« Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très facile » : différence entre les versions
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Ligne 66 :
== Exercice 1-3 ==
Calculer :
<math> a)\quad \int_0^1 \frac1{1+\sqrt{x}}\, \mathrm dx </math>
{{Solution}}▼
| contenu =
Posons :
<math> y = \sqrt{x} \Leftrightarrow x=y^2 \Rightarrow \mathrm dx = 2y\mathrm dy \qquad\qquad 0 \rightarrow x \rightarrow 1 \Rightarrow 0 \rightarrow y \rightarrow 1 </math>
On a donc :
<math> \begin{align}
\int_0^1 \frac1{1+\sqrt{x}}\, \mathrm dx&=\int_0^1 \frac{2y}{1+y}\, \mathrm dy= \int_0^1 \frac{2+2y-2}{1+y}\, \mathrm dy \\
&= \int_0^1 \left(\frac{2(1+y)}{1+y}-\frac2{1+y}\right)\, \mathrm dy=\int_0^1 \left(2-2\frac1{1+y}\right)\, \mathrm dy \\
&=\left[ 2y-2\ln(1+y) \right]_0^1=2\times1-2\ln(1+1)-2\times0+2\ln(1+0) \\
&=2-2\ln(2)=2\left(1-\ln(2)\right)
\end{align}</math>
Nous pouvons conclure que :
{{Encadre
| contenu =
<math> \int_0^1 \frac1{1+\sqrt{x}}\, \mathrm dx = 2\left(1-\ln(2)\right) </math>
}}
}}
== Exercice 1-4 ==
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