« Corps (mathématiques)/Définitions » : différence entre les versions
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Intersection de sous-corps |
→Sous-corps : démonstration caractéristique |
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Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc <math>(P,+)=\cap_{i\in I} (P_i,+)</math> est un sous-groupe de <math>(\mathbb K,+)</math> et <math>(P^*,\times)=\cap_{i\in I} (P_i^*,\times)</math> est un sous-groupe de <math>(\mathbb K^*,\times)</math>.
Donc d'après la proposition précédente <math>P</math> est un sous-corps de <math>\mathbb K</math>.}}{{Proposition|contenu = Soit <math>\mathbb K</math> un corps. Soit <math>P</math> une partie de <math>\mathbb K</math>. L'ensemble <math>E</math> des sous-corps de <math>\mathbb K</math> qui contiennent <math>
<math>\forall P'\in E : P\subset P'</math> donc <math>P\subset k</math>.
D'après la propriété précédente <math>k</math> est un sous-corps.}}{{Définition
| contenu =
Le plus petit sous-corps d'un corps <math>\mathbb K</math> contenant la partie <math>P</math> est appelée '''sous-corps de <math>\mathbb K</math> engendré par <math>
}}
== Caractéristique ==
{{Lemme|contenu = Soit <math>A</math> un anneau.
Montrons qu'il est unique.
On doit avoir <math>f(1)=1_A</math>, par récurrence on montre que <math>\forall n\in \N^* : f(n)=n.1_A</math> en utilisant <math>f(n+m)=f(n)+f(m)</math>.
On a <math>f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)</math> donc en simplifiant dans le groupe abélien <math>(A,+)</math>, on a <math>f(0)=0_A</math>.
Enfin, on a <math>\forall n\in N : f(0)=f(n-n)=f(n)+f(-n)</math> donc <math>f(n)+f(-n)=0_A</math>, donc <math>f(-n)</math> est l'opposé de <math>f(n)</math> c'est à dire <math>f(-n)=-(n.1_A)=-n.1_A</math>.
<math>f</math> est donc définie sur tout <math>\Z</math> par <math>f(n)=n.1_A</math>.}}
<nowiki> </nowiki>Le noyau de ce morphisme est un idéal de <math>\Z</math> de la forme <math>n \Z</math>. L'entier <math>n</math> est soit nul, soit un nombre premier.
En effet, si <math>n</math> était un entier non nul décomposable, alors on pourrait écrire <math>n=k.l</math> où <math>1<k</math> et <math>l<n</math>. Alors, <math>\phi(k l)=0=\phi(k).\phi(l)</math>. Donc, soit ''k'' soit ''l'' serait dans le noyau de <math>\phi</math>, donc divisible par ''n''. C'est impossible par hypothèse.
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