« Fonctions d'une variable réelle/Continuité » : différence entre les versions
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[[Fichier:Floor function.svg|thumb|Graphe de la fonction partie entière.]]
* La fonction [[w:Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] n'est continue en aucun point de <math>\Z</math>.
*:On rappelle que cette fonction <math>E</math> est définie par :<div style="text-align: center;"><math>\forall x \in \R\quad E(x)=n\Leftrightarrow\left(n\in\Z\quad\text{et}\quad n\le x < n+1\right)</math>.</
<u>Remarque :</u> Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction <math>f:\R\to\R</math> définie par
Ligne 73 :
En résumé :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.}}</
{{Démonstration déroulante|contenu=
Ligne 95 :
Toute fonction '''continue sur un intervalle fermé borné''' est bornée et y atteint ses bornes.
Autrement dit : Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math> [a,b]</math>, alors il existe <math>c,d\in[a,b]</math> tels que <math>\inf(f([a,b])=f(c)</math> et <math>\sup(f([a,b]))=f(d)</math>, ou encore, en tenant compte du théorème précédent, tels que :
<div style="text-align: center;"><math>f([a,b])=[f(c),f(d)]</math>.</
}}
En résumé :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.}}</
[[Fichier:Extrem value theorem.png|thumb|centre|La fonction atteint ses bornes en ''c'' et ''d''.]]
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On dit aussi que <math>f</math> réalise un '''homéomorphisme''' entre <math>[a,b]</math> et <math>J</math>. Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans [https://books.google.fr/books?id=6OpUAAAAYAAJ&q=surjection+monotone Alain Mézard et Charles Delorme, ''Cours de mathématiques supérieures'', vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255].
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=Toute surjection monotone d'une partie de <math>\R</math> sur un intervalle est continue.}}</
{{Démonstration déroulante|titre=Preuves du lemme et du théorème|contenu=
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{{Remarque|D'après le lemme, toute bijection monotone entre intervalles réels est continue. La réciproque se généralise :
<div style="text-align: center;">Toute injection continue d'un intervalle réel dans <math>\R</math> est monotone.</
{{Démonstration déroulante|contenu=On peut utiliser [[Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 5|des arguments de connexité]], ou démontrer plus généralement que toute [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux|fonction de Darboux]] (c.-à-d. toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires) injective sur un intervalle [''a'', ''b''] est monotone : soit ''f'' une telle fonction, avec par exemple ''f''(''a'') < ''f''(''b''). Pour tous ''x < y ''dans [''a'', ''b''[, par hypothèse sur ''f'', ''f''(''a'') et ''f''(''x'') sont d'un côté de ''f''(''y'') et ''f''(''b'') est de l'autre côté, donc ''f''(''x'') < ''f''(''y'') < ''f''(''b'') et ''f'' est croissante.
}}
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