En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou et de courant complexes associés au r.s.f[1].,[2].
On se place en complexe associé au r.s.f[1]. et on considère l'association série de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et « traversés par un même courant d'intensité instantanée complexe », la tension instantanée complexe aux bornes de chacun des dipôles en convention récepteur étant respectivement et ;
la tension instantanée complexe aux bornes de l'association série étant la somme des tensions instantanées complexes individuelles et selon «» et
la loi d'Ohm[4] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «» et «», nous en déduisons «» c'est-à-dire la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm[4] en complexe à l'association série de deux D.P.L[3]. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association série
«».
Exemples : impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance rB, impédance complexe d'un « R C série »
L'impédance complexe d'un série vaut donc dont la forme algébrique s'écrit selon
«» ;
on remarque que
« à B.F. le série se comporte comme un condensateur parfait » car «»[12] et
« à H.F. il se comporte comme une bobine parfaite » car «»[12] ;
enfin « pour la fréquence particulière » c'est-à-dire la fréquence propre du série les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [13], « le série est purement résistif ».
Impédance complexe équivalente de l'association parallèle de « deux impédances complexes »
On se place en complexe associé au r.s.f[1]. et on considère l'association parallèle de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et « aux bornes desquels on a une même tension instantanée complexe », l'intensité instantanée complexe du courant traversant chacun des dipôles en convention récepteur étant respectivement et ;
l'intensité instantanée complexe du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées complexes individuelles et selon «» et
la loi d'Ohm[4] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement «» et «», nous en déduisons «» c'est-à-dire la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm[4] en complexe à l'association parallèle de deux D.P.L[3]. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association parallèle telle que soit
«».
Exemples : impédance complexe d'un « R L parallèle », impédance complexe d'un « R C parallèle »
D'une part, ayant établi que l'association parallèle de deux D.P.L[3]. d'impédances complexes respectives et est équivalente à un D.P.L[3]. d'impédance complexe [20] et
d'autre part l'admittance complexe d'un D.P.L[3]. étant l'inverse de son impédance complexe, on en déduit que
l'admittance complexe du D.P.L[3]. équivalent à l'association parallèle de deux D.P.L[3]. s'écrit soit finalement la propriété suivante :
« l'association parallèle de deux D.P.L[3]. en r.s.f[1]. de fréquence d'admittances complexes respectives et est un D.P.L[3]. d'admittance complexe équivalente
On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L[3]. et on retient la proposition suivante :
« l'association parallèle de D.P.L[3]. en r.s.f[1]. de fréquence d'admittances complexes respectives est un D.P.L[3]. d'admittance complexe équivalente
».
Exemple : admittance complexe d'un « R L C parallèle »
L'admittance complexe d'un parallèle vaut donc «»[22] dont la forme algébrique s'écrit selon
«» ;
on remarque que
« à B.F. le parallèle se comporte comme une bobine parfaite » car «»[12] et
« à H.F. il se comporte comme un condensateur parfait » car «»[12] ;
enfin « pour la fréquence particulière » c'est-à-dire la fréquence propre du parallèle les admittances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [13], « le parallèle est purement résistif ».
Notion de dualité « série - parallèle » appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)
La notion de dualité « série - parallèle » en électricité ayant été introduite dans le paragraphe intitulé « initiation à la dualité série - parallèle en électricité » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », ses principales grandeurs et relations duales généralisables à l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence sont précisées ci-dessous[23] :
association série
association parallèle
intensité instantanée complexe commune traversant les dipôles
tension instantanée complexe commune aux bornes des dipôles
intensité efficace complexe commune traversant les dipôles
tension efficace complexe commune aux bornes des dipôles
Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «» et on en tire :
« la résistance du série » toujours [28] égale à la résistance du conducteur ohmique[29] et
« la réactance du série » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[30].
Impédance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la résistance et la réactance de ce dernier
L'impédance complexe sous sa forme trigonométrique étant «» et sous sa forme algébrique «» avec «» d'une part et «» d'autre part nous en déduisons :
« l'impédance du série » l'impédance est minimale pour [13] la pulsation propre du série et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.[31] et
« l'avance de phase de la tension aux bornes du série sur l'intensité le traversant »[32]la tension aux bornes du série et l'intensité le traversant sont en phase pour [13] la pulsation propre du série et elle devient en quadrature retard à T.B.F.[33],[34] et en quadrature avance à T.H.F.[35],[36].
Admittance complexe d'un « R L C série » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)
Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'admittance complexe d'un série dans l'hypothèse où il serait en parallèle sur deux autres D.P.L[3]., on trouverait
Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «»[40] et on en tire :
« la conductance du série » toujours [41],[42] différente de la conductance du conducteur ohmique[43] et
« la susceptance du série »[44] pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[45].
Admittance complexe d'un « R L C parallèle », admittance, conductance et susceptance
Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique «» et on en tire :
« la conductance du parallèle » toujours [41] égale à la conductance du conducteur ohmique[47] et
« la susceptance du parallèle » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[48].
Admittance et avance de phase de tension sur intensité d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la conductance et la susceptance de ce dernier
L'admittance complexe sous sa forme trigonométrique étant «» et sous sa forme algébrique «» avec «» d'une part et «» d'autre part nous en déduisons :
« l'admittance du parallèle » l'admittance est minimale pour [13] la pulsation propre du parallèle et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F.[49] et
« l'avance de phase de la tension aux bornes du parallèle sur l'intensité le traversant »[50]la tension aux bornes du parallèle et l'intensité le traversant sont en phase pour [13] la pulsation propre du série et elle devient en quadrature avance à T.B.F.[51],[52] et en quadrature retard à T.H.F.[53],[54].
Impédance complexe d'un « R L C parallèle » en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)
Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'impédance complexe d'un parallèle dans l'hypothèse où il serait en série avec d'autres D.P.L[3]., on trouverait
Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique «» d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit «»[56] et on en tire :
« la résistance du parallèle » toujours [28],[57] différente de la résistance du conducteur ohmique[58] et
« la réactance du parallèle » pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle[59].
Lois d'Ohm généralisées en électricité complexe associée au r.s.f. pour des D.A.L. (en convention générateur), impédance complexe interne, modèles générateur de tension et de courant
Un G.B.F.[60] a une f.e.m. T-périodique et un D.P.L[3]. interne, linéaire au sens de l'A.R.Q.S. ;
quand la f.e.m. est sinusoïdale de pulsation on peut associer au G.B.F[60]. un modèle générateur de tension en complexe « association d'une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe où est la f.e.m. efficace complexe, en série avec un D.P.L[3]. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne de valeur usuelle » ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm[4] généralisée
«» où « est la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »[60] avec « la tension efficace complexe » et « l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »[60] avec « l'intensité efficace complexe » ;
si on divise par , on obtient la loi d'Ohm[4] généralisée en valeurs efficaces complexes
«».
Modèle générateur de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.
On peut aussi modéliser un G.B.F[60]. en générateur de courant même si c'est nettement moins utilisé qu'en régime permanent ;
en régime sinusoïdal forcé de pulsation on peut associer au G.B.F[60]. un modèle générateur de courant en complexe « association d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe où est le c.e.m. efficace complexe, en parallèle avec un D.P.L[3]. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne de valeur usuelle » ;
en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm[4] généralisée
«» où « est l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. »[60] avec « l'intensité efficace complexe » et « la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. »[60] avec « la tension efficace complexe » ;
si on divise par , on obtient la loi d'Ohm[4] généralisée en valeurs efficaces complexes
«».
Lien entre les modèles générateurs de tension et de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.
Pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension complexe alimenté en entrée
Schéma de situation d'un pont diviseur de tension en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence alimenté en entrée par une tension , donnant en sortie une tension
Un pont diviseur de tension P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension instantanée complexe entre les bornes et de laquelle deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et sont montés en série quand la sortie définie parallèlement au D.P.L[3]. d'impédance complexe entre les bornes et est ouverte le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte » mais si cette sortie entre les bornes et est fermée sur une « charge »[62],[63], le D.P.L[3]. d'impédance complexe est en série avec l'association parallèle « D.P.L[3]. d'impédance complexe et charge de sortie », la tension instantanée complexe aux bornes de cette association étant .
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T[64]. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente :
« tension instantanée complexe d'entrée » de « tension efficace complexe d'entrée » et
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T[64]. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T[64]. est branché :
« tension instantanée complexe de sortie » de « tension efficace complexe de sortie » et
« intensité instantanée complexe du courant de sortie » d'« intensité efficace complexe de sortie »[65].
Générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie »
Générateur de Thévenin en complexe équivalent au R.D. « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie »
Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.T[64]. alimenté en entrée par » est équivalent, dans la mesure où [66], à un générateur de Thévenin[67] dont
la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] est «»[68],[69] et l'impédance complexe de Thévenin[67] «».
