Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

Suites d'intégrales 2
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Exercices no18
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suites d'intégrales 1
Exo suiv. :Divers
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Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2
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Exercice 18-1

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Pour  , on pose :

 .

 En intégrant par parties, montrer que :

 .

 Établir que :

 .
En déduire que :
 .

 L'entier   étant fixé, démontrer par récurrence sur   :

 .

Exercice 18-2

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 Soient   et  . Pour  , on pose :

 .
Justifier cette notation.
Déterminer la fonction dérivée de  .
En se limitant à  , montrer qu'il existe un triplet  , dépendant du couple  , tel que
 .
On distinguera les cas   et  . Dans le second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :
 

 Pour   et  , donner une expression de :

 
dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.
(On mettra la fonction   sous la forme  .)

Exercice 18-3

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Pour tout entier naturel  , on considère la fonction   définie par :

 .

 Prouver que   est croissante et majorée par  .

 Soit :

 .
Prouver que :
 .

 En déduire   en fonction de  .

 Étudier la limite de la suite  .

Exercice 18-4

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Pour tout entier  , on considère  , définie par :

 .

 Calculer   et  .

 Calculer   en intégrant par parties :

 .

 Étudier la limite en   de la suite  .

Exercice 18-5

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On pose, pour   et   entiers naturels :

 .

 Calculer  .

 Justifier l'existence de   si   (le cas   et   est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).

  Prouver que si   :

 .

  En déduire  .

Exercice 18-6

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Soit   la fonction définie par :

 .

 Calculer les dérivées première et seconde de   et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre  .

 Étudier les variations de la fonction   définie par :

 
  est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives  ,   et   des fonctions  ,   et  .

 On pose :

 .
Calculer   en fonction de   et  , et établir la relation :
 .


Exercice 18-7

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Soit   un entier naturel. Pour tout entier naturel  , on pose :

 .

Pour  , comparer   et  .

En déduire   en fonction de  .