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Les deux théorèmes quici-dessous suivent généralisegénéralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Tous deux sont des applications directes du lemme suivant.
{{Lemme|contenu=
{{CfExo
Soient <math>a</math> et <math>p</math> deux réels strictement positifs et <math>(x_n)</math> une suite de limite <math>+\infty</math> telle que
| idfaculté = mathématiques
:<math>x_{n+1}-x_n\sim a\;x_n^{1-p}</math>.
| exercice = [[../Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence|exercice 4-2]]
Alors,
:<math>x_n\sim(pan)^{\frac1p}</math>.
}}
{{Théorème
| titre = Théorème 1
|contenu =
Soient f une fonction continue telle qu'il existe un entier p > 0 et un réel a > 0 vérifiant le développement limité, au voisinage de +∞, suivant :
<math> f(x) = x + \frac a{x^{p-1}} + o\left( \frac 1{x^{p-1}} \right) </math>
Soit (u<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub> une suite définie par la relation de récurrence : ∀n, u<sub>n+1</sub> = f(u<sub>n</sub>) et vérifiant Lim u<sub>n</sub> = +∞. Alors on a :
<math> u_n \sim (p.a.n)^{\frac 1p} </math>
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
La traduction des hypothèses du théorème signifie qu’il existe une suite (ε<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub> tendant vers 0 et vérifiant .
<math> u_{n+1} = u_n + \frac a{u_n^{p-1}} + \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} </math>
En élevant les deux membres à la puissance p, on obtient :
<math> \left( u_{n+1} \right)^p = \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} + \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^p </math>
En utilisant la [[w:formule du binôme de Newton|formule du binôme]] on obtient :
<math>\begin{align} \left( u_{n+1} \right)^p &= \sum_{k=0}^p C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} \\
&= \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^p + \sum_{k=0}^{p-1} C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} \\
&= \sum_{k=0}^p C_p^k.u_n^k.\left(\frac a{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} + \sum_{k=0}^{p-1} C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} \end{align}</math>
Si p = 1, on arrête le calcul ici. Si p >1 on continue par :
<math>\begin{align} \left( u_{n+1} \right)^p &= u_n^p+p.u_n^{p-1}.\left( \frac a{u_n^{p-1}} \right) + \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left(\frac a{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} + \sum_{k=0}^{p-1} C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} \\
&= u_n^p+p.a+ \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left(\frac a{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} + \sum_{k=0}^{p-1} C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} \end{align}</math>
Posons :
<math>\mu_n = \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left(\frac a{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} + \sum_{k=0}^{p-1} C_p^k \left( u_n + \frac a{u_n^{p-1}} \right)^k \left( \frac {\epsilon_n}{u_n^{p-1}} \right)^{p-k} </math>
si p > 1 et μ<sub>n</sub> = 0 sinon.
On a alors :
<math> u_{n+1}^p = u_n^p+p.a+\mu_n ~</math>
Avec comme on peut le vérifier : Lim μ<sub>n</sub> = 0.
{{Démonstration déroulante|contenu=
Posons <math>y_n=x_n^p</math>.
Par hypothèse,
:<math>\frac{x_{n+1}}{x_n}-1\sim\frac a{y_n}</math> et <math>y_n\to+\infty</math>.
En particulier,
:<math>\frac{x_{n+1}}{x_n}\to1</math> et <math>\frac{y_{n+1}}{y_n}\to1^p=1</math>.
Or <math>\ln u\sim_{u\to 1}u-1</math>,
si bien que
:<math>\frac{y_{n+1}}{y_n}-1\sim\ln\frac{y_{n+1}}{y_n}=p\ln\frac{x_{n+1}}{x_n}\sim p\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}-1\right)\sim\frac{pa}{y_n}</math>,
soit encore (en multipliant par <math>y_n</math>) :
:<math>y_{n+1}-y_n\to pa</math>.
En appliquant le théorème de Cesàro, on en déduit :
:<math>\frac{y_n-y_0}n=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\left(y_{k+1}-y_k\right)}n\to pa</math>,
qui devient :
:<math>x_n^p=y_n\sim pan</math>.
Par conséquent :
:<math>x_n\sim(pan)^{\frac1p}</math>.
