« Intégration en mathématiques/Exercices/Valeur moyenne » : différence entre les versions
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→Exercice 3-1 : rectifs (valeur absolue dans la question 2 et intervalle de bornes inversées) +sol, mais la question 3 me semble terriblement difficile pour un exo de niveau 13 |
→Exercice 3-2 : Solution hypothétique d'un énoncé très bizarre |
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Ligne 32 :
== Exercice 3-2 ==
(Cet exercice suppose connue la notion de [[changement de variable en calcul intégral]] qui n'est pas nécessairement au programme de tous les cours de niveau 13.)▼
▲(Cet exercice suppose connue la notion de changement de variable en calcul intégral qui n'est pas nécessairement au programme de tous les cours de niveau 13)
▲Soit '''f''' une fonction continue sur <math>\R</math>.
'''1°''' Soit <math> I = \int_a^b f(x)\, \mathrm dx </math>.
:Effectuer le changement de variable <math>
:On obtient <math> \int_a^b f(x)\, \mathrm dx = \int_l^m g(t)\, \mathrm dt </math>.
:Comparer les [[Initiation au calcul intégral/Propriétés de l'intégrale#Valeur moyenne d'une fonction|valeurs moyennes]] de
'''2°''' En déduire que :
:<math> \frac1{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm dx = \int_0^1 f[a+(b-a)t]\, \mathrm dt </math>.
'''3°''' Le résultat du '''1°''' est-il valable pour un autre changement de variable ?
:(On s'attachera à trouver un contre-exemple, et on expliquera le résultat.)
{{Solution
#<math>I=\int_l^mg(t)\mathrm dt</math> avec <math>g(t)=\alpha f(\alpha t+\beta)</math>, <math>l=\frac{a-\beta}{\alpha}</math> et <math>m=\frac{b-\beta}{\alpha}</math>.<br />Les valeurs moyennes de <math>f</math> sur <math>[a,b]</math> et de <math>g</math> sur <math>[l,m]</math> sont respectivement <math>\frac I{b-a}</math> et <math>\frac I{m-l}=\alpha\frac I{b-a}</math>.
#Pour <math>\alpha=b-a</math> et <math>\beta=a</math>, on déduit du début de la question précédente que
#:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\int_0^1(b-a)f[a+(b-a)t]\,\mathrm dt</math>.
#{{???}} La question est étrange car le résultat du '''1°''' est négatif (les valeurs moyennes de <math>f</math> sur <math>[a,b]</math> et de <math>g</math> sur <math>[l,m]</math> sont différentes dès que <math>I\ne0</math> et <math>\alpha\ne1</math>). Exemple : pour <math>f=1</math> sur <math>[0,1]</math> et le changement de variable <math>x=2t</math>, la valeur moyenne de <math>f</math> sur <math>[0,1]</math> est <math>1</math> et celle de <math>g=2</math> sur <math>[0,1/2]</math> est <math>2</math>. Cela vient du fait que l'intégrale de la fonction est (par définition) la même mais la longueur de l'intervalle change.
}}
== Exercice 3-3 ==
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