Recherche:Cardinal quantitatif

Cardinal quantitatif

Travaux de recherche en mathématiques

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Ce travail de recherche est rattaché au département Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques‎.

Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des infinis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble infini ou de cardinal infini d'un ensemble.

Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC

• Mes productions scolaires en mathématiques(20) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Mon mémoire de M2 R, version du 21 juin 2008 (avec des corrections et des suppressions) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Mon mémoire de M2 R, version originale du 21 juin 2008 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Formulaire de géométrie différentielle(6) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Formulaire de géométrie différentielle(10) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Formulaire de géométrie différentielle (14) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Formulaire de Topologie différentielle (partiel) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Mesures de Gibbs 2 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• TER de convection-diffusion (05-09-2021, 14h00) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Nouvelles notations mathématiques (23) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

• Documents de Guillaume FOUCART, sur Recherche PDF (liste de liens vers ce même hébergeur PDF)

• Faculté:Mathématiques/Travaux de recherche

• Utilisateur:Guillaume FOUCART

• Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre

• Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia

• Utilisateur:Guillaume FOUCART/Copie de Discussion utilisateur:Guillaume FOUCART_Wikipédia

• Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)

• Recherche:Essence, existence, puissance (d'interaction), philosophiques, formalisées mathématiquement, dans le cadre de la mécanique newtonienne

Remarque : Les fichiers sur fichier-pdf.fr qui ont un statut privé sont bel et bien accessibles, qu'on en soit le propriétaire ou non, et ce en ayant la connaissance de leurs liens et en créant un compte : Il faut laisser ouverte la page initiale où sont listés les liens des fichiers ayant un statut privé et/ou y revenir après avoir créé ou ouvert un compte, tout en maintenant ce dernier ouvert.

NB : 02-11-2023 : Depuis peu, la table des matières n'est plus (accessible) dans le corps des travaux de recherche. On ne peut y accéder qu'en allant sur (la) Wikiversité à l'adresse suivante :

- le lien donné à la fin de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque celle-ci est en PDF, pour obtenir la table des matières de cette présente version

- ou bien "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée)", pour obtenir la table des matières actualisée de mes travaux sur le cardinal quantitatif

et en cliquant sur le bon icône.

(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)

NB : Les formules en LaTeX présentes dans la table des matières ne s'affichent plus correctement, depuis novembre 2021.

(L'auteur n'est pas responsable de cette situation.)

Dernière version de "Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simplifiée) du 03-10-2021 à 15h13" enregistrée en PDF, où la table des matières s'affichait correctement (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

NB : La version originale de la présente version de mes travaux sur le cardinal quantitatif, lorsque cette dernière est en PDF, est également accessible et disponible sur (la) Wikiversité, à partir du lien donné à la fin de cette dernière.

NB : Il arrive parfois lorsque je copie-colle des passages de mes travaux à certains endroits, que ceux-ci soient aussi copiés-collés, malgré moi, à d'autres endroits. Le plus souvent, je parviens à supprimer les doublons en question, mais il peut arriver qu'il en reste certains.

Certaines mises à jour et modifications impliquent d'autres mises à jour et d'autres modifications en chaîne, parfois délicates, pour lesquelles il m'est parfois difficile de {détecter|repérer} et de déterminer les endroits où je dois les faire et/ou qu'il m'est difficile de faire dans la foulée, compte tenue de la longueur du texte de mes travaux.

De fait, il peut (encore) rester quelques passages écrits incohérents ou contradictoires, mais sans que cela ait, nécessairement, de conséquences sur mes travaux.

Mises à part les discussions associées à mes travaux mathématiques sur la Wikiversité, vous pouvez aussi vous rendre sur mon forum pour en discuter et les critiquer de manière constructive, en tant qu'invité ou en tant que membre (mais il faudra alors créer un compte pour vous y loguer) :

• Frappes philosophiques et sociétales 3.0/Mes mathématiques et Cardinal quantitatif

Tous les liens et toutes les discussions à propos de ces travaux mathématiques sur les forums de mathématiques : "Les-mathematiques.net" et "Maths-Forum" sont désormais périmés et obsolètes. La présente version de mes travaux mathématiques qui est aussi celle qui fait foi, est la version actualisée de ces derniers. De plus, de nombreux commentaires qui sont relatifs à ces discussions ont été donnés dans la page de discussion associée à la présente page de recherche, ainsi que dans une partie des "Passages que l'on peut omettre" et sur mon forum.

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Passages dont on peut omettre certains passages, dans ma page de recherche principale/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques

Malgré le foisonnement de titres et de sous-titres : Avec une échelle réduite de 50%, les travaux, dont il est question, ne font que 56 pages, au format A4, le 29-03-2021, et encore ils sont, relativement, aérés et espacés. Certes, ils ont, trompeusement et faussement, l'allure et l'apparence d'un mille-feuilles argumentatif, mais, concernant la partie spéculative, ils sont, peut-être, attaquables, et s'ils le sont, ils peuvent, peut-être, être démontés et anéantis, uniquement, concernant 2 ou 3 points fondamentaux voire cruciaux, bien ciblés. En moyenne, chaque sous-partie élémentaire mentionnée dans la table des matières est relativement {courte|brève} : Il n'y a donc pas lieu d'être effrayé par le grand nombre de sous-parties élémentaires figurant dans la table des matières. Par ailleurs, il y a beaucoup d'exemples illustratifs.

VOICI LA TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE LE PLUS POSSIBLE (Il faut d'abord lire les titres en gras. J'aurais aimé pouvoir disposer d'une table des matières qui se déploie au fur et à mesure que l'on avance en allant des titres généraux aux titres particuliers. Il est très rare que les définitions, les propositions, les lemmes, les théorèmes, les remarques, etc ..., figurent dans une table des matières ou dans un sommaire, et de fait, ma table des matières s'en retrouve fortement alourdie, mais il en est ainsi, car cela est plus {pratique|commode} dans le cas où il m'arriverait d'avoir des modifications à faire.) :

[NB : Désormais, on peut aussi consulter la version de mes travaux, avec une table des matières, simplifiée (Cf. liens ci-dessus).]

Cardinal quantitatif (nouvellement, F-quantité) sur ${\mathbb {R} }^{n}$ et sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ [Cas de certaines restrictions]

Introduction

Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux : N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'œil sur le reste ou de le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de formules mathématiques.

Partie principale

J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement certaines notions existantes.

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

En particulier, je désignerai par :

• PV (comme « petite variété ») les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux) ou sans bord,

et

• PV2 (comme « petite variété 2 ») les sous-variétés fermées, non bornées, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux) ou sans bord,

et on posera :

${PV}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\mbox{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord\}$;

et ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,A\,\,sous{\mbox{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord\}$

• La notion de F-quantité (anciennement, de "cardinal quantitatif") est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion au moins définie et construite sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$. C'est une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) ou le nombre d'éléments ou la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut $1$ et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{n}$. C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de Cantor) dans le cas des ensembles finis, au cas des ensembles infinis (en tout cas, au moins au cas des ensembles infinis de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$) c'est-à-dire qui vérifie, en particulier, le principe du tout et de la partie : "Le tout est nécessairement strictement plus grand que chacune de ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé jusqu'aux parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, et aux mêmes parties en remplaçant "convexe" par "polyconvexe"). Par opposition à la notion de cardinal de Cantor c'est-à-dire la notion usuelle de cardinal (1 et Autre lien 2), que j'appelle "cardinal potentiel" c'est-à-dire la notion de cardinal au sens de la puissance, et qui est définie pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles finis, mais qui est un ordre de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble, dans le cas des ensembles infinis et qui ne vérifie pas le principe du tout et de la partie. Donc la notion de F-quantité (anciennement, "cardinal quantitatif") se veut être une notion plus fine que celle de "cardinal potentiel" c'est-à-dire que celle de cardinal (de Cantor). Les notions de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif) et de "cardinal potentiel" se confondent, dans le cas des parties finies.

(21-06-2024 : Pour éviter toute confusion, j'ai décidé de plutôt appeler le "cardinal quantitatif d'un ensemble" qui n'est pas, contrairement à ce que son nom laisse à penser, un cardinal (de Cantor) d'un ensemble, la "F-quantité d'un ensemble".)

(03-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif) n'est pas a priori une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, car ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est pas a priori une tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande, sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la définition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)

(08-07-2023 : Remarque : Comme dans le cas classique de cardinal d'un ensemble, les termes "cardinal d'un ensemble" et "puissance d'un ensemble" se confondent et que l'équipotence de 2 ensembles désigne plutôt le fait que ces 2 ensembles ont même puissance, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles ont même cardinal, c'est-à-dire le fait que ces 2 ensembles peuvent être mis en bijection, il est peut-être plus pertinent et plus approprié de renommer le "cardinal équipotentiel d'un ensemble" (c'est-à-dire le "cardinal d'un ensemble"), "cardinal potentiel d'un ensemble" c'est-à-dire le cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble, et ce, toujours, afin de le distinguer de la "F-quantité d'un ensemble" (ou, anciennement, du "cardinal quantitatif d'un ensemble") c'est-à-dire du cardinal, au sens de la quantité, d'un ensemble.)

(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble" ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif" et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)

(20-09-2023 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé l'expression "plafonnement normalisé/plafonnements normalisés" par l'expression "plafonnement normal/plafonnements normaux".)

(16-08-2024 : Dans ce qui suit, j'ai remplacé et j'ai simplifié les expressions "plafonnement borné d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$/plafonnement non borné ou à l'infini d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$" par et en les expressions "plafonnement d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{n}$/plafonnement d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$".)

(11-11-2023 : Finalement, j’ai remplacé l'expression "axiome(s) de définition" par l'expression "hypothèse(s) de définition".)

Cette notion est définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$. Le problème se pose, en dehors de $PV(\mathbb {R} ^{n})$, car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ [Cf. définition dans mes travaux], notamment afin d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais finalement on peut définir la F-quantité (ou, anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) à un repère orthonormé, d'une partie non bornée ou même bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, comme la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif), relative (relatif) à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie non bornée ou même bornée de $\mathbb {R} ^{n}$. Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très largement, par l'explosion des nombres et des quantités infinies, ainsi produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal potentiel c'est-à-dire que celle du cardinal (de Cantor). Peut-être que l'on pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire à tous les "plafonnements" de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, voire à tous les "plafonnements" de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, voire à toutes les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ c'est-à-dire si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ (sous réserve de compatibilité des hypothèses de définition et de non-contradiction, concernant la définition de cette notion étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse de définition de la $\sigma$-additivité, du moins si on utilise la notation classique concernant la définition classique de limite d'une suite de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ tendant vers une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, mais on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation non classique concernant la définition non classique de limite d'une suite de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, et considérer que la notion de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif), dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé. On peut néanmoins définir le cardinal quantitatif d'une partie non bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, relativement au repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ que l'on s'est fixé, par la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) d'un des plafonnements normaux de la partie $A$, relativement au même repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ que l'on s'est fixé.

Il est à noter qu'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ admet une infinité de plafonnements.

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion de limite de suites de parties de $PV(\mathbb {R} ^{n})$ tendant chacune vers un plafonnement d'une partie de $PV2(\mathbb {R} ^{n})$.

Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure le cas des sous-ensembles non bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour chaque partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$, d'une infinité de "plafonnements", et du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".

Entre autre, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, voire à celles de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ [Cf. définitions dans mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de définir le nouvel espace ${\mathbb {R} ''}$, qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace $*\mathbb {R}$ de l'analyse non standard. Dans une section, j'ai essayé de définir des nombres $+\infty _{f}$ où $f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )$, en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une fois cette définition donnée, on peut alors définir l'ensemble $\mathbb {R} ''$ par : $\displaystyle {\mathbb {R} ''=-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}=\{-\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}\bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup \{+\infty _{f}|f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )\}}$.

NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor, et, d'une certaine manière, à faire "péter" de la quantité infinie intermédiaire "entre 2 cardinaux infinis (de Cantor) successifs" et "entre le cardinal infini dénombrable (de Cantor) et un cardinal fini (de Cantor)", grâce à la F-quantité (anciennement, au cardinal quantitatif [qui n'est pas, contrairement à ce que son nom semble indiquer, un cardinal (de Cantor)]), là où le cardinal (de Cantor) ne le peut, après avoir choisi un ensemble représentant idéal de $\aleph _{0}$ (par exemple $\mathbb {N}$ ou $\mathbb {Z}$), un ensemble représentant idéal de $\aleph _{1}$ (par exemple $\mathbb {R} _{+}\,\,ou\,\,\mathbb {R} \simeq {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$), un ensemble représentant idéal de $\aleph _{2}$ (par exemple ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$), etc.

Plus précisément et en particulier :

La notion de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif) n'est pas un cas particulier de la notion de cardinal [de Cantor] : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de rapport avec la notion de bijection ou avec la notion de puissance d'un ensemble ou de cardinal [de Cantor] d'un ensemble (LE CARDINAL QUANTITATIF N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR]).

