, les fréquences réduites de coupure à -3dB valent, en remplaçant $\;{\dfrac {1}{Q}}\;$ des valeurs de fréquences réduites de coupure à -3dB pour un coupe-bande à gain minimal nul par $\;{\dfrac {1}{Q_{\text{eff}}}}={\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}\simeq 3,74\;$,

• $\;x_{c,\,b}=-{\dfrac {1}{2\;Q_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 0,25\;$ et
• $\;x_{c,\,h}={\dfrac {1}{2\;Q_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;Q_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 3,99\;$,

......la bande non passante à -3dB en fréquence réduite étant $\;B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}=x_{c,\,h}-x_{c,\,b}\simeq 3,74={\dfrac {1}{Q_{\text{eff}}}}\;$ et la valeur de l'acuité d'antirésonance $\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}=$ ${\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}}}\simeq {\dfrac {1}{3,74}}\simeq Q_{\text{eff}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}$.

......Remarques : en partant de la forme canonique réduite pratique de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1+{\dfrac {\alpha \,Q}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1+{\dfrac {1}{j\,Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}$, on obtient l'équation de la courbe de gain du diagramme de Bode sous la forme $\;G_{dB}(x)=20\,\log \!\left[\vert H_{0}\vert \right]+20\log \!\left[{\dfrac {\sqrt {1+{\dfrac {\alpha ^{2}\;Q^{2}}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}{\sqrt {1+{\dfrac {1}{Q^{2}\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)^{\!2}}}}}}\right]\;$ montrant l'invariance du gain en dB lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, en échelle logarithmique, lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que la courbe de gain du diagramme de Bode est invariante par symétrie axiale relativement à la droite $\;x=1$ ; les fréquences de coupure à -3dB étant définies par la même valeur du gain $\;G(x_{c})={\dfrac {G_{\text{max}}}{\sqrt {2}}}$, on en déduit que les points de la courbe de gain du diagramme de Bode correspondant aux deux fréquences de coupure à -3dB sont symétriques relativement à l'axe de symétrie et par conséquent les fréquences de coupure à -3dB ont des logarithmes opposés.

 

Étude de la variation de la phase du filtre en fonction de la fréquence réduite et tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode de ce dernier

......Exprimer la phase du filtre à partir de la forme canonique réduite pratique de sa fonction de transfert soit $\;\varphi =\varphi \!\left[X(x)\right]\;$ puis

......étudier sa variation en fonction de la fréquence réduite $\;x$ ;

......tracer la courbe de phase du diagramme de Bode de ce filtre en fonction de la fréquence réduite $\;x\;$ avec un transfert statique $\;H_{0}=1$, un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et un cœfficient $\;\alpha =1\;$ en

......précisant les équations des asymptotes B.F. et H.F. ainsi que

......précisant les valeurs des fréquences réduites correspondant à un minimum ou un maximum de phase avec la valeur de ces derniers.

Solution

......À partir de la forme canonique pratique de la fonction de transfert $\;{\underline {H}}(j\,x)=H_{0}\;{\dfrac {1-j\,{\dfrac {\alpha \,Q}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}{1-j\,{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}}}\;$ on en déduit l'expression de sa phase $\;\varphi (x)\;$ soit $\;\varphi (x)=$ $\mathrm {arg} \!\left[\vert {\underline {H}}(j\,x)\vert \right]=\mathrm {arg} \!\left[H_{0}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$ qui s'écrit encore, suivant le signe du transfert statique $\;H_{0}$, selon $\;\varphi (x)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\\pi -\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$, expression s'appliquant pour $\;x\neq 1$ ;

