Fonctions d'une variable réelle/Continuité

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Définition et interprétation géométrique

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.

La fonction $f$ est dite :

• continue en $a$ si $\lim _{x\to a}{f(x)}=f(a)$ ;
• continue sur $I$ si elle est continue en tout réel de $I$.

Interprétation géométrique « naïve »:

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon.

Exemples et contre-exemples :

• La fonction $f:x\mapsto x^{2}$ est continue sur $\mathbb {R}$.
• La fonction $g:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ est continue sur $\mathbb {R} ^{*}$ mais pas en 0 (tout simplement parce qu'elle n'y est pas définie !).

Graphe de la fonction partie entière.

• La fonction partie entière n'est continue en aucun point de $\mathbb {Z}$.

  On rappelle que cette fonction $E$ est définie par :

  $\forall x\in \mathbb {R} \quad E(x)=n\Leftrightarrow \left(n\in \mathbb {Z} \quad {\text{et}}\quad n\leq x<n+1\right)$.

  Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, $\lim _{x\to 0^{-}}{E(x)}=-1$ mais $E(0)=0$.

Remarque : Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x\in \mathbb {Q} \\x,&{\mbox{si }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

n'est continue qu'en zéro (du fait de la densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$, on ne peut tracer la courbe de $f$ ).

Prolongement par continuité

Définition : Prolongement par continuité

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb {R}$, $a\in I$ et $f$ une fonction continue sur $I\setminus \{a\}$.

Si $\lim _{x\to a}f(x)=\alpha \in \mathbb {R}$, le prolongement par continuité de $f$ en $a$ est la fonction $g$ définie sur $I$ par :

$g:x\mapsto {\begin{cases}f(x),&{\mbox{si }}x\neq a\\\alpha ,&{\mbox{si }}x=a.\end{cases}}$

Exemple : On connaît la limite $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\sin '(0)=\cos(0)=1$. Si la fonction $f:\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R}$ est définie par $f(x)={\frac {\sin x}{x}}$, son prolongement par continuité en $0$ est donc :

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto {\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\1,&{\mbox{si }}x=0.\end{cases}}$

Continuité et opérations

Les propriétés suivantes découlent directement des propriétés correspondantes pour les limites de fonctions (limites et opérations et limite d'une fonction composée).

Propriété

• Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ (respectivement sur un intervalle $I$) et soit $\lambda \in \mathbb {R}$. Alors :
  • $f+\lambda g$ est continue en $a$ (resp. sur $I$) ;
  • $fg$ est continue en $a$ (resp. sur $I$) ;
  • si de plus $\forall x\in I\quad g(x)\neq 0$, alors ${\frac {1}{g}}$ est continue en $a$ (resp. sur $I$).
• Soient $f$ continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$ (resp. $f:I\to J$ continue sur $I$ et $g:J\to \mathbb {R}$ continue sur $J$), alors $g\circ f$ est continue en $a$ (resp. sur $I$).

Théorèmes sur les fonctions continues

Voici trois théorèmes importants sur les fonctions continues réelles (ils possèdent des généralisations en topologie).

Début d’un théorème

Théorème des valeurs intermédiaires, ou de Bolzano

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$.

Pour tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=u$ admet au moins une solution sur $[a,b]$.

Ainsi, le segment d'extrémités $f(a),f(b)$ est inclus dans $f([a,b])$.

Fin du théorème

En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.

Démonstration

Supposons par exemple f(a) ≤ u ≤ f(b), et notons X le sous-ensemble de l'intervalle [a, b] constitué des réels x qui vérifient f(x) ≤ u.

Cet ensemble est non vide (il contient a) et majoré (par b).

Notons c sa borne supérieure et prouvons que f(c) = u.

• Comme $\lim _{x\to c,\,x\in X}f(x)=f(c)$, on a (par passage à la limite dans les inégalités) f(c) ≤ u.
• Reste à prouver que f(c) ≥ u.
  • Si c = b, c'est vrai par hypothèse.
  • Si au contraire l'intervalle ]c, b] est non vide, comme ses éléments x vérifient tous f(x) > u, on obtient (à nouveau par passage à la limite) f(c) ≥ u.
• Cette inégalité et la précédente prouvent l'égalité voulue.

Pour une autre preuve (par dichotomie), voir Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires.

 

Début d’un théorème

Théorème de Weierstrass (ou « des bornes »)

Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné (non vide) est bornée et y atteint ses bornes. Autrement dit : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$, alors il existe $c,d\in [a,b]$ tels que $\inf(f([a,b])=f(c)$ et $\sup(f([a,b]))=f(d)$, ou encore, en tenant compte du théorème précédent, tels que :

$f([a,b])=[f(c),f(d)]$.

