Suites et récurrence/Exercices/Limites

Cas assez simples

Trouver les limites des suites suivantes :

1. $a_{n}={\frac {n-\left(-1\right)^{n}}{n+\left(-1\right)^{n}}}$ avec $n\geq 2$

2. $b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}$

3. $c_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$

4. $d_{n}={\sqrt[{n^{2}}]{n!}}$

5. $e_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}$

6. $f_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}$, pour $a\geq 0$

7. $g_{n}={\frac {n^{n}n!}{(2n)!}}$

Solution

1. $a_{n}={\frac {n\,\left(1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}{n\,\left(1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}\right)}}={\frac {1-{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}{1+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n}}}}\to 1$.
2. $b_{n}={\frac {1}{n^{3}}}\,{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\to {\frac {1}{3}}$.
3. $c_{n}=\operatorname {e} ^{\ln n/n}\to 1$.
4. $d_{n}\geq 1$ et $d_{n}\leq {\sqrt[{n^{2}}]{n^{n}}}=c_{n}$ donc par encadrement, $d_{n}\to 1$.
5. $e_{n}\leq {\frac {1}{n}}\to 0$. Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 2.
6. Fixons un entier $N$ tel que ${\frac {a}{N+1}}<1$ (par exemple : $N=\lfloor a\rfloor$). Pour tout $n\geq N$, $0\leq f_{n}=f_{N}\times {\frac {a}{N+1}}{\frac {a}{N+2}}\dots {\frac {a}{n}}\leq f_{N}\times \left({\frac {a}{N+1}}\right)^{n-N}$ donc par encadrement, $f_{n}\to 0$.
   Un autre méthode est de minorer $n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots$ par $n^{n/2}$ donc de majorer $f_{n}$ par $\left({\frac {a}{\sqrt {n}}}\right)^{n}$, qui tend vers $(0^{+})^{+\infty }=0^{+}$.
   Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 1.
7. Les $n$ termes du produit $g_{n}={\frac {n}{2n}}{\frac {n}{2n-1}}{\frac {n}{2n-2}}\dots {\frac {n}{n+1}}$ sont tous $<1$ et les ${\frac {n}{2}}$ premiers (ou ${\frac {n+1}{2}}$ si $n$ est impair) sont même $<{\frac {2}{3}}$, donc $g_{n}<\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {n}{2}}\to 0$.
   Une autre méthode est de minorer le produit des dénominateurs par $\left(2n^{2}\right)^{n/2}$ donc de majorer $g_{n}$ par $2^{-n/2}$, qui tend vers 0.
   Voir aussi Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 2, question 4.

 

Récurrence simultanée sur deux suites

Soient $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définies par :

$u_{0}=1,\quad v_{0}=2,\quad u_{n+1}={\frac {u_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}},\quad v_{n+1}={\frac {v_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}}$ (pour tout $n\in \mathbb {N}$).

1. Montrer que $u_{n}>0$ et $v_{n}>0$ (pour tout $n\in \mathbb {N}$).
2. Montrer que les deux suites décroissent. En déduire qu'elles convergent.
3. On note $\ell$ et $\ell '$ leurs limites respectives. Montrer que $\ell \ell '=0$.
4. Montrer que la suite $(v_{n}-u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est constante.
5. En déduire $\ell$ et $\ell '$.

Solution

1. Immédiat par récurrence (ce qui prouve en même temps que les deux suites sont bien définies).
   Ou plus formellement : l'application $f:(u,v)\mapsto \left({u^{2} \over u+v},{v^{2} \over u+v}\right)$ est bien définie sur $A:=(\mathbb {R} _{+}^{*})^{2}$, $(u_{0},v_{0})\in A$, et $f(A)\subset A$. Ceci prouve que la suite $(u_{n},v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est bien définie et à valeurs dans $A$.
2. $0<{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}={\frac {u_{n}}{u_{n}+v_{n}}}<1$ donc $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est (strictement) décroissante. (Variante : $u_{n+1}-u_{n}=-{u_{n}v_{n} \over u_{n}+v_{n}}<0$.) De même pour $(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.
   Puisque ces deux suites sont décroissantes et minorées (par $0$), elles convergent.
3. Si $\ell \neq 0$ alors $\ell +\ell '\geq \ell >0$ et $\ell ={\frac {\ell ^{2}}{\ell +\ell '}}$ donc $1={\frac {\ell }{\ell +\ell '}}$ donc $\ell '=0$.
   Ou plus formellement : si l'on avait $(\ell ,\ell ')\in A$ on aurait (par continuité de $f$ sur $A$) $f(\ell ,\ell ')=(\ell ,\ell ')$, d'où l'on déduirait (en utilisant que $\ell ,\ell '>0$) que $\ell =\ell '=0$ : contradiction, donc $\ell$ ou $\ell '$ est nul.
4. $v_{n+1}-u_{n+1}={\frac {v_{n}^{2}-u_{n}^{2}}{u_{n}+v_{n}}}=v_{n}-u_{n}$ donc $\ell '-\ell =v_{0}-u_{0}=1$.
5. Comme l'une des deux limites est nulle et l'autre est positive, $\ell '=1$ et $\ell =0$.

Remarque : il était plus simple de traiter d'abord la question 4, pour se ramener à l'étude de la seule suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, vérifiant $u_{n}>0$ et $u_{n+1}={u_{n}^{2} \over 2u_{n}+1}<{u_{n} \over 2}$, d'où $u_{n}\to 0$ et donc $v_{n}\to 1$.