......l'étude de la variation de la phase relativement à la fréquence réduite $\;x\;$ utilise le fait que l'expression $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\;$ est aussi une fonction $\;\Phi \;$ de $\;X(x)=x-{\dfrac {1}{x}}\;$ soit $\;\Phi (X)=\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\;X}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{X}}\right]\;$ de dérivée par rapport à $\;X\;$ s'évaluant selon $\;{\dfrac {d\Phi }{dX}}(X)={\dfrac {-{\dfrac {1}{Q\,X^{2}}}}{1+{\dfrac {1}{Q^{2}\,X^{2}}}}}-{\dfrac {-{\dfrac {\alpha }{X^{2}}}}{1+{\dfrac {\alpha ^{2}}{X^{2}}}}}$ $={\dfrac {-Q}{Q^{2}\,X^{2}+1}}-{\dfrac {-\alpha }{X^{2}+\alpha ^{2}}}={\dfrac {-Q\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)+\alpha \left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)}{\left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}}={\dfrac {\left(1-\alpha \,Q\right)\left(\alpha -Q\,X^{2}\right)}{\left(Q^{2}\,X^{2}+1\right)\left(X^{2}+\alpha ^{2}\right)}}\;$ soit, $\;\alpha \;$ étant $\;<\;$ à $\;{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$ pour que le filtre soit un coupe-bande $\Rightarrow$ $\;\alpha \,Q<1\;$ on en déduit que $\;\Phi (X)\searrow \;$ pour $\;X^{2}>{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ et $\;\nearrow \;$ pour $\;X^{2}<{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$, soit finalement, en définissant les valeurs de fréquences réduites, quand celles-ci existent, correspondant à une modification de sens de variation de la phase selon $\;{\bigg \vert }x_{l}-{\dfrac {1}{x_{l}}}{\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ [la suite correspondant à $\;\alpha >0\;$] :

• pour $\;x\nearrow \;$ de 0 à $\;x_{l,\,b}\;$ $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-\infty \;$ à $\;-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;+\infty \;$ à $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Phi (X)\searrow \;$ de 0 à $\;\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)$,
• pour $\;x\nearrow \;$ de $\;x_{l,\,b}\;$ à $\;x_{l,\,h}\;$ $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ à $\;{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\searrow \;$ de $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ à 0 puis $\;\nearrow \;$ de 0 à $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Phi (X)\nearrow \;$ de $\;\Phi \!\left(-{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ à $\;\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ en passant par la valeur 0 pour $\;x=1\;$ et
• pour $\;x\nearrow \;$ de $\;x_{l,\,h}\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X(x)\nearrow \;$ de $\;{\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;X^{2}(x)\nearrow \;$ de $\;{\dfrac {\alpha }{Q}}\;$ à $\;+\infty \;$ $\Rightarrow$ $\;\Phi (X)\searrow \;$ de $\;\Phi \!\left({\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}\right)\;$ à $\;0$.

......Remarque concernant le cas α < 0 : dans ce cas $\;{\dfrac {d\Phi }{dX}}(X)<0\;\;\forall X\;$ entraînant une décroissance de $\;\Phi (X)\;$ sur tout le domaine, mais on observe dans ce cas une discontinuité de $\;\Phi (X)\;$ pour $\;X=0\;$ [ou pour $\;x=1{\big ]}\;$ en effet

• si $\;x\rightarrow 1^{-}$, on a $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\rightarrow {\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où $\;\Phi (x)\rightarrow -\pi \;$ et $\;\varphi (x)\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{r}-\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\0\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$ alors que
• si $\;x\rightarrow 1^{+}$, on a $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\rightarrow -{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\rightarrow {\dfrac {\pi }{2}}\;$ d'où $\;\Phi (x)\rightarrow \pi \;$ et $\;\varphi (x)\rightarrow \left\lbrace {\begin{array}{r}\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\2\,\pi \;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace$ ;

......Remarque concernant le cas α < 0 : au final si $\;H_{0}>0\;$ et $\;\alpha <0$, la phase $\;\varphi (x)\searrow \;$ de 0 à $\;-\pi$, fait un saut de $\;2\,\pi \;$ pour le passage par $\;x=1$, puis $\;\searrow \;$ de $\;\pi \;$ à $\;0$ ;

......Remarque concernant le cas α < 0 : au final si $\;H_{0}<0\;$ et $\;\alpha <0$, la phase $\;\varphi (x)\searrow \;$ de $\;\pi \;$ à $\;0$, fait un saut de $\;2\,\pi \;$ pour le passage par $\;x=1$, puis $\;\searrow \;$ de $\;2\,\pi \;$ à $\;\pi$.

Tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du type coupe-bande à gain minimal non nul pour un transfert statique H₀ = 1, un cœfficient α = 1 et un facteur de qualité Q = 0,25

......Ci-contre la courbe de phase du diagramme de Bode d'un 2^ème ordre du « type coupe-bande à gain minimal non nul » avec

• un transfert statique $\;H_{0}=1$,
• un facteur de qualité $\;Q=0,25\;$ et
• le cœfficient de $\;j\,x\;$ du numérateur après mise en facteur du transfert statique $\;\alpha =1\;$ ;

......en plus des asymptotes B.F. et H.F. d'équation commune $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=0$, on a, en posant $\;{\dfrac {1}{{Q'}_{\text{eff}}}}=$ ${\sqrt {\dfrac {\alpha }{Q}}}$, une décroissance sur $\;\left[0\,,\,x_{l,\,b}=-{\dfrac {1}{2\;{Q'}_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;{Q'}_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 0,41\right]\;$ avec $\;\varphi (x_{l,\,b})\simeq -0,64\,rad\;$ suivi d'une croissance sur $\;\left[x_{l,\,b}\,,\,x_{l,\,h}={\dfrac {1}{2\;{Q'}_{\text{eff}}}}+{\sqrt {1+{\dfrac {1}{4\;{Q'}_{\text{eff}}^{2}}}}}\simeq 2,41\right]\;$ avec $\;\varphi (x_{l,\,h})\simeq 0,64\,rad\;$ et d'une décroissance finale.

......Remarques : Avec un transfert statique négatif mais en gardant un cœfficient $\;\alpha >0$, la courbe de phase serait celle tracée ci-dessus après une translation de $\;\pi \;$ parallèlement à l'axe des phases dans le sens croissant de ce dernier ;

......Remarques : à partir de $\;\varphi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{r}-\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}>0\\\pi -\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]+\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;\;{\text{si}}\;H_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire de l'équation de la courbe de phase du diagramme de Bode, on remarque que les expressions $\;\arctan \!\left[{\dfrac {\alpha }{x-{\dfrac {1}{x}}}}\right]\;$ et $\;\arctan \!\left[{\dfrac {1}{Q\left(x-{\dfrac {1}{x}}\right)}}\right]\;$ deviennent leurs opposées lors du changement de $\;x\;$ en $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ ou, en échelle logarithmique, lors du changement de $\;\log(x)\;$ en $\;-\log(x)$, ce qui établit que la courbe de phase du diagramme de Bode est invariante par symétrie centrale de centre $\;\left(x=1\,,\,\varphi =0\right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;>0\;$ ou de centre $\;\left(x=1\,,\,\varphi =\pi \right)\;$ si $\;H_{0}\;$ est $\;<0$.

 

Exemple de coupe-bande de gain minimal non nul : réseau en T ponté

Schéma d'un Q.L.P. en sortie ouverte composé d'un réseau en T ponté, le T ayant ses bras (chacun étant un condensateur de capacité C) entre la borne d'entrée E et la borne de sortie S supérieures et son tronc (un conducteur ohmique de résistance r) relié à la borne commune M d'entrée et de sortie inférieure, le pontage entre E et S étant réalisé par un conducteur ohmique de résistance R

......On considère le réseau en $\;T\;$ ponté représenté ci-contre soumis à une tension sinusoïdale $\;u_{e}(t)\;$ de pulsation $\;\omega \;$ et de valeur efficace $\;U_{e}\;$ ; on pose $\;a={\dfrac {R}{r}}\;$ et $\;\tau ={\sqrt {r\,R}}\,C$.

Détermination de l'expression de l'amplification complexe en tension du réseau en T ponté en sortie ouverte en fonction des grandeurs caractéristiques du réseau et de la pulsation du r.s.f. puis établissement de sa forme canonique et vérification de la nature vraisemblable « coupe-bande à gain minimal non nul » du filtre

......Déterminer l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {u_{s}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}\;$ en fonction de la pulsation du r.s.f. et des données du réseau quand ce dernier est en sortie ouverte $\;{\big [}{\underline {u_{s}}}(t)\;$ étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte associée à la tension sinusoïdale, $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$ la tension efficace complexe correspondante] ;

......mettre cette fonction de transfert sous forme canonique, on précisera la pulsation propre $\;\omega _{0}$, le facteur de qualité $\;Q\;$ et on introduira la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ [ou encore fréquence réduite] ;

......compte-tenu de la forme de la fonction de transfert, vérifier qu'il s'agit vraisemblablement d'un coupe-bande à gain minimal non nul si toutefois la condition de réjection de fréquences est réalisée.

