Fonctions d'une variable réelle/Continuité

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Continuité
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Chapitre no 3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
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Exercices :

Continuité
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Définition et interprétation géométriqueModifier


Interprétation géométrique « naïve »:

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon.

Exemples et contre-exemples :

  • La fonction   est continue sur  .
  • La fonction   est continue sur   mais pas en 0 (tout simplement parce qu'elle n'y est pas définie !).
 
Graphe de la fonction partie entière.
  • La fonction partie entière n'est continue en aucun point de  .
    On rappelle que cette fonction   est définie par :
     .
    Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple,   mais  .

Remarque : Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction   définie par

 

n'est continue qu'en zéro (du fait de la densité de   dans  , on ne peut tracer la courbe de   ).

Prolongement par continuitéModifier


Exemple : On connaît la limite  . Si la fonction   est définie par  , son prolongement par continuité en   est donc :

 

Continuité et opérationsModifier

Les propriétés suivantes découlent directement des propriétés correspondantes pour les limites de fonctions (limites et opérations et limite d'une fonction composée).

Théorèmes sur les fonctions continuesModifier

Voici trois théorèmes importants sur les fonctions continues réelles (ils possèdent des généralisations en topologie).

Début d’un théorème
Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.



Début d’un théorème
Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.


 
La fonction atteint ses bornes en c et d.


Début d’un théorème
Fin du théorème


On dit aussi que   réalise un homéomorphisme entre   et  . Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose sur le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans Alain Mézard et Charles Delorme, Cours de mathématiques supérieures, vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255.

Lemme — Toute surjection monotone d'une partie de   sur un intervalle est continue.