« Fonctions d'une variable réelle/Continuité » : différence entre les versions
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{{Remarque|contenu=D'après le lemme, toute bijection monotone entre intervalles réels est continue. La réciproque se généralise :
<div style="text-align: center;">Toute injection continue d'un intervalle réel dans <math>\R</math> est monotone.</div>
{{Démonstration déroulante|contenu=On peut utiliser [[Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 5|des arguments de connexité]], ou démontrer plus généralement que toute [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux|fonction de Darboux]] (c'est-à-dire toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires) injective sur un intervalle [''a'', ''b''] est monotone : soit ''f'' une telle fonction, avec par exemple ''f''(''a'') < ''f''(''b''). Pour tous ''x < y ''dans [''a'', ''b''[, par hypothèse sur ''f'', ''f''(''a'') et ''f''(''x'') sont d'un côté de ''f''(''y'') et ''f''(''b'') est de l'autre côté, donc ''f''(''x'') < ''f''(''y'') < ''f''(''b'') et ''f'' est croissante.
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