« Suites et récurrence/Exercices/Limites » : différence entre les versions
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Ligne 58 :
Ainsi écrit, on voit clairement que :
{{Cadre simple|contenu=<math>\lim d_n=1\,</math>
'''5.''' <math>e_n=\frac{n!}{n^n}\,</math>
On se rappelle la formule : <math> (1 + x )^n \ge 1 + nx,</math> et on remarque que <math>e_n</math> est une suite de termes positifs.
On a : <math>\frac {e_n}{ e_{n+1}} = \frac {n!}{n^n} \times \frac {(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \left( \frac {n + 1 }{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n </math>
<math> \ge 1 + n \times \frac{1}{n} = 2 </math>
Donc <math>\frac {e_{n+1}}{ e_n} \le 2</math> pour tout n.
On utilise la relation <math>\frac {e_n}{ e_1} = \frac {e_2}{ e_1} \times \frac {e_3}{ e_2} \times .... \times \frac {e_n}{ u_{n-1}} \le \frac{1}{2^{n-1}} </math>.
Or <math>e_1 = 1 </math> , on obtient alors : <math>0 \le e_n \le \frac{1}{2^{n-1}} </math>.
Finalement, on obtient :
{{Cadre simple|contenu=<math>\lim e_n=0\,</math>}}
}}
== [[w:Lemme de Cesàro|Moyenne de Cesàro]] ==
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