Solution

Schéma en complexe d'un Q.L.P. en sortie ouverte composé d'un réseau en T ponté, le T ayant ses bras [de même impédance complexe Z_C(jω)] entre la borne d'entrée E et la borne de sortie S supérieures et son tronc [de résistance r] relié à la borne commune M d'entrée et de sortie inférieure, le pontage entre E et S étant de résistance R

......Voir le schéma du réseau en T ponté reproduit en complexe associé au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ ci-contre dans lequel l'impédance complexe commune $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ est celle des condensateurs de capacité $\;C\;$ soit $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$, les tensions instantanées complexe d'entrée et de sortie ouverte étant liées aux tensions efficaces complexes associées par $\;{\underline {u_{e}}}(t)={\underline {U_{e}}}\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,\omega \,t\right]\;$ et $\;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\,{\sqrt {2}}\,\exp \!\left[j\,\omega \,t\right]$.

......Le théorème de Millmann appliqué en $\;S\;$ donne (en valeurs efficaces complexes) ${\underline {V_{S}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {\underline {U_{e}}}{R}}+j\,C\,\omega \,{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{{\dfrac {1}{R}}+j\,C\,\omega }}$ soit $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{e}}}+j\,R\,C\,\omega \,{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{1+j\,R\,C\,\omega }}$ ; ......on applique de nouveau le théorème de Millmann en $\;A\;$ et on obtient $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,C\,\omega \,{\underline {U_{e}}}+{\dfrac {\underline {0}}{r}}+j\,C\,\omega \,{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{j\,C\,\omega +{\dfrac {1}{r}}+j\,C\,\omega }}\;$ soit $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {j\,r\,C\,\omega \left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{1+2\,j\,r\,C\,\omega }}$ ; ......par report de $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ dans $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$ on obtient $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{e}}}+j\,R\,C\,\omega \,{\dfrac {j\,r\,C\,\omega \left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{1+2\,j\,r\,C\,\omega }}}{1+j\,R\,C\,\omega }}={\dfrac {\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right){\underline {U_{e}}}-r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\left[{\underline {U_{e}}}+{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\right]}{\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)}}=$ ${\dfrac {\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right){\underline {U_{e}}}-r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\,{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)}}\;$ qui se réécrit en regroupant les termes en $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\;$ dans un même membre et en laissant en $\,{\underline {U_{e}}}\;$ dans l'autre membre $\;{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )\left[\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega \right)+r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right]=\left(1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\right){\underline {U_{e}}}\;$ soit, après simplification élémentaire $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {U_{s}}}(j\,\omega )}{\underline {U_{e}}}}={\dfrac {1+2\,j\,r\,C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}}{1+j\left(R+2\,r\right)C\,\omega -r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}}}$. ......définissant la pulsation réduite $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ avec $\;\omega _{0}\;$ pulsation propre du système du 2^ème ordre, on doit identifier $\;r\,R\,C^{2}\,\omega ^{2}\;$ avec $\;x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ d'où $\;\omega _{0}^{2}={\dfrac {1}{r\,R\,C^{2}}}\;$ soit l'expression de la pulsation propre $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{{\sqrt {r\,R}}\,C}}={\dfrac {1}{\tau }}\;$ ; ......avec $\;Q\;$ le facteur de qualité du système du 2^ème ordre, on doit identifier $\;j\left(R+2\,r\right)C\,\omega \;$ avec $\;j\,{\dfrac {x}{Q}}=j\,{\dfrac {\omega }{Q\,\omega _{0}}}\;$ d'où $\;Q={\dfrac {1}{\left(R+2\,r\right)C\,\omega _{0}}}\;$ ou, l'énoncé posant $\;a={\dfrac {R}{r}}$, on transforme $\;Q$, en factorisant par $\;r$, soit $\;Q={\dfrac {1}{\left(a+2\right)r\,C\,\omega _{0}}}\;$ ou encore, avec $\;r\,C\,\omega _{0}={\cancel {{\sqrt {r\,R}}\,C\,\omega _{0}}}\,{\sqrt {\dfrac {r}{R}}}\;$ soit $\;r\,C\,\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;$ et par suite l'expression du facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{\left(R+2\,r\right)C\,\omega _{0}}}={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}$ ; ......définissant le cœfficient $\;\alpha \;$ comme celui de $\;j\,x\;$ du dénominateur de la fonction de transfert on doit identifier $\;2\,j\,r\,C\,\omega \;$ avec $\;j\,\alpha \;x=j\,{\dfrac {\alpha }{\omega _{0}}}\,\omega \;$ d'où $\;\alpha =2\,r\,C\,\omega _{0}\;$ ou, compte-tenu de $\;r\,C\,\omega _{0}={\cancel {{\sqrt {r\,R}}\,C\,\omega _{0}}}\,{\sqrt {\dfrac {r}{R}}}\;$ c'est-à-dire $\;r\,C\,\omega _{0}={\dfrac {1}{\sqrt {a}}}\;$ on obtient le cœfficient $\;\alpha \;$ sous la forme $\;\alpha =2\,r\,C\,\omega _{0}={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}$ ; ......finalement la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert se réécrit selon $\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {1+j\,\alpha \,x-x^{2}}{1+j\,{\dfrac {x}{Q}}-x^{2}}}\;$ ;

