Série numérique/Introduction

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Introduction
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Chapitre no 1
Leçon : Série numérique
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Introduction

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Exemple : série géométrique

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Wikipédia possède un article à propos de « Série géométrique ».

La somme   des   premiers termes d'une suite géométrique   de premier terme   et de raison   est :

 
  • Si   alors   tend vers   quand   tend vers l'infini. La suite   admet une limite finie :
     .
    La série de terme général   converge et l'on écrit :
     
  • Si   alors   tend vers   quand   tend vers l'infini donc   aussi. Donc la suite   n'admet pas de limite finie (si  ,   ; si  ,   n'a aucune limite, finie ou infinie).
    La série de terme général   diverge.
  • Si  ,   vaut alternativement 1 et 0 donc n'a pas de limite.
    La série   est donc divergente.

Condition nécessaire de convergence

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Début d’un théorème
Fin du théorème

En effet, si la série   est convergente, alors la suite   converge vers   puisque  .

  La réciproque est fausse (contrairement à ce que pourrait laisser croire l'exemple ci-dessus). Un exemple classique de série dont le terme général tend vers 0 et qui, pourtant, diverge, est la série harmonique   (cf. page d'exercice liée).

C'est donc une condition nécessaire mais non suffisante.

Lorsque le terme général d’une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite « trivialement » ou « grossièrement » divergente.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple