« Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique » : différence entre les versions
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→Traduction matricielle : attention, le spectre dépend du corps |
→Polynôme caractéristique : test comparatif (<div style="text-align: center;"> gère mal le modèle:Encadre) + lien exo |
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{{Lemme|contenu=
Les valeurs propres de <math>A</math> sont les racines dans <math>K</math> de son polynôme caractéristique <math>p_A</math> :
<nowiki><div style="text-align: center;">{{Encadre</nowiki> :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|<math>\lambda\in K</math> est une valeur propre de <math>A\Leftrightarrow\det(A - \lambda I_n) = 0</math>.}}</div>
<nowiki><center>{{Encadre|</nowiki> :
<center>{{Encadre|<math>\lambda\in K</math> est une valeur propre de <math>A\Leftrightarrow\det(A - \lambda I_n) = 0</math>.}}</center>
<nowiki><div style="text-align: center;"></nowiki> :
<div style="text-align: center;"><math>\lambda\in K</math> est une valeur propre de <math>A\Leftrightarrow\det(A - \lambda I_n) = 0</math>.</div>
<nowiki><center></nowiki> :
<center><math>\lambda\in K</math> est une valeur propre de <math>A\Leftrightarrow\det(A - \lambda I_n) = 0</math>.</center>
}}
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En complétant <math>B</math> en une base de <math>E</math> et en écrivant la matrice de <math>\varphi</math> dans cette base, on constate que <math>p_\varphi</math> est divisible par <math>p_\psi</math> (car le [[w:Calcul du déterminant d'une matrice#Matrice triangulaire ou triangulaire par blocs|déterminant d'une matrice triangulaire par blocs]] est le produit des déterminants des blocs diagonaux). Il suffit donc de vérifier que <math>p_\psi(\varphi)(x)=0</math>.
Or la matrice de <math>\psi</math> dans la base <math>B</math> est la
;Remarque
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