Considérons une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, pour la relation d'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties infinies de $\mathbb {R} ^{n}$, seule la F-quantité (anciennement, seul le cardinal quantitatif) infinie (infini) d'un représentant de la puissance du dénombrable sera notée (noté) et sera égale (égal) à "$a_{0}$" (et pourra, même, être notée [noté] "$\aleph _{0}$", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "$\aleph _{0}$" classique ou habituel) (resp. seule la F-quantité [anciennement, seul le cardinal quantitatif] infinie (infini) de $\mathbb {R} ^{n}$ ou d'un des représentants de la puissance du continu sera notée [noté] et sera égale [égal] à "$a_{1}$" [et pourra, même, être notée (noté) "$\aleph _{1}$", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "$\aleph _{1}$" classique ou habituel]). Le reste ne fait pas appel à la notion de bijection, ou de puissance ou de cardinal [de Cantor].

"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ET CELUI DE L'ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS". (qui est d'ailleurs indécidable dans ZFC)

Mais, par contre, il existe des ensembles dont la F-quantité [anciennement, le cardinal quantitatif (QUI N'EST PAS, CONTRAIREMENT À CE QUE SON NOM SEMBLE INDIQUER, UN CARDINAL [DE CANTOR])] est strictement comprise (compris) entre la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de l'ensemble des entiers naturels et celle (celui) de l'ensemble des nombres réels.

Et, par convention, dans ce cas, la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de l'ensemble des entiers naturels sera notée (noté) et sera égale (égal) à "$a_{0}$" (et pourra, même, être notée [noté] "$\aleph _{0}$", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "$\aleph _{0}$" classique ou habituel) et la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de l'ensemble des nombres réels sera notée (noté) et sera (égale) égal à "$a_{1}$" (et pourra, même, être notée [noté] "$\aleph _{1}$", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre "$\aleph _{1}$" classique ou habituel), et ce seront les seuls à l'être.

(La F-quantité (anciennement Le cardinal quantitatif) d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ étant égale (égal) à la F-quantité (anciennement au cardinal quantitatif) d'un de ses plafonnements normaux, quelconque.)

La notion de F-quantité [anciennement de cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité)] est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement définie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ (Cf. interventions de Michel COSTE), mais qui y est très peu présente :

Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.

La notion de cardinal (de Cantor) est valable pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, alors que concernant la notion de F-quantité (anciennement de cardinal quantitatif), on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, mais il fallait le dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà des parties finies.

Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop l'appellation "cardinal" : (voir supra)

(Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus fine que la notion de puissance d'un ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des ensembles finis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer.

Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du "cardinal (de Cantor)"

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité (anciennement, de "cardinal quantitatif") n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal".

Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans le cas des ensembles infinis, on peut, sans adopter la terminologie précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble".)

Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent être distinguées :

Car, par exemple, on a bien $[-1,1]\subsetneq [-2,2]$ et $[-1,1]$ peut être mis en bijection avec $[-2,2]$

et on a $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}([-2,2]\setminus \{0\})}{{card}_{Q}([-1,1]\setminus \{0\})}}={\frac {{card}_{Q}([-2,2])-{card}_{Q}(\{0\})}{{card}_{Q}([-1,1])-{card}_{Q}(\{0\})}}={\frac {{card}_{Q}([-2,2])-1}{{card}_{Q}([-1,1])-1}}=2}$ et ${card}_{Q}([-1,1])<{card}_{Q}([-2,2])$

alors qu'on a ${card}_{E}([-2,2])={card}([-2,2])={card}([-1,1])={card}_{E}([-1,1])$,

où ${card}_{Q}(A)$ désigne la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de l'ensemble $A$, sous certaines conditions sur l'ensemble $A$

et ${card}_{E}(A)$ désigne le cardinal potentiel de l'ensemble $A$, c'est-à-dire le cardinal de Cantor ou le cardinal classique de l'ensemble $A$, ${card}(A)$.

La notion de F-quantité [anciennement, cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité)] présentée par Michel COSTE concerne la classe de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles (eux), les F-quantités (anciennement, les cardinaux quantitatifs) des parties de $\mathbb {R} ^{n}$ ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$, pour tout $i\in [\![1,n]\!]$, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés ouvertes bornées, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$, pour tout $i\in [\![1,n]\!]$, ainsi qu'en un nombre fini, en plus ou en moins, de singletons.

[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à formuler :

Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre eux, les F-quantités (anciennement, les cardinaux quantitatifs) des parties $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$

ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$, $F_{i}$, pour tout $i\in [\![0,n]\!]$, ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $j$, $F_{i,j}$ telle que $F_{i,j}\in {\mathcal {P}}(F_{i})$, pour tout $i\in [\![0,n]\!]$ et pour tout $j\in [\![0,i]\!]$,

ou ayant une décomposition, en un nombre fini de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$, $U_{i}$, pour tout $i\in [\![1,n]\!]$, et en un nombre fini de singletons dont la réunion forme l'ensemble $\displaystyle {{F_{0}}'\in {\mathcal {P}}{\bigg (}\mathbb {R} ^{n}\setminus {\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}U_{i}{\Big )}{\bigg )}}$ (pouvant être vide), ainsi qu'en un nombre fini, en moins, de réunions disjointes de sous-variétés ouvertes bornées, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $j$, $U_{i,j}$ telle que $U_{i,j}\in {\mathcal {P}}(U_{i})$, pour tout $i\in [\![1,n]\!]$ et pour tout $j\in [\![1,i]\!]$, et en un nombre fini, en moins, de singletons non inclus dans ${F_{0}}'$, dont la réunion forme l'ensemble $\displaystyle {{F_{0,0}}'\in {\mathcal {P}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}U_{i}{\Big )}}$ (pouvant être vide),

c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre eux, les F-quantités (anciennement, les cardinaux quantitatifs) des parties $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$

telles que :

$\forall i\in [\![0,n]\!],\exists F_{i}$ réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$,

$\forall i\in [\![0,n]\!],\,\,\forall j\in [\![0,i]\!],\,\,\exists F_{i,j}$ réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $j$, telle que $F_{i,j}\in {\mathcal {P}}(F_{i})$,

$\displaystyle {A={\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![0,n]\!]}F_{i}{\Big )}\setminus {\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![0,n]\!]}\bigsqcup _{j\in [\![0,i]\!]}F_{i,j}{\Big )}}$.

ou telles que :

$\forall i\in [\![1,n]\!],\exists U_{i}$ réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $i$,

$\forall i\in [\![1,n]\!],\,\,\forall j\in [\![1,i]\!],\,\,\exists U_{i,j}$ réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes, (connexes), simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de dimension $j$, telle que $U_{i,j}\in {\mathcal {P}}(U_{i})$,

$\displaystyle {\exists {F_{0}}'\in {\mathcal {P}}{\bigg (}\mathbb {R} ^{n}\setminus {\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}U_{i}{\Big )}{\bigg )}}$, réunion de singletons (pouvant être vide),

$\displaystyle {\exists {F_{0,0}}'\in {\mathcal {P}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}U_{i}{\Big )}}$, réunion de singletons (pouvant être vide),

$\displaystyle {A={\bigg (}{\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}U_{i}{\Big )}\bigsqcup {F_{0}}'{\bigg )}\setminus {\bigg (}{\Big (}\bigsqcup _{i\in [\![1,n]\!]}\bigsqcup _{j\in [\![1,i]\!]}U_{i,j}{\Big )}\bigsqcup {F_{0,0}}'{\bigg )}}$.]

Décomposition d'une partie bornée de $\mathbb {R} ^{2}$ (voir infra)

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles (eux), les F-quantités [anciennement, les cardinaux quantitatifs (ou au sens de la quantité)], des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, ayant une décomposition, en un nombre fini de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre fini de variétés, compactes, convexes, connexes, simplement connexes) :

Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre elles (eux), celles (ceux) des parties bornées quelconques et même celles (ceux) de parties non bornées quelconques de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ^{n}$), ayant une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition analogue en remplaçant « fini » par « au plus dénombrable », et peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement connexes".

En effet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.

Les mesures [extérieures] de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{n}$, ${vol}^{i}$

(Le cas $i=0$ étant un cas à part que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff"

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de $\mathbb {R} ^{d}$ /Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/Mesures-Hausdorff.pdf),

sont telles que si $i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$, elles négligent chacune, respectivement, des points isolés, respectivement, des points isolés et des points de courbes, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$, …, respectivement, des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et des points d'espaces de dimension $3$, …, et des points d'espaces de dimension $n-1$.

La "mesure" F-quantité (anciennement, cardinal quantitatif) qui ne veut négliger aucun point se doit de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{n}$, ${\widetilde {vol^{i}}}$, la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $0$, pour la distance euclidienne, ${\widetilde {vol^{0}}}$.

(24-06-2021 : Rectification : La notion de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif) n'est pas a priori une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, car ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est pas a priori une tribu de parties.)

Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que l'on voit quelles sont les différences fondamentales entre le cardinal potentiel "${card}_{E}$" ou "${card}$" qui est la notion usuelle de cardinal et qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$", sachant que la référence à un repère orthonormé ${\mathcal {R}}$, n'est utile que pour les parties non bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$, de manière générale), et que dans le cas des parties bornées de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {R} ^{n}$, de manière générale), on peut noter le cardinal quantitatif : "${card}_{Q}$".

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{2}$, d'origine $O$.

Nous désignons la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$, d'une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{2}$ par $card_{Q,{\cal {R}}}(A)$ et son cardinal potentiel" par $card_{E}(A)$. En fait, puisque la "F-quantité de la partie $A$" n'est pas un "cardinal de la partie $A$", nous devrions plutôt la noter : "$Q_{F,{\mathcal {R}}}(A)$" ou "$F{\text{-}}Q_{\mathcal {R}}(A)$", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigsqcup \{1,2\}){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {N} )<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Z} )<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<card_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times ]-1,1[)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times [-2,2])$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigsqcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-1,1]\times [-1,1])<{card}_{Q,{\cal {R}}}([-2,2]\times [-2,2])<{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{2})$

alors que :

${card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} _{n})<{card}_{E}(\{O\}\times 3\mathbb {N} )$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (3\mathbb {N} \bigsqcup \{1,2\}){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {N} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Z} )={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {Q} )$

$<{card}_{E}(\{O\}\times ]-1,1[)={card}_{E}(\{O\}\times [-1,1])={card}_{E}(\{O\}\times [-2,2])$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times ([-2,2]+1){\Big )}={card}_{E}{\bigg (}\{O\}\times {\Big (}([-2,2]+1)\bigsqcup \{4\}{\Big )}{\bigg )}={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-2,2]){\Big )}$

$={card}_{E}{\Big (}\{O\}\times (\mathbb {R} \setminus [-1,1]){\Big )}={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\{O\}\times \mathbb {R} )$

$={card}_{E}([-1,1]\times [-1,1])={card}_{E}([-2,2]\times [-2,2])={card}_{E}(\mathbb {R} ^{2})$

Applications :

1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est plus gros que l'autre et pour lesquels on peut stocker une donnée en chaque point, alors le plus gros disque dur cubique aura une plus grande capacité de stockage que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité égale à celle de l'autre disque (puissance).

2) Dans une bouteille de $2L$, on stocke plus de matière continue que dans une bouteille d'$1L$.

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de F-quantité (anciennement, de cardinal au sens de la quantité).

On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications pratiques ou concrètes.

Pourtant à qui lui veut des applications :

La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue, parle d'elle-même.

Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue et de matière discrète :

La F-quantité [anciennement, Le cardinal quantitatif (ou au sens de la quantité)] mesure la quantité de matière continue et de matière discrète.

La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers, mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en physique.

La notion de (F-)quantité est plus fine que celle de puissance qui donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

[Rectification : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des "plafonnements" des parties infinies bornées que l'on s'est fixé et, plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas, que l'on s'est fixé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les composent et qui sont composées chacune au moins d'une infinité de points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"

(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant les densités quantitatives des parties infinies bornées sont multiples voire infinies et donc aussi concernant leurs F-quantités

(anciennement, leurs cardinaux quantitatifs)

[relatives (relatifs) à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$ (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]

relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on s'est fixé).

Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties (infinies) non bornées.

Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnement(s), dits normaux.]

Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer les F-quantités [anciennement, les cardinaux quantitatifs (ou au sens de la quantité)], de n'importe quelle partie, entre eux : Tout l'intérêt et tout l'enjeu de cette définition, est là.

Restera à généraliser cette notion aux parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, ${\mathcal {P}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, etc..., et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut encore lui donner un sens, même affaibli.

La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{n}$, le fait que $\mathbb {R} ^{n}$ soit un espace métrique et un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que $\mathbb {R}$ soit totalement ordonné, semblent essentiels, pour définir la notion de F-quantité (anciennement, de cardinal, au sens de la quantité) sur $\mathbb {R} ^{n}$ :

Comment généraliser ces notions ou trouver des notions affaiblies qui marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces qui dépendent de $\mathbb {R}$ ?

Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux

Le PDF : "La saga du "cardinal"" (version 4) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant intuitivement les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le cheminement qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication, d'explicitation, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les définitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.

Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.

Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de définition de la F-quantité (anciennement, du cardinal quantitatif) en précisant rigoureusement pour chacun leurs domaines d'applications respectifs, certains domaines étant plus généraux que d'autres, mais au final on a toutes les hypothèses de définition dont on a besoin sur le domaine ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE l'a fait à partir du théorème de Steiner-Minkowski, d'expliquer géométriquement la nature des coefficients qui interviennent dans la formule de la F-quantité (anciennement, du cardinal quantitatif) sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été validée par Michel COSTE.