Le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants passifs du P.D.T[64]. et pour cela on utilise :
la loi de maille[70] soit «» dans laquelle on élimine par
la loi de nœud «»[71] ou, en explicitant l'intensité instantanée complexe du courant traversant en fonction de par loi d'Ohm[4] en complexe «», la nouvelle expression de loi de nœud «» soit
en reportant dans l'équation de maille «» ou, en regroupant les termes en tension instantanée complexe de sortie, ou encore «» soit finalement, dans la mesure où « est non nulle »[66], «» dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. en convention générateur à savoir
de f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] «»[73] et
si «»[66], l'équation de maille transformée se réécrivant «» permet d'en déduire ou «» établissant une équivalence avec une source de courant parfaite en complexe.
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « P.D.T[64]. complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Thévenin[67] en complexe existe c'est-à-dire si [66], en effet :
d'une part la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte, c'est la fraction de la tension instantanée complexe d'entrée,
d'autre part l'impédance complexe de Thévenin[67] étant l'impédance complexe du R.D.L[72]. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif[75] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un court-circuit, le R.D.P[76]. « P.D.T[64]. complexe court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des D.P.L[3]. d'impédances complexes et [77] soit .
Le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t)
Il suffit de faire dans le résultat du générateur de Thévenin[67] en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose , toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie ouverte.
Démonstration : La sortie étant ouverte «»,
Démonstration : les D.P.L[3]. d'impédances complexes et étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité instantanée complexe supposée finie,
Démonstration : la loi d'Ohm[4] en complexe appliquée au D.P.L[3]. d'impédance complexe conduit à «» et
Démonstration : celle appliquée à l'association série des D.P.L[3]. d'impédances complexes et à «» mais étant de valeur finie, ne sera de valeur finie que si , nous voyons donc la « nécessité pour que reste de valeur finie que soit non nulle »,
Démonstration : d'où en éliminant par « de valeur finie si », l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte «»[79].
Commentaires : C'est de cette expression [80] que l'on tire le nom « pont diviseur de tension en complexe » et en sortie ouverte car est la tension instantanée complexe aux bornes de et montées en série et la tension instantanée complexe aux bornes de [81], tension ne représentant que la fraction de ;
Commentaires : si on s'intéressait à la tension instantanée complexe aux bornes de au lieu de celle aux bornes de , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de d'où, en permutant les indices et , le résultat suivant [80],[69].
Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en électricité complexe associée au r.s.f.
Dans tout ce paragraphe le « P.D.T[64]. alimenté en entrée par et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Thévenin[67] en complexe c'est-à-dire que nous supposons [82].
Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue
On souhaite déterminer la tension instantanée complexe de sortie d'un « P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une charge d'impédance complexe » en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée , des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :
Remarquer que « est en sur », « remplacer cette association parallèle par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L[72]. en sortie ouverte “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de ” »
« Remplacer le R.D.L[72]. “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Thévenin[67] équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L[72]. en sortie ouverte “ P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par , d'impédance complexe d'attaque [83] et en sortie ouverte aux bornes de ” »
1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente
Schéma d'un P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une impédance complexe , traitement en considérant en sortie ouverte d'un P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par
Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que l'impédance complexe de la charge est montée en sur , et « on remplace l'association parallèle par son D.P.L[3]. équivalent d'impédance complexe » puis, on considère le « nouveau P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de »[84] d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T[64].
P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une impédance complexe , traitement en considérant le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent fermé sur puis le nouveau P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte
On remplace le R.D.L[72]. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin[67] équivalent en complexe[87]
on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel on reconnaît un « P.D.T[64]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de » d'où l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte de ce nouveau P.D.T[64].
Pont diviseur de courant (P.D.C.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant complexe alimenté en entrée
Schéma de situation d'un pont diviseur de courant en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe et donnant en sortie un courant d'intensité instantanée complexe
Un pont diviseur de courant P.D.C. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe entrant par la borne et traversant deux D.P.L[3]. d'impédances complexes et lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec le D.P.L[3]. d'impédance complexe est court-circuitée le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée » mais si cette sortie est fermée sur une « charge »[62],[63], le D.P.L[3]. d'impédance complexe est en parallèle avec l'association série « D.P.L[3]. d'impédance complexe et charge de sortie », l'intensité instantanée complexe du courant sortant par la borne étant .
Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C[89]. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente :
« intensité instantanée complexe du courant d'entrée » d'« intensité efficace complexe d'entrée » et
les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C[89]. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C[89]. est branché :
« intensité instantanée complexe du courant de sortie » d'« intensité efficace complexe de sortie » et
« tension instantanée complexe de sortie » de « tension efficace complexe de sortie »[90].
Générateur de Norton en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.C. alimenté en entrée par ie(t) et vu des bornes de sortie »
Générateur de Norton en complexe équivalent au R.D. « P.D.C. en complexe alimenté en entrée par ie(t) et vu des bornes de sortie »
Vu des bornes de sortie le réseau dipolaire « P.D.C[89]. alimenté en entrée par » est équivalent, dans la mesure où [66], à un générateur de Norton[91] dont
le c.e.m. instantanée complexe de Norton[91] est «»[68],[69] et l'impédance complexe de Norton[91] «».
Le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants passifs du P.D.C[89]. et pour cela on utilise :
la loi de nœud «»[92] dans laquelle on élimine par
la loi de maille[70] soit «» ou, en explicitant la tension instantanée complexe d'entrée en fonction de par loi d'Ohm[4] en complexe «», la nouvelle expression de loi de maille «» dont on tire «» ;
en reportant dans l'équation de nœud «» ou, en regroupant les termes en intensité instantanée complexe de sortie, ou encore «» soit finalement dans la mesure où « est non nulle »[66], «» dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton[91] en complexe équivalent au R.D.L[72]. en convention générateur à savoir
de c.e.m. instantané complexe de Norton[91] «»[93] et
si «»[66], l'équation de nœud transformée se réécrivant «» permet d'en déduire ou «» établissant une équivalence avec une source de tension parfaite en complexe.
Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton[91] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « P.D.C[89]. complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Norton[91] en complexe existe c'est-à-dire dans l'hypothèse [66], en effet :
d'une part le c.e.m. instantané complexe de Norton[91] étant l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée, c'est la fraction [95] de l'intensité instantanée complexe d'entrée,
d'autre part l'impédance complexe de Norton[91] étant l'impédance complexe du R.D.L[72]. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif[96] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P[76]. « P.D.C[89]. complexe ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des D.P.L[3]. d'impédances complexes et [97] dont on tire .
Le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par ie(t)
Pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée
Il suffit de faire dans le résultat du générateur de Norton[91] en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose , toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie court-circuitée.
Démonstration : La sortie étant court-circuitée «»,
Démonstration : les D.P.L[3]. d'impédances complexes et étant montés en parallèle sont soumis à la même tension instantanée complexe supposée finie,
Démonstration : la loi d'Ohm[4] en complexe appliquée au D.P.L[3]. d'impédance complexe conduit à «» et
Démonstration : celle appliquée à l'association parallèle des D.P.L[3]. d'impédances complexes et à «»[100] mais étant de valeur finie, ne sera de valeur finie que si , nous voyons donc la « nécessité pour que reste de valeur finie que soit non nulle »[101],
Démonstration : d'où en éliminant par « de valeur finie si », l'expression de l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée «»[102]
Commentaires : C'est de cette expression [103] que l'on tire le nom « pont diviseur de courant en complexe » et en sortie court-circuitée car est l'intensité instantanée complexe du courant traversant et montées en parallèle et l'intensité instantanée complexe du courant traversant [104], intensité ne représentant que la fraction de ;
Commentaires : si on s'intéressait à l'intensité instantanée complexe du courant traversant au lieu de celle du courant traversant , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée en série avec d'où, en permutant les indices et , le résultat suivant [103],[69].
Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de courant en électricité complexe associée au r.s.f.
Dans tout ce paragraphe le « P.D.C[89]. alimenté en entrée par et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Norton[91] en complexe c'est-à-dire que nous supposons [105].
Pont diviseur de courant alimenté en entrée par ie(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue
On souhaite déterminer l'intensité instantanée complexe du courant de sortie d'un « P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une charge d'impédance complexe » en fonction de l'intensité instantanée complexe du courant d'entrée , des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :
Remarquer que « est en série avec », « remplacer cette association série par son impédance complexe équivalente » et « reconnaître un R.D.L[72]. en sortie court-circuitée “ P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée à la suite de ” »
« Remplacer le R.D.L[72]. “ P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie ” par son générateur de Norton[91] équivalent en complexe » et « reconnaître dans le nouveau circuit un R.D.L[72]. en sortie court-circuitée “ P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par , d'impédance complexe d'attaque [106] et en sortie court-circuitée à la suite de ” »
1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.C. en série avec l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente
Schéma d'un P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une impédance complexe , traitement en considérant en sortie court-circuitée d'un P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par
Voir schéma de situation ci-contre :
On utilise que l'impédance complexe de la charge est montée en série avec , et « on remplace l'association série par son D.P.L[3]. équivalent d'impédance complexe » puis, on considère le « nouveau P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée à la suite de »[84] d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie court-circuitée de ce nouveau P.D.C[89].