<math> \lim_{n \to \infty} \left( u_{n+1}^p-u_n^p \right) = p.a ~</math>
En appliquant le théorème de Cesàro, on en déduit :
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{ \sum_{k=0}^n \left( u_{k+1}^p-u_k^p \right)}{n+1} = p.a ~</math>
Ce qui donne par télescopage :
<math> \lim_{n \to \infty} \left( \frac{u_{n+1}^p}{n+1}-\frac{u_0^p}{n+1} \right) = p.a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}^p}{n+1} = p.a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{u_n^p}n = p.a ~</math>
Soit :
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{u_n^p}{p.a.n} = 1 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{(p.a.n)^{\frac 1p}} = 1 ~</math>
Ce qui montre que :
{{Encadre
|contenu=
<math> u_n \sim (p.a.n)^{\frac 1p} ~</math>
}}
}}
<br />
{{CfExo
| idfaculté = mathématiques
| exercice = [[../Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence|exercice 4-32]]
}}
{{Théorème
|titre = Théorème 2
|contenu =
{{Théorème|titre=Théorème 1|contenu=
Soient f, une fonction continue telle qu'il existe un entier p > 0 et un réel a > 0, vérifiant le développement limité, au voisinage de 0, suivant :
Soient :
*<math>a</math> et <math>p</math> deux réels strictement positifs ;
*<math>f</math> une application telle que <math>f(x)-x\sim_{x\to+\infty}\frac a{x^{p-1}}</math>.
*(''u<sub>n</sub>'')<sub>''n''∈ℕ</sub> une suite définie par la relation de récurrence : ∀''n'', ''u''<sub>''n''+1</sub> = ''f''(''u<sub>n</sub>'') et de limite <math>+\infty</math>.
Alors :
:<math>u_n\sim(pan)^{\frac1p}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
<math> f(x)=x-a.x^{p+1}+o\left( x^p \right) </math>
Appliquer le lemme à <math>x_n=u_n</math>.
}}
{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[../Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence|exercice 4-3]]
Soit (u<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub> une suite positive définie par la relation de récurrence : ∀n, u<sub>n+1</sub> = f(u<sub>n</sub>) et vérifiant Lim u<sub>n</sub> = 0. Alors on a :
}}
<math> u_n \sim \left(\frac 1{p.a.n}\right)^{\frac 1p} </math>
{{Théorème|titre=Théorème 2|contenu=
Soient :
*<math>a</math> et <math>p</math> deux réels strictement positifs ;
*<math>g</math> une application telle que <math>g(t)-t\sim_{t\to0}-a{t^{p+1}}</math> ;
*(''v<sub>n</sub>'')<sub>''n''∈ℕ</sub> une suite strictement positive définie par la relation de récurrence : ∀''n'', ''v''<sub>''n''+1</sub> = ''g''(''v<sub>n</sub>'') et de limite nulle.
Alors :
:<math>v_n\sim\left(\frac1{pan}\right)^{\frac1p}</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Posons <math>x_n=\frac1{v_n}</math>. Par hypothèse, <math>x_n\to+\infty</math> et
{{Démonstration déroulante
:<math>\frac1{x_{n+1}}-\frac1{x_n}\sim\frac{-a}{x_n^{p+1}}</math>.
|contenu=
En multipliant cette ligne par <math>x_n</math>, on en déduit :
:<math>\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\sim\frac{-a}{x_n^p}\to0</math> (donc <math>x_{n+1}\sim x_n</math>)
La traduction des hypothèses du théorème signifie qu’il existe une suite (ε<sub>n</sub>)<sub>n∈ℕ</sub> tendant vers 0 et vérifiant .
puis (en multipliant par <math>-x_{n+1}</math> la ligne obtenue) :
:<math> u_x_{n+1} = u_n - a.u_n^x_n\sim\frac{pax_{n+1} + u_n}{x_n^p}\sim\frac{ax_n}{x_n^p+}=ax_n^{1-p}.\epsilon_n </math>.
On peut donc conclure grâce au lemme :
:<math>v_n=\frac1{x_n}\sim\frac1{(pan)^{\frac1p}}=\left(\frac1{pan}\right)^{\frac1p}</math>.