......on vérifie qu'il s'agit vraisemblablement d'un coupe-bande à gain minimal non nul si toutefois la condition de réjection de fréquences $\;\vert \alpha \vert <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$ est réalisée.

 

Détermination de la condition pour que le réseau en T ponté en sortie ouverte soit effectivement un coupe-bande à gain minimal non nul

......Déterminer la condition pour que le filtre soit effectivement un coupe-bande à gain minimal non nul.

Solution

......Le numérateur de la forme canonique réduite usuelle de la fonction de transfert étant $\;1-x^{2}+j\,\alpha \,x\;$ la condition pour que le réseau en T ponté en sortie ouverte soit effectivement un coupe-bande à gain minimal non nul s'écrit, compte-tenu du fait que $\;\alpha \;$ est $\;>0$, selon $\;\alpha <{\dfrac {1}{Q\,{\sqrt {2}}}}\;$ ou, en reportant les expressions de $\;\alpha ={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$ et $\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}$, la condition de réjection $\;{\dfrac {2}{\sqrt {a}}}<{\dfrac {1}{{\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}\,{\sqrt {2}}}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a+2>2\;{\sqrt {2}}\;$ soit finalement la condition de réjection en fréquences $\;a={\dfrac {R}{r}}>2\left({\sqrt {2}}-1\right)\simeq 0,828$.

 

Détermination de la bande non passante à -3dB et de l'acuité de l'antirésonance

......Déterminer la bande non passante à -3dB en fréquence réduite $\;B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}\;$ puis

......Déterminer l'acuité de l'antirésonance $\;{\mathcal {A_{\text{antirésonance}}}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{B.n.P._{-3dB,\,{\text{réduite}}}}}$.

Solution

......La bande non passante à -3dB étant, dans le cas général, égale à $\;B.n.P._{-3dB}=f_{c,\,h}-f_{c,\,b}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}$, elle se réécrit ici, avec $\;\alpha ={\dfrac {2}{\sqrt {a}}}\;$ et $\;Q={\dfrac {\sqrt {a}}{a+2}}$, selon $\;B.n.P._{-3dB}=f_{0}\;{\sqrt {{\dfrac {\left(a+2\right)^{2}}{a}}-{\dfrac {8}{a}}}}=f_{0}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}\;$ soit finalement la bande non passante à -3dB $\;B.n.P._{-3dB}=f_{0}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}={\dfrac {1}{2\,\pi \,\tau }}\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+4\,a-4}{a}}}\;$ ;

......on en déduit l'acuité de l'antirésonance $\;{\mathcal {A}}_{\text{antirésonance}}={\dfrac {f_{0}}{B.n.P._{-3dB}}}={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{Q^{2}}}-2\,\alpha ^{2}}}}={\sqrt {\dfrac {a}{a^{2}+4\,a-4}}}$.