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.

Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à compléter son travail, concernant la partie connue et établie.

Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité (anciennement, le Cardinal quantitatif) sont beaucoup plus secs que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin de tous les commentaires qu'il y a faits.

Par ailleurs, lorsque j'ai posté mes travaux sur la F-quantité (anciennement, le Cardinal quantitatif) et autres sur Les-mathematiques.net (Je viens de faire supprimer un certain nombre de pages, il reste encore la version 3 du PDF de Michel COSTE), je me suis quasiment comporté comme s'il s'agissait d'une page de brouillon, d'où le déchaînement et la déferlante de critiques, d'interprétations, de malentendus et de conclusions parfois et même souvent faux, erronés, hâtifs, malvenus ou infondés qu'ils ont pu susciter y compris sur ma propre personne et mes propres compétences et capacités en mathématiques, même si par ailleurs une partie était parfaitement justifiée.

D'une manière générale, lorsque je me suis lancé dans des travaux peu académiques et non balisés, j'ai vraiment eu de bonnes intuitions.

Mais lorsqu'il s'agit de les exprimer, de les préciser et de les affiner, je suis susceptible d'écrire plein d'âneries et de conneries, pendant une longue période voire une très longue période, même lorsque je dispose des connaissances pour les éviter, conneries qui se résorbent et se résorberont peu à peu, jusqu'à finir et/ou jusqu'à peut-être finir par faire aboutir mes intuitions initiales.

Cette façon de faire et de procéder ne passe pas inaperçue et ne passe malheureusement pas et visiblement pas sur Les-mathematiques.net et sur Maths-Forum, et y faisait désordre.

Certaines de mes discussions hors F-quantité (anciennement, cardinal quantitatif) et certains délires et divagations auraient dû être évités et auraient dû rester de l'ordre du brouillon personnel.

La situation de mes travaux sur Les-mathematiques.net est, de toute façon, devenue pourrie et irrécupérable, quels que soient les éventuels avancements ou progrès que j'aurais faits ou que je ferai à l'avenir.

Reste la partie spéculative.

Si l'ensemble $+\infty _{{\mathcal {F}}(\mathbb {R} )}$ est mal défini et qu'il n'y a aucune alternative possible pour le définir, alors une sous-section entière de la partie spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.

J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que la définition de limite d'une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ tendant vers un plafonnement d'une partie non bornée de $\mathbb {R} ^{n}$ soit valide et que ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de définition que j'ai émis, concernant la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est désormais bien définie et valide, cependant on rencontre, par la suite, certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale ou l'hypothèse de définition fondamentale que j'ai émis, concernant la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) à un repère orthonormé de de $\mathbb {R} ^{n}$. Concernant ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces différentes notions.]

Liens

N'oubliez pas de consulter : https://www.philo-et-societe-2-0.com/

REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE, qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :

• La saga du "cardinal" version 4 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
• La saga du "cardinal" version 3 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
• La saga du "cardinal" version 2 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
• La saga du "cardinal" version 1 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

Principale discussion où est intervenu Michel COSTE sur Les-mathematiques.net à propos de mes travaux en 2007 :

• Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original : Mes cardinaux.) (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

Remarque : Lorsque j'ai créé cette discussion, j'avais mis un PDF de mes travaux, en pièce-jointe (qui n'est plus accessible, mais dont je possède toujours un exemplaire que je préfère ne pas redonner et dont on peut se passer puisque l'essentiel de ses résultats valables a été donné par Michel COSTE, dans la discussion), où j'ai commis pas mal d'écueils car je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension $i(0\leq i\leq n)$ de $\mathbb {R} ^{n}$, sauf dans le cas où $i=n$, et ces écueils figurent aussi dans certains messages de cette discussion. Par ailleurs, dans cette dernière, en particulier, j'avais inventé ma propre terminologie, à propos des parties "ouvertes pures", des parties "fermées pures" et des parties "à la fois ouvertes et fermées", alors que je voulais, en fait, simplement, désigner des parties "ouvertes", des parties "fermées" et des parties "ni ouvertes, ni fermées" et alors que je possédais la terminologie en usage, inconsciemment. De plus, j'avais un mal fou à définir la décomposition donnée dans "Partie déjà établie et connue : Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$/Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Décomposition de certaines parties bornées de $\mathbb {R} ^{N}$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$".

Les scans de pages de livres constituent une violation du copyright.

Voici des extraits du livre de Berger2 intitulé "Cedic-Nathan (vol 3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :

• Berger 1 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)
• Berger 2 (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

Cf. Référence:Géométrie (Berger)

Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient de Jean Dieudonné :

• Dieuquarto (fichier hébergé sur https://www.fichier-pdf.fr)

Voici des liens Wikipedia :

• Volume mixte (en anglais)
• Théorème de Hadwiger (en anglais)
• Formule de Steiner-Minkowski

Voici des liens intéressants en français :

• https://www.math.u-psud.fr/~thomine/divers/JourneesLouisAntoine2012.pdf Valuations et théorème d’Hadwiger
• https://webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/documents/articulos-Teissier/LMABordeaux.final.pdf Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER

Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me concerne) :

• https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf

La notion de cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$ est une notion relative au repère orthonormé dans lequel on se place.

Voici des liens dont il faut vraiment éviter de consulter les pages concernées :

En mai 2021, sous un compte "MPF" créé à cet effet, j'avais demandé à Lostounet, l'un des administrateurs du forum Maths-Forum, de supprimer, en lui listant les liens url, les discussions que j'avais initiées et créées, il y a 4-5 ans, relatives à la F-quantité (anciennement, au cardinal quantitatif), car elles font de l'ombre à la version actualisée de mes travaux sur (la) Wikiversité.

Or celui-ci n'a pas exécuté ma demande et a préféré, à la place et sans que je lui ai demandé, supprimer mon compte "Matheux philosophe" avec tous ses messages et m'a banni après, seulement, 3 messages, sous mon compte "MPF".

NB : J'avais déjà été banni sous mon pseudo "Matheux philosophe" à cause de ces discussions et du fait que j'avais signalé que Les-mathematiques.net m'avaient déjà banni pour des discussions antérieures sur le même thème.

Cf. aussi Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/A propos de ma demande de suppression de discussions sur le forum Maths-Forum

Voici les liens de ces discussions :

• https://www.maths-forum.com/philosophie-litterature/cardinal-quantitatif-autres-travaux-mathematiques-t166322.html

ou (version complète avec mes messages)

• https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/05/cardinal-quantitatif-et-autres-travaux-mathematiques-1---166322-/

• https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/cardinal-quantitatif-autres-travaux-mathematiques-t166321.html

ou (version complète avec mes messages)

• https://www.fichier-pdf.fr/2023/10/05/cardinal-quantitatif-et-autres-travaux-mathematiques-2---166321-/

• https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/allez-voir-discussion-suivante-qui-traite-particulier-t166472.html

Il devient inutile de consulter les pages des liens suivants (j'ai pris en compte autant que ce peut des conseils et des remarques qui m'ont été donnés, mais, pas nécessairement, à chaud, aux moments mêmes où ils m'ont été donnés) :

• Cardinal quantitatif (en 2019, sur Les-mathematiques.net)

sauf concernant 2 messages : 1 et 2

• Conseils constructifs sur mes travaux (en 2020, sur Les-mathematiques.net)

Voici un message d'une discussion sur Les-mathematiques.net, où je réponds à certaines critiques :

• L'art de bien communiquer, en mathématiques (un message de)

Voici un message sur le forum Futura-Sciences où l'intervenant Médiat a eu tort en disant qu'en qualifiant ma notion de "cardinal quantitatif", cela sous-entendait que je qualifiais la notion de cardinal classique (ou de Cantor) de "cardinal qualitatif". Or il n'en est rien, puisque si j'ai qualifié ma notion de "cardinal quantitatif", c'est en effet pour l'opposer au cardinal classique (ou de Cantor), mais en qualifiant ce dernier de "cardinal potentiel", tout en sachant que le cardinal quantitatif est la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble alors que le cardinal classique (ou de Cantor) n'est en fait qu'un ordre de grandeur de la quantité d'éléments concernant les ensembles infinis :

• Cardinal d'ensemble infini (sur Futura-Sciences : Se déplacer au message #16 de Médiat du 10/02/2020 à 06h09)

Utilisateur:Guillaume FOUCART/Passages que l'on peut omettre/Commentaires, impressions voire spéculations autour des amateurs, des shtameurs, de moi-même, des intervenants et des grands intervenants sur les forums de mathématiques

Remarques secondaires

NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal"" versions 1-2-3-4, qui sont des articles informels de vulgarisation.

Avant d'envisager la formule de la F-quantité (anciennement, du cardinal quantitatif) concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ''^{n}$, il faut d'abord l'envisager concernant les parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, et même seulement les PV.

NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.

On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Je sais que si des suites de polytopes de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $n$ (c'est-à-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $n$), convergent vers une PV de dimension $n$, alors les suites constituées des F-quantités (anciennement, des cardinaux quantitatifs) des polytopes de chacune d'entre elles, convergent vers la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de cette PV.

(Cf. articles informels de vulgarisation de Michel COSTE que j'ai donnés (voir supra)

Le début des versions 1, 2 et 3, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans la version 4, mais ce passage est fondamental pour moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion, appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) de tout singleton de $\mathbb {R} ^{n}$ vaut $1$.)

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe et de la formule de Steiner-Minkowski qui est fausse dans le cas des parties non convexes, mais cela est insuffisant voire inutile, si on veut aller au-delà des parties convexes.

Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la notion de F-quantité (anciennement, de cardinal quantitatif) en supprimant la contrainte de convexité de ma définition des PV.

Conjecture :

"Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$."

Il est mentionné quelque part que la formule de Steiner-Minkowski s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces derniers.

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre au-delà des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, mais, à aucun moment, ils ne disent pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en définissant et en introduisant les "plafonnements".

Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) et la formule de Steiner-Minkowski, mais tous les travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de Hadwiger, les inégalités isopérimétriques, l'inégalité de Brunn-Minkowski et la formule de Pick et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la notion que je cherche à étendre.

Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour étendre la F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif) aux "seules" parties de $\mathbb {R} ^{n}$.

De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement, leur trouver une utilité.

Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du "principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie infinie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'infini. Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout aussi légitime. Il existe différentes conceptions de la notion d'infini, légitimes, mais incompatibles entre elles.

Pour le moment, je sais comparer les F-quantités (anciennement, les cardinaux quantitatifs), au moins, des PV de $\mathbb {R} ^{n}$, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, et je crois savoir comparer ceux, au moins, des PV de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$.

Partie déjà établie et connue : Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ [en fait, à un changement de notion de limite de famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, près, cette partie correspond au cas du cardinal quantitatif (nouvellement, de la F-quantité) défini(e) sur la classe des plafonnements normaux des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$]

En fait, puisque la "F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, d'une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$" n'est pas un "cardinal de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$", nous devrions plutôt la noter : "$Q_{F,{\mathcal {R}}}(A)$" ou "$F{\text{-}}Q_{\mathcal {R}}(A)$" au lieu de la noter "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)$", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.

J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel Coste n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence [Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus difficiles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de donner, d'avantage, corps à cette théorie].

Préliminaires

Définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Fin du théorème

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ + hypothèses de définition générales dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$), pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O$.

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O$.

On pose : ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

L'application cardinal quantitatif relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

la restriction à l'ensemble ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$ de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

et la restriction à l'ensemble ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$

sont les applications :

${card}_{Q,{\cal {R}}}:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F'',+,\times ,\leq )$,

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F',+,\times ,\leq )$

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )$

où $(F'',+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où $(F',+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=\mathbb {R} _{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

et où $F\subset F'\subset F''$, avec $F'=?,\,\,F''=?$,

[On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

et $\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

et $\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.],

qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le cardinal quantitatif) :

0) $\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|PV(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{|{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1)

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

3) $\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R} },\,\,convergente\,\,dans\,\,\mathbb {R} ,\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} }^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} }^{n-k})}$, $\displaystyle {\forall B\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} }^{k})}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$.@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}t_{x}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,t_{x}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,A+x$, est la translation de vecteur $x$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$, $I\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où

$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(M,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(M,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

Si les hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}t_{x}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$,

où $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,t_{x}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,A+x$, est la translation de vecteur $x$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

a2) $\forall A\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\forall M\in \mathbb {R} ^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

où

$\displaystyle {\forall M\in \mathbb {R} ^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(M,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(M,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

Fin du théorème

Remarques sur la définition

Remarque :

On verra que ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est définie et donnée sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ la suite finie de mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, pour la distance euclidienne, de dimension $i\,\,(i\in \mathbb {N} _{n})$, sur $\mathbb {R} ^{n}$ (si on considère ${vol}^{0}$, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$), et cette formule est donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans : Théorème ($\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ (et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$), en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$.

Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$, mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est l'ensemble $\displaystyle {\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$, où $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie":

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Remarque importante : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ (notion définie dans la partie spéculative de mes travaux),

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}A\bigcap [A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}A,{{\Big (}A\bigcap A_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}{\underset {prop}{=}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}B\bigcap [A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\Big [}B\bigcap A,{{\Big (}B\bigcap A_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) : ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de cardinal quantitatif, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans la définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ne change rien à l'affaire : La stabilité par passage par intersection dénombrable semble a priori vérifiée (mais je n'en suis pas sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vérifiée. Peut-être que pour créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ (ou de la classe de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ obtenue en remplaçant le terme "convexe" par le terme "polyconvexe" dans la définition de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$), leurs complémentaires (dans $\mathbb {R} ^{n}$). Mais, alors il faut parler du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{n}$ ou plus précisément du cardinal quantitatif, relativement à un repère orthonormé, d'un des plafonnements $[\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}]$ qui est une notion que nous n'avons pas encore définie.

Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$, ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ tendant vers une partie de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ tendant vers un plafonnement d'une partie de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de cardinal quantitatif, dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, dans la partie principale de l'introduction ou plus loin dans la suite.)

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 4), que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} )$ (résultats généralisables aux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, moyennant un prolongement du domaine de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$), alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, qui ne néglige aucun point de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui est uniforme ($\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$).

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigsqcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ ou ${\widetilde {E}}\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$)

(Formule peut-être remise en cause car la notion de cardinal quantitatif n'est pas a priori une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, car ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est pas a priori une tribu de parties.)

Fin du théorème

Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R}$, et en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} )$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

Préliminaires :

Notations

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$.

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans $|$ par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$).

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans $|$ par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$).

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, pour la distance euclidienne, dans $\mathbb {R} ^{n}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}\bigcup \{\emptyset \}}$.

On note aussi parfois ${vol}^{i,n}$ : ${vol}^{i}$, et la suite le justifiera.

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $0$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{n}$, c'est-à-dire la mesure de comptage sur $\mathbb {R} ^{n}$ , de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}\bigcup \{\emptyset \}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}}$.

On note aussi parfois ${vol}^{0,n}$ : ${vol}^{0}$, et la suite le justifiera.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$.

Soit $n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i$.

${\widetilde {{vol}^{i}}}$, notée, encore, ${vol}^{i}$, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, pour la distance euclidienne, sur ${\mathbb {R} }^{n}$, ${vol}^{i,n}$, sur $\displaystyle {\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\mathbb {R} }^{n}}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,\exists A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$.

Fin du théorème

Remarque

Début d’un théorème

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in \mathbb {R} ^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}({\stackrel {\circ }{I}}\bigsqcup \partial I)\setminus \{i_{0}\}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}({\stackrel {\circ }{J}}\bigsqcup \partial J)\setminus \{j_{0}\}{\Big )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}}\bigsqcup \partial I)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}}\bigsqcup \partial J)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\partial I)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\partial J)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Fin du théorème

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])

Début d’un théorème

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R}$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Fin du théorème

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R}$, sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R}$, alors :

On pose :

$\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})[}$, $\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})[}$

$\displaystyle {K_{0,{\overline {I}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {I}})]}$, $\displaystyle {K_{0,{\overline {J}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {J}})]}$

On a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

En effet,on a (proposition):

Si $s=k\in \mathbb {N}$ :

2 voies possibles :

•(1)

$\displaystyle {[0,kp[=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$

or $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)}$

car $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{vol}^{1}(](i-1)p,ip[)={vol}^{1}(]0,p[)}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[\bigsqcup \{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigsqcup \{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[\setminus \{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})=k\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)-1}$

$\displaystyle {=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigsqcup \{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1}$

•(2)

$\displaystyle {]0,kp[=(\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}](i-1)p,ip[)\bigsqcup (\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}\{ip\})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(](i-1)p,ip[)+\sum _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{ip\})}$

or $\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)$

car $\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,vol^{1}(](i-1)p,ip[)=vol^{1}(]0,p[)$

or $\forall i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{ip\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+\sum _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})}$

donc ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=k\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+(k-1)\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})=k\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+(k-1)=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1$

•[Point où se rejoignent (1) et (2)]

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}=k}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}={\frac {{vol}^{1}(]0,kp[)}{{vol}^{1}(]0,p[)}}}$

Remarque : On montre facilement le résultat pour $s\in \mathbb {Q}$ et $s\in \mathbb {R}$

or $\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{vol}(J)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}})}$

or ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}$, ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4), mais de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enfin j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas, nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références nécessaires.

Notations (mesure [extérieure] de Hausdorff, de dimension $d$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{N}$, d'une partie de $\mathbb {R} ^{N}$ et dimension de Hausdorff, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{N}$, d'une partie de $\mathbb {R} ^{N}$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$ et $d\in \mathbb {N} _{N}$)

Début d’un théorème

Soient $N\in \mathbb {N} ^{*},\,\,d\in \mathbb {N} _{N}$.

Soit $A_{N}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$.

Alors

${vol}^{d}(A_{N})$ est la mesure [extérieure] de Hausdorff, de dimension $d$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{N}$, de la partie $A_{N}$

et ${dim}(A_{N})$ est la dimension de Hausdorff, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ^{N}$, de la partie $A_{N}$.

avec la convention : ${dim}(\emptyset )=+\infty$.

Fin du théorème

Remarque : Ici, la dimension de Hausdorff sera toujours à valeur entière positive ou infinie positive.

(Cf. https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

Définitions de ${{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$

1) ${{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{P^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N}){\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$.

2) ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$

$={\Big \{}{A^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Fin du théorème

Définitions de ${{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et de ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$.

1) ${{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{P_{i}^{N}}\,\,polytope\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,(c{\mbox{-}}{\grave {a}}{\mbox{-}}d\,\,poly{\grave {e}}dre\,\,compact,\,\,convexe,\,\,[connexe]\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N})\,\,et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$.

$\displaystyle {={\Big \{}{P_{i}^{N}}\in {{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({P_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$.

2) ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{A_{i}^{N}}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

$\displaystyle {={\Big \{}{A_{i}^{N}}\in {PV}(\mathbb {R} ^{N})\,\,{\Big |}\,\,{dim}({A_{i}^{N}})=i{\Big \}}\bigcup \{\emptyset \}}$

Fin du théorème

Théorème admis (formule de Steiner-Minkowski pour $P_{N}$ et coefficients de Steiner-Minkowski ${\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$ pour $P_{N}$, avec $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $P_{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$.

On pose $\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}=\{x\in \mathbb {R} ^{N}|d(P_{N},x)\leq r\}=P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}$.

Alors $\displaystyle {\exists !{{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R} _{+},\,\,\forall r\in \mathbb {R} _{+},\,\,{vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(P_{N},r)}}{\Big )}={vol}^{N}{\Big (}P_{N}+r\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})\,\,r^{i}}$

où $O_{N}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{N}$ de $\mathbb {R} ^{N}$.

On a ${\cal {L}}_{0,N}(P_{N})={vol}^{N}(P_{N})$, ${\cal {L}}_{1,N}(P_{N})={vol}^{N-1}(\partial P_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(P_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$.

La suite ${{\Big (}{\cal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est appelée la suite des coefficients de Steiner-Minkowski pour le polytope $P_{N}$.

Fin du théorème

Remarque : Pour la suite, il faut donner la forme de ce théorème généralisé à $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$.

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Remarque :

La formule de Steiner-Minkowski ne s'applique qu'à des parties compactes convexes d'un espace euclidien :

Donc pour trouver une formule générale pour les parties compactes quelconques de $\mathbb {R} ^{N}$, il va falloir creuser d'avantage.

Théorème admis de Hadwiger

Début d’un théorème

Théorème de Hadwiger (en anglais)

Fin du théorème

Lemme admis (sur les coefficients ${\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}),\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$ et les applications ${\mathcal {L}}_{j,i},\,\,c_{j,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $P_{i}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, $j\in \mathbb {N} _{i}$, $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, sur les coefficients ${\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}),\,\,c_{i,N}(P_{N})$ et les applications ${\mathcal {L}}_{i,N},\,\,c_{i,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) Soit $\displaystyle {P_{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$.

Soient

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{N-i,N}(P_{N})}{\beta (N-i)}}}$

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\beta (i)={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}}$,

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,O_{i}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{i}$ de $\mathbb {R} ^{i}$,

où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}$ est la suite des coefficients de Steiner-Minkowski pour le polytope $P_{N}$.

On a : ${\cal {L}}_{0,N}(P_{N})={vol}^{N}(P_{N})$, ${\cal {L}}_{1,N}(P_{N})={vol}^{N-1}(\partial P_{N})$ et ${\cal {L}}_{N,N}(P_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$,

et on a : $c_{0,N}(P_{N})=1$.

Soient

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{i,N}(P_{N})$

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{i,N}(P_{N})$.

On a :

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$.

2) Soit $\displaystyle {P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$.

Soient

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i-j,i}(P_{i}^{N})}{\beta (i-j)}}}$

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,\beta (j)={vol}^{j}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{j}}(O_{j},1)}}{\Big )}}$

$\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,O_{j}$ est l'origine du repère orthonormé ${\cal {R}}_{j}$ de $\mathbb {R} ^{j}$

où ${{\Big (}{\mathcal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}$ est la suite de coefficients donnée par la formule de Steiner-Minkowski,

On a : ${\cal {L}}_{0,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i}(P_{i}^{N})$, ${\cal {L}}_{1,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i-1}(\partial P_{i}^{N})$ et ${\cal {L}}_{i,i}(P_{i}^{N})={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

et on a : $c_{0,i}(P_{i}^{N})=1$.

Soient

$\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\cal {L}}_{j,i}(P_{i}^{N})$

et où $\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,P_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,c_{j,i}(P_{i}^{N})$,

On a :

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$.

Fin du théorème

Démonstration : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de Steiner-Minkowski et le Théorème de Hadwiger (en anglais).

Remarque : La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de Hausdorff.

Théorème admis ($\displaystyle {{card}_{Q}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, de $P_{N}=P_{N}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

Reprenons les notations du lemme précédent.

1) $\exists !{card}_{Q,N}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{N})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$.

On a :

$\displaystyle {{card}_{Q,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

2)$\exists !{card}_{Q,i}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F,$

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}$

et telle que $\displaystyle {\forall P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,N}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$.

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$.

Remarque : On peut aussi poser $\displaystyle {{card}_{Q}\,\,:\,\,{{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N})=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$ telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{{card}_{Q}}_{{\Big |}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,\forall P_{i}^{N}\in {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{card}_{Q,i}(P_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$.

On a : $\displaystyle {{card}_{Q}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$.

Fin du théorème

Démonstration : Il faut utiliser le théorème donnant la formule de Steiner-Minkowski, le Théorème de Hadwiger (en anglais) et le lemme précédent :

Cf. La saga du "cardinal" version 4, Théorème de Hadwiger (voir supra)

Remarque : La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de Hausdorff.

Remarque : Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "$F$" par l'ensemble "$\mathbb {N} \bigsqcup +\infty$" où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque : On aurait pu poser $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}(P_{N})={\frac {{\mathcal {L}}_{i,N}(P_{N})}{\beta (i)}}}$, c'est-à-dire inverser l'ordre des termes, mais si on faisait cela, notre interprétation de chacun de ces termes ne s'accorderait pas avec celle de Michel Coste, qui est, ici, notre référent et notre guide.

Proposition admise ($\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

1) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ est dense dans ${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$.

2) $\displaystyle {{\overline {{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}^{{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ est dense dans ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$.

Fin du théorème

La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Lemme (sur les coefficients ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}),\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ et les applications ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{j,i}}},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, $j\in \mathbb {N} _{i}$, $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, sur les coefficients ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{i,N}}}(A_{N}),\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})$ et les applications ${\widetilde {{\mathcal {L}}_{i,N}}},\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}$, pour $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$

Reprenons les notations de la proposition et du théorème précédents.

1) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, alors $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

On a :

(*1-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\cal {L}}_{i,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{i,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

On a :

(*2-1) ${\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,c_{i,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{N}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})={\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

Et on a :

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{i,N}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})}$, où ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{i,N}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}_{|{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{i,N}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{i,N}}}\,\,:\,\,{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})}$, où ${\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})$ a été défini, précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,N}}}(A_{N})={vol}^{N}(A_{N})$, ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,N}}}(A_{N})={vol}^{N-1}(\partial A_{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{N,N}}}(A_{N})={vol}^{N}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{N}}(O_{N},1)}}{\Big )}$,

et on a : ${\widetilde {c_{0,N}}}(A_{N})=1$.

2) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, alors $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytope}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

On a :

(*1-2) ${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\cal {L}}_{j,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{\cal {L}}_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

On a :

(*2-2) ${\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,c_{j,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

${{\Big (}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N}){\Big )}}_{j\in \mathbb {N} _{i}}\subset \mathbb {R}$, telle que $\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},\,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente.

Et on a :

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\cal {L}}_{j,i}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{i}^{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$, où ${\widetilde {{\cal {L}}_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment,

et

$\displaystyle {\forall j\in \mathbb {N} _{i},}$

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {c_{j,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\mathbb {R} {\Big )}}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}_{|{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}=c_{j,i}}$,

c'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {c_{j,i}}}\,\,:\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \mathbb {R} \,\,:\,\,A_{N}\,\,\longmapsto \,\,{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})}$, où ${\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})$ a été défini, précédemment,

et on a : ${\widetilde {{\cal {L}}_{0,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}(A_{i}^{N})$, ${\widetilde {{\cal {L}}_{1,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i-1}(\partial A_{i}^{N})$ et ${\widetilde {{\cal {L}}_{i,i}}}(A_{i}^{N})={vol}^{i}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{i}}(O_{i},1)}}{\Big )}$

et ${\widetilde {c_{0,i}}}(A_{i}^{N})=1$.