Fin du théorème

En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.

La fonction atteint ses bornes en c et d.

Démonstration

Notons $M$ la borne supérieure de l'ensemble $f([a,b])$, au sens large a priori, c'est-à-dire égale à $+\infty$ si $f$ n'est pas majorée, et prouvons qu'elle est atteinte (donc en fait finie).

Pour tout réel $N<M$, posons

$D_{N}=f^{-1}([N,+\infty [)$ (inclus dans $[a,b]$ et non vide) et $d_{N}=\sup(D_{N})$.

Comme $\lim _{x\to d_{N},\,x\in D_{N}}f(x)=f(d_{N})$, on a (par passage à la limite dans les inégalités)

• $f(d_{N})\geq N$.

Par ailleurs, comme la fonction $N\mapsto d_{N}$ est décroissante, quand $N\to M^{-}$, $d_{N}\to d:=\inf _{N<M}d_{N}\in [a,b]$ (théorème de la limite monotone) et par continuité :

• $f(d_{N})\to f(d)$.

À nouveau par passage à la limite, on déduit de ces deux points que $f(d)\geq M$, donc :

$f(d)=M$.

Le résultat pour la borne inférieure s'en déduit en remplaçant $f$ par $-f$, ou se démontre de même.

Il existe bien d'autres démonstrations du théorème des bornes. Voir par exemple Spivak, Calculus, p. 115-116.

 

Début d’un théorème

Théorème de la bijection

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction continue et strictement croissante (resp. décroissante), et $J$ l'intervalle $[f(a),f(b)]$ (resp. $[f(b),f(a)]$). Alors :

• $f$ réalise une bijection de $[a,b]$ sur $J$ ;
• la bijection réciproque, de $J$ sur $[a,b]$ — strictement croissante (resp. décroissante) —, est continue.

Fin du théorème

On dit aussi que $f$ réalise un homéomorphisme entre $[a,b]$ et $J$. Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose sur le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans Alain Mézard et Charles Delorme, Cours de mathématiques supérieures, vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255.

Lemme — Toute surjection monotone d'une partie de $\mathbb {R}$ sur un intervalle est continue.

Preuves du lemme et du théorème

Preuve du lemme

Soient $X$ une partie de $\mathbb {R}$, $I$ un intervalle de $\mathbb {R}$, $g:X\to I$ une surjection croissante (si $g$ est décroissante, considérer $-g$) et non constante (car ce cas est immédiat), $x\in X$ et $y=g(x)$.

• S'il existe $r>0$ tel que $[y-r,y+r]\subset I$ alors, pour tout $\varepsilon >0$, en posant $\delta =\min(\varepsilon ,r)$ puis $x_{-}=g^{-1}(y-\delta )$ et $x_{+}=g^{-1}(y+\delta )$, on obtient : $x_{-}<x<x_{+}$ et $g([x_{-},x_{+}]\cap X)\subset [y-\varepsilon ,y+\varepsilon ]$.
• Si $y=\sup I$, on trouve de même, pour tout $\varepsilon >0$, un $x_{-}<x$ tel que $g([x_{-},+\infty [\cap X)\subset [y-\varepsilon ,y]$.
• Si $y=\inf I$, on trouve de même, pour tout $\varepsilon >0$, un $x_{+}>x$ tel que $g(]-\infty ,x_{+}]\cap X)\subset [y,y+\varepsilon ]$.

Dans les trois cas, on a démontré que $g$ est continue en $x$.

Preuve du théorème

On suppose que $f$ est strictement croissante (si $f$ est décroissante, considérer $-f$).

• $f$ est strictement croissante donc injective. C'est donc une bijection de $[a,b]$ dans $f([a,b])$.
• D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f([a,b])$ est un intervalle.
• Par monotonie, $f([a,b])=J$.
• La bijection réciproque, de $J$ sur $[a,b]$, est (strictement) croissante, donc continue d'après le lemme.

 

Remarque

D'après le lemme, toute bijection monotone entre intervalles réels est continue. La réciproque se généralise :

Toute injection continue d'un intervalle réel dans $\mathbb {R}$ est monotone.

Démonstration

On peut utiliser des arguments de connexité, ou démontrer plus généralement que toute fonction de Darboux (c'est-à-dire toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires) injective sur un intervalle [a, b] est monotone : soit f une telle fonction, avec par exemple f(a) < f(b). Pour tous x < y dans [a, b[, par hypothèse sur f, f(a) et f(x) sont d'un côté de f(y) et f(b) est de l'autre côté, donc f(x) < f(y) < f(b) et f est croissante.