P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une impédance complexe , traitement en considérant le générateur de Norton[91] en complexe équivalent fermé sur puis le nouveau P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée à la suite de
On remplace le R.D.L[72]. « pont diviseur de courant en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Norton[91] équivalent en complexe[109]
on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel on reconnaît un « P.D.C[89]. en complexe alimenté en entrée par et en sortie court-circuitée à la suite de » d'où l'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie courticircuitée de ce nouveau P.D.C[89]. «» et,
en y reportant le c.e.m. et l'impédance complexes de Norton[91] «» ou, par simplification évidente
Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente à l'association, théorème de Millman appliqué au cas de deux branches du type « impédance complexe, potentiel complexe » délivrant un courant d'intensité connue (ou à connaître)
Association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. et générateur de Thévenin équivalent à l'association
Schéma de deux sources réelles de tension complexes associées au r.s.f[1]. de fréquence en parallèle délivrant un courant d'intensité complexe avec choix de convention générateur
Considérons le montage ci-contre dans lequel on a représenté les sources linéaires non idéales de tension sinusoïdale de fréquence par leur modèle générateur de Thévenin[67] en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de pulsation ; vu des bornes de sortie ce R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » est équivalente à un générateur de Thévenin[67] en complexe dont nous cherchons la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] et l'impédance complexe de Thévenin[67] :
le plus simple pour l'obtenir passe par la transformation de chaque source réelle de tension complexe en son modèle générateur de Norton[91],[111] en complexe à savoir une “ association parallèle d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe «»[112] et d'un D.P.L[3]. d'impédance complexe «»[112] ” puis de remplacer
l'association parallèle des deux D.P.L[3]. en complexe par leur D.P.L[3]. en complexe équivalent d'impédance complexe «»[113] ainsi que
l'association parallèle des deux sources de courant parfaites en complexe par leur source de courant parfaite en complexe équivalente de c.e.m. instantané complexe «»[114] ;
on obtient alors le modèle générateur de Norton[91] complexe du R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » c'est-à-dire l'association d'une source de courant parfaite complexe de c.e.m. instantané complexe «» et d'un D.P.L[3]. en complexe d'impédance complexe «»[111] et
il reste à transformer, quand cela est possible, ce générateur de Norton[91] complexe en un générateur de Thévenin[67] complexe équivalent[115] pour établir le générateur de Thévenin[67] équivalent au R.D.L[72]. initial « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » c'est-à-dire l'association série d'une source de tension parfaite complexe de f.e.m. instantanée complexe «» et d'un D.P.L[3]. en complexe d'impédance complexe «»[111].
Conclusion : le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » a, « si »[116], pour
f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] «»[69] et
Conclusion : la loi d'Ohm[4] généralisée en complexe du générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » s'écrit donc, en convention générateur :
Commentaires : Le R.D.L[72]. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par avec sortie aux bornes du D.P.L[72]. en complexe d'impédance complexe » est un cas particulier de ce R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » avec , le générateur de Thévenin[67] équivalent en complexe a donc la même impédance complexede Thévenin[67] «»[117] et sa f.e.m. instantanée complexede Thévenin[67] qui, dans le R.D.L[72]. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » était une C.L[118]. des f.e.m. instantanées complexes des sources, les cœfficients des f.e.m. instantanées complexes étant croisés « pour et pour » devient, en imposant, «» si «»[119].
Complément : théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. appliqué au nœud d'où partent deux branches de type « impédance complexe, potentiel complexe » lesquelles délivrent un courant d'intensité instantanée is(t) connue (ou à connaître)
Le théorème de Millman[120] en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence doit être considéré comme un complément[121] mais il est très pratique et permet le plus souvent un traitement plus rapide.
Réseau linéaire en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence tracé en privilégiant un nœud auquel n'aboutissent que deux branches internes de type et par lequel sort un courant d'intensité instantanée complexe , la référence des potentiels instantanés complexes étant un point interne appelé masse
Il s'agit du résultat du paragraphe précédent réécrit en termes de potentiel instantané complexe du nœud où on applique le théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence voir schéma ci-contre :
on pourra appliquer le théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence en un nœud si, arrivent à ce nœud deux branches internes du type [122], la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe ; le théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence appliqué au nœud permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des deux potentiels instantanés complexes et des deux impédances complexes définis sur chaque branche interne ainsi que de l'intensité instantanée complexes du courant délivré[123] ;
l'« association parallèle de deux sources linéaires non idéales de tension en électricité complexe associée au r.s.f. » délivrant un courant d'intensité instantanée complexe satisfait aux conditions d'« utilisation du théorème de Millman au nœud » si « on choisit la masse en » voir schéma du paragraphe précédent[124] ;
or ayant établi «» si «»[125] on peut réécrire cette relation en termes de potentiels instantanés complexes car «»[126] soit «» ou, en divisant haut et bas par «»[127], l'expression suivante
Énoncé du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) à deux branches de type {Z(jω), v(t)}
L'application du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence au nœud d'où partent deux branches du type et duquel est délivré un courant d'intensité instantané complexe conduit, dans la mesure où équivalent à à l'expression du potentiel instantané complexe au nœud :
Commentaires : Pour appliquer le théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence en un nœud, vérifier que les deux branches internes sont de type choisir la « masse » [130] pour obtenir des potentiels instantanés complexes les plus simples possibles et définir le courant délivré dans la branche externe ;
Commentaires : le potentiel instantané complexe du nœud choisi est exprimé sous la forme d'un quotient d'une somme de trois intensités instantanées complexes sur une somme de deux admittances complexes, chaque branche interne ayant pour terme dans la somme du numérateur et pour terme dans la somme du dénominateur , la branche externe n'ayant que le terme [131] dans la somme du numérateur.
Complément : généralisation du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f.
La généralisation du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. tout comme le théorème de Millman[120] du même domaine doit être considéré comme un complément[121], il est toutefois très pratique et son utilisation dans des circuits compliqués du r.s.f[1]. est quasi indispensable pour un traitement de durée acceptable.
Condition d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. en un nœud duquel part une branche externe par laquelle le courant est délivré
Réseau linéaire en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence tracé en privilégiant un nœud auquel aboutissent des branches internes de type [132] et éventuellement des branches internes de type , nœud par lequel sort un courant d'intensité instantanée complexe , la référence des potentiels instantanés complexes étant un point interne appelé masse
Il s'agit de la généralisation du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence avec modification des branches internes voir schéma ci-contre :
on pourra appliquer la généralisation du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence en un nœud si, arrivent à ce nœud des branches internes du type [122],[132] et éventuellement des branches internes de type [133], la branche externe permettant le départ d'un courant d'intensité instantanée complexe ; la généralisation du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence appliquée au nœud permet de déterminer le potentiel instantané complexe du nœud considéré en fonction des potentiels instantanés complexes et des impédances complexes définis sur chaque branche interne de type ainsi que des intensités instantanées complexes des courants traversant chaque branche interne de type et l'intensité instantanée complexe du courant délivré[123].
Énoncé du théorème de Millman appliqué au nœud S de sortie du réseau par lequel le courant sortant alimente la branche extérieure
à transformer les branches de type en leur modèle générateur de courant de l'électricité complexe[134],
à considérer les courants des branches de type comme des courants délivrés par des sources idéales de courant de l'électricité complexe,
à regrouper les c.e.m. instantanés complexes en parallèle en un seul c.e.m. instantané complexe équivalent «»
puis regrouper les D.P.L[3]. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type en un seul D.P.L[3]. complexe équivalent d'admittance complexe «»
pour terminer en écrivant que ce D.P.L[3]. complexe équivalent est traversée par le courant d'intensité instantanée complexe [131] d'où «» si «»[135].
