« Série entière/Définition formelle - rayon de convergence » : différence entre les versions
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== Définition des séries entières ==
{{Définition
| contenu =
}}
{{Exemple▼
| contenu = ▼
Par la suite, on notera abusivement <math>\sum a_n z^n</math> la série de fonction précédente, en distinguant le cas d'une variable réelle par <math>\sum a_n x^n</math> et celui d'une variable complexe par <math>\sum a_n z^n</math>.
<math> \sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-z^n }{ 1-z }</math>.▼
▲{{Exemple
* <math>\sum \frac{z^n}{n!}</math> est une série entière qui converge absolument sur tout <math>\C</math>.
* <math> \
▲::<math> \sum_{k=0}^
* <math>\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}</math> n'est pas une série entière ; elle l'est '''en considérant la variable <math>t=x^2</math>'''.
}}
{{Exemple
| titre = Exemple - Utilisation du critère d'Alembert
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'''Conclusions'''
* Un des problème majeur vient de la convergence (ou pas) de la série entière.
* On constate au travers des ces
== Algèbre des séries entières ==
On note <math>\mathbb{K}[[X]]</math> l'ensemble des séries entières à valeur dans <math>\mathbb{K}</math>, '''hors contexte de convergence''', par analogie avec les ''polynômes formels'' : on notera ci-dessous <math>\sum a_n X^n</math> une série entière.
{{Théorème
| contenu =
<math>\mathbb{K}[[X]]</math> forme une <math>\mathbb{K}</math>-algèbre sur le corps <math>\mathbb{K}</math> pour les lois <math>(+, ., \times)</math> :
* <math>\sum a_n X^n + \sum b_n X^n = \sum (a_n+b_n) X^n</math> ;
* <math>\lambda . \sum a_n X^n = \sum (\lambda a_n) X^n</math> ;
* <math>\sum a_n X^n \times \sum b_n X^n = \sum (\sum_{p+q=n} a_p b_q) X^n</math>.
}}
'''Remarque''' Si <math>(a_n)</math> est définie à partir d'un certain rang <math>n_0</math>, la série <math>\sum_{n \geq n_0} a_n X^n</math> est toujours considérée comme une série entière en complétant <math>(a_n)</math> par des zéros.
== Lemme d'Abel ==
Le lemme d'Abel est '''fondamental''' dans l'étude des séries entière. À ce titre, il est nécessaire de connaitre parfaitement son énoncé.
{{Théorème
| titre = Lemme d'Abel
| contenu =
Soit <math>a_n X^n</math> une série entière. On suppose que, pour <math>\rho \in \R_+</math> quelconque, la suite <math>(a_n \rho^n)</math> est bornée. Alors <math>\forall z, |z| < \rho \Rightarrow \sum a_n z^n</math> converge absolument.
}}
{{Démonstration
| contenu =
Pour <math>z</math> tel que <math>|z| < \rho, |a_n z^n| = |a_n| \rho^n \left| \frac{z}{\rho}\right|^n = \mathcal{O}\left(\left|\frac{z}{\rho}^n\right|\right)</math>.
Or <math>\left|\frac{z}{\rho}^n\right| < 1 </math> donc <math>\sum a_n z^n</math> est absolution convergente.
}}
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