« Suites et récurrence/Exercices/Limites » : différence entre les versions
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==Moyenne de [[w:
Soit
:<math>c_n:=\frac1n\sum_{k=1}^n a_k=\frac{a_1+\cdots+a_n}n</math>
converge aussi vers <math>\ell</math>.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Lemme de Cesàro}}
Comme <math>a_n\to\ell</math>, on a
:<math>\forall \varepsilon >0\quad\exists N\in\N\quad\forall n>N\quad\left|a_n-\ell\right|\le\varepsilon</math>.
Pour <math>n\geq N</math>, on a donc
:<math>\begin{align}\left|c_n-\ell\right|
&\le\frac1n\left|\sum_{k=1}^N\left(a_k-\ell\right)\right|+\frac1n\sum_{k=N+1}^n|a_k-\ell|\\
&\le\frac1nS_N+\frac{n-N}n\varepsilon\\
&\le\frac1nS_N+\varepsilon\end{align}</math>
avec
:<math>S_N:=\left|\sum_{k=1}^N\left(a_k-\ell\right)\right|</math>.
Puisque <math>S_N</math> ne dépend pas de <math>n</math>, il existe <math>N'\in\N</math> tel que
:<math>\forall n>N'\quad\frac1nS_N\le\varepsilon</math>.
Alors,
:<math>\forall n>\max(N,N')\quad\left|c_n-\ell\right|\le2\varepsilon</math>,
ce qui prouve que la suite <math>c</math> converge bien vers <math>\ell</math>.
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