 

Lien entre « passe-bande » et « coupe-bande de gain minimal non nul » de même fréquence propre

......Déterminer le lien entre un « passe-bande » et « coupe-bande de gain minimal non nul » de même fréquence propre.

Solution

......On peut réécrire la fonction de transfert du coupe-bande du 2^ème ordre avec gain minimal non nul selon $\;{\underline {H_{{\text{coupe-bande à gain minimal }}\neq 0}}}(j\,x)=$ ${\dfrac {H_{0}\left(1-x^{2}+j\,\alpha \,x\right)}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}=H_{0}-{\dfrac {j\,H_{0}\left({\dfrac {1}{Q}}-\alpha \right)x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ où la fonction de transfert que l'on ôte à $\;H_{0}\;$ est un 2^ème ordre du « type réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un R L C série » donc un passe-bande, soit $\;{\underline {H_{\text{passe-bande}}}}(j\,x)={\dfrac {j\,H_{0}\left({\dfrac {1}{Q}}-\alpha \right)x}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ et finalement $\;{\underline {H_{{\text{coupe-bande à gain minimal }}\neq 0,\;{\text{d'antirésonance }}x=1}}}(j\,x)=H_{0}-{\underline {H_{{\text{passe-bande de résonance }}x=1}}}(j\,x)$ ;

......en conclusion on peut obtenir un coupe-bande de fréquence propre, de facteur de qualité et de transfert statique fixés en retirant, du passe-tout de même transfert statique, un passe-bande de mêmes fréquence propre et facteur de qualité, le gain maximal du passe-bande fixant la valeur du gain minimal du coupe-bande.

 

Circuit à deux cellules R C

Schéma d'un Q.L.P. à deux cellules R C alimenté en r.s.f. par une tension e(t), de tension de sortie ouverte s(t)

......Le circuit ci-contre comportant deux conducteurs ohmiques de résistance identique $\;R\;$ et deux condensateurs supposés parfaits de capacité identique $\;C\;$ est alimenté en régime sinusoïdal forcé par la tension $\;e(t)=E_{0}\,{\sqrt {2}}\,\cos(\omega \,t)$ ; nous supposerons que la sortie indiquée sur le schéma reste ouverte.

Détermination de la tension de sortie ouverte à B.F. et à H.F. par équivalentc B.F. et H.F. des dipôles utilisés

......Sans faire de calcul, que dire de la tension de sortie $\;s(t)\;$ à basse fréquence ?

......Sans faire de calcul, que dire de la tension de sortie $\;s(t)\;$ à haute fréquence ?

Solution

......À B.F., les condensateurs étant équivalents à des interrupteurs ouverts, l'intensité du courant d'entrée est égale à celle de sortie laquelle est nulle d'où une intensité de courant d'entrée également nulle et par suite une absence de tension aux bornes des conducteurs ohmiques ; or cette dernière s'exprimant selon $\;{\underline {e}}(t)-{\underline {s}}(t)\;$ on en déduit $\;{\underline {s_{B.F.}}}(t)={\underline {e_{B.F.}}}(t)$.

......À H.F., les condensateurs étant équivalents à des courts-circuits, on en déduit que la tension de sortie est nulle ou $\;{\underline {s_{H.F.}}}(t)=0\;\;\forall \;{\underline {e_{H.F.}}}(t)$.

 

Détermination de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du filtre

......Par utilisation du théorème de Millmann au point $\;A$, évaluer le potentiel efficace complexe en ce point $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ en fonction entre autres des tensions efficaces complexes d'entrée et de sortie.

......Par utilisation du théorème de Millmann au point $\;S$, en déduire l'expression de la tension efficace complexe de sortie $\;{\underline {S}}(j\,\omega )\;$ en fonction de celle d'entrée $\;{\underline {E}}$, $\;R\;$ et $\;C$, puis

......donner l'expression de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte du filtre $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}$.

