« Série numérique/Introduction » : différence entre les versions
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}}
Voyons ce qu'est formellement une [[w:Série convergente|Série convergente]] et les propriétés qui en découle directement.
== Convergence d'une série ==▼
{{Définition
| contenu =
<math>\sum_{n\ge0}{u_n}</math>désigne la série de terme général <math>(u_n)_{n \in \mathbb{N}}</math>.
=== Exemples ===▼
*Elle converge lorsque la suite <math>(S_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> des sommes partielles [[w:Limite de suite|converge]], où pour tout entier naturel n,
▲== Convergence ==
:<math>S_n=\sum_{k=0}^{n}{u_k}</math>
=== Condition nécessaire ===▼
*Dans ce cas la '''somme de la série''' est la limite de la suite des sommes partielles
:<math>\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim_{n\to +\infty} S_n</math>
▲ | idfaculté = mathématiques
}}
'''Remarque''' : Bien faire attention aux notations : <math>\sum_{k\ge0} u_n</math>, <math>\sum_{k=0}^n u_k</math> et <math>\sum_{k=0}^{+\infty} u_k</math> désignent bien des choses différentes.
Considérons une suite géométrique <math>(u_n)\,</math> de raison <math>q\,</math> strictement positive.
La somme <math>S_n\,</math> des n+1 premiers termes de <math>(u_n)\,</math> est donnée par la formule :
<center><math>S_n=u_0 + u_{1} + \cdots + u_n =u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math></center>
*Si <math>q<1\,</math> alors <math>q^{n+1}\,</math> tend vers <math>0</math> quand <math>n</math> tend vers l'infini. Donc la suite <math>(S_n)\,</math> admet une limite :
:<math>\lim_{n \to +\infty}S_n = \frac{1}{1-q}</math>
la série de terme général <math>u_n\,</math> converge et on peut écrire :
:<math>\sum_{k=0}^{+\infty} u_k=\frac{1}{1-q}</math>
*Si <math>q\ge1\,</math> alors <math>q^{n+1}\,</math> tend vers <math>+\infty</math> quand <math>n</math> tend vers l'infini. Donc la suite <math>(S_n)\,</math> n'admet pas de limite finie :
:<math>\lim_{n \to +\infty}S_n = +\infty</math>
la série de terme général <math>u_n\,</math> diverge.
Si la série <math>\sum_{n \ge 0} u_n</math> est convergente, alors la suite <math>(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\,</math> converge vers 0 puisque <math>\forall n \geq 1, \qquad u_n=S_n-S_{n-1}</math>
Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite '''trivialement''' ou '''grossièrement divergente'''.
Attention : la réciproque est fausse. Prenons la série harmonique <math>\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n}</math> comme contre-exemple. C'est une série dont le terme général tend vers 0, pourtant elle est divergente. Voir l'[[Série numérique/Exercices/Série harmonique|exercice 4 : Série harmonique]]
== Critère de Cauchy ==
== Opérations et nature des séries ==
[[Catégorie:Série numérique]]
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