Intégration en mathématiques/Exercices/Valeur moyenne

Exercice 3-1

Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x-1}}$.

1°  Préciser son ensemble de définition.

2°  On pose :

$I(x)=\int _{x}^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}$, pour $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\setminus \{1\}$.

Prouver qu'il existe un réel $c$ de l'intervalle $]x,x^{2}[$ (ou $]x^{2},x[$) tel que :

$I(x)=(x^{2}-x)f(c)+[\ln |t-1|]_{x}^{x^{2}}$.

3°  En déduire la limite de $I(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$.

Solution

1. $\mathbb {R} _{+}^{*}\setminus \{1\}$.
2. $f$ est continue sur $]x,x^{2}[$ si $x>1$ (ou $]x^{2},x[$ si $0<x<1$) donc atteint sa valeur moyenne sur cet intervalle, si bien que

   $I(x)-[\ln |t-1|]_{x}^{x^{2}}=\int _{x}^{x^{2}}f(t)\,\mathrm {d} t=(x^{2}-x)f(c)$ pour un certain $c\in ]x,x^{2}[$ (ou $]x^{2},x[$).

3. • $I(x)=(x^{2}-x)f(c_{x})+\ln \left|{\frac {x^{2}-1}{x-1}}\right|={\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}(c_{x}-1)f(c_{x})+\ln(x+1)$ avec $0<{\frac {x^{2}-x}{c_{x}-1}}<x$ et $\lim _{x\to 1}c_{x}=1$.
   • Quand $c\to 1$, ${\frac {\ln c}{c-1}}\to \ln '(1)=1$ donc $(c-1)f(c)={\frac {c-1}{\ln c}}-1\to 0$.
   • Par conséquent, $\lim _{1}I=\ln 2$.

 

Exercice 3-2

Soit $f:[0,\pi ]\to \mathbb {R}$ une fonction continue telle que :

$\int _{0}^{\pi }f(t)\cos t\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\pi }f(t)\sin t\,\mathrm {d} t=0$.

Démontrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$0<\alpha <\beta <\pi$ et $f(\alpha )=f(\beta )=0$

Solution

Supposons $f$ non constamment nulle (sur son domaine de définition, $\left[0,\pi \right]$).

Alors elle n'est pas de signe constant (sinon, $f\times \sin$ le serait aussi, ce qui ne se peut car, étant continue et d'intégrale nulle, elle serait constamment nulle, or $\sin$ ne s'annule qu'en $0$ et $\pi$). Il existe donc $a,b\in \left[0,\pi \right]$ tels que $f(a)>0$ et $f(b)<0$ donc entre les deux (par le théorème des valeurs intermédiaires), un point $c\in \left]0,\pi \right[$ en lequel $f$ s'annule.

Si c'était le seul, les restrictions de $f$ à $\left]0,c\right[$ et à $\left]c,\pi \right[$ seraient de signes constants et distincts donc la fonction $\left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto f(t)\sin(t-c)$ serait de signe constant. C'est impossible car (par combinaison linéaire) son intégrale est nulle et $\left[0,\pi \right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \sin(t-c)$ ne s'annule qu'en $c$.

Par conséquent, $f$ s'annule en au moins deux points de $\left]0,\pi \right[$.

 

Exercice 3-3

Soit la fonction $f$ de $\mathbb {R}$ vers $\mathbb {R}$ définie par :

$f(x)={\frac {x-1}{|x^{2}-2x|+1}}$.

Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\left[1,m\right]\quad (m\in \mathbb {R} \setminus \{1\})$.

Solution

La valeur moyenne de $f$ sur $[1,m]$ est

${\frac {F(m)}{m-1}}$,

avec $F(m)=\int _{1}^{m}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{0}^{m-1}f(1+y)\ \mathrm {d} y$, à calculer.

$f(1+y)={\frac {y}{|y^{2}-1|+1}}={\begin{cases}{\frac {y}{2-y^{2}}}&{\text{si}}&|y|\leq 1\\{\frac {1}{y}}&{\text{si}}&|y|\geq 1\end{cases}}$

donc

$F(m)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2-(m-1)^{2}}{2}}\right)&{\text{si}}&m\in \left[0,2\right]\\\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)&{\text{si}}&m\notin \left]0,2\right[.\end{cases}}$

(La valeur commune aux deux cas se calcule grâce au premier cas : $F(2)=F(0)=-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1}{2}}\right)=\ln {\sqrt {2}}$, et permet de calculer le second cas : $\ln {\sqrt {2}}+\ln |m-1|=\ln \left(|m-1|{\sqrt {2}}\right)$.)

 

Exercice 3-4

Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction de classe C², c'est-à-dire que $f''$ est définie sur $[a,b]$ et continue.

1°  Déterminer une primitive de la fonction $\varphi$ définie par :

$\varphi (x)=(f''(x)+f(x))\sin(x-a)$.

2°  En déduire $\int _{a}^{b}\varphi$.

3°  On suppose que $b-a=\pi$ et $f(a)+f(b)>0$. Prouver qu'il existe un réel $\alpha \in [a,b]$ tel que $f''(\alpha )+f(\alpha )>0$.

Solution

1. 
   ${\begin{aligned}\int _{a}^{x}(f''(t)+f(t))\sin(t-a)\,\mathrm {d} t&=\int _{a}^{x}f''(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-\int _{a}^{x}f'(t)\cos(t-a)\,\mathrm {d} t+\int _{a}^{x}f(t)\sin(t-a)\,\mathrm {d} t\\&=[f'(t)\sin(t-a)]_{a}^{x}-[f(t)\cos(t-a)]_{a}^{x}\end{aligned}}$
   donc une primitive de $\varphi$ est
   $x\mapsto f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)$.
2. $\int _{a}^{b}\varphi =[f'(x)\sin(x-a)-f(x)\cos(x-a)]_{a}^{b}=f'(b)\sin(b-a)-f(b)\cos(b-a)+f(a)$.
3. Supposons $b-a=\pi$. Alors, $\int _{a}^{b}\varphi =f(b)+f(a)$ et $\varphi$ est le produit de $f+f''$ par $x\mapsto \sin(x-a)$, qui est $\geq 0$ sur $[a,b]$.
   Par conséquent, si $f+f''\leq 0$ alors $f(b)+f(a)\leq 0$. On conclut par contraposition.