Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence

Début de la boite de navigation du chapitre

Nous étudions, dans ce chapitre, les suites définies par récurrence.

fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équivalents et développements de suites : Équivalent d'une suite définie par récurrence
Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Un premier exemple

modifier

Soit  . Nous allons chercher un développement limité à un ordre quelconque de la suite (un)n∈ℕ définie par :

 

Autrement dit :

 .

On peut alors en déduire le développement de un à n’importe quel ordre. Par exemple, à l'ordre 3 :

 

Le théorème de Cesàro

modifier

Nous allons maintenant étudier quelques théorèmes utiles dans la recherche d’équivalents d’une suite définie par récurrence. Nous commencerons par le théorème de Cesàro qui nous sera utile pour démontrer les autres théorèmes qui viendront par la suite.


  Faites ces exercices : exercice 4-1.



Début d’un théorème
Fin du théorème


L'exemple qui suit est une application du théorème de Cesàro.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Deux théorèmes découlant du théorème de Cesàro

modifier

Les deux théorèmes ci-dessous généralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Le second se déduit du premier.


  Faites ces exercices : exercice 4-2.



Début d’un théorème
Fin du théorème


  Faites ces exercices : exercice 4-3.



Début d’un théorème
Fin du théorème

Un autre théorème

modifier
Début d’un théorème
Fin du théorème

(Pour une généralisation, voir Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro.)

Voici une application de ce théorème :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple