Solide de Platon/Octaèdre et cube

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Nous interprétons l’image quand nous regardons l’octaèdre de dessus. L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. La perspective donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ABC et HLU sont superposables – isométriques –. Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet A. L’arête cachée [LU ] est en pointillé, ainsi le veut une règle |de géométrie descriptive.

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En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [LU ] ou [BC ]. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.

Sans le mot « convexe », cette phrase serait fausse : un polyèdre convexe est un octaèdre régulier si et seulement si ses arêtes sont les côtés de trois carrés, dont chaque paire a une diagonale commune. L’épure montre les carrés en trois couleurs différentes. Par exemple, [LB ] est la diagonale commune des carrés vert et bleu LUBC et LABH. N’importe quel carré a des diagonales perpendiculaires, donc les diagonales des trois carrés de l’épure sont perpendiculaires deux à deux.

Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 et 2.

Épure n^o 1.
Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ABC et HLU sont horizontales.

Épure n^o 2.
Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (CS ) ou un tiers de tour autour de (TS ) transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.

Une diagonale d’un polyèdre est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère circonscrite – la sphère qui passe par tous ses sommets –. |Le centre S de la sphère est le centre commun des carrés. En effet, on appelle centre d’un rectangle ou d’un |polygone régulier le centre de son cercle circonscrit. N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le centre du solide.

L’information sur T serait très partielle si nous regardions seulement l’épure n^o 2, ou seulement la vue en élévation n^o 1. Le point T est le centre de ABC : le centre de son cercle circonscrit.

Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un grand cercle de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. L’épure n^o 4 montre en bleu deux grands cercles verticaux.

Cette situation sera fréquente dans les figures géométriques, un point de l’espace sera à égale distance des sommets d’une face ou d’une section plane d’un solide. Il sera le centre d’une sphère passant par tous les sommets de la face ou de la section polygonale.

Étant donné un cercle, ou un rectangle, ou un polygone régulier, son axe est la droite perpendiculaire au plan de l’objet au centre de l’objet. C’est l’ensemble des points à égale distance des points du cercle, ou des sommets du polygone. C’est aussi l’axe de certaines rotations qui transforment l’objet en lui-même.

Par exemple, la face supérieure de l’octaèdre est le triangle horizontal ABC, dont l’axe (TS ) est vertical. On obtient le même triangle équilatéral en faisant tourner ABC d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour de (TS ).

Si une pyramide a les sommets d’un polygone régulier, plus un dernier sommet sur l’axe du polygone, alors cette pyramide est dite régulière. Si une rotation autour de l’axe du polygone régulier laisse inchangé le polygone, cette rotation conserve aussi la pyramide. On dit que l’axe du polygone est un axe de la pyramide. Nous verrons un solide de Platon posséder plusieurs axes.

Quelle que soit l’épure, chaque vue est une perspective cavalière. C’est l’image plane d’une figure de l’espace par une projection orthogonale sur un plan. Pour la vue de dessus n^o 1 ou pour la perspective n^o 2, le plan de la projection est n’importe quel plan horizontal. Dans les deux perspectives, la direction et le sens de la projection sont les mêmes : la direction verticale de (TS ) et le sens de T vers S. Les points distincts T et S sont représentés par un même point quand l’octaèdre est vu à la verticale. Il n’y aura pas de vue de dessous.

Le centre d’un rectangle est son centre de symétrie. Chaque carré de centre S est conservé par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme donc l’octaèdre en lui-même. Deux arêtes, deux faces ou deux sommets d’un octaèdre sont dits opposés s’ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre.

Par exemple, la symétrie de centre S transforme le centre d’une face en celui de la face opposée, elle transforme le centre V de la face inférieure en T, centre de la supérieure. Autrement dit, S est le milieu de [VT ].

Une projection orthogonale sur un plan respecte des rapports de longueurs mesurées sur une même droite ou sur des droites parallèles, quand leur direction n’est pas celle de la projection. Des milieux notamment restent des milieux dans une perspective. L’image de S est donc le centre de symétrie de l’image du solide dans toutes les vues.

Quand l’octaèdre est vu à la verticale, l’image de S est à la fois le centre des deux triangles équilatéraux, images des deux faces horizontales, et le centre de la symétrie qui transforme un triangle équilatéral en l’autre. Alors le contour du solide vu à la verticale est un hexagone régulier.

