« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2 » : différence entre les versions
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Ligne 92 :
== Exercice 18-5==
:<math>H_{h,k}=\int_0^1x^h\left(\ln x\right)^k\,\mathrm dx</math>.▼
'''1°'''
'''2°''' Justifier l'existence de <math>H_{h,k}</math> si <math>h>0</math> (le cas <math>h=0</math> et <math>k>0</math> est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).
▲:<math>H_{h,k}=\int_0^1x^h\left(\ln x\right)^k\,\mathrm dx</math>.
:<math>H_{h,k}=-\frac{k}{h+1}H_{h,k-1}</math>.▼
'''
:<math>H_{h,k}=-\frac k{
'''
{{Solution|contenu=
#<math>
#La fonction <math>x\mapsto x^h\left(\ln x\right)^k</math> est continue sur <math>\left]0,1\right]</math>, et prolongeable par continuité en <math>0</math> si <math>h>0</math> car <math>\lim_{x\to0}x\left(\ln x\right)^k=0</math>.
#<math>H_{h,k}=\frac1{h+1}\left[x^{h+1}\left(\ln x\right)^k\right]_0^1-\frac k{h+1}\int_0^1x^{h+1}\frac{\left(\ln x\right)^{k-1}}x\,\mathrm dx=-\frac k{h+1}H_{h,k-1}</math> (y compris si <math>h=0</math>).
}}
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