Fonction dérivée/Dérivées usuelles
Prérequis
modifierDéfinition de la dérivée
modifierRevoir (chapitres précédents) les définitions d'un nombre dérivé et d'une fonction dérivable et sa fonction dérivée.
Tableau récapitulatif : dérivée et opérations
modifierAdmis pour l'instant. Voir : Dérivée d'un produit et Dérivée d'un quotient.
Opération | Dérivée | Précision |
---|---|---|
Dérivées des fonctions usuelles
modifierFonctions x ↦ xn avec n ∈ Z
modifierLe cas n = 0 se règle directement : x ↦ x0 est la fonction constante 1 (même au point x = 0, par convention) donc sa dérivée sur est la fonction nulle.
Soit .
.
Or :
- pour , ;
- pour , .
Donc .
Soit la propriété (sur ), à démontrer pour tout .
Initialisation : Pour ,
donc est vraie.
Hérédité : Supposons vraie.
donc est vraie.
Conclusion : la propriété est vraie pour et est héréditaire.
Le principe de récurrence permet de conclure qu'elle est vraie pour tout .
On trouvera encore une autre démonstration (pour n positif) à la fin du § « Dérivée des fonctions usuelles » d'un chapitre de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».
Soient un entier négatif et l'entier opposé (positif). Alors, sur , et donc
Fonction racine carrée
modifierLa fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : .
Cette propriété est démontrée dans la leçon « Fonction racine carrée ».
Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
modifierSoient , et .
Intervalle(s) de dérivabilité | ||
---|---|---|
si
si et | ||
et | ||