En élévation, le contour a des diagonales perpendiculaires en leur milieu, parce que S est le milieu de [AH ] et de [LB ] dans l’espace, et que la projection ne déforme pas l’angle droit formé par l’axe du carré vert et le plan du carré. Ce contour-là du solide est un losange.

Un plan contenant deux des diagonales d’un polyèdre est un plan diagonal du polyèdre. Par exemple, le carré vert est une section diagonale de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un octaèdre en est un plan de symétrie. Il partage le solide en deux pyramides régulières carrées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan de leur base commune. L’axe commun aux deux pyramides est la diagonale de l’octaèdre perpendiculaire au plan de leur base commune. Par exemple, A et H sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan du carré vert, (AH ) est l’axe commun aux pyramides ALUBC et HLUBC.

Un tiers de tour autour de (VT ) dans un sens ou dans l’autre transforme chaque face horizontale en elle-même, donc transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section horizontale du solide. Dans l’épure 2, des plans qui ne passent pas par S coupent le solide. Tracé en six traits ocre dont trois en pointillé, l’hexagone est horizontal.

N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. Le plan médiateur commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (VT ), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (VT ), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.

Rangeons dans un ensemble ℱ tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, un dodécaèdre ou un cube. La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est semblable à l’hexagone donné.

Les épures n^o 1 et n^o 3 exhibent le même hexagone blanc. Son plan horizontal passe par le centre S du solide. L’intersection de ce plan avec un carré diagonal est un axe de symétrie du carré, parallèle à ses côtés horizontaux, et passant par les milieux de ses côtés obliques. Ces deux milieux sont symétriques l’un de l’autre par rapport à S, quel que soit le carré diagonal considéré. Alors l’hexagone blanc est symétrique par rapport à S.

L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à S en fait un hexagone régulier.

Un plan passant par le centre d’un polyèdre régulier est appelé un plan équatorial du polyèdre. L’hexagone blanc et les trois sections diagonales carrées sont quatre sections équatoriales de l’octaèdre, qui sont quatre polygones réguliers. Parmi les sections parallèles à une face de l’octaèdre, seules les sections équatoriales sont des polygones réguliers. Un côté quelconque de ces quatre hexagones joint les milieux de deux côtés d’une face. Parallèle au troisième côté, il mesure ${\tfrac {a}{2}}$ la moitié d’une arête.

Autour de quatre axes différents de l’octaèdre, communs chacun à deux faces opposées, des tiers de tour conservent un octaèdre régulier. Une rotation d’un quart de tour autour de (CS ) dans un sens ou dans l’autre conserve n’importe quel point de l’axe de rotation, et conserve aussi la section diagonale bleue, la grande section carrée bleue. Un tel quart de tour conserve l’octaèdre, et laisse inchangé le petit carré bleu.

Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans l’épure 2, l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une homothétie de centre C. Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (CS ), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.

Épure n^o 3.
Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.

Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (CS ), et l’épure 3 sur des quarts de tour autour de (AS ). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.

Autour d’une diagonale de l’octaèdre, un demi-tour équivaut à deux quarts de tour successifs dans le même sens. Une rotation de 180° est une symétrie par rapport à l’axe du demi-tour. Les diagonales de l’octaèdre en sont trois axes de symétrie.

Dans l’épure 3, le carré vert est le contour du solide. Sur l’axe du carré vert, H est derrière le solide, son image est confondue avec celles de A et S. Les seuls pointillés du dessin représentent les trois côtés consécutifs de l’hexagone blanc qui sont derrière le solide. La perspective représente deux faces par un même triangle, et les centres des deux faces au centre d’une même cible. Peints sur une face triangulaire, les deux cercles orangés d’une cible sont déformés par la perspective. Le centre d’un triangle équilatéral en est aussi l’orthocentre. La projection déforme toutes les faces, et les symboles d’angles droits aux pieds des douze hauteurs.

À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (AS ). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (AS ), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu dans l’octaèdre.

Épure n^o 4.
Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.

Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers de chaque médiane d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. L’épure 3 permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi dans l’épure 4, qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre K de ALU est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.

Étant donné un solide de Platon de p sommets et q faces, son dual est un solide de Platon de q sommets et p faces, avec le même nombre d’arêtes. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle « du » dual de l’octaèdre avec un article défini, sans avoir précisé davantage de quel solide il s’agit, alors on désigne par « cube » ou par « octaèdre » l’ensemble des polyèdres réguliers en nombre infini, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un cas, huit faces dans l’autre.

À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual de même centre ? L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, épure 8.

Deux solides de Platon sont des duaux canoniques l’un de l’autre quand les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.

