« Fonctions d'une variable réelle/Continuité » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Aucun résumé des modifications |
|||
Ligne 38 :
* si de plus <math>\forall x \in I , g(x) \ne 0\,</math>, alors <math> \frac{1}{g}\,</math> est continue en <math>a\,</math> (respectivement sur <math>I\,</math> ) ;<br/>
* <math> f \circ g</math> est continue en <math>a\,</math> (respectivement sur <math>I\,</math> ) ,sous réserve bien sûr que <math> f \circ g</math> existe en <math>a\,</math> (respectivement sur <math>I\,</math> ). }}
=== Théorèmes sur les fonctions continues ===
Le théorème important sur les fonctions continues est le Théorème des Valeurs Intermédiaires, démontré par Bolzano au XIXème siècle :<br/>
{{Théorème
|contenu =
'''Théorème des Valeurs Intermédiaires :'''<br/>
Soit <math>f \,</math> une fonction continue sur un intervalle <math> [a,b]\,</math>. <br/>
Pour tout réel <math>c\,</math> compris entre <math>f(a)\,</math> et <math>f(b)\,</math> , l' équation <math>f(x) = c\,</math> admet au moins une solution sur <math>[a,b]\,</math> .}}
{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=
Cette démonstration repose sur la méthode d'approximation par dichotomie. (à compléter)
}}
On a également les théorèmes suivants :<br/>
{{Théorème
|contenu =
Toute fonction '''continue sur un intervalle fermé borné''' est bornée et y atteint ses bornes.}}
{{Théorème
|contenu =
'''Théorème de la bijection :'''<br/>
Soit <math>f \,</math> une fonction continue '''et strictement monotone''' sur un intervalle <math> [a,b]\,</math>. <br/>
Pour tout réel <math>c\,</math> compris entre <math>f(a)\,</math> et <math>f(b)\,</math> , l' équation <math>f(x) = c\,</math> admet '''une unique''' solution sur <math>[a,b]\,</math> .
Ainsi, la fonction <math>f\,</math> définit une bijection entre <math>[a,b]\,</math> et <math>f([a,b])\,</math> et sa bijection réciproque <math>f^{-1}\,</math> est elle-même continue et de même sens de variation que <math>f\,</math> sur <math>[a,b]\,</math>.}}
On dit aussi que <math>f\,</math> est un '''homéomorphisme''' entre <math>[a,b]\,</math> et <math>f([a,b])\,</math> (voir le cours de Topologie pour une généralisation de cette notion).<br/>
Ce théorème est une conséquence des deux premiers de ce paragraphe : <br/>
{{Théorème
|contenu =
* L'image par une fonction continue :<br/>
** d'un intervalle est un intervalle ;<br/>
** d'un intervalle ouvert (resp. fermé) est un intervalle ouvert (resp. fermé). <br/>
* L'image réciproque par par une fonction continue :<br/>
** d'un intervalle est un intervalle ;<br/>
** d'un intervalle ouvert (resp. fermé) est un intervalle ouvert (resp. fermé).<br/>}}
Là encore, une généralisation est possible en Topologie.
== Dérivabilité ==
| |||