Début d’un théorème
Énoncé du théorème de Millman de l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) appliqué au nœud S du réseau par lequel le courant d'intensité instantanée complexe is(t) en sort
L'application du théorème de Millman[120] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence au nœud d'où partent branches du type , branches du type [136] et duquel est délivré un courant d'intensité instantanée complexe conduit à l'expression du potentiel instantané complexe au nœud suivante si toutefois «»[137] :
Si on cherche à déterminer le générateur de Thévenin[67] de l'électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence équivalent à un R.D.L[72]. actif complexe comportant une ou plusieurs sources, il peut être intéressant dans le cas où la notion de pont diviseur de tension complexe « ne serait pas opérationnelle » [139] d'appliquer le théorème de Millman[120] complexe en « chaque borne extrême et du réseau » [140] pour déterminer le potentiel instantané complexe de chaque borne en fonction des grandeurs internes et de l'« intensité instantané complexe du courant traversant le réseau » [141], puis de faire la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du réseau ;
Schéma d'un réseau dipolaire linéaire R.D.L. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]., la masse choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «»
Schéma d'un réseau dipolaire linéaire R.D.L. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]., la masse choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «»
ayant obtenu «»[142] par application du théorème de Millman complexe en et ayant obtenu «»[143] par application du théorème de Millman complexe en , la différence s'écrit alors «» et on reconnaît la loi d'Ohm[4] en complexe généralisée,
la « f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] étant »[144] et
Détermination du générateur de Thévenin[67] complexe équivalent au R.D.L[72]. " pont de type Wheatstone[147] complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie " par utilisation du théorème de Millman[120] complexe en chacune des bornes de sortie
Soit le pont « de type Wheatstone »[147],[148] représenté ci-contre, alimenté en entrée par une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe de f.e.m. efficace fixée et délivrant, à travers un détecteur d'impédance complexe interne branché entre les bornes de sortie, un courant d'intensité instantanée complexe ;
souhaitant évaluer l'intensité instantanée complexe en fonction de , des quatre impédances complexes du pont et de celle du détecteur, on détermine au préalable le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent au R.D.L[72]. « pont de type Wheatstone[147] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par utilisation du théorème de Millman[120] en complexe successivement à chacune des bornes de sortie ;
on choisit la masse en ce qui permet de connaître en plus de ;
application du théorème de Millman complexe au nœud : il s'agit du théorème à deux branches internes de type avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe s'éloigne de [149] soit, « dans l'hypothèse où »[150], «» ou, en multipliant haut et bas par ,
étude du cas très particulier[152] : le R.D.L[72]. en complexe entre le nœud et la masse la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe constitué de deux branches l'une et l'autre et délivrant un courant sortant de d'intensité instantanée complexe est équivalent au générateur de Norton[91] complexe de c.e.m. instantané complexe et d'impédance complexe infinie[153] c'est-à-dire à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe dont on déduit
application du théorème de Millman complexe au nœud : il s'agit du théorème à deux branches internes de type avec une branche externe par laquelle un courant d'intensité instantanée complexe s'approche de [149] soit, « dans l'hypothèse où »[155], «» ou, en multipliant haut et bas par ,
étude du cas très particulier[152] : le R.D. en complexe entre le nœud et la masse la branche contenant le détecteur étant considérée comme externe constitué de deux branches l'une et l'autre et délivrant un courant entrant par d'intensité instantanée complexe est équivalent au générateur de Norton[91] complexe de c.e.m. instantané complexe et d'impédance complexe infinie[157] c'est-à-dire à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe dont on déduit
on termine en faisant la différence pour obtenir la tension instantanée complexe aux bornes du R.D.L[72]. « pont de type Wheatstone[147] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » soit, dans l'hypothèse où «», soit la tension instantanée complexe aux bornes de ce R.D.L[72]. en fonction de l'intensité instantanée complexe :
«»,
et on en tire le générateur de Thévenin[67] en complexe équivalent
de f.e.m. instantanée complexe de Thévenin[67] «» ou, en réduisant au même dénominateur soit, après simplification évidente, «» et
Circuit équivalent dans lequel le R.D.L.A[159]. fermé sur une charge en complexe associé au r.s.f[1]. de fréquence est remplacé par son générateur de Thévenin[67] complexe équivalent
nous obtenons finalement le schéma de sortie équivalent en complexe représenté ci-contre :
on en déduit l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur par loi de Pouillet en complexe[160],[161] soit
«» ou encore «» dans l'hypothèse où «» ;
le sens du courant dépendant du signe de [162], on observe l'« absence de courant dans le détecteur » quand la f.e.m. de Thévenin[67] du générateur de Thévenin[67] équivalent au R.D.L[72]. « pont de type Wheatstone[147] alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » est nulle à tout instant soit
«» , on dit alors que « le pont est équilibré » ce qui est réalisé «bsi »[163].
Retour sur les cas très particuliers[152] ou [152] : pour l'explication qui suit nous supposerons que [164],[165] ;
Retour sur les cas très particuliers ou : l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur étant fixée, indépendante des deux autres impédances complexes de somme non nulle et valant «», il est impossible d'équilibrer le pont ;
Retour sur les cas très particuliers ou : la valeur du potentiel instantané complexe du nœud étant connue en fonction de entre autres selon et étant fixée, l'est aussi, le report de dans l'expression de donne «»[166] ;
Retour sur les cas très particuliers ou : la détermination de la valeur du potentiel instantané complexe du nœud ayant été substituée par celle de l'intensité instantanée complexe du courant circulant dans le détecteur, nous utiliserons celle-ci ainsi que la valeur de l'impédance complexe du détecteur pour en déduire «» soit finalement «»[167].
Parmi les détecteurs possibles figurent
l'« oscilloscope » qui permet de visualiser la tension aux bornes d'un conducteur ohmique en fonction du temps dans ces conditions la résistance utilisée pour visualiser ou
l'« ampèremètre » en fonctionnement alternatif qui mesure l'intensité efficace le traversant dans ces conditions la résistance de l'ampèremètre correspondant au calibre choisi.
Les différents types de pont donnés [168] à titre documentaire sont :
pont de Hay[175] : toutes deux à déterminer, étalon, toutes deux variables et étalon ;
pont de Maxwell[176] : toutes deux à déterminer, étalon, toutes deux variables et étalon.
Exemple de traitement d'un pont de Wien[170],[177] : trouver et en fonction de , , , et ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien les valeurs des quatre impédances complexes sont respectivement «», «», «» et «» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien la condition d'équilibre du pont s'écrivant «» nous conduit ici à l'égalité de complexes «» c'est-à-dire l'égalité des parties réelles de chaque membre et de celle des parties imaginaires d'où la modification du membre de gauche en multipliant haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur et celle du membre de droite en le mettant sous forme algébrique «» dont on tire le système suivant «» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien on élimine en divisant la 2ème équation par la 1ère d'où «» ce qui permet d'évaluer «» et par suite par la 1ère équation soit ou encore
«» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien on détermine en reportant dans selon ou
«» ;
Exemple de traitement d'un pont de Wien exemple numérique : sous , avec , on réalise l'équilibre avec et , on en déduit la résistance cherchée [178] en soit encore ainsi que la capacité à évaluer [179] soit enfin .
↑ Une source réelle de tension en électricité complexe associée au r.s.f. est une association série d'une source idéale de tension complexe et d'un D.P.L. suivant la loi d'Ohm en complexe et une source réelle de courant en électricité complexe associée au r.s.f. est une association parallèle d'une source idéale de courant complexe et d'un D.P.L. suivant la loi d'Ohm en complexe.
↑ Même à B.F. la résistance de la bobine joue un rôle secondaire dans l'impédance au lieu de c'est-à-dire un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est élevée.
↑ À B.F. la résistance de la bobine joue un rôle légèrement plus important dans le déphasage au lieu de mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est élevée.
↑ Ne pas faire de transformation a priori sur l'impédance complexe, les transformations à envisager dépendant de ce qu'on souhaite calculer, en particulier mettre sous sa forme algébrique ne présente un intérêt que si on s'intéresse aux parties réelle ou imaginaire, de même réduire au même dénominateur selon présente l'intérêt d'introduire une quantité imaginaire pure sans dimension en laissant comme seule grandeur homogène à une impédance.
↑ Dès que l'on fait une application numérique la forme algébrique devient la plus pratique.
↑ Rôle secondaire de la résistance dans l'impédance au lieu de c'est-à-dire un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est faible.
↑ Ici la forme algébrique devient importante d'où la transformation en .
↑ Rôle légèrement plus important de la résistance dans le déphasage au lieu de mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est faible.
↑ 12,012,112,2 et 12,3 On dira qu'un terme complexe d'une somme est prédominant s'il son module prédomine devant tous les modules des autres termes.
↑ Rôle secondaire de l'inductance propre dans l'impédance au lieu de c'est-à-dire un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est grande, en effet, si devient grande, .
↑ 15,0 et 15,1 L'argument d'un quotient de complexes étant l'argument du numérateur auquel on retranche celui du dénominateur.
↑ Rôle légèrement plus important de l'inductance propre dans le déphasage au lieu de mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est grande, en effet, si devient grande, .
↑ L'impédance complexe ayant « quatre étages », on fait la réduction minimale à savoir multiplier haut et bas par , la 2ème expression respectant l'usage courant consistant à noter la forme algébrique d'un complexe en commençant par sa partie réelle.
↑ Rôle secondaire de la capacité dans l'impédance au lieu de c'est-à-dire un rôle secondaire dans le rapport de la tension efficace sur l'intensité efficace, le rôle est d'autant plus faible que la fréquence est faible, en effet, en effet, si devient faible, .
↑ Rôle légèrement plus important de la capacité dans le déphasage au lieu de mais néanmoins un rôle qui reste réduit, le rôle étant d'autant plus faible que la fréquence est faible, en effet, si devient faible, .