Fin du théorème

Remarque : La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de Hausdorff.

Théorème ($\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$, $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$ et formule donnant le cardinal quantitatif de $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $i\in \mathbb {N} _{N}$ et $N\in \mathbb {N} ^{*}$, et, en particulier, de $A_{N}=A_{N}^{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$.

Reprenons les notations de la proposition, du lemme et du théorème précédents.

1) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$, alors $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*3-1) $\displaystyle {{card}_{Q,N}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente,

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$,

$\exists !{\widetilde {{card}_{Q,N}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}$,

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,N}}}$,

et telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}_{|{{\cal {P}}olytope}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,N}}$,

et telle que [comme, on a (*1-1), (*2-1) et (*3-1)] :

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{N,n})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,N}(P_{N,n})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{i,N}(P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{N,n})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{card}_{Q,1}^{i}([0,1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{i}([0,1[)}$,

c'est-à-dire telle que :

$\displaystyle {\forall A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})=\sum _{i\in \mathbb {N} _{N}}{\widetilde {c_{i,N}}}(A_{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{i}([0,1[)}$.

C'est l'application ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}\,\,:{PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F\,\,:\,\,A_{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$, avec ${\widetilde {{card}_{Q,N}}}(A_{N})$ défini précédemment,

2) D'après la proposition précédente :

Soit $\displaystyle {A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$, alors $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}}$

D'après le théorème précédent, on a : (*3-2) $\displaystyle {{card}_{Q,i}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$

et on peut définir grâce à un théorème de prolongement des applications continues :

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})}}$,

et montrer que cette définition ne dépend pas de la suite ${(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }$ choisie de la proposition précédente,

et comme $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$,

$\displaystyle {\exists !{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\in {\mathcal {C}}^{0}{\Big (}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),F{\Big )}}$,

telle que $\forall {{\cal {R}}_{N}}'\,\,rep{\grave {e}}re\,\,orthonorm{\acute {e}}\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{N},\,\,{{card}_{Q,{{\cal {R}}_{N}}'}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}$,

et telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}_{|{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={card}_{Q,i}}$,

et telle que [comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$,

c'est-à-dire telle que :

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$.

C'est l'application $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}\,\,:{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\,\,\longrightarrow \,\,F:\,\,A_{i}^{N}\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})}$, avec ${\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})$ défini précédemment.

On peut aussi poser $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}:{PV}(\mathbb {R} ^{N})=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})\longrightarrow F}$,

telle que $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}\displaystyle {{{\cal {P}}olytopes}(\mathbb {R} ^{N})=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{N}}{{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}}={card_{Q}}}$

et telle que $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N},\,\,{\widetilde {{card}_{Q}}}_{{\Big |}{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}={\widetilde {{card}_{Q,i}}}}$,

et telle que [comme, on a (*1-2), (*2-2) et (*3-2)] :

$\forall i\in \mathbb {N} _{N},$

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})},$ $\displaystyle {\exists {(P_{i,n}^{N})}_{n\in \mathbb {N} }\subset {{\cal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})}$ telle que $\displaystyle {A_{i}^{N}=\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N},}$

$\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }{card}_{Q,i}(P_{i,n}^{N})=\lim _{n\rightarrow +\infty }\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{j,i}(P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(\lim _{n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{card}_{Q,1}^{j}([0,1[)=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$,

c'est-à-dire telle que :

$\displaystyle {\forall A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N}),\,\,{\widetilde {{card}_{Q,i}}}(A_{i}^{N})=\sum _{j\in \mathbb {N} _{i}}{\widetilde {c_{j,i}}}(A_{i}^{N})\,\,{\widetilde {{card}_{Q,1}}}^{j}([0,1[)}$.

Fin du théorème

Remarque : La notion de continuité dont il est question, ici, est associée à la topologie de Hausdorff.

Remarque : Dans un 1er temps, on peut remplacer l'ensemble "$F$" par l'ensemble "$\mathbb {N} \bigsqcup +\infty$" où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque :

Le théorème précédent s'étend, très vraisemblablement, de manière analogue, aux parties compactes, convexes, (connexes) de ${\mathbb {R} ''}^{N}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux).

Remarque importante

Début d’un théorème

Michel Coste, dans ses PDF, a préféré dire que l'hypothèse de définition 3) avec les autres hypothèses de définition du cardinal quantitatif impliquent que :

Si $A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,P_{N,n}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow P_{N,n}=A_{N}}$,

alors on a : $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }P_{N,n}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q}(P_{N,n})}$,

au lieu de dire qu'ils impliquent aussi, de manière plus faible, que :

Si $A_{N}\in {PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,P_{N,n}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow P_{N,n}=A_{N}}$,

alors on a : $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}(A_{N})={\widetilde {{card}_{Q}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }P_{N,n}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q}(P_{N,n})}$.

Mais, de même, il aurait aussi préféré dire que cela implique que :

Si $i\in \mathbb {N} _{N}$ et si $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$, de classe ${\mathcal {C}}^{1}$ et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,P_{i,n}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow P_{i,n}^{N}=A_{i}^{N}}$,

alors on a : $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q}(P_{i,n}^{N})}$,

au lieu de dire que cela implique aussi, de manière plus faible que :

Si $i\in \mathbb {N} _{N}$ et si $A_{i}^{N}\in {PV}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,P_{i,n}^{N}\in {{\mathcal {P}}olytopes}_{i}(\mathbb {R} ^{N})$ et si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }\uparrow P_{i,n}^{N}=A_{i}^{N}}$,

alors on a : $\displaystyle {{\widetilde {{card}_{Q}}}(A_{i}^{N})={\widetilde {{card}_{Q}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }P_{i,n}^{N}})=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{card}_{Q}(P_{i,n}^{N})}$,

Je tente de faire certaines généralisations.

Cela est, probablement, toujours, vrai,

si on remplace "${PV}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$"

par "${PV}(\mathbb {R} ^{N})$",

ou par "réunion finie de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes",

[et peut-être même, en supposant que $A_{N}$ est une réunion au plus dénombrable (voire infinie dénombrable non bornée) de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, disjointes, et $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,P_{N,n}$ réunion finie de parties de ${{\mathcal {P}}olytopes}_{N}(\mathbb {R} ^{N})$].

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.

Fin du théorème

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$, d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$ et ${\cal {R}}={\cal {R}}_{N}$.

On désigne par $\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{card}_{Q,i}={card}_{Q,{\cal {R}}_{i}}$, le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{i}$ et ${card}_{Q}={card}_{Q,{\cal {R}}}$.

Remarque : La notion de cardinal quantitatif est une notion plus fine que celle de cardinal potentiel (ou de Cantor) : Elle l'affine.

Mais, on ne sait pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie officiellement, aller au delà des parties d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, contrairement au cardinal potentiel, qui lui est défini pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$.

Remarque préliminaire 1

Début d’un théorème

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$

Soient $f:A\longrightarrow \mathbb {R}$,

et $\displaystyle {G_{f}={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y=f(x){\Big \}}}$, le graphe de $f$

et ${epi}(f)={\Big \{}(x,y)\in A\times \mathbb {R} {\Big |}y\geq f(x){\Big \}}$, l'épigraphe de $f$ :

1) Alors si $f(A)$ est fini dénombrable :

$\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}(a.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

2) ${card}_{Q,1}{\Big (}(0.f)(A){\Big )}={card}_{Q,1}(\{0\})=1\neq 0\,\,{card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}=0$

3) ${card}_{Q,1}{\Big (}-f(A){\Big )}={card}_{Q,1}{\Big (}f(A){\Big )}$

4) Soient $f,g\,\,:A\,\,\longrightarrow \mathbb {R}$.

a) $f\leq g\Longrightarrow {epi}(f)\supset {epi}(g)\Longrightarrow {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}\geq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(g){\Big )}$

b) Soit $B\subset A$ :

Comme $epi(f_{|B})\subset {epi}(f)$, on a : ${card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f_{|B}){\Big )}\leq {card}_{Q,1}{\Big (}{epi}(f){\Big )}$

Fin du théorème

Remarque importante 4

Début d’un théorème

Si $f'(I)=\{0\}$ alors $f=C_{f}\in \mathbb {R}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(I)}$

En particulier si $I=\mathbb {R}$

$f'(\mathbb {R} )=\{0\}$ alors ${card}_{Q,1}(G_{f})={card}_{Q,1}(\mathbb {R} )$

Fin du théorème

Proposition 5

Début d’un théorème

Soit $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ : $\exists {(I_{i})}_{i\in \mathbb {Z} }$ partition de $A$, telle que $\forall i\in \mathbb {Z}$ $I_{i}$ est soit un intervalle de $\mathbb {R}$, soit un singleton de $\mathbb {R}$, soit $\emptyset$.

Soit $f\in {C^{1}}-{\cal {D}}iff{\acute {e}}omorphisme\,\,par\,\,morceaux(A,\mathbb {R} )$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,1}(G_{f})=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{card}_{Q,1}{\Big (}f(I_{i}){\Big )}}$

Fin du théorème

Revenons aux parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$, en particulier, aux parties compactes, convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n=2$

Début d’un théorème

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{card}_{Q,i}$ est une mesure sur ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$

où $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,{PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})=\{A_{n,i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,{dim}(A_{n,i})=i\}\bigcup \{\emptyset \}}$

donc :

${card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Bigg (}\bigsqcup _{x\in [-1,1]}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\Bigg (}{\bigg [}{\Big (}x,-{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )},{\Big (}x,{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{[-1,1]}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big ]}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}(\{0\})}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}{vol}^{1}{\bigg (}{\Big [}-{\sqrt {1-x^{2}}},{\sqrt {1-x^{2}}}{\Big [}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=\int _{]-1,1[}{\Bigg (}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+\int _{]-1,1[}d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}(]-1,1[)+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{card}_{Q,1}([-1,1[)-1+2}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+{vol}^{1}([-1,1[)\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1}$

Or d'après l'un des PDF de Michel Coste :

$\displaystyle {{card}_{Q,2}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(0,1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,1}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

donc $\displaystyle {2\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}+1=\pi \,\,{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}+1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {2\,\,{\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)+1{\Big )}=\pi \,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}([0,1[)+1{\Big )}-1={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\Big (}\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{vol}^{1}(x){\Big )}\,\,{card}_{Q,1}([0,1])-1}$

c'est-à-dire $\displaystyle {\int _{]-1,1[}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x)={\frac {\pi }{2}}\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+{\frac {\pi }{2}}-1}$

Fin du théorème

Remarque : $]-1,1[\not \in {PV}_{1}(\mathbb {R} )$, mais il est fort probable que l'on puisse, au lieu de supposer que $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall i\in \mathbb {N} _{n},\,\,$l'ensemble de départ de ${card}_{Q,i}$ est ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$, supposer, seulement, que ce dernier est $\{A_{i}^{n}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A_{i}^{n}\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,born{\acute {e}}e,\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,et\,\,telle\,\,que\,\,{dim}(A_{i}^{n})=i\}$.

(Calculs peut-être remis en cause car ${card}_{Q,i}$ n'est pas a priori une mesure définie sur ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$, car ${PV}_{i}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est pas a priori une tribu de parties.)

Décomposition de certaines parties bornées de $\mathbb {R} ^{N}$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $A_{N}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{N})$, une partie bornée, simplement connexe de $\mathbb {R} ^{N}$, non vide, de dimension $N$, dont le "bord" est non vide.

Si $n\in \mathbb {N} _{N}$, on pose ${''\partial ^{0}(A_{n})''}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}A_{n}$ et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$, on définit $A_{n-1}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{''\partial ^{1}(A_{n})''}$ comme le "bord" de la partie $A_{n}$, en supposant que $A_{n-1}$ admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, non vides, de dimension $n-1$, et dont le "bord" est non vide.

(On pose ${''\partial ^{1}(A_{N})''}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}A_{N}\setminus {\stackrel {\circ }{A_{N}}}$. Le "bord" de n'importe quelle partie de $\mathbb {R} ^{N}$, non vide, de dimension $n\,\,(n\in \mathbb {N} _{N-1})$, se définit de manière analogue, mais je ne sais pas comment le définir, formellement)

et si $n\in \mathbb {N} _{N}^{*}$, $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*}$, on définit $A_{n-i}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{''\partial ^{i}(A_{n})''}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{''\partial ^{1}{\Big (}{''\partial ^{i-1}(A_{n})''}{\Big )}''}$, en supposant que $A_{n-i}$ admet un nombre fini de composantes connexes, simplement connexes de $\mathbb {R} ^{n}$, non vides, de dimension $n-i$, dont le "bord" est non vide, sauf concernant $A_{0}$.

On a :

$\displaystyle {A_{N}=\left[\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{N}^{*}}{\Big (}A_{N-(i-1)}\setminus A_{N-i}{\Big )}\right]\bigsqcup A_{0}}$,

avec

$\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{\Big (}A_{N-(i-1)}\setminus A_{N-i}{\Big )}\,\,{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, ouvertes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{N}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,N-(i-1)$

et $A_{0}\,\,{\text{réunion finie, disjointe, de sous-variétés, simplement connexes, de}}\,\,\mathbb {R} ^{N}\,\,{\text{, non vides, de dimension}}\,\,0,\,\,{\text{c'est-à-dire ensemble dénombrable}}$.

