Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très facile
Les changements de variable présentés dans cette page ne présentent pas de difficulté ou sont des applications immédiates du cours.
Exercice 1-1
modifierCalculer :
- ;
- ;
- .
- Si l'on pose, avec les notations du cours :
- ( de classe C1 sur ) :
- (continue sur ),
- on obtient immédiatement :
- .
- Si l'on pose :
- ( de classe C1 sur ) :
- (continue sur ),
- on obtient de même :
- .
- Si l'on pose enfin :
- ( de classe C1 sur ) :
- (continue sur ),
- on obtient de même :
- .
Exercice 1-2
modifierCalculer l'intégrale impropre :
- .
Posons .
- .
Exercice 1-3
modifierCalculer une primitive de
- .
.
Exercice 1-4
modifierCalculer :
a) Posons :
On a donc :
Nous pouvons conclure que :
. |
Méthode plus simple (sans changement de variable) :
cette intégrale est l'aire sous la courbe de la fonction , c'est-à-dire l'aire d'un quart de disque de rayon 1. Elle vaut donc .
b) Posons :
On a donc :
Nous pouvons conclure que :
. |
Exercice 1-5
modifierCalculer :
- .
Posons :
- .
On a donc :
Exercice 1-6
modifierCalculer :
- .
Il s'agit du troisième cas d'une intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré.
On pose , d'où , et
(cf. Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques).
Exercice 1-7
modifierCalculer la primitive sur nulle en 0 de
- .
Posons :
- .
La primitive cherchée est donc
- .
Exercice 1-8
modifierCalculer les intégrales suivantes :
- .
- Posons . .
- Posons . .
- Posons . .
- Posons . .
Exercice 1-9
modifierCalculer une primitive de .
Exercice 1-10
modifier- Soit continue, vérifiant . Exprimer en fonction de .
- En déduire la valeur de .
- Le c.d.v. donne , donc .
- Application à , : donne , d'où .