↑ 28,0 et 28,1 On démontrera que la propriété est valable quelle que soit le D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f..
↑ Attention ce n'est pas parce qu'il y a un conducteur ohmique dans une association que la résistance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la résistance du conducteur ohmique et Attention la résistance d'une association n'est pas nécessairement indépendante de la pulsation du r.s.f..
↑ Quand est positive, la réactance est dite inductive, pour le série cela correspond à , quand est négative, la réactance est dite capacitive, pour le série cela correspond à , quand est nulle, il y a absence de réactance, pour le série cela correspond à .
↑ L'argument se met effectivement sous un car la partie réelle de l'impédance complexe est toujours ceci restant vrai pour toute association de D.P.L. en r.s.f., sera démontré ultérieurement.
↑ Plus précisément quand correspondant à l'intensité du courant traversant le série est en avance de phase sur la tension à ses bornes.
↑ 37,0 et 37,1 Ne pas faire de transformation a priori, celle-ci dépendant de ce qu'on cherche à calculer.
↑ On fait apparaître un numérateur homogène à une admittance et un dénominateur sans dimension.
↑ Anciennement appelée « permittance », mais aujourd'hui seule « susceptance » peut être utilisée.
↑ À partir de obtenue en multipliant haut et bas par de façon à réduire les étages, si on multipliait haut et bas par le complexe conjugué du nouveau dénominateur de façon à déterminer sa forme algébrique on obtiendrait à éviter car expression compliquée.
↑ 41,0 et 41,1 On démontrera que la propriété est valable quelle que soit le D.P.L. en électricité complexe associée au r.s.f..
↑ On note que, dans le cas d'un série, la conductance d'un D.P.L. n'est pas égale à l'inverse de sa résistance soit, sauf dans cas très particuliers, en effet et, en introduisant la résistance et la réactance du D.P.L., d'où établissant que la conductance du D.P.L. n'est l'inverse de sa résistance qu'en absence de réactance, c'est-à-dire pour une association purement résistive.
↑ Nous vérifions que la présence d'un conducteur ohmique dans une association n'implique pas que la conductance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la conductance du conducteur ohmique et Nous vérifions que la conductance d'une association est en général dépendante de la pulsation du r.s.f..
↑ On constate que la susceptance du série s'annule simultanément à sa réactance et On constate que, dans le cas où la susceptance du série , elle est de signe contraire à sa réactance.
↑ Attention ce n'est pas parce qu'il y a un conducteur ohmique dans une association que la conductance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la conductance du conducteur ohmique contre exemple la conductance d'un série voir le paragraphe « conductance et susceptance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f_=_ω/(2π) » plus haut dans ce chapitre et Attention la conductance d'une association n'est pas nécessairement indépendante de la pulsation du r.s.f. même contre exemple la conductance d'un série voir le paragraphe « conductance et susceptance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f_=_ω/(2π) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Quand est positive, la susceptance est dite capacitive, pour le parallèle cela correspond à , quand est négative, la susceptance est dite inductive, pour le parallèle cela correspond à , quand est nulle, il y a absence de susceptance, pour le parallèle cela correspond à .
↑ L'argument se met effectivement sous un car la partie réelle de l'admittance complexe est toujours ceci restant vrai pour toute association de D.P.L. en r.s.f., sera démontré ultérieurement.
↑ Plus précisément quand correspondant à l'intensité du courant traversant le parallèle est en avance de phase sur la tension à ses bornes.
↑ On fait apparaître un numérateur homogène à une impédance et un dénominateur sans dimension.
↑ À partir de obtenue en multipliant haut et bas par de façon à réduire partiellement les étages, si on multipliait haut et bas par le complexe conjugué du nouveau dénominateur de façon à déterminer sa forme algébrique on obtiendrait à éviter car expression compliquée même si on réduit les étages.
↑ On note que, dans le cas d'un parallèle, la résistance d'un D.P.L. n'est pas égale à l'inverse de sa conductance soit, sauf dans cas très particuliers, en effet et, On note que, en introduisant la conductance et la susceptance du D.P.L., d'où établissant que On note que, la résistance du D.P.L. n'est l'inverse de sa conductance qu'en absence de susceptance, c'est-à-dire pour une association purement résistive.
↑ Nous vérifions que la présence d'un conducteur ohmique dans une association n'implique pas que la résistance de cette association en électricité complexe associée au r.s.f. est égale à la résistance du conducteur ohmique et Nous vérifions que la résistance d'une association est en général dépendante de la pulsation du r.s.f..
↑ On constate que la réactance du parallèle s'annule simultanément à sa susceptance et On constate que, dans le cas où la réactance du parallèle , elle est de signe contraire à sa susceptance.
↑ Celles-ci étant nulles quand le P.D.T. en complexe est en sortie ouverte.
↑ 66,066,166,266,366,466,566,6 et 66,7 Pour que , il faut que les deux impédances complexes soient purement imaginaires pas de composante résistive dans l'une ou l'autre des D.P.L. complexesce cas en pratique n'est donc jamais réalisé, il ne correspond qu'à une modélisation utilisable quand les résistances restent très faibles mais elles sont néanmoins, en pratique, non nulles et que leurs réactances soient opposées c'est-à-dire que l'un des D.P.L. complexes soit équivalent à une bobine parfaite d'inductance propre et l'autre à un condensateur parfait de capacité , la pulsation imposée étant la pulsation propre du série ou parallèle soit ; On peut donc affirmer que dans tous les cas pratiques .
↑ Valeur de tension instantanée complexe de sortie à vide c'est-à-dire quand .
↑ Quand le R.D. est rendu passif en annulant la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin on obtient en convention générateur d'où .
↑ C.-à-d. quand on a annulé la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin ce qui s'obtient en annulant la tension instantanée complexe d'entrée en effet la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin est à la tension instantanée complexe d'entrée.
↑ En effet, entre les bornes de sortie, est montée en parallèle sur l'autre branche « court-circuit en série avec ».
↑ L'indice sur la tension de sortie traduisant qu'il s'agit d'une tension à vide.
↑ Le fait que acquiert une valeur infinie quand entraîne une valeur infinie pour compatible avec le fait qu'il n'existe pas de générateur de Thévenin équivalent en complexe dans cette hypothèse, le R.D. étant équivalent à une source de courant parfaite en complexe.
↑ 80,0 et 80,1 Il faut bien sûr vérifier que les tensions d'entrée et de sortie sont dans le même sens.
↑ On rappelle que si , le « P.D.T. alimenté en entrée par et fermé sur une charge » est équivalent à une source de courant parfaite en complexe entraînant que l'intensité instantanée complexe du courant traversant cette charge est indépendante de cette dernière.
↑ C.-à-d l'impédance complexe aux bornes de laquelle n'est pas définie la sortie.
↑ 84,0 et 84,1 Schéma équivalent qu'il conviendrait de tracer.
↑ Valeur de l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée c'est-à-dire quand .
↑ Quand le R.D. est rendu passif en annulant le c.e.m. instantané complexe de Norton on obtient en convention générateur d'où .
↑ Le courant de sortie étant celui qui traverse la fraction doit être de module d'autant plus grand que l'impédance de l'autre branche l'est d'où le numérateur de la fraction est l'impédance complexe de l'autre branche.
↑ C.-à-d. quand on a annulé le c.e.m. instantané complexe de Norton ce qui s'obtient en annulant l'intensité instantanée complexe d'entrée en effet le c.e.m. instantané complexe de Norton est à l'intensité instantanée complexe d'entrée.
↑ En effet, entre les bornes de sortie, est montée en série sur l'autre branche « interrupteur ouvert en parallèle avec ».
↑ L'indice «» sur l'intensité de courant de sortie traduisant qu'il s'agit d'un courant court-circuité.
↑ L'expression de l'intensité instantanée complexe de courant de sortie court-circuitée en fonction des admittances complexes est plus fréquemment utilisée que celle de l'intensité de courant de sortie court-circuitée d'un P.D.C. en régime permanent en fonction des conductances ; elle se justifie à partir de l'expression en fonction des impédances complexes en utilisant le lien entre impédance et admittance complexes soit d'où l'expression en multipliant haut et bas par .
↑ Le fait que acquiert une valeur infinie quand entraîne une valeur infinie pour compatible avec le fait qu'il n'existe pas de générateur de Norton équivalent en complexe dans cette hypothèse, le R.D. étant équivalent à une source de tension parfaite en complexe.
↑ 103,0 et 103,1 Il faut bien sûr vérifier que les courants d'entrée et de sortie sont entrant pour l'un et sortant pour l'autre.
↑ On rappelle que si , le « P.D.C. alimenté en entrée par et fermé sur une charge » est équivalent à une source de tension parfaite en complexe entraînant que la tension instantanée complexe aux bornes de cette charge est indépendante de cette dernière.