En élevant les deux membres à la puissance p, on obtient :
<math> \left( u_{n+1} \right)^p = \left( u_n - a.u_n^{p+1} + u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^p </math>
Nous allons utiliser successivement deux fois la [[w:formule du binôme de Newton|formule du binôme]], on obtient :
<math>\begin{align} \left( u_{n+1} \right)^p &= \sum_{k=0}^p C_p^k \left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left( u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k} \\
&= \left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^p + p.\left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^{p-1}u_n^{p+1}\epsilon_n + \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left(u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left(u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k} \\
&= \sum_{k=0}^p C_p^k.u_n^k.\left(-a.u_n^{p+1} \right)^{p-k} + p.\left(1 - a.u_n^p \right)^{p-1}u_n^{2p}.\epsilon_n + \left(u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left(u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left(u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k-2} \\
&= u_n^p+p.u_n^{p-1}\left(-a.u_n^{p+1} \right)+\sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left(-a.u_n^{p+1} \right)^{p-k} + p.\left(1 - a.u_n^p \right)^{p-1}u_n^{2p}.\epsilon_n + u_n^{2p+2}.\epsilon_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left(u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left(u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k-2}
\end{align}</math>
On obtient :
<math>\begin{align} \left( u_{n+1} \right)^p &= u_n^p-a.p.u_n^{2p}+\left( -a.u_n^{p+1} \right)^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left( -a.u_n^{p+1} \right)^{p-k-2} +p\left(1 - a.u_n^p \right)^{p-1}u_n^{2p}.\epsilon_n+u_n^{2p+2}.\epsilon_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left( u_n^{p-1}.\epsilon_n \right)^{p-k-2} \\
&= u_n^p-a.p.u_n^{2p}+u_n^{2p}\left( a^2.u_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left( -a.u_n^{p+1} \right)^{p-k-2} +p\left(1 - a.u_n^p \right)^{p-1}.\epsilon_n+u_n^2.\epsilon_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left( u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k-2} \right) \end{align}</math>
Posons :
<math>\mu_n = a^2.u_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k.u_n^k.\left( -a.u_n^{p+1} \right)^{p-k-2} +p\left(1 - a.u_n^p \right)^{p-1}.\epsilon_n+u_n^2.\epsilon_n^2 \sum_{k=0}^{p-2} C_p^k \left( u_n - a.u_n^{p+1} \right)^k \left( u_n^{p+1}.\epsilon_n \right)^{p-k-2} </math>
Nous avons alors :
<math> u_{n+1}^p = u_n^p-a.p.u_n^{2p}+u_n^{2p}\mu_n ~</math>
Avec comme on peut le vérifier : Lim μ<sub>n</sub> = 0.
On obtient alors :
<math> \frac 1{u_{n+1}^p} - \frac 1{u_n^p} = \frac{u_n^p-u_{n+1}^p}{u_n^p.u_{n+1}^p} = \frac{a.p.u_n^{2p}-u_n^{2p}.\mu_n}{u_n^p \left( u_n^p - a.p.u_n^{2p}+u_n^{2p}.\mu_n \right)} = \frac{a.p-\mu_n}{ 1 - a.p.u_n^p+u_n^p.\mu_n} ~</math>
Par conséquent :
<math> \lim_{n \to \infty} \left( \frac 1{u_{n+1}^p} - \frac 1{u_n^p} \right) = p.a ~</math>
On peut appliquer le théorème de Cesàro, on en déduit :
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{ \sum_{k=0}^n \left( \frac 1{u_{n+1}^p} - \frac 1{u_n^p} \right)}{n+1} = p.a ~</math>
Par télescopage, il reste :
<math> \lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1{u_{n+1}^p} - \frac 1{u_0^p}}{n+1} = p.a ~</math>
Ce qui s'écrit :
<math> \lim_{n \to \infty} \left( \frac 1{u_{n+1}^p(n+1)} - \frac 1{u_0^p(n+1)} \right) = p.a ~</math>
Qui devient (en utilisant, pour la dernière équivalence, la positivité de <math>u_n</math> si <math>p</math> est pair)
<math> \lim_{n \to \infty} \frac 1{n.u_n^p} = p.a \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1{p.a.n}}{u_n^p} = 1 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \frac 1{p.a.n} \right)^{\frac 1p}}{u_n} = 1 ~</math>
Ce qui montre que :
{{Encadre
|contenu=
<math> u_n \sim \left(\frac 1{p.a.n}\right)^{\frac 1p} ~</math>
}}
}} .
<br />
== Un autre théorème ==
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