« Fonction dérivée/Dérivées usuelles » : différence entre les versions
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Ligne 148 :
Donc la dérivée de la fonction <math>x^n</math> est donnée par : <math>\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x^n\right) = nx^{n-1}</math> avec <math>n \in \mathbb Z</math>
==== Fonction x puissance α ====
Soient <math>(x, \alpha) \in \mathbb R^*_+ \times \mathbb R</math>
Posons :
<math>f(x) = x^{\alpha} = \mathrm e^{\alpha \ln x}</math>
<math>\begin{align}
\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} & = \left[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} \alpha \ln x\right] \times \left[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm d(\alpha \ln x)} \mathrm e^{\alpha \ln x}\right]\\
& = \dfrac{\alpha}{x} \times \mathrm e^{\alpha \ln x}\\
& = \alpha x^{-1} \times x^\alpha\\
& = \alpha x^{\alpha - 1}
\end{align}</math>
Donc la fonction dérivée de la fonction <math>x^{\alpha}</math> est donnée par : <math>\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}x^{\alpha} = \alpha x^{\alpha - 1}</math> avec <math>(x, \alpha) \in \mathbb R^*_+ \times \mathbb R</math>
== Tableau récapitulatif : dérivée et opérations ==
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