Solution

......Il convient bien sûr de refaire le schéma ci-dessus en complexe associée au r.s.f. de pulsation $\;\omega \;$ en remplaçant les tensions instantanées d'entrée et de sortie sinusoïdales par leur expression instantanée complexe associée [avec la tension efficace complexe d'entrée égale à $\;E_{0}\;$ par absence de phase à l'origine de la tension instantanée sinusoïdale d'entrée] et en représentant les condensateurs de capacité $\;C\;$ par un rectangle à côté duquel on met leur impédance complexe $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}$.

......Le Théorème de Millmann appliqué en $\;A\;$ (en valeurs efficaces complexes) nous conduit à $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {E_{0}}{R}}+{\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{R}}+{\dfrac {0}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}}\;$ soit $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )={\dfrac {E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )}{2+j\,R\,C\,\omega }}$ ; ......l'application du théorème de Millmann en $\;S\;$ (toujours en valeurs efficaces complexes) donne $\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {{\dfrac {{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{R}}+{\dfrac {0}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}{{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}}\;$ soit $\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )}{1+j\,R\,C\,\omega }}$ ; ......on y reporte alors l'expression de $\;{\underline {V_{A}}}(j\,\omega )\;$ et on trouve $\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )}{2+j\,R\,C\,\omega }}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;$ soit encore $\;{\underline {S}}(j\,\omega )\left[\left(1+j\,R\,C\,\omega \right)\left(2+j\,R\,C\,\omega \right)\right]=E_{0}+{\underline {S}}(j\,\omega )\;$ ou $\;{\underline {S}}(j\,\omega )\left[\left(2+3\,j\,R\,C\,\omega -R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}\right)-1\right]=E_{0}\;$ et finalement l'expression cherchée $\;{\underline {S}}(j\,\omega )={\dfrac {E_{0}}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$ dont on déduit l'amplification complexe en tension $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{E_{0}}}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$.

......Remarque : dans la mesure où la chaîne de deux étages (certes identiques) n'est pas fermée sur l'impédance complexe itérative de chaque étage ce n'était pas judicieux d'utiliser la décomposition du filtre en ses deux étages en écrivant $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )\;$, en effet

• si la détermination de l'amplification complexe en tension du 2^ème étage ne présente aucune difficulté, la sortie étant ouverte et reconnaissant un P.D.T. en sortie ouverte on en déduit $\;{\underline {A_{2}}}(j\,\omega )={\dfrac {\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}{R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}$,
• celle du 1^er étage nécessite de déterminer au préalable son impédance complexe d'utilisation c'est-à-dire l'impédance complexe d'entrée du 2^ème étage soit $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )=$ $R+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}\;$ pour ensuite reconnaître dans le 1^er étage un P.D.T. fermé sur $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;$ ou, en prenant l'impédance complexe équivalente $\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )\;$ de $\;{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;$ montée en parallèle sur $\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )\;$ soit $\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{e,\,2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{C}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}\;{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}{{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega }}+{\dfrac {1}{j\,C\,\omega }}}}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}$, reconnaître un P.D.T. en sortie ouverte aux bornes de $\;{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )\;$ soit $\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}{R+{\underline {Z_{{\text{éq}},\,1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}{R+{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{j\,C\,\omega \left(2+j\,R\,C\,\omega \right)}}}}={\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$ et
• finalement $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\underline {A_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {A_{1}}}(j\,\omega )={\dfrac {1}{1+j\,R\,C\,\omega }}\;{\dfrac {1+j\,R\,C\,\omega }{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$.

 

Vérification des résultats de la 1^re question

......Retrouver les résultats de la première question.

Solution

......À B.F. on a $\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim 1\;$ en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit $\;{\underline {S_{B.F.}}}(j\,\omega )\sim E_{0}\;$ en valeurs efficaces complexes ou $\;{\underline {s_{B.F.}}}(t)\sim {\underline {e_{B.F.}}}(t)\;$ en valeurs instantanées complexes ;

......à H.F. on a $\;{\underline {A}}(j\,\omega )\sim {\dfrac {1}{-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\;$ en conservant le terme de plus grand module du dénominateur soit $\;{\underline {S_{H.F.}}}(j\,\omega )\sim -{\dfrac {E_{0}}{R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\rightarrow 0\;$ quand $\;\omega \rightarrow +\infty \;$ en valeurs efficaces complexes ou $\;{\underline {s_{H.F.}}}(t)\sim 0\;$ en valeurs instantanées complexes.

