« Corps (mathématiques)/Définitions » : différence entre les versions
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<math>\forall P'\in E : P\subset P'</math> donc <math>P\subset k</math>.
D'après la propriété précédente <math>k</math> est un sous-corps.}}
{{Définition | contenu =
Le plus petit sous-corps d'un corps <math>\mathbb K</math> contenant la partie <math>P</math> est appelée '''sous-corps de <math>\mathbb K</math> engendré par <math>P</math>'''.
}}
== Caractéristique ==
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{{Démonstration déroulante|contenu = ''1er cas : <math>\phi</math> est injectif :''
: Soit <math>\psi</math>, l'application de <math>\Q</math> dans <math>\mathbb K</math> qui à tout <math>x=\dfrac{a}{b}</math> fait correspondre <math>\psi(x)=\phi(a)(\phi(b))^{-1}</math>.
::<math>\psi</math> est bien définie, en effet soit <math>\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}</math>, on a <math>ad=bc</math> d'où <math>\phi(a)\phi(d)=\phi(ad)=\phi(bc)=\phi(b)\phi(c)</math> et donc <math>\phi(a)(\phi(b))^{-1}=\phi(c)(\phi(d))^{-1}</math>. La valeur prise par <math>\psi</math> ne dépend donc pas du représentant de <math>x</math> choisi.
::Soit <math>x\in\Z</math>, on a <math>x=\dfrac{x}{1}</math> d'où <math>\psi(x)=\phi(x)(\phi(1))^{-1}=\phi(x)1_{\mathbb K}^{-1}=\phi(x)\times1_{\mathbb K}=\phi(x)</math>. Donc <math>\psi</math> prolonge <math>\phi</math>.
::On a évidemment <math>\psi(1)=\phi(1)=1_{\mathbb K}</math>
::On a <math>\psi(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d})=\psi(\dfrac{ad+bc}{bd})=\phi(ad+bc)(\phi(bd))^{-1}=(\phi(a)\phi(d)+\phi(b)\phi(c))(\phi(d))^{-1}(\phi(b))^{-1}=\phi(a)(\phi(b))^{-1}+\phi(c)(\phi(d))^{-1}=\psi(\dfrac{a}{b})+\psi(\dfrac{c}{d})</math>
::De même <math>\psi(\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d})=\psi(\dfrac{ac}{bd})=\phi(ac)(\phi(bd))^{-1}=(\phi(a)\phi(c))(\phi(d))^{-1}(\phi(b))^{-1}=\phi(a)(\phi(b))^{-1}\times\phi(c)(\phi(d))^{-1}=\psi(\dfrac{a}{b})\times\psi(\dfrac{c}{d})</math>
::<math>\psi</math> est donc bien un morphisme de <math>\Q</math> sur <math>\mathbb K</math>.
''2ème cas : <math>\phi</math> n'est pas injectif''
:On sait que <math>\Z</math> et <math>\mathbb K</math> sont deux anneaux intègres donc le noyau de <math>\phi</math> est un idéal de <math>\Z</math>. Il existe donc <math>p\in \N</math> tel que <math>ker(\phi)=p\Z</math>.
:Comme <math>\phi(1)=1_{\mathbb K}\neq 0</math> alors <math>c\neq 1</math>.
:Comme <math>\mathbb K</math> est intègre, son sous-anneau <math>Im(\phi)</math> est intègre.
:<math>Im(\phi)</math> est isomorphe à <math>\Z/p\Z</math>. En effet, <math>\phi</math> est une application surjective de <math>\Z</math> sur <math>Im(\phi)</math> et de noyau <math>c\Z</math>. Les anneaux <math>Im(\phi)</math> et <math>\Z/p\Z</math> sont donc intègres.
:L'anneau <math>\Z/p\Z</math> est intègre donc <math>p</math> est premier.
:Posons <math>\psi</math> l'application de <math>\Z/p\Z</math> dans <math>\mathbb K</math> définie par <math>\psi(\overline{x})=\phi(x)</math>.
::<math>\psi</math> est bien une application. En effet soit <math>x</math> et <math>x'</math> deux représentants de la même classe. On a <math>x-x'\in p\Z</math> donc <math>\phi(x-x')=0</math> soit <math>\phi(x)-\phi(x')=0</math> et donc <math>\phi(x)=\phi(x')</math>. La valeur de <math>\psi</math> ne dépend donc pas du représentant choisi.
::<math>\psi</math> est une injection, dans le cas contraire, il existe <math>x</math> et <math>x'</math> tels que <math>x-x'\notin p\Z</math> et tels que <math>\psi(\overline{x})=\psi(\overline{x'})</math>. Mais alors <math>\phi(x)=\phi(x')</math> et donc <math>\phi(x)-\phi(x')=0</math> soit <math>\phi(x-x')=0</math> d'où <math>x-x'\in ker(\phi)</math> c'est à dire <math>x-x'\in p\Z</math> ce qui est absurde.
:<math>\phi</math> induit bien une injection de <math>\Z/p\Z</math> dans <math>\mathbb K</math>.}}{{Définition|contenu = Si <math>\mathbb K</math> n'est pas de caractéristique nulle, l'entier <math>p</math> défini dans le théorème précédent est appelé '''caractéristique du corps <math>\mathbb K</math>'''}}{{Exemple|contenu = *<math>\Q, \R</math> et <math>\C</math> sont de caractéristique nulle.
*<math>\Z/p\Z</math> est un corps de caractéristique <math>p</math>.}}{{Bas de page
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