↑ C.-à-d la seule impédance complexe en parallèle sur la source de courant parfaite quand la sortie n'est pas court-circuitée.
↑ 112,0 et 112,1 prenant la valeur ou suivant la source réelle de tension considérée.
↑ A priori cette impédance complexe équivalente est applicable dans la mesure où ; pour que , il faut que les deux impédances complexes soient purement imaginaires pas de composante résistive dans l'une ou l'autre des D.P.L. complexesce cas en pratique n'est donc jamais réalisé, il ne correspond qu'à une modélisation utilisable quand les résistances restent très faibles mais elles sont néanmoins, en pratique, non nulles et que leurs réactances soient opposées c'est-à-dire que l'un des D.P.L. complexes soit équivalent à une bobine parfaite d'inductance propre et l'autre à un condensateur parfait de capacité , la pulsation imposée étant la pulsation propre du série ou parallèle soit ; on peut donc affirmer que dans tous les cas pratiques et on peut donc affirmer que dans un cas théorique très particulier où on néglige les composantes résistives et où les composantes réactives sont opposées pour une fréquence bien précise dans ce cas l'association parallèle des deux D.P.L. en complexe est équivalente à un interrupteur ouvert d'impédance complexe équivalente rendant, par extension, applicable dans ce cas particulier. On peut donc considérer que est applicable sans aucune restriction.
↑ « L'association parallèle de deux sources de courant parfaites complexes est effectivement une source de courant parfaite complexe dont le c.e.m. instantané complexe est la somme des c.e.m. instantané complexe de chaque source » car «» ainsi que «» entraînent, avec application de la loi des nœuds «» la relation suivante «» caractérisant une source de courant parfaite complexe de c.e.m. instantané complexe .
↑ Cette transformation suppose que car, quand , le générateur de Norton complexe est une source de courant parfaite complexe, sans équivalent en générateur de Thévenin complexe.
↑ On rappelle que si , le R.D. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » est équivalent à une source de courant parfaite en complexe de c.e.m. instantané complexe .
↑ Impédance complexe équivalente du R.D. « association parallèle de deux sources non idéales de tension complexe » que l'on a rendu passif en imposant et .
↑ On retrouve donc bien la f.e.m. instantanée complexe du générateur de Thévenin équivalent en complexe au « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par avec sortie aux bornes du D.P.L. en complexe d'impédance complexe » identifiable à la tension à vide en complexe voir le paragraphe « le résultat le plus utilisée : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t) » plus haut dans ce chapitre, ceci n'étant applicable que dans la mesure où ; on rappelle que, dans le cas où , le « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par avec sortie aux bornes du D.P.L. en complexe d'impédance complexe » est équivalent à une source de courant parfaite en complexe et qu'il n'existe donc pas de générateur de Thévenin complexe équivalent.
↑ 121,0 et 121,1 En effet il n'est pas explicitement précisé dans le programme de PCSI.
↑ 122,0 et 122,1 C.-à-d. que l'on trouve, sur chaque branche, un D.P.L. en complexe d'impédance complexe connue, à l'extrémité duquel le potentiel instantané complexe , évalué relativement à un point interne appelé « masse », est connu.
↑ 123,0 et 123,1 Il faut auparavant choisir la masse du circuit pour avoir le traitement le plus simple même si cette masse peut, a priori, être n'importe quel point interne.
↑ En effet la traversée du D.P.L. en complexe d'impédance complexe conduit au potentiel instantané complexe connu et celle du D.P.L. en complexe d'impédance complexe au potentiel instantané complexe connu dans un réseau satisfaisant l'applicabilité du théorème de Millman de l'électricité complexe, les différences de potentiel entre les potentiels instantanés complexes connus et la masse ne sont pas nécessairement des tensions instantanées complexes aux bornes de source idéale de tension complexe, elles sont simplement fixées à l'instant et sont équivalentes à ce qu'on obtiendrait aux bornes d'une source idéale de tension complexe.
↑ Ceci étant la condition pour que le générateur de Norton complexe déterminé dans un 1er temps puisse être transformé en générateur de Thévenin complexe ; on rappelle que dans le cas jamais réalisé pratiquement mais correspondant à une modélisation possible en négligeant les parties résistives des impédances complexes et pour une pulsation particulière où , le générateur de Norton complexe est une source de courant parfaite complexe, sans équivalent en générateur de Thévenin complexe.
↑ Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm en complexe si on transforme auparavant chaque branche en son “ modèle générateur de courant ”, le numérateur de l'expression de étant la somme des “ c.e.m. instantanés complexes ” et de l'intensité instantanée complexe de la branche externe arrivant en d'où le signe , somme de courants traversant les deux D.P.L. en complexe en parallèle des “ modèles générateur de courant ” dont le dénominateur de l'expression de représente l'admittance complexe équivalente d'où le théorème de Millman de l'électricité complexe à deux branches du type interprété comme loi d'Ohm en complexe écrite sous la forme .
↑ Si le circuit étudié est un R.D.L., le nœud d'application du théorème de Millman de l'électricité complexe étant l'une des bornes, l'autre borne ne sera pas systématiquement choisi comme masse voir exercices.
↑ 131,0131,1 et 131,2 À transformer en si le courant est reçu au lieu d'être délivré.
↑ C.-à-d. une branche interne traversée par un courant d'intensité instantanée complexe connue.
↑ C.-à-d. une source idéale de courant de c.e.m. instantané complexe en parallèle sur un D.P.L. d'impédance complexe .
↑ Dans le cas où , les D.P.L. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type sont alors équivalent à un interrupteur ouvert leur rôle disparaît donc et la source de courant complexe équivalente aux c.e.m. instantané complexe en parallèle, de c.e.m. instantané complexe équivalent devenant parfaite, l'intensité instantanée complexe de sortie est égale au c.e.m. instantané complexe équivalent soit .
↑ Dans le cas où , les D.P.L. de l'électricité complexe en parallèle résultant des modèles générateurs de courant de l'électricité complexe équivalents aux branches de type étant équivalent à un interrupteur ouvert, la source de courant complexe équivalente aux c.e.m. instantané complexe en parallèle, de c.e.m. instantané complexe équivalent devient parfaite et l'intensité instantanée complexe de sortie .
↑ Cette forme peut être considérée comme une application de la loi d'Ohm de l'électricité complexe si on transforme auparavant chaque branche en son “ modèle générateur de courant de l'électricité complexe ”, le numérateur de l'expression de étant la somme des “ c.e.m. instantanés complexes ” ainsi que des “ intensités instantanées complexes ” et de l'intensité instantanée complexe de la branche externe arrivant en d'où le signe , somme de courants traversant les impédances complexes en parallèle des “ modèles générateur de courant complexe ” dont le dénominateur de l'expression de représente l'admittance complexe équivalente d'où le théorème de Millman de l'électricité complexe interprété comme loi d'Ohm en complexe écrite sous la forme «», nécessitant bien sûr que «».
↑ Cela est rare dans les R.D.L. simples mais devient plus fréquent quand la complication des R.D.L. s'accroît.
↑ Attention si le réseau délivre par la borne un courant d'intensité instantanée complexe , il reçoit par la borne ce courant d'intensité instantanée complexe c._à-d. que le réseau délivre par la borne un courant d'intensité instantanée complexe .
↑ Si le courant d'intensité instantanée complexe sort par la borne , dans le numérateur contiendra , il rentre alors par la borne et dans le numérateur contiendra .
↑ En supposant que le courant d'intensité instantanée complexe sort par la borne , le terme indépendant de est le potentiel instantané complexe à vide valeur du potentiel instantané complexe si et le cœfficient de est noté .
↑ En supposant que le courant d'intensité instantanée complexe sort par la borne , il entre par la borne , le terme indépendant de est le potentiel instantané complexe à vide valeur du potentiel instantané complexe si et le cœfficient de est noté .
↑ Tension instantanée complexe à vide du R.D. c'est-à-dire quand .
↑ Valeur de l'impédance complexe équivalente du R.D. quand ce dernier a été rendu passif c._à_d. en imposant .
↑ Dans la mesure où il n'y a qu'une seule source, ce dernier pourrait être traité uniquement à l'aide de ponts diviseurs de tension.
↑ 147,0147,1147,2147,3 et 147,4Charles Wheatstone (1802 - 1875) physicien et inventeur anglais à qui on doit la 1ère liaison télégraphique filaire longue de près de Londres en , l'un des 1ers microphones et bien sûr le pont résistif du même nom entre autres.
↑ On parle de pont « de type Wheatstone » quand les quatre éléments passifs autres que le détecteur de courant ne sont pas tous résistifs mais linéaires au sens de l'A.R.Q.S. ; en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence correspondant à une f.e.m. instantanée complexe associée à la f.e.m. instantanée sinusoïdale imposée par le G.B.F. chacun des dipôles passifs possède une impédance complexe, le détecteur en ayant également une.
