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« Recherche:Cardinal quantitatif » : différence entre les versions

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{{ancre|Définitions de + ∞ f, + ∞ F ( R ), + ∞ R, R ~, R ′, R ″ et R ″ ~}}
==Définitions de <math>+\infty_f</math>, <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})}</math>, <math>+\infty_{\R}</math>, <math>\widetilde{\R}</math>, <math>\mathbb{R}'</math>, <math>\mathbb{R}''</math> et <math>\widetilde{\R''}</math> (à omettre dans un 1er temps)==
 
'''Remarque importante préliminaire :'''
 
OnJe prolongevais essayer de prolonger <math>\mathbb{R}_R_+</math> , par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».
 
(On pourrapourrait construire, de même, le prolongement de <math>\mathbb{R}_R_-</math> et donc aussi de <math>\mathbb{R}</math>).
 
Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue.
Ensuite, il faudra étendre les mesures de Lebesgue, en remplaçant l'ensemble <math>\mathbb{R}_+</math> d'arrivée, par ledit prolongement :
 
On pourra alors, mesurer et distinguer, lorsque tel est le cas, les longueurs de 2deux courbes infinies, les aires de 2deux surfaces infinies, les volumes de 2 espaces tridimensionnels infinis, etc, <math>\cdots</math>.
 
A) '''DéfinitionDéfinitions :'''
 
(voir [https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#S%C3%A9rie_de_remarques_7.2 Série de remarques 7.2 dans la page de discussion associée])
 
1) a) <math>\displaystyle{\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}}</math>, soit <math>\displaystyle{f\,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
 
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,▼
 
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante. ▼
 
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, a}}</math>
 
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.▼
 
b) Soit <math>f\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
 
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.
 
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>
 
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.
 
c) Soit <math>a \in \mathbb{R}</math> et <math>f\,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, continue, strictement croissante telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
 
et pour laquelle <math>\not \exists g,h \,\, : \,\, (a,+\infty_{\R}[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
 
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante.
 
Ce qui se note <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_{\lim,f, +\infty_{\R}}}</math>
 
ou bien <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \geq \,\, \mbox{ou} \,\, > a, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible.
 
B)
 
1)'''Axiome :'''
 
'''On pose <math>+\infty_f = f(+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}})</math>'''
 
(en remplaçant, algèbriquement, dans l'expression élémentaire "<math>f(x)</math>" au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, où <math>x \in \mathbb{R}</math>, "<math>x</math>" par "<math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}}</math>", même si <math>+\infty_{{id}_{\mathbb{R}}} \not \in \mathbb{R}</math>),
 
'''si <math>f</math> a une expression élémentaire au voisinage de <math>+\infty_{\R}</math>, dans <math>\mathbb{R}</math>,'''
 
où <math>{id}_{\mathbb{R}}\,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, : \,\, x \mapsto x</math>.
 
2) a) <math>\displaystyle{{\cal F}(\mathbb{R}) = \{f \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
 
et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,
 
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R},\,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.
 
b) <math>\forall a \in \R \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>,
 
<math>\displaystyle{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[) = \{f \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}|\,\,f \,\,\mbox{continue, strictement croissante et} \,\,\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} f(x) = +\infty_{\R}}</math>
 
et <math>\displaystyle{\not \exists g,h \,\, : \,\, ]-\infty_{\R},a[ \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R}}</math> telles que <math>f = g + h</math>,
 
avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante <math>\}</math>.
 
c) <math>+\infty_{{\cal F}(\mathbb{R})} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(\mathbb{R})\}</math>
 
d) <math>\forall a \in \mathbb{R} \bigcup \{+\infty_{\R}\}</math>
 
<math>+\infty_{{\cal F}(]-\infty_{\R},a[)} = \{+\infty_f | f \in {\cal F}(]-\infty_{\R},a[)\}</math>
 
3) '''Définition ou axiome (l'un ou l'autre) (relation d'équivalence et relation d'ordre totale):'''
 
Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :▼
 
Soient <math>\displaystyle{f,g \,\, : \,\, \mathbb{R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb{R} \,\, \mbox{continues, strictement croissantes telles que}}</math>
 
<math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} f(x) = +\infty_f \,\, \mbox{et} \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}^{\sim} g(x) = +\infty_g}</math>
 
(voir [[Discussion Recherche:Cardinal quantitatif#Série de remarques_7.2|Série de remarques 7.2 dans la page de discussion]])
<math>\displaystyle{f=_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}} g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) = 0}</math>
 
A) Soit <math>-\infty_\R\le a<b\le+\infty_\R</math>. Je note :
et dans ce cas, on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,
*<math>\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math> :
*:l'ensemble des fonctions <math>f:\left(a,b\right[\to\R</math>, continues, strictement croissantes, telle que <math>\lim_{b^-}f=+\infty_\R</math>
▲*:et pour laquellelesquelles <math>\not \exists g,h \,\, : \left(a,b\, ]-\infty_{\R},aright[ \,\,\rightarrow \,\,to\mathbb{R}</math>, telles que <math>f = g + h</math>,
▲*:avec <math>g</math> continue, strictement croissante, telle que <math>\displaystyle{\lim_{x \in \mathbb{Rb^-}, \,\, x < a, \,\, x \rightarrow a} g(x) = +\infty_{\R}}</math>, et <math>h</math> continue, oscillante. ;
▲ou bien *<math>+\displaystyleinfty_{\lim_{x \in \mathbb{R}lim, \f,\, x b}</math> a,ou \,\, x \rightarrow a}^{\sim} f(x) =bien <math>+\infty_f}</math>, s'il n' y a aucune confusion possible. :
*:la classe d'équivalence d'un <math>f</math> appartenant à cet ensemble, pour la relation d'équivalence définie dans C) ci-dessous ;
*<math>+\infty_{\cal F\left(\left(a,b\right[\right)}</math> :
*:l'ensemble des <math>+\infty_f</math> pour <math>f\in\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math>.
 
A') '''Si <math>f</math> a une expression « élémentaire » (en un sens que je n'ai pas défini)''' au voisinage de <math>+\infty_\R</math>, je la prolongerai en une application (encore notée <math>f</math>) définie sur <math>\left(a,b\right[\cup\{+\infty_{id_\R}\}</math> en posant :
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f = + \infty_g</math>
:<math>f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f</math>,
où <math>id_\R</math> est l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Exemples d’applications|application identité]] de <math>\R</math>.
 
B) '''Définition de la relation d'équivalence sur <math>\cal F\left(\left(a,b\right[\right)</math> et de la relation d'ordre sur <math>+\infty_{\cal F\left(\left(a,b\right[\right)}</math> :'''
et on peut même définir une relation d'ordre, totale, pour laquelle la relation d'ordre stricte est définie par :
 
▲Ma relation d'équivalence entre 2 fonctions réelles est définie par :
<math>\displaystyle{f<_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}g \,\, \Longleftrightarrow \,\, \lim_{x \in \mathbb{R}, \,\, x \rightarrow +\infty_{\R}}(f-g)(x) < 0}</math>
:<math>f\sim g\Longleftrightarrow \lim_{b^-}(f-g)=0</math>.
et dans ce cas on identifie les nombres infinis positifs <math>+\infty_f</math> et <math>+\infty_g</math> resp. aux fonctions <math>f</math> et <math>g</math>,
 
Ma relation d'ordre ('''hélas pas totale''') est celle dont l'ordre strict est défini par :
et on leur impose de vérifier la relation <math>+\infty_f < + \infty_g</math>
:<math>+\infty_f<+\infty_g\Longleftrightarrow\lim_{b^-}(f-g)<0</math>.
 
C) '''Remarque importante :'''
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'''Remarque :'''
 
Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de HaussdorfHausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension <math>i (0 \leq i \leq n)</math>, on peut '''construire''' et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de <math>\mathbb{R}^n</math> et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.
 
Cf. La saga du "cardinal" version 4 {{supra|Liens}}
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