« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions
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→Exercice 18-3 : rectif de la relation de récurrence (en espérant ne pas me tromper…) + sol |
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Ligne 58 :
'''2°''' Soit :
:<math>I_n=\lim_{x\to+\infty}F_n(x)\qquad\left(=\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\sin^{2n}t\,\mathrm dt\right)</math>.
:
:<math>\forall n\in\N^*\quad I_n=2n\left((2n-1)I_{n-1}-2nI_n\right)</math>.
'''3°''' En déduire
'''4°''' Étudier la limite de la suite <math>\left(I_n\right)</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>F'_n(x)=\operatorname e^{-x}\sin^{2n}x\ge0</math> et <math>F_n(x)\le\int_0^x\operatorname e^{-t}\,\mathrm dt=1-\operatorname e^{-x}<1</math>.
#<math>I_n=-\underbrace{\left[\operatorname e^{-t}\sin^{2n}t\right]_0^{+\infty}}_0+2n\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\sin^{2n-1}t\cos t\,\mathrm dt=</math><br /><math>-2n\underbrace{\left[\operatorname e^{-t}\sin^{2n-1}t\cos t\right]_0^{+\infty}}_0+2n\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\left((2n-1)\sin^{2n-2}t\cos^2t-\sin^{2n}t\right)\,\mathrm dt\,\mathrm dt=</math><br /><math>2n\left((2n-1)\left(I_{n-1}-I_n\right)-I_n\right)=2n\left((2n-1)I_{n-1}-2nI_n\right)</math>.
#<math>I_0=1</math> et <math>I_n=\frac{2n(2n-1)}{1+4n^2}I_{n-1}</math> donc<br /><math>I_n=\frac{(2n)!}{\left(1+4n^2\right)\left(1+4(n-1)^2\right)\dots(1+4.1^2)}</math>.
#<math>\frac{2n(2n-1)}{1+4n^2}=\frac{1-\frac1{2n}}{\frac1{4n^2}+1}<1-\frac1{2n}</math> donc <math>\ln\left(I_n\right)<\sum_{k=1}^n\ln\left(1-\frac1{2k}\right)<-\frac12\sum_{k=1}^n\frac1k</math>, ce qui prouve que <math>I_n\to0</math>.
}}
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