L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre S. Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre du cube : son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (AH ) sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec S représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [VT ] dans le plan vertical (ATH ). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.

Présente seulement dans l’épure 4, la lettre t désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :
${\tfrac {TK}{BU}}={\tfrac {AT}{t}}={\tfrac {2}{3}}.$

La vue en élévation numéro 1 ou 4 n’altère pas la longueur AH d’une diagonale de l’octaèdre. Quand les sommets du cube sont les centres des faces de l’octaèdre, une arête du cube mesure le tiers d’une diagonale de l’octaèdre :
VK = ${\tfrac {AH}{3}}$ = ${\tfrac {a\,{\sqrt {2}}}{3}}.$

Certains plans de symétrie d’un cube ou d’un octaèdre régulier contiennent le centre du polyèdre et deux arêtes opposées, ce sont des plans diagonaux du cube ou de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un cube le partage en deux prismes droits triangulaires. Par exemple, le plan vertical (ATH ) est un plan de symétrie du cube et de l’octaèdre. En vraie grandeur dans l’épure 4, VKTE est en même temps le contour du cube et sa section par (ATH ). L’axe de VKTE est un axe de symétrie de l’octaèdre et du cube. Il passe par les milieux de deux arêtes opposées du cube, et par les milieux de [BU ] et [LC ], deux arêtes opposées de l’octaèdre.

Dans l’épure 4, le contour du cube est semblable au format A4 ou à un format de papier semblable, A3 par exemple. Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de VKTE à l’échelle ${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$ , elles représentent chacune deux faces du cube.

Une épure n^o 5 est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.

Épure n^o 6.
Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme dans l’épure n^o 4.

Dans la présente rubrique et dans la prochaine, h est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. h √3 est alors la longueur d’une arête du cube, et h √6 la distance entre deux arêtes opposées.

De nombreux logos commerciaux représentent un cube par un pavage d’hexagone régulier. Dans l’épure 6, le cube initial est vu de dessus comme un hexagone régulier, avant d’être tronqué. Pourquoi un hexagone régulier ? Quand une diagonale du cube est verticale, ses arêtes toutes égales franchissent la même dénivellation h. Alors elles ont toutes la même inclinaison. Projetées orthogonalement sur un plan horizontal, leurs douze images sont donc égales.

Un cube possède quatre diagonales et six plans diagonaux. La droite d’intersection de deux plans diagonaux du cube est soit une diagonale du cube, soit un axe de symétrie du cube, l’axe commun à deux faces opposées. Des quarts de tour ou des demi-tours autour d’un tel axe conservent le cube. Perpendiculaire à un tel axe, une section plane du cube est un carré de même dimension qu’une face. Mais si l’intersection de deux plans diagonaux est une diagonale du cube, un tiers de tour autour de la diagonale conserve la figure. Deux plans diagonaux d’un cube forment un angle de 60°.

Dans l’épure 6, le cube est amputé de sa moitié inférieure. Le cube tronqué a sept faces. Trois faces sont des triangles rectangles isocèles, tous de la même taille. Trois triangles de cette forme et cette taille-là prolongent les faces pentagonales, afin de reconstituer trois faces carrées du cube initial. On retrouve le cube initial en ajoutant au demi-cube son image par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme K en E par exemple.

Autour d’une diagonale d’un cube, une rotation d’un tiers de tour conserve le cube, et toute section du cube par un plan perpendiculaire à la diagonale. Une telle section est soit un triangle équilatéral, soit un hexagone de l’ensemble ℱ, dont la forme varie avec la distance du plan de section au centre du cube. La section est un hexagone régulier si et seulement si la section est équatoriale. La vue de dessus n^o 6 ne déforme pas la face horizontale du demi-cube, qui est un hexagone régulier. La vue de dessus donnerait sa vraie forme à toute section plane horizontale, un hexagone de ℱ, aux côtés parallèles aux arêtes horizontales du demi-cube.

γ apparaît dans l’épure 4 comme l’inclinaison de [AH ] ou [VK ]. C’est l’inclinaison de n’importe quelle diagonale de l’octaèdre, ou n’importe quelle arête du cube contenu dans l’octaèdre, puisque la figure est conservée quand on la fait tourner autour de (TS ) de 120° dans un sens ou dans l’autre. Entre une diagonale et une face d’un cube, l’angle mesure γ.

Visible dans l’épure n^o 1, l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure γ. Le supplément de ( 2 γ ) est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de γ est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre γ désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.