↑ Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. complexe alimenté en entrée c'est-à-dire entre et par et délivrant en sortie par un courant d'intensité instantanée complexe » dont le générateur de Thévenin complexe équivalent voir le paragraphe « énoncé du résultat (explicitant le générateur de Thévenin en complexe équivalent à un P.D.T.) » plus haut dans ce chapitre a
pour f.e.m. instantanée complexe de Théveninquand la tension instantanée complexe aux bornes de est la fraction de celle aux bornes de et
pour impédance complexe de Théveninquand c'est-à-dire quand et sont reliés par un court-circuit, les D.P.L. d'impédances complexes et sont en vu des points et .
↑ 152,0152,1152,2 et 152,3 Rappelons pour cela qu'il faut que les impédances complexes soient purement imaginaires, c'est-à-dire sans composante résistive donc non réalisable rigoureusement dans la pratique et que l'une soit inductive d'inductance propre équivalente quand l'autre est capacitive de capacité équivalente avec l'imposition d'une pulsation particulière égale à la pulsation propre du série ou parallèle .
↑ En effet l'impédance complexe équivalente du R.D. rendu passif en remplaçant par un court-circuit est c'est-à-dire dans la mesure où .
↑ Dans ce cas le courant traversant le détecteur a une intensité instantanée complexe fixée indépendante de et .
↑ Ce résultat pouvait être trouvé en considérant le R.D. « P.D.T. complexe alimenté en entrée c'est-à-dire entre et par et délivrant en sortie par un courant d'intensité instantanée complexe » dont le générateur de Thévenin complexe équivalent voir le paragraphe « énoncé du résultat (explicitant le générateur de Thévenin en complexe équivalent à un P.D.T.) » plus haut dans ce chapitre a
pour f.e.m. instantanée complexe de Théveninquand la tension instantanée complexe aux bornes de est la fraction de celle aux bornes de et
pour impédance complexe de Théveninquand c'est-à-dire quand et sont reliés par un court-circuit, les D.P.L. d'impédances complexes et sont en vu des points et .
↑ En effet l'impédance complexe équivalente du R.D. rendu passif en remplaçant par un court-circuit est c'est-à-dire dans la mesure où .
↑ Dans ce cas le courant traversant le détecteur a une intensité instantanée complexe fixée indépendante de et .
↑Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom.
↑ La loi de Pouillet en complexe s'applique pour déterminer l'intensité instantanée complexe du courant circulant dans un circuit série en électricité complexe associée au r.s.f., elle résulte de l'application de la loi des mailles en complexe avec choix du sens de f.e.m. instantanée complexe dans le sens du courant en accord avec l'algébrisation habituelle et s'énonce «» encore applicable en valeurs efficaces complexesà retenir et à savoir utiliser sans hésitation.
↑ Il ne s'agit évidemment pas de la f.e.m. instantanée complexe mais de la f.e.m. instantanée sinusoïdale associée.
↑ Le pont est équilibré quand les deux produits des impédances complexes croisées sont égaux ; si on utilise trois impédances complexes étalon c'est-à-dire connues avec une bonne précision variables on peut déterminer la valeur de la 4ème impédance complexe inconnue en cherchant à équilibrer le pont de type Wheatstone.
↑ Si la possibilité théorique d'avoir simultanément et existe, le traitement tel qu'il a été abordé jusqu'à présent aboutit à une absurdité car conduit à alors que conduit à , ces deux résultats étant incompatibles sauf si et mais ce n'est en général pas le cas ; avant de rechercher la raison de cet échec, reprenons l'expression de obtenue dans le cas général et faisons y et , nous constatons d'une part que le dénominateur s'annule alors que d'autre part, le numérateur étant égal à reste de module non nul, ceci entraînant une valeur infinie pour l'intensité instantanée complexe du courant traversant le détecteur ; on s'aperçoit donc que les théorèmes de transformation de dipôle actif linéaire complexe en un autre dipôle actif linéaire complexe nécessite, pour qu'aucune absurdité n'en sorte, que l'intensité des courants intervenant reste de module fini
↑ Un pont universel est dit P/Q quand les conducteurs ohmiques étalon sont consécutifs.
↑ 170,0 et 170,1Max Wien (1866 - 1938) physicien allemand à qui on doit l'oscillateur à pont dit de Wien en et le " Löschfunkensender " un générateur d'oscillations électromagnétiques légèrement amorties entre et ; il eut l'idée d'un amplificateur électronique qu'il ne réalisa pas faute de moyens ce fût William Hewlett (1913 - 2001), ingénieur américain en électronique, cofondateur de « Hewlett-Packard », qui le réalisa en .
↑Charles Victor de Sauty (1831 - 1893) ingénieur électricien et télégraphe anglais à qui on doit essentiellement le 1er câble télégraphique transatlantique.
↑ Un pont universel est dit PQ quand les conducteurs ohmiques étalon sont croisés.
↑ Recherche d'information sur l'auteur Hayje suppose que le nom donné au pont est celui de la personne l'ayant mis en œuvre mais si c'est l'usage ce n'est pas certain et pour l'instant je n'ai rien trouvé.
↑James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour avoir unifié en un seul ensemble d'équations « les équations de Maxwell », l'électricité, le magnétisme et l'induction fournissant, pour l'époque, le modèle le plus unifié de l'électromagnétisme ; il est également célèbre pour avoir interprété la lumière comme étant un phénomène électromagnétique ayant notamment démontré que les champs électriques et magnétiques se propagent dans l'espace sous la forme d'une onde et à la vitesse de la lumière ; ce sont ces deux découvertes qui permirent d'importants travaux ultérieurs notamment en relativité restreinte et en mécanique quantique ; il a également développé la distribution de Maxwell, une méthode statistique de description de la théorie cinétique des gaz ; il est également connu pour avoir réalisé le la 1ère photographie en vraie couleur devant les membres de la Royal Institution de Londres. Quant à savoir si le nom du pont a été donné parce qu'il l'a mis en œuvre ou pour lui rendre hommage, je n'en ai trouvé aucune trace.
↑ Dans le pont de Wien considéré le dipôle variable est en série avec et le dipôle à évaluer est en sur .
↑ Laissant les résistances de la 1ère fraction en , le résultat sera donc en mais bien entendu il est impératif de mettre la résistance de la 2ème fraction en ainsi que la capacité en .
↑ Les résistances de la 1ère fraction peuvent être laissées en car le résultat de la fraction est sans unité, si la capacité du numérateur de la 2ème fraction est laissée en , le résultat sera en mais bien entendu il est impératif de mettre la résistance du dénominateur de la 2ème fraction en ainsi que la capacité en .
