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→Exercice 17-6 : sol, sauf question 1 (graphique) |
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Ligne 115 :
== Exercice 17-6 ==
On considère la fonction <math>f</math> définie, pour <math>x</math> réel positif, par :
:<math>f(x)=x[x-E(x)]</math>,
où <math>E</math> désigne la [[Continuité et variations/Langage de la continuité#La fonction partie entière|fonction partie entière]].
'''1°''' Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de <math>f</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[0,3\right[</math>.
'''2°''' Soit <math>k</math> un entier naturel. Donner l'expression de <math>f(x)</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[k,k+1\right[</math>, puis calculer <math>u_k:=\int_k^{k+1}f</math>.
:
▲:Calculer <math>u_{k+1}-u_k</math>. En déduire que la suite finie <math>(u_0,\,u_1,\cdots,u_{n-1})</math> est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.
'''3°'''
{{Solution|contenu=
#{{...}}
#
#*Si <math>k\le x<k+1</math>, <math>f(x)=x(x-k)</math>.
#*<math>u_k=\frac{(k+1)^3-k^3}3-k\frac{(k+1)^2-k^2}2=\frac k2+\frac13</math>.
#*Autrement dit : <math>(u_n)</math> est la suite arithmétique de raison <math>\frac12</math> et de premier terme <math>\frac13</math>.
#<math>\int_0^nf</math> est égale à la somme des <math>n</math> premiers termes de cette suite arithmétique, c'est-à-dire à <math>\frac n2(u_0+u_{n-1})=\frac n3+\frac{n(n-1)}4</math>.
}}
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