 

Réduction canonique de la fonction de transfert du filtre et nature de ce dernier

......Faire une réduction canonique de l'amplification complexe en tension de sortie ouverte $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{\underline {E}}}\;$ et

......déterminer la nature du filtre.

Solution

......De $\;{\underline {A}}(j\,\omega )={\dfrac {{\underline {S}}(j\,\omega )}{E_{0}}}={\dfrac {1}{1-R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+3\,j\,R\,C\,\omega }}\;$ on vérifie qu'il s'agit d'un 2^ème ordre du type « réponse en $\;u_{C}(t)\;$ d'un R L C série soumis à une tension d'amplitude constante », de forme canonique $\;{\underline {A}}(j\,x)={\dfrac {A_{0}}{1-x^{2}+j\,{\dfrac {x}{Q}}}}\;$ dans laquelle $\;x={\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ est la pulsation réduite, $\;\omega _{0}\;$ étant la pulsation propre, $\;Q\;$ le facteur de qualité et $\;A_{0}\;$ l'amplification statique en tension ;

......par identification en en déduit :

• la pulsation propre par $\;R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}=x^{2}={\dfrac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\;$ soit $\;\omega _{0}={\dfrac {1}{RC}}$,
• le facteur de qualité par $\;j\,3\,R\,C\,\omega =j\,{\dfrac {x}{Q}}=j\,{\dfrac {\omega }{\omega _{0}\,Q}}\;$ soit $\;Q={\dfrac {1}{3\,R\,C\,\omega _{0}}}\;$ ou, avec la définition de la pulsation propre impliquant $\;R\,C\,\omega _{0}=1$, le facteur de qualité se réécrit $\;Q={\dfrac {1}{3}}\;$ et
• l'amplification statique en tension $\;A_{0}=1$.

le facteur de qualité $\;Q={\dfrac {1}{3}}\;$ étant inférieur à $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$, on en déduit qu'il s'agit d'un passe-bas.

 

Tracé du diagramme de Bode du filtre

......Tracer le diagramme de Bode du filtre en fonction de la fréquence réduite.

Solution

......Le filtre étant un passe-bas, le diagramme de Bode est celui vu dans le paragraphe « fonction de transfert du 2^ème ordre du type réponse en tension aux bornes du condensateur d'un R L C série … pour un facteur de qualité $\;\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$ » du chapitre$33$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » avec $\;H_{0}=1\;$ à savoir :

......$\;\succ \;$ pour la courbe de gain :

• une asymptote B.F. de pente nulle, plus exactement avec $\;A_{0}=1$, d'équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,B.F.}=0$,
• une asymptote H.F. de pente $\;-40\,dB/{\text{décade}}$, plus exactement d'équation $\;G_{dB,\,{\text{asymptote}}\,H.F.}=-40\,\log(x)$,
• avec, pour la pulsation réduite propre $\;x_{0}=1$, une valeur $\;G_{dB}(x_{0}=1)=20\,\log \!\left[Q\right]=20\,\log \!\left[{\dfrac {1}{3}}\right]\simeq -9,5\,dB\;$,
• voir le « tracé de la courbe de gain du diagramme de Bode concernant un 2^ème ordre du type réponse en u_C d'un R L C série … pour un facteur de qualité $\;\lesssim {\dfrac {1}{\sqrt {2}}}$ » du chapitre$33$ précité ;

......$\;\succ \;$ pour la courbe de phase :

• une asymptote B.F. de valeur nulle, plus exactement d'équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,B.F.}=0$,
• une asymptote H.F. de valeur $\;-\pi$, plus exactement d'équation $\;\varphi _{{\text{asymptote}}\,H.F.}=-\pi$,
• avec, à la fréquence réduite propre $\;x_{0}=1$, la valeur $\;\varphi (x_{0}=1)=-{\dfrac {\pi }{2}}$,
• voir le « tracé de la courbe de phase du diagramme de Bode concernant un 2^ème ordre du type réponse en u_C d'un R L C série … » du chapitre$33$ précité.