Série numérique/Introduction

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Introduction

Définitions

Soit $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ une suite de nombres réels.

• On appelle sommes partielles de la série de terme général $u_{n}$ les réels $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$.
• On dit que la série converge si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie. Dans ce cas la somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles :

  $\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}=\lim _{n\to +\infty }S_{n}$

  et la suite $(R_{n})$ des restes est définie par

  $R_{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}-S_{n}=\sum _{k=n+1}^{+\infty }u_{k}$.

• Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

Exemple : série géométrique

La somme $S_{n}$ des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique $u_{n}=q^{n}$ de premier terme $u_{0}=1$ et de raison $q\neq 1$ est :

$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

• Si $|q|<1$ alors $q^{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. La suite $(S_{n})$ admet une limite finie :

  $\lim _{n\to +\infty }S_{n}={\frac {1}{1-q}}$.

  La série de terme général $q^{n}$ converge et l'on écrit :

  $\sum _{k=0}^{+\infty }u_{k}={\frac {1}{1-q}}$

• Si $|q|>1$ alors $|q^{n+1}|$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers l'infini donc $|S_{n}|$ aussi. Donc la suite $(S_{n})$ n'admet pas de limite finie (si $q>1$, $\lim _{n\to +\infty }S_{n}=+\infty$ ; si $q<-1$, $(S_{n})$ n'a aucune limite, finie ou infinie).

  La série de terme général $q^{n}$ diverge.

• Si $q=-1$, $S_{n}$ vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite.

  La série $\Sigma (-1)^{n}$ est donc divergente.

Condition nécessaire de convergence

Début d’un théorème

Condition nécessaire

Pour qu'une série converge, il faut que son terme général $u_{n}$ tende vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Fin du théorème

En effet, si la série $\sum u_{n}$ est convergente, alors la suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge vers $0$ puisque $\forall n\geq 1,\qquad u_{n}=S_{n}-S_{n-1}$.

La réciproque est fausse (contrairement à ce que pourrait laisser croire l'exemple ci-dessus). Un exemple classique de série dont le terme général tend vers 0 et qui, pourtant, diverge, est la série harmonique $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ (cf. page d'exercice liée). C'est donc une condition nécessaire mais non suffisante.

Lorsque le terme général d’une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite « trivialement » ou « grossièrement » divergente.

Début de l'exemple

Exemples

Nature de la série $\sum {\frac {n-3}{n+4}}$ ?

Solution

Le terme général tend vers $1$. La série est donc grossièrement divergente. Comme elle est à termes positifs, on peut même préciser : $\lim S_{n}=+\infty$.

 

Nature de la série $\sum {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{(2n)!}}$ ?

Solution

Le terme général est supérieur à $1$ car ${\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\binom {2n}{n}}\leq \sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}=2^{2n}$. La série est donc grossièrement divergente. Comme elle est à termes positifs, on peut même préciser : $\lim S_{n}=+\infty$.

 

Fin de l'exemple