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https://www.fichier-pdf.fr/2014/06/16/decomposition-d-une-partie-bornee-de-r-2/

Fin du théorème

Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)

En fait, puisque la "F-quantité (anciennement, le cardinal quantitatif), relative (relatif) au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, d'une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$" n'est pas un "cardinal de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$", nous devrions plutôt la noter : "$Q_{F,{\mathcal {R}}}(A)$" ou "$F{\text{-}}Q_{\mathcal {R}}(A)$" au lieu de la noter "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)$", mais comme les modifications à faire sont trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} }^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} }^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Préliminaires

Nouvelle notion de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, différente de la notion classique de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, et notion de plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$ :

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ telle que $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A}$.

Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, dont la limite est le plafonnement de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, notée $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est une partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, dont la limite est le plafonnement de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$.

NB : Ce changement de notion et de notation n'est pas sans conséquences.

Fin du théorème

Définitions de ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$, $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})$.

On pose ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose ${\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,non\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,\mathbb {R} ^{n}\}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {B}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {A}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On a donc $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

Fin du théorème

Motivation : Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif, impliquant un plafonnement "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$" constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ voire peut-être constitué d'une partie $A\in {P4}(\mathbb {R} ^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {P3}(\mathbb {R} ^{n})$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$"

et qui servira

dans "Propositions concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R}$, et, en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} )$, basées ou en partie basées sur la conjecture principale",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Plafonnement sphérique, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$",

et dans "Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$/Partie 1".

Définition de ${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$, de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ et de ${P4}(\mathbb {R} ^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV2}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

et

${P3}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,born{\acute {e}}e,\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

et

${P4}(\mathbb {R} ^{n})$

$={\Big \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,|\,\,A\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Fin du théorème

Construction

Définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, avec $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O$.

L'application cardinal quantitatif relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

est l'application :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$

[où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]

qui doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le cardinal quantitatif) :

0) $\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{{\Big |}{PV}(\mathbb {R} ^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1)

[a) $\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, $card_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])\geq 0$]

b) $\forall [\emptyset ,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,\{\emptyset \},{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}([\emptyset ,{(A_{i})}_{i\in I}])=0$

c) $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\forall [\{x\},{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\Big \{}\{x\}{\Big \}},{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}([\{x\},{(A_{i})}_{i\in I}])=1$

2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

$\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$,

$\displaystyle {{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A_{i}\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]},{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A_{i}\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A_{i}\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])+{card}_{Q,{\cal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A_{i}\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}}$

et on pose :

$\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\bigcup {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A_{i}\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}}$

et

$\displaystyle {{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\bigcap {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A_{i}\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}}$

et donc on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\bigcup {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])+{card}_{Q,{\cal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\bigcap {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}}$

et on pose :

$\displaystyle {A\bigcup {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}}$

et

$\displaystyle {A\bigcap {\Big [}B,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}}$

3) $\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ,\,\,convergente\,\,dans\,\,\mathbb {R} ,\,\,\lim _{m\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{m\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,x_{m}])}$

4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} }^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n-k}){\Big )}}$, $\displaystyle {\forall [B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k}){\Big )}}$,

$\displaystyle {[A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}([A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}$

et on pose : $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\times [B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\underset {d{\acute {e}}f}{=}}[A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}]$

et donc on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\times [B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}]\times [B,{(B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}$.

5) $\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$,

$\displaystyle {{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\subset [B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}A\subset B\,\,et\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\subset {(B_{i})}_{i\in I}{\Big )}\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,(A\subset B\,\,et\,\,\forall i\in I,\,\,A_{i}\subset B_{i})}$

ou encore :

$\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$,

$\displaystyle {{\bigg (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}{\bigg )}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\bigg (}A\in {\mathcal {P}}(B)\,\,et\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\in {\mathcal {P}}{\Big (}{(B_{i})}_{i\in I}{\Big )}{\bigg )}\,\,{\underset {d{\acute {e}}f}{\Leftrightarrow }}\,\,{\Big (}A\in {\mathcal {P}}(B)\,\,et\,\,\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\mathcal {P}}(B_{i}){\Big )}}$

Fin du théorème

Lien entre le cardinal quantitatif d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$ et du cardinal quantitatif de certains des plafonnements de cette partie de $\mathbb {R} ^{n}$, relatif à ce repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$

Début d’un théorème

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit $A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$.

Alors $\exists {(A_{i})}_{i\in I}\in {\Big \{}{(A_{i})}_{i\in I}\in {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}{\Big \}}$,

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}$.

Dans ce cas $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal de la partie $A$.

Si de plus ${(A_{i})}_{i\in I}={(A)}_{i\in I}$, alors $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[A,{(A)}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal trivial de la partie $A$.

De même, si $I$ est fini ou admet un maximum et si $A_{\sup(I)}=A_{\max(I)}=A$, alors $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal trivial de la partie $A$.

Fin du théorème

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{\displaystyle {{\Big |}{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}}}\,\,:\,\,{PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty \,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{\displaystyle {{\Big |}{PV}(\mathbb {R} ^{n})}}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Fin du théorème

Remarque : On peut peut-être remplacer "${PV}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {PV2}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}(\mathbb {R} ^{n}),{PV}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$" par "$\displaystyle {{P3}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {P4}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{P4}(\mathbb {R} ^{n}),{P3}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}}$".

Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif, impliquant un plafonnement "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$" constitué d'une partie $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$ voire peut-être constitué d'une partie $A\in {P4}(\mathbb {R} ^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {P3}(\mathbb {R} ^{n})$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné

et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ [resp. si $A$ est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$]

[ou peut-être même en supposant seulement que : $A\in {P4}(\mathbb {R} ^{n})$ (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : $A$ est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$)],

et si ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ [resp. si ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de réunions finies disjointes de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$]

[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ (resp. des réunions finies disjointes de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$)],

telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ :

Alors : $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$.

Comme, ici, on peut peut-être supposer que ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}$.

Au lieu de parler de l'application $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

il faudrait mieux parler de l'application $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n}){\Big )}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$.

Fin du théorème

Remarque :

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ qui sont des suites de parties finies, bornées, de $\mathbb {R}$ ou qui sont des suites d'intervalles bornés de $\mathbb {R}$.

Remarque :

Questions :

Pour toute partie de ${P4}(\mathbb {R} ^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ qui converge vers cette partie de ${P4}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Pour toute partie de ${P4}(\mathbb {R} ^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ qui converge vers cette partie de ${P4}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}(\mathbb {R} ^{n})$ ?

Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit $A\in {PV2}({\mathbb {R} }^{n})$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$, telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Soit ${(B_{i})}_{i\in I}$, une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} }^{n})$,

telle que ${(B_{i})}_{i\in I}\neq {(A_{i})}_{i\in I}$

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

c'est-à-dire telle que : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$.

Si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

ou bien, si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}={\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i}=A}$,

et en supposant, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

on aurait : ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

c'est-à-dire une contradiction.

@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})}$", ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})}$", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.

Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.

On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{n}$, le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, comme étant le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Le problème est que l'on définit le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de $\mathbb {R} ^{n}$, "${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})$", grâce à l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" qui fait appel aux cardinaux quantitatifs, relatifs à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$.@

Justement, on a choisi $A\in {PV2}({\mathbb {R} }^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} }^{n})$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n}){\Big )}$,

avec ${PV2}({\mathbb {R} }^{n}),{PV}({\mathbb {R} }^{n})\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {{PV2}({\mathbb {R} }^{n})\bigcap {PV}({\mathbb {R} }^{n})=\emptyset }$ et ${\overline {{PV}({\mathbb {R} }^{n})}}^{{PV2}({\mathbb {R} }^{n})}={PV2}({\mathbb {R} }^{n})$.

Plus généralement, on peut choisir $A\in {\mathcal {A}}$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {\mathcal {B}}$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n}){\Big )}$,

avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {{\mathcal {A}}\bigcap {\mathcal {B}}=\emptyset }$ et ${\overline {\mathcal {B}}}^{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}$.

Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$,

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, $[A,(A_{i})_{i\in I}]$,

alors on peut définir la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) de la partie $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$, de la manière suivante :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(A){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}$

Conjecture qui servira :

dans "Propositions concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R}$, et, en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} )$, basées ou en partie basées sur la conjecture principale",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Exemples 2",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$",

dans "Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif/Plafonnement sphérique, {associé à|de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$",

et dans "Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$/Partie 1".

Remarque :

Je ne sais pas si j'ai justifié, suffisamment, convenablement et proprement, ces nouvelles notations, mais l'idée est là.

Au lieu de vouloir, toujours, exiger et demander, des conditions trop fortes concernant la notion dont il est question, peut-être faut-il, parfois, les affaiblir et accepter et se contenter de ces dernières, dans leurs versions affaiblies.

De toute façon, ce qu'on perd n'est rien en comparaison de ce qu'on gagne par ailleurs.

Remarque (à propos de la $\sigma$-additivité) (Il y avait un problème dans la 2ème partie)

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\mathcal {R}}={\mathcal {R}}_{n}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O_{n}$.

1) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ est une mesure, sur la tribu ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$.

2) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne peut être une mesure, au sens usuel, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} ^{n}})$, car elle ne vérifie pas la $\sigma$-additivité, en général.

3) ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ ne vérifie pas la $\sigma$-additivité, en général, sur ${\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, car :

Si $n=1$ :

$\displaystyle {{\mathbb {R} }_{+}=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[\,\,{\mbox{et}}\,\,{\mathbb {R} }_{+}=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[}$, qui sont toutes 2 des réunions disjointes,

et donc si ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ était $\sigma$-additive,

on aurait :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on aurait aussi

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}[2i-2,2i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }^{*}}1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} }^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} }_{+})$.

Contradiction.

Donc, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ n'est pas $\sigma$-additive,

donc ce n'est pas une mesure au sens usuel.

Il y a peut-être quelques hypothèses de définition à ajouter dans le cas non borné et certains cas bornés.

Les résultats seront différents suivant le choix des plafonnements de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O$, du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$.

Réinterprétons les calculs ci-dessus, avec de nouvelles notations :

Où $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

En posant :

$R_{1,+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{2,+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$\displaystyle {N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}^{*}=N_{1}\setminus \{0\}}$

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

et on a aussi :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,2p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[)}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}2p\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[2i-2,2i[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[)=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$.

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien ${([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }\neq {([0,2p[)}_{p\in \mathbb {N} }$.

Et on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{1,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p])=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[\bigsqcup \{p\})}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\}){\Big )}}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)+1{\Big )}={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}+1={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p{\Big )}+1}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}\left(\left(\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[\right)\bigsqcup \{p\}\right)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\}){\bigg )}}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+1{\bigg )}={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\bigg (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\bigg )}+1={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1{\Big )}+1}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

et on a aussi :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,2p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p])=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[\bigsqcup \{2p\})}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{2p\}){\Big )}}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[)+1{\Big )}={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2p[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}2p\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p{\Big )}+1}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}\left(\left(\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[2i-2,2i[\right)\bigsqcup \{2p\}\right)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{2p\}){\bigg )}}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[){\Big )}+1{\bigg )}={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([2i-2,2i[){\Big )}+1={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,2[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1{\Big )}+1}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

Or ${card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1\neq 2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1$

et donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}\neq {card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-1$

et il n'y a aucune contradiction :

On a bien ${([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }\neq {([0,2p])}_{p\in \mathbb {N} }$.

On a aussi, Cf. remarque plus bas :

[début point sensible]

Soit $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} _{+}\bigsqcup +\infty ),\,\,strict.\,\,\nearrow$

et telle que $f(0)=0$

et telle que $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(n)\in +\infty }$ (qui est une expression qui a la même définition que l'expression "$\displaystyle {{\underset {n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{{\text{lim}}_{classique}}}f(n)=+\infty _{classique}}$" où $+\infty _{classique}$ est considéré comme un point)

et telle que $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(n)=f(\lim _{n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}n)}$

(Cf. aussi "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$/C)"),

[fin point sensible]

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,f(p)[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,f(p)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)[)}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([f(i-1),f(i)[)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(i)-f(i-1)[)}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{\Big (}f(i)-f(i-1){\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{\Big (}f(i)-f(i-1){\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}f(p)-f(0){\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}f(p)-0{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f{\Bigg (}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,(\mathbb {N} \bigcap [0,p])_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{*}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*}){\Big )}}$

et on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,f(p)])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,f(p)]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)])=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)[\bigsqcup \{f(p)\})}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{f(p)\}){\Big )}}$

•(1)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)[)+1{\Big )}={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(p)[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}+1={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p){\Big )}+1}$

•(2)

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow +\infty }{\bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[f(i-1),f(i)[{\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{f(p)\}){\bigg )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([f(i-1),f(i)[){\Big )}+1{\bigg )}}$

$\displaystyle {={\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([f(i-1),f(i)[){\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,f(i)-f(i-1)[){\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{\Big (}f(i)-f(i-1){\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{\Big (}f(i)-f(i-1){\Big )}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}f(p)-f(0){\Big )}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}f(p)-0{\Big )}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p){\bigg )}+1}$

•[point où se rejoignent (1) et (2)]

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p)+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f{\Bigg (}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,(\mathbb {N} \bigcap [0,p])_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{*}{\Bigg )}+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,f{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*}){\Big )}+1}$

Fin du théorème

Remarque :

[début point sensible]

1) Soit $a\in +\infty$ avec $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$

telle que $f{\underset {+\infty _{classique}}{\sim }}g$, avec $\displaystyle {g\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$, $g\,\,:\,\,\mathbb {N} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,x\,\,\mapsto a_{g}x+b_{g}$, avec $a_{g}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,b_{g}\in \mathbb {R}$.

Alors on pose : $\lim _{i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow a}f(i)=a_{g}a+b_{g}$.

2) Soit $a\in +\infty$ avec $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

telle que $f{\underset {+\infty _{classique}}{\sim }}g$, avec $\displaystyle {g\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$, $g\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,x\,\,\mapsto a_{g}x+b_{g}$, avec $a_{g}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,b_{g}\in \mathbb {R}$.

Alors on pose : $\lim _{i\in \mathbb {R} ,i\rightarrow a}f(i)=a_{g}a+b_{g}$

(Cf. aussi "Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$/C)").

[fin point sensible]

3) Soient $a\in \mathbb {R} \bigcup \{-\sup(\mathbb {R} )\},\,\,b\in \mathbb {R} ,\,\,a<b$

Soit $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}((a,b[,\mathbb {R} )}$

telle que ${\underset {i\in (a,b[,i\rightarrow b^{-}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)=+\infty _{classique}$.

Alors on pose : $\lim _{i\in (a,b[,i\rightarrow b^{-}}f(i)=\sup(+\infty )$.

4) a) $\displaystyle {\sup(\mathbb {N} )=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}1=\sum _{\displaystyle {i\in \lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}}}1=\sum _{\displaystyle {i\in {\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(\mathbb {N} \bigcap [0,p]){\Big )}\setminus \{0\}}}1=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})}$

ou dit autrement :

$\displaystyle {\sup(\mathbb {N} )=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(\mathbb {N} \bigcap [0,p]){\Big )}\setminus \{0\}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})}$.

b) Soit $f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} _{+}\bigsqcup +\infty ),\,\,strict.\,\,\nearrow$

et telle que $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(n)\in +\infty }$ (qui est une expression qui a la même définition que l'expression "$\displaystyle {{\underset {n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{{\text{lim}}_{classique}}}f(n)=+\infty _{classique}}$" où $+\infty _{classique}$ est considéré comme un point)

et telle que $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(n)=f(\lim _{n\in \mathbb {N} ,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}n)}$.

Alors :

$\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)=f(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p)=f{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in {\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p]){\Big )}\setminus \{0\}}1{\bigg )}=f{\bigg (}\sum _{\displaystyle {i\in \lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}}}1{\bigg )}}$

$\displaystyle {=f{\bigg (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1{\bigg )}=f{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}{\Bigg )}=f{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*}){\Big )}}$

ou dit autrement :

$\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}f(p)=f(\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p)=f{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}{\bigg )}=f{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}{\Big )}{\bigg )}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=f{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}\mathbb {N} \bigcap [0,p]){\Big )}\setminus \{0\}{\bigg )}{\Bigg )}=f{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}{\Bigg )}=f{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*}){\Big )}}$.

Proposition (plafonnement de $\mathbb {R} _{+}$, normal) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)

Début d’un théorème

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$".

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

En posant :

$R_{1,+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{2,+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$\displaystyle {N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}^{*}=N_{1}\setminus \{0\}}$,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{2,+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$.

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{1,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{1,+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$.

$R_{2,+}$ est appelé le plafonnement de $\mathbb {R} _{+}$, normal.

Fin du théorème

Démonstration :

Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

On a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{1,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p]{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p])}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}\left(\left(\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[\right)\bigsqcup \{p\}\right)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{p\}){\bigg )}}$

$\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\bigg (}{\Big (}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+1{\bigg )}={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[){\Big )}+1}$

$\displaystyle {={\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[){\Big )}+1={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\,\,{\Big (}\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1{\Big )}+1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)+1}$.

Et on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,p[)}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,p[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

$\displaystyle {=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}[i-1,i[{\Big )}=\lim _{p\in \mathbb {N} ,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\sum _{i\in (\mathbb {N} \bigcap [0,p])\setminus \{0\}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{*}{\bigg )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$.

Remarque :

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

De plus, soit $p\in \mathbb {N}$.

Si $p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )$ où $\sup(\mathbb {N} )=+\infty _{classique}$ et où $+\infty _{classique}$ est considéré comme un point,

alors $p-1\rightarrow \sup(\mathbb {N} )$ et $\displaystyle {\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}(p-1)=\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p=\sup(\mathbb {N} )}$

etc $\cdots$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigcap [0,p])={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,p\})=p+1}$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigsqcup \{\sup(\mathbb {N} )\}){\Big (}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+1{\Big )}={card}_{Q,{\mathcal {R}}}({\overline {\mathbb {N} }})}$.

Si $p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )\in +\infty$ où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

alors $p-1\rightarrow \sup(\mathbb {N} )-1\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {N} )-1\neq \sup(\mathbb {N} )$

etc $\cdots$,

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} \bigsqcup \{\sup(\mathbb {N} )-i\,\,|\,\,i\in \mathbb {N} \},\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigsqcup \{\sup(\mathbb {N} )-i\,\,|\,\,i\in \mathbb {N} \})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\sup(\mathbb {N} )-i\,\,|\,\,i\in \mathbb {N} \})}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{0,\cdots ,\lim _{p\in \mathbb {N} ,\,\,p\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} \bigsqcup \{\sup(\mathbb {N} )-i\,\,|\,\,i\in \mathbb {N} \})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )+{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\sup(\mathbb {N} )-i\,\,|\,\,i\in \mathbb {N} \})}$.

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

En posant :

$R_{2}={\Big [}\mathbb {R} ,{(]-r,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{2,+}={\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{2,-}={\Big [}\mathbb {R} _{-},{(]-r,0])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

$R_{2,+}^{*}=R_{2,+}\setminus \{0\}$

$R_{2,-}^{*}=R_{2,-}\setminus \{0\}$

$\displaystyle {N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}^{*}=N_{1}\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {-N_{1}={\Big [}-\mathbb {N} ,{(-\mathbb {N} \bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {-N_{1}^{*}=-N_{1}\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {Z_{1}={\Big [}\mathbb {Z} ,{(\mathbb {Z} \bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$

$\displaystyle {Z_{1}^{*}=Z_{1}\setminus \{0\}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

Donc, comme $\displaystyle {R_{2}=R_{2,-}^{*}\bigsqcup \{0\}\bigsqcup R_{2,+}^{*}}$ et que cette réunion est disjointe, on a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

[c'est-à-dire $=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1$]

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus \{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1$

On remarque que :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*}\bigsqcup N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})}$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1}$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1{\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1})-1}$

Fin du théorème

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

On pose : ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Soient $a,b\in \mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,a\leq b$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,b])+{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,b])}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({N_{1}}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

Fin du théorème

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de $\mathbb {R}$, d'origine $O$.

On pose : ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} }_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}$.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])+1$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R} _{-}$.

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup ]a,0[)+1$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup [a,0[)}$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})+{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,0[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup ]a,0[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a}$

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}$.

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,-}\setminus [-a,0])}$

On en déduit que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,-}\setminus ]-a,0])}$

Fin du théorème

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif

2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à|de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$

Début d’un théorème

(On considèrera, ici, que $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ et soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ est un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

1) Suivant un plafonnement carré, autour de l'origine, suivant les 2 axes orthonormés $(O_{2}x)$ et $(O_{2}y)$ noté $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ :

Ici, on considère que : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-r,r]}$

et on a : $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$.

On a donc :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

2) Suivant un plafonnement sphérique, autour de l'origine, noté $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ :

Ici, on considère que : $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow +\infty }{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}}$.

On remarque que :

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}$ partie compacte, convexe, (connexe), de $\mathbb {R} ^{2}$ et boule euclidienne de $\mathbb {R} ^{2}$

et $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}={\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=?$

Comme on sait que ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)+\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)+1$

et que

${card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}({[0,1[}^{2})={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1[)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])-1{\Big )}}^{2}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$,

on a ${card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},1)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,1])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1])+1$.

Je crois que $\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1$, mais je n'en suis pas certain.

Partant de là :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {R} ^{2},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{2}}(O_{2},r)}}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\Big (}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1{\Big )}}$

$\displaystyle {=\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}([0,r])-\pi \,\,\lim _{r\in \mathbb {R} _{+},r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,r])+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,r]{\Big )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\Big (}\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,r]{\Big )}+1}$

$\displaystyle {=\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} _{+},{([0,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}}^{2}-{\frac {1}{2}}\pi \,\,{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}+1{\Bigg )}+1}$

$\displaystyle {={\frac {1}{4}}\pi \,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}-{\frac {1}{4}}\pi +1}$

$\displaystyle {\neq {card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

Fin du théorème

Exemples 2

Début d’un théorème

NB : Matheux philosophe, c'est moi, Guillaume FOUCART.

[Citation de "Matheux philosophe"]

[Citation de "bolza"]

"L'infini" de l'intervalle $[0,1]$ est-il plus grand que "l'infini" de l'intervalle $[0,10]$ ?

Là encore intuitivement je comprends parfaitement qu'on puisse penser "oui".

Et effectivement on pourrait se dire qu'il y a beaucoup plus de quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ que dans un fil de $1\,\,cm$.

Le problème c'est que la quantité de matière dans un fil de $10\,\,cm$ (ou de $1\,\,cm$) est un nombre fini.

En effet, ils sont constitués d'un nombre fini d'atomes.

On compare donc ici deux ensembles finis dont un est plus grand que l'autre.

Mais entre ces atomes, il y a beaucoup de vide.

Pour que le fil corresponde exactement à la notion mathématiques d'intervalle, il faudrait rajouter plein plein d'atomes pour combler ce vide et tous les relier entre eux, et ce nombre d'atomes que l'on doit rajouter, c'est une infinité.

Et il se trouve que le nombre d'atomes à rajouter pour le fil de $10\,\,cm$ et pour le fil de $1\,\,cm$ c'est la "même" infinité.

(car, il y a une bijection entre $[0,1]$ et $[0,10]$ et je n'ai pas besoin de l'axiome du choix pour la donner.

Une bijection ça veut dire que l'on a une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles)

---

Bon je ne sais pas si tout cela t'a convaincu, mais les intervalles $[0,1]$ et $[0,10]$ ont bien "autant" de points l'un l'autre au sens qui a été défini par les mathématiciens.

Ensuite tu peux très bien essayer de définir une fonction qui a des propriétés plus "intuitives" sur la façon de "quantifier" les ensembles, mais je crois que cela existe déjà, ça s'appelle la "longueur".

En effet la longueur de l'intervalle $[0,1]$, c'est $1$ et la longueur de l'intervalle $[0,10]$ c'est $10$, et $10>1$.

En fait je crois que tu confonds les notions de "cardinalité" et de "grandeur".

P.S : Pour bien comprendre la différence, imagine un fil élastique.

Tu tends le fil de façon à ce qu'il ait une longueur de $1\,\,cm$, ensuite tu l'étires jusqu'à atteindre une longueur de $10\,\,cm$, quand tu es passé de $1$ à $10\,\,cm$, tu n'as pas changé le nombre de "point" (le "cardinal") de l'élastique, tu as seulement changé sa longueur.

[Fin Citation de "bolza"]

---

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

NB : Le cas d'une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, c'est-à-dire de la classe des parties compactes, convexes, (connexes) de $\mathbb {R} ^{n}$, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), a été traité, entièrement, par Michel Coste, et il ne correspond pas aux intuitions de bolza.

Soit $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{i}$, d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\displaystyle {[0,10[=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[}$ et la réunion est disjointe.

Donc

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,10[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)\neq {card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}([0,1[)}$

alors que

$\displaystyle {{card}_{E}([0,10[)={card}_{E}(\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}[i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)\,\,\sum _{i\in {\mathbb {N} }_{10}^{*}}1=10\,\,{card}_{E}([0,1[)={card}_{E}([0,1[)}$

On considère le plafonnement carré de $\mathbb {R} ^{2}$, autour de l'origine $O_{2}$ du repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ : ${\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}$.

Dans ce qui suit, où les intégrales sont encore à définir et ${card}_{Q}$ n'est pas une mesure au sens usuel , on doit avoir et on cherche à avoir :

Cf. pour la définition de certains termes et le détail de certains calculs :

"2 calculs du cardinal quantitatif de $\mathbb {R} ^{2}$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements, {associés à $|$ de} $\mathbb {R} ^{2}$, différents, autour de l'origine $O_{2}(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{2}$ de $\mathbb {R} ^{2}$."

