Solide de Platon/Cube et tétraèdre

Début de la boite de navigation du chapitre

Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son propre dual. Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.

fin de la boite de navigation du chapitre

Épure n^o 7.
En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale KMN. Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier TKMN.

Épure n^o 8.
Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.

Épure n^o 9.
Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun S des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.

On peut obtenir un tétraèdre régulier en tronquant un cube quatre fois. Un sommet d’un cube est commun à trois faces carrées de même dimension. Les six diagonales des trois carrés sont égales. Trois des six forment un triangle équilatéral, la base d’une pyramide régulière telle que ETMN. Dans l’épure n^o 7 la diagonale (VT ) du cube est verticale, comme à la rubrique précédente dans l’épure n^o 4 ou n^o 6, ou dans l’épure n^o 9 de cette rubrique-ci. Les arêtes du cube issues de V sont égales, et l’axe du triangle KMN passe par V. Ainsi chaque sommet du cube est le sommet d’une pyramide régulière, dont l’axe est une diagonale du cube. Trois faces de la pyramide sont des triangles rectangles isocèles isométriques, ses quatre sommets sont des sommets du cube.

Pour abréger disons que le cube de l’épure n^o 7 est amputé de la seule pyramide de sommet V. Le tétraèdre TKMN résulterait de trois troncatures supplémentaires, celles des pyramides de sommets E, F, et G. En amputant le cube entier initial des quatre pyramides de sommets T, K, M, et N, on obtient le tétraèdre régulier concentrique VEFG. Et en amputant le cube entier des pyramides de ses huit sommets, on obtient l’intersection de ces deux tétraèdres, soit le dual canonique du cube dessiné dans l’épure n^o 8. Le centre commun aux quatre solides de cette épure est le centre de symétrie du cube et de l’octaèdre. La symétrie de centre S transforme l’un des tétraèdres en l’autre.

L’épure n^o 7 représente en bleu des lignes de la sphère circonscrite au tétraèdre et au cube initial. L’un des deux grands cercles de la sphère est horizontal, l’autre est dans le plan vertical passant par S et perpendiculaire à la direction de la vue en élévation. R est le centre du cercle circonscrit à KMN.

L’épure 9 ne représente aucune face ni aucun volume, seulement des lignes dans l’espace. Les arêtes du cube sont des lignes grises semi-transparentes, et celles de TKMN sont opaques. De dessus, les trois arêtes obliques de TKMN cachent les arêtes du cube issues de V.

Si deux diagonales de deux faces opposées d’un cube sont orthogonales, ce sont deux arêtes opposées d’un même tétraèdre. L’épure n^o 9 attribue la même couleur à une arête horizontale de TKMN, à l’arête opposée oblique, et à celle des trois droites (Sx ), (Sy ) ou (Sz ), qui passe par les milieux des deux arêtes opposées et qui leur est perpendiculaire. Ces trois droites portent les axes d’un repère orthonormé d’origine S. Les six plans perpendiculaires aux trois droites, contenant chacun une arête du tétraèdre, sont les plans des faces du seul cube ayant à sa surface toutes les arêtes du tétraèdre.

(Sx ), (Sy ) et (Sz ) sont trois axes de symétrie du tétraèdre et du cube. Par exemple la rotation de 180° autour de (Sx ) transforme T en K et K en T, et intervertit M et N.

S est le centre de symétrie du cube, mais TKMN n’a pas de centre de symétrie. Une transformation géométrique qui conserve le cube ne conserve pas nécessairement le tétraèdre. En faisant tourner la figure de l’épure n^o 9 d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour d’une diagonale du cube, on retrouve la même figure, et le même tétraèdre. Perpendiculaire à une face du tétraèdre, l’axe d’une telle rotation est une hauteur du tétraèdre.

Les points T, S, R et V appartiennent à la hauteur verticale (TS ) de TKMN. Les quatre lettres sont absentes de la vue de dessus n^o 9, elles encombreraient la zone centrale de l’hexagone régulier, qui est l’image du cube vu à la verticale. Dans cette vue une rotation d’un tiers de tour autour de (TS ) fait tourner les couleurs des arêtes du tétraèdre, et conserve le tétraèdre.

Cette rotation de 120° appartient à ce qu'on appelle couramment le groupe des symétries du solide (le groupe des isométries qui le conservent globalement), mais ce n’est pas une symétrie.

Le plan vertical contenant (Sz ) est le plan bissecteur de l’angle droit formé par [Sx ) et [Sy ). C’est le plan d’une symétrie du groupe des isométries du cube, ou du groupe des isométries du tétraèdre.

L’angle entre deux faces d’un tétraèdre régulier mesure 2 γ. La vue en élévation n^o 9 montre en vraie grandeur l’inclinaison γ de (Sz ) sur un plan horizontal. C’est aussi l’inclinaison de (Sx ) ou (Sy ), puisque la figure est conservée par une rotation de 120° autour de la verticale (TS ), dans un sens ou dans l’autre.

À cause de la même inclinaison γ des trois axes du repère, le coefficient de proportionnalité cos γ est le même entre les longueurs des segments parallèles à un axe du repère, et les longueurs de leurs projections sur un plan horizontal. Dans l’épure n^o 7 ou n^o 9, la vue de dessus est une perspective isométrique. La valeur de γ peut se déduire de l’égalité :
cos( 2 γ ) = ${\tfrac {1}{3}}.$

Le point de concours S des quatre hauteurs de TKMN est l’isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre. Le centre de n’importe quel solide de Platon est l’isobarycentre de ses sommets. Les quatre solides de l’épure n^o 8 partagent l’isobarycentre de leurs sommets.

Si on prend les demi-droites précédentes [Sx ), [Sy ), et [Sz ) comme axes d’un repère orthonormé, dont l’unité de longueur est la distance de S à une face du cube, ou à une arête du tétraèdre, les trois coordonnées de T sont alors égales à 1. Les sommets de VEFG n’ont pas leurs coordonnées inscrites dans l’épure, mais la symétrie de centre S transforme simplement les coordonnées d’un point en leurs opposées. Elle transforme par exemple K ( +1 ; –1 ; –1 ) en E ( –1 ; +1 ; +1 ).

S est le centre des sphères inscrite et circonscrite à TKMN. La position de S est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure n^o 9 montre les deux sphères centrées au quart de [TR ] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de R sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans TKMN est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre h est égal à ${\tfrac {2\,{\sqrt {3}}}{3}}$, avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.