« Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie » : différence entre les versions

| titre = Définition : Norme d'espaced’espace vectoriel

* Dans <math>\R</math> , l'applicationl’application valeur absolue définit une norme.

** <math>\|\cdot\|_2 : x =(x_1,\ldots,x_n)\mapsto \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}</math> : c'estc’est la norme euclidienne ;

* Sur l'espacel’espace fonctionnel <math>\mathcal C^0([a;b];\R)</math> des [[Fonctions d'uned’une variable réelle/Continuité|fonctions continues]] sur un compact non vide <math>[a,b]</math> à valeurs dans <math>\R</math>, on définit aussi :

À partir d'uned’une norme, on définit la distance entre deux vecteurs par :

Il s'agits’agit bien d'uned’une distance, puisqu'elle vérifie [[Topologie générale/Espace métrique|les trois axiomes de distance]].

Soient <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_2</math> deux nomes sur un même e.v.n. <math>E</math>. On dit que <math>\|\cdot\|_1</math> est '''équivalente''' à <math>\|\cdot\|_2</math> s'ils’il existe deux réels <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> tels que :

La relation « est équivalente à » est une relation d'équivalence sur l'ensemblel’ensemble des normes sur <math>E</math>, car deux normes sont équivalentes si et seulement si les distances associées sont équivalentes, c'estc’est-à-dire engendrent la même [[topologie]].

| titre = Définitions : Boules d'und’un evn

* La''' boule ouverte de centre <math>x</math> et de rayon <math>r</math>''' est l'ensemblel’ensemble :

* La''' boule fermée de centre <math>x</math> et de rayon <math>r</math>''' est l'ensemblel’ensemble :

| titre = Définition : Voisinage d'und’un point

| titre = Définitions : Ouverts et fermés d'und’un evn

* Un point <math>x\in A</math> est dit '''intérieur à <math>A</math>''' si, et seulement si, il existe un voisinage de <math>x</math> distinct de <math>A</math> entièrement contenu dans <math>A</math>.<br /> '''L'intérieurL’intérieur de <math>A</math>''' est l'ensemblel’ensemble, noté <math>\stackrel{\ \circ}{A}</math>, des points intérieurs à <math>A</math>.

* Un point <math>x\in A</math> est dit '''adhérent à <math>A</math>''' si, et seulement si, tout voisinage de <math>x</math> rencontre <math>A</math>.<br /> '''L'adhérenceL’adhérence de <math>A</math>''' est l'ensemblel’ensemble, noté <math>\bar{A}</math>, des points adhérents à <math>A</math>.

* '''La frontière de <math>A</math>''' est l'ensemblel’ensemble, noté <math>\mathrm{Fr}(A)</math>, défini par :

Sur l'imagel’image ci-dessus, si on appelle <math>A</math> l'ensemblel’ensemble "informe" en vert clair, alors :

Intuitivement, les parties denses d'und’un espace sont donc des parties qui sont très grosses : on ne peut pas les éviter.

| titre = Définitions : Points isolés et d'accumulationd’accumulation

* <math>x\in A</math> est un '''point d'accumulationd’accumulation de <math>A</math>''' si, et seulement si, tout voisinage de <math>x</math> contient un point de <math>A</math> distinct de <math>x</math>.

* Un point de <math>A</math> est '''isolé''' si, et seulement si, il ne s'agits’agit pas d'und’un point d'accumulationd’accumulation de <math>A</math>.}}

* La réunion et l'intersectionl’intersection '''finie''' de 2 ouverts est un ouvert.}}

Pour l'intersectionl’intersection infinie, le résultat est faux (sur <math>\R</math> , on peut prendre <math>\bigcap_{n=1}^{+\infty} \left]-\frac{1}{n};\frac{1}{n}\right[ = \{0\}</math> qui est fermé...).