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}=\bigsqcup _{x\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}{\bigg \{}(x,y)\in {{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg |}y\in {\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe,

c'est-à-dire, en posant $\displaystyle {R_{1}={\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$ et $\displaystyle {R_{1}^{2}={{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}}$,

comme $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}=R_{1}^{2}=\bigsqcup _{x\in R_{1}}\{(x,y)\in R_{1}^{2}|y\in R_{1}\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{2},{({[-r,r]}^{2})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(R_{1}^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigsqcup _{x\in R_{1}}\{(x,y)\in R_{1}^{2}|y\in R_{1}\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\int _{R_{1}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(x,y)\in R_{1}^{2}|y\in R_{1}\}{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {=\int _{R_{1}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1})\,\,\int _{R_{1}}\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1})}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1}){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(R_{1})}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(R_{1})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ,{({[-r,r]})}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a : $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {R} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

(Remarque : On aurait pu remplacer $\mathbb {R}$ par $[0,1]$ et ${\mathbb {R} }^{2}$ par ${[0,1]}^{2}$.)

ou plus simple :

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}={{\Bigg (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}{\Bigg )}}^{2}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

On peut retrouver cette formule de la façon suivante :

Comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} }{\Bigg \{}(n,m)\in {{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}{\Bigg |}m\in {\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg \}}}$ et que la réunion est disjointe

c'est-à-dire en posant : $\displaystyle {N_{1}={\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}$ et $\displaystyle {N_{1}^{2}={{\bigg [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}}^{2}}$

comme $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=N_{1}^{2}=\bigsqcup _{n\in N_{1}}\{(n,m)\in N_{1}^{2}|m\in N_{1}\}}$ et que la réunion est disjointe,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Bigg (}{{\bigg [}\mathbb {N} ^{2},{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}^{2}}_{p\in \mathbb {N} }{\bigg ]}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\bigg (}{{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}}^{2}{\bigg )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}(N_{1}^{2})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\bigsqcup _{n\in N_{1}}\{(n,m)\in N_{1}^{2}|m\in N_{1}\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N_{1}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{2}}{\Big (}\{(n,m)\in N_{1}^{2}|m\in N_{1}\}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\sum _{n\in N_{1}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1})\,\,\sum _{n\in N_{1}}1}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1})}$

$\displaystyle {={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1}){\Big )}}^{2}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{2}(N_{1})}$

$\displaystyle {>{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(N_{1})}$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {N} ,{(\mathbb {N} \bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}{\bigg )}}$

alors qu'on a $\displaystyle {{card}_{E}({\mathbb {N} }^{2})={{\Big (}{card}_{E}(\mathbb {N} ){\Big )}}^{2}={card}_{E}(\mathbb {N} )}$

et plus généralement :

Soit $E'\in {PV}({\mathbb {R} }^{n})$.

Si $\forall x\in E',\,\,A_{x}\in {PV}({\mathbb {R} }^{n})$ et $\displaystyle {\forall x,y\in E',\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset }$ et $\displaystyle {A=\bigsqcup _{x\in E'}A_{x}}$

alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}\bigsqcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

alors que

$\displaystyle {(*)\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}{\Big (}\bigsqcup _{x\in E'}A_{x}{\Big )}=\int _{E'}{card}_{E}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(x)}$

Remarque : $\displaystyle {\exists E''\in {\cal {P}}(E')\,\,:\,\,E''=\{x\in E',\,\,A_{x}\neq \emptyset \}}$ et $\displaystyle {A=\bigsqcup _{x\in E''}A_{x}}$

(24-06-2021 : Rectification : La notion de cardinal quantitatif n'est pas a priori une mesure définie sur ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, car ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ n'est pas a priori une tribu de parties. Donc, on n'a pas nécessairement prouvé que les résultats des exemples mentionnés ci-dessus et ci-dessous sont assurés.)

Dans la suite de ce message, il y a vraisemblablement quelques précautions à prendre [et peut-être même dans ce qui précède concernant les égalités $(*)$ impliquant à la fois le cardinal quantitatif et le cardinal potentiel] :

Une égalité n'impliquant que des cardinaux quantitatifs ou que des cardinaux potentiels, n'a pas le même sens et la même interprétation qu'une égalité impliquant à la fois le cardinal potentiel et le cardinal quantitatif.

Comme d'une part, on a : $\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} ^{2})={card}_{E}(\mathbb {R} )}$

et d'autre part, on a :

${card}_{E}({\mathbb {R} }^{2})={card}_{E}(\bigsqcup _{x\in \mathbb {R} }\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}|y\in \mathbb {R} \})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)=\int _{\mathbb {R} }{card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)$.

$\displaystyle {={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,\int _{\mathbb {R} }\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(x)={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

On obtient la formule :

$\displaystyle {{card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}(\mathbb {R} )\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(\mathbb {R} )}$

[Fin de Citation de "Matheux philosophe"]

Fin du théorème

Plafonnement sphérique, {associé à $|$ de} $\mathbb {R} ^{n}$, autour de l'origine $O_{n}$ d'un repère orthonormé direct ${\cal {R_{n}}}$ de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ muni d'un repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{n}$, d'origine $O_{n}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{n},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}}$, on a alors :

$\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{1}}}}(\mathbb {R} )$

et $\forall M,M'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M'\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M'){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{1}}}}(\mathbb {R} _{+})={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R_{1}}}}(\mathbb {R} )+{\frac {1}{2}}$

$={\frac {1}{2}}card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}+{\frac {1}{2}}$.

Mais, $\forall A\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AM){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(AM){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}\neq card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$

et même $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(AB){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}(O_{n}M){\Big )}$.

On peut avoir : $\forall A\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},\,\,M\neq A,$

$card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}<card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}>card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou $card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[AM){\Big )}=card_{Q,{\cal {R_{n}}}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$.

On peut avoir : $\forall A,B\in \mathbb {R} ^{n},\,\,A\neq O_{n},\,\,B\neq O_{n},\,\,A\neq B,\,\,\forall M\in \mathbb {R} ^{n},\,\,M\neq O_{n},$

${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}<{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$ ou ${card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[AB){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}{\Big (}[O_{n}M){\Big )}$.

Fin du théorème

Remarque : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas du cardinal quantitatif des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace $\mathbb {R} ^{n}$ muni d'un repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{n}$, d'origine $O_{n}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, $\displaystyle {{\bigg [}\mathbb {R} ^{n},{{\Big (}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}(O_{n},r)}}}$, on a alors :

C) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(O,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(O,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $O$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

D) $\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

où

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(O,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(O,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $O$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace $\mathbb {R} ^{n}$.

F)

a) $\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n}),\,\,A\,\,{\text{non bornée}}}$,

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,\exists P_{0}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,d{\acute {e}}limit{\acute {e}}e\,\,par\,\,un\,\,hyperplan\,\,H_{0}\,\,passant\,\,par\,\,O}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,A\subset P_{0}\,\,alors\,\,\forall x_{0},{x_{0}}'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\exists {x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\in \mathbb {R} ^{n},{x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\parallel H_{0}\,\,et\,\,\exists {x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\in \mathbb {R} ^{n},{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\perp H_{0},}$

$\displaystyle {x_{0}={x_{\parallel _{H_{0}}}}+{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{0}}'={x_{\parallel _{H_{0}}}}'+{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,et\,\,{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,orientes\,\,vers\,\,P_{0}\,\,et\,\,tels\,\,que\,\,\|x_{0}\|<\|{x_{0}}'\|,}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x_{0})>{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+{x_{0}}')}$

(Hypothèse de définition en cours d'étude)

b) $\forall a,a'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\forall b,b'\in \mathbb {R} ^{n},\,\,:\,\,\|b\|<\|b'\|$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a'.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}+b'){\Big )}}$ si $b,b'\perp H_{a,0}=a.{id}_{\mathbb {R} ^{n}}(\mathbb {R} ^{n})$

(Hypothèse de définition en cours d'étude)

Fin du théorème

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Remarque : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Partie 1

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Remarques :

Début d’un théorème

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Comme $\mathbb {R} \in {PV2}(\mathbb {R} )$

et comme $\displaystyle {\forall r\in \mathbb {N} ,\,\,[-r,r]\in {PV}(\mathbb {R} )}$ telle que $\displaystyle {\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-r,r]={\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$,

on a Rappel : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[-r,r])=\lim _{r\in \mathbb {N} ,\,\,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([-r,r])}$.

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Et plus généralement, soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origine $O{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$.

Si $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, non bornée à droite

et si $\displaystyle {\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {PV}(\mathbb {R} ^{n})}$ telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

comme $\mathbb {R} ^{n}\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$,

on a Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}{\Big [}\mathbb {R} ^{n},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}{\bigg )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

Mais, étant donné le plafonnement sphérique, autour de l'origine, on ne peut pas prendre n'importe quelle famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ définie précédemment.

Il faut que ce soit une famille croissante de boules pour la distance euclidienne, de centre $O$ ou une famille croissante de polyèdres réguliers, de centre $O$, ayant un nombre de côtés croissant, convergeant vers l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$.

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

On pourra alors remplacer dans l'avant dernière phrase à partir de celle-ci, "croissant(e)", par "strictement croissant(e)".

(Voir aussi la page de discussion associée : Série de remarques 1)

Fin du théorème

Début d’un théorème

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $C\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(A),\,\,{\mbox{et}}\,\,B\in {\cal {P}}(C)\,\,{\mbox{ou}}\,\,C\in {\cal {P}}(B),\,\,C\neq \emptyset$.

Si on considère la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\cal {R}}$, de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$, $d_{Q,{\cal {R}},B}(A)$, on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(C)}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},C}(A)}{d_{Q,{\cal {R}},C}(B)}}}$.

En particulier, si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,B\in {\cal {P}}(A)$, on a :

$\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}{\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} )}}}}={\frac {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(A)}{d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {R} }(B)}}}$.

Par extension, si $P\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$

alors $d_{Q,{\cal {R}},B}(P)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(P)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Remarque :

Si $x_{0}\in \mathbb {R}$, alors $\{x_{0}\}\in {PV}(\mathbb {R} )$ et même $\{x_{0}\}\in {PV}_{0}(\mathbb {R} )$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Remarque :

1) Rappel :

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{N})$ et si ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ (Cf. définition).

Alors on a : Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})=\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$.

2) Soient :

${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

$I\,\,\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)\,\,({\text{par exemple}}\,\,I=\mathbb {N} )$. (On a donc, si $I=\mathbb {N}$, $\sup(I)\in +\infty$ et $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.)

Il faut mieux choisir $I$ dénombrable infini.

Soient :

${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$).

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,A_{n},B_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{n})}_{n\in I}]$ et ${(B_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[B,{(B_{n})}_{n\in I}]}$),

et telles que $\displaystyle {\exists x\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}=x}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$, disjointes.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$.

[Si $I=\mathbb {N}$,

soit $\varphi _{\,}\,:\,\,I\longrightarrow I$, strictement croissante,

c'est-à-dire ${{\Big (}u_{\varphi (n)}{\Big )}}_{n\in I}$ sous-suite de ${(u_{n})}_{n\in I}$.

Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{\varphi (n)}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$.]

Soient :

${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ vérifiant :

${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)"

Remarque : On pose $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$."

ou ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ :

"$\forall n\in I,\,\,C_{n},D_{n}$ $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

telles que $\forall n\in I,\,\,C_{n}\in {\cal {P}}(D_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,D_{n}\neq \emptyset$

et telles que ${(C_{n})}_{n\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(C_{n})}_{n\in I}]$ et ${(D_{n})}_{n\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(D_{n})}_{n\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}\uparrow C_{n}=[A,{(C_{n})}_{n\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow D_{n}=[B,{(D_{n})}_{n\in I}]}$)

et telles que $\displaystyle {\exists y\in {[0,1]}_{standard},\,\,\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=y}$,

avec $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,v_{n}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}$".

(Remarque : On étend facilement la définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ aux $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$.)

Alors, on déduit de la conjecture et des hypothèses que :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}C_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}D_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(C_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(D_{n})}}}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}}$.

A-t-on (*) $\displaystyle {\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}v_{n}=\lim _{n\in I,\,\,n\rightarrow \sup(I)}u_{n}}$ ?

Si pour tous ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$

tels que ${(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(A_{n})}_{n\in I},{(B_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$

et tels que ${(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I}$ vérifient : ${\bigg (}H_{2}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$ ${\Bigg [}$ resp. ${\bigg (}H_{1}{\Big [}{(C_{n})}_{n\in I},{(D_{n})}_{n\in I},A,B{\Big ]}{\bigg )}$${\Bigg ]}$,

on a : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

(c'est-à-dire vérifiant (*))

Alors, on pose : $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(C_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(D_{n})}_{n\in I}]{\Big )}}}}$

Fin du théorème

Début d’un théorème

Remarque :

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R}$, d'origine $O(0)$.

Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties $|$ réunions au plus dénombrables (voire infinies dénombrables non bornées) de parties disjointes $\}$

${\Big (}$ Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$,

ou ${\Big (}$ Option spéculative : convexes, (connexes), de $\mathbb {R} {\Big )}$,

$A\in {\cal {P}}(B),\,\,B\neq \emptyset$.

Soit $I\in {\cal {P}}(B)$ ou $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(I)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$.

Si $\forall i\in I,\,\,A_{i},B_{i}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, réunions finies de parties disjointes ${\Big (}$Option classique : de ${PV}(\mathbb {R} )$ ${\Big )}$, ou ${\Big (}$Option spéculative : bornées, convexes, (connexes), de $\mathbb {R}$${\Big )}$,

telles que $\forall i\in I,\,\,