![{\displaystyle =\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d75d2174f17c6873fd8a0fdc0e56fd8e37b6ac)
![{\displaystyle \left[{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {u}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7081bc00063ca78d18d3df50caac1212232842)
![{\displaystyle \;{\underline {Z}}(j\,\omega )=Z(\omega )\;\exp \!\left[j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b729c6889288c537297b2e535697b46a62f9dd6a)
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![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\varphi _{u}-\varphi _{i}=\mathrm {arg} \!\left[{\underline {Z_{R\,L\,C\;{\text{série}}}}}(j\,\omega )\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {X(\omega )}{{\mathcal {R}}(\omega )}}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd906fbdb4bb20faba866432d186790afa6f170)
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![{\displaystyle \;{\underline {u_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {u_{e}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f09f74552f796922f000a243315a11e11dfcf1e)
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![{\displaystyle \;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\text{éq}}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\right]}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9b5d38b90edee9938ab7da38b7628f6e5c3bdf)
![{\displaystyle \left.\,{\underline {z_{N}}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ab6d31eed6f12dea75d5968b7c87107fb88e8f)
![{\displaystyle \;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {i_{e}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f0c3dc91f2abbef4798e1037f1f86c79e8abc6)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\big [}{\underline {Z}}(j\,\omega )\,,\,{\underline {v}}(t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd9bdc7272d894fbfa33e812621b6453f206422)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {1}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\neq 0{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737958e9bcd6467b692f4546821b70c316864f2d)
![{\displaystyle \;{\big [}{\underline {i'}}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e82a94e84795f5fa1d3325de841bc951cb5f464)
![Schéma d'un réseau dipolaire linéaire '"`UNIQ--postMath-00000320-QINU`"'R.D.L.'"`UNIQ--postMath-00000321-QINU`"' en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence '"`UNIQ--postMath-00000322-QINU`"' avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]., la masse '"`UNIQ--postMath-00000323-QINU`"' choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «'"`UNIQ--postMath-00000324-QINU`"'»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_sup_d%27un_R.D.png/450px-Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_sup_d%27un_R.D.png)
Schéma d'un réseau dipolaire linéaire R.D.L. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]., la masse choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]. ;![Schéma d'un réseau dipolaire linéaire '"`UNIQ--postMath-00000325-QINU`"'R.D.L.'"`UNIQ--postMath-00000326-QINU`"' en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence '"`UNIQ--postMath-00000327-QINU`"' avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]., la masse '"`UNIQ--postMath-00000328-QINU`"' choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «'"`UNIQ--postMath-00000329-QINU`"'»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_inf_d%27un_R.D.png/450px-Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_inf_d%27un_R.D.png)
Schéma d'un réseau dipolaire linéaire R.D.L. en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]., la masse choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]. ;![Schéma d'un réseau dipolaire linéaire '"`UNIQ--postMath-00000320-QINU`"'R.D.L.'"`UNIQ--postMath-00000321-QINU`"' en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence '"`UNIQ--postMath-00000322-QINU`"' avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]., la masse '"`UNIQ--postMath-00000323-QINU`"' choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «'"`UNIQ--postMath-00000324-QINU`"'»](/wiki/Fichier:Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_sup_d%27un_R.D.png)
![Schéma d'un réseau dipolaire linéaire '"`UNIQ--postMath-00000325-QINU`"'R.D.L.'"`UNIQ--postMath-00000326-QINU`"' en électricité complexe associée au r.s.f[1]. de fréquence '"`UNIQ--postMath-00000327-QINU`"' avec application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne inférieure du R.D.L[72]., la masse '"`UNIQ--postMath-00000328-QINU`"' choisie en un point interne du R.D.L[72]. étant la même lors de l'application du théorème de Millman[120] en complexe en la borne supérieure du R.D.L[72]. ; nous supposerons «'"`UNIQ--postMath-00000329-QINU`"'»](/wiki/Fichier:Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Millman_en_complexe_en_la_borne_inf_d%27un_R.D.png)
![{\displaystyle \;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{A}}}(t)-{\underline {v_{B}}}(t)=\left[{\underline {v_{A,\,0}}}(t)-{\underline {v_{B,\,0}}}(t)\right]-\left[{\underline {z_{A}}}(j\,\omega )+{\underline {z_{B}}}(j\,\omega )\right]{\underline {i_{s}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434d21695684d206dc3947cbd8328f414e45a449)
![{\displaystyle \;{\underline {u_{s}}}(t)={\underline {v_{C}}}(t)-{\underline {v_{D}}}(t)=\left[{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)-\left[{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {i_{s}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbd1ee0206fc2c755703068376143335060eb88)
![{\displaystyle \;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)=\left[{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}-{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a217e6d522f9d927c7ee3cff18f38a64513a8c0)
![{\displaystyle \;{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]-{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4b55f14893299298751ab969368c2987ef2485)
![{\displaystyle {\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc2bfb6fb84ed21cbec2488ca5de6d5fe3d5a1e)
![{\displaystyle \;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {{\underline {e_{\text{Th}}}}(t)}{{\underline {z_{\text{Th}}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\dfrac {{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )]\;[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )]}}\;{\underline {e}}(t)}{{\dfrac {{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868060dd62f8b58ae81e68d6ececdc72463ab0ae)
![{\displaystyle \;{\underline {i_{s}}}(t)={\dfrac {\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\right]{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]+\cdots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bddfdbb0a7d2dcc880e5f781777ff1748eed500)
![{\displaystyle {\dfrac {\color {white}Z}{\color {black}\cdots \;{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]\left[{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae2d1c9a70ee637f22c056a6f0b0665b65c252e)
![{\displaystyle {\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\underline {e}}(t)+{\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\;{\dfrac {{\underline {e}}(t)}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9710e81cb52db1f78463decff6cad83fbc25ce32)
![{\displaystyle \;{\underline {v_{C}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1+{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e6258c9743261cebf808381a718c2e19b5137)
![{\displaystyle \left[R_{1}+{\dfrac {1}{j\;C_{1}\;\omega }}\right]R_{3}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0587f8857a56a604f72bd3c9eeab9f2157ac74bb)
![{\displaystyle \;{\dfrac {R\left[1-j\;R\;C\;\omega \right]}{1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}}}\;R_{4}=\left[R_{1}-j\;{\dfrac {1}{C_{1}\;\omega }}\right]R_{3}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422d97b12536f105bc7471b653e9aed0a0722fdc)
![{\displaystyle \;R={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\left[1+R^{2}\;C^{2}\;\omega ^{2}\right]={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\;{\dfrac {1+R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0ae82cf031d31d081ad45501150d3d88ef933c)
![{\displaystyle \;R={\dfrac {R_{1}\;R_{3}}{R_{4}}}\left[1+{\dfrac {1}{R_{1}^{2}\;C_{1}^{2}\;\omega ^{2}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76acb46e9a6c830331d76e98916cfcd932b71dd3)
![{\displaystyle \;{\underline {Y}}(j\,\omega )=Y(\omega )\;\exp \!\left[-j\left(\varphi _{u}-\varphi _{i}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2b4f041c97e77d07006160d0c0c26ebb2a5bdf)
![{\displaystyle {\dfrac {j\,C\,\omega \left[1-L\,C\,\omega ^{2}-j\,R\,C\,\omega \right]}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}={\dfrac {1}{R}}\;{\dfrac {R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}+j\,R\,C\,\omega \left[1-L\,C\,\omega ^{2}\right]}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+R^{2}\,C^{2}\,\omega ^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaade8c53c67b5ad9f38620484757906093e9419)
![{\displaystyle \Re \left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0febf854ebe5ff76ea3a3d82479a53a630c590)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}(\omega )=\Re \left[{\dfrac {1}{{\underline {Z}}(j\,\omega )}}\right]=\Re \left\lbrace {\dfrac {\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]^{*}}{\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert ^{2}}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea2583ccb51f2bc426cfd7645be79e673c7db1e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\underline {Z}}(j\,\omega )\right]^{*}}{\vert {\underline {Z}}(j\,\omega )\vert ^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {R}}(\omega )-j\;X(\omega )}{{\mathcal {R}}^{2}(\omega )+X^{2}(\omega )}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06565c87c573702d2c051088f94addc8c1358792)
![{\displaystyle {\dfrac {j\,L\,\omega \left[1-L\,C\,\omega ^{2}-j\,{\dfrac {L\,\omega }{R}}\right]}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+{\dfrac {L^{2}\,\omega ^{2}}{R^{2}}}}}=R\;{\dfrac {{\dfrac {L^{2}\,\omega ^{2}}{R^{2}}}+j\,{\dfrac {L\,\omega }{R}}\left[1-L\,C\,\omega ^{2}\right]}{\left(1-L\,C\,\omega ^{2}\right)^{2}+{\dfrac {L^{2}\,\omega ^{2}}{R^{2}}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a242366489b156d49fc15f4bd3bd010e3c639fae)
![{\displaystyle \Re \left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a950e997c123dc4e9896813acd8a1ddf38a23dd)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}(\omega )=\Re \left[{\dfrac {1}{{\underline {Y}}(j\,\omega )}}\right]=\Re \left\lbrace {\dfrac {\left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]^{*}}{\vert {\underline {Y}}(j\,\omega )\vert ^{2}}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd77098f8e6011e1fcdc0fae2bd4edb9344f1f2)
![{\displaystyle \;{\dfrac {\left[{\underline {Y}}(j\,\omega )\right]^{*}}{\vert {\underline {Y}}(j\,\omega )\vert ^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}(\omega )-j\;{\mathcal {B}}(\omega )}{{\mathcal {G}}^{2}(\omega )+{\mathcal {B}}^{2}(\omega )}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9813926c479c5ec7919febf08e3751935ba079d4)
![{\displaystyle \;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\right]={\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4803bcd9520b32d560e7739daf03e7f6309bd5cc)
![{\displaystyle {\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\left[{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )\right]+{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{u}}}(j\,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ecb09b0004f4db8082c12b65dbddb592dad91f)
![{\displaystyle \;{\underline {i_{s}}}(t)=0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fccd8db892c2829e7d99dba14fa23b43d313459)
![{\displaystyle \;AB{\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521c5daa0fbe939ab817803f20556132545afde5)
![{\displaystyle \;B{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719b58dfc0e13595d596e097a8ba39138b2a0c9a)
![{\displaystyle \;\left[{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )-{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\right]{\underline {e}}(t)=\left[-2\;{\underline {Z_{1}}}(j\,\omega )\;{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31828c28238867c3a466ac47d948d5ea1d17b602)
![{\displaystyle \;{\underline {v_{D}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1-{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a37cda94547c706ac15fe4e436beb106407c50)
![{\displaystyle \;{\underline {v_{C}}}(t)={\dfrac {{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{3}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )}}\left[1-{\dfrac {{\underline {Z_{4}}}(j\,\omega )+{\underline {Z_{\mathcal {D}}}}(j\,\omega )}{{\underline {Z_{2}}}(j\,\omega )}}\right]{\underline {e}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e997fc21fd0b9e449cc583f0cf27a3842db68b)
![{\displaystyle 1939{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138f0a5062c5052a92d1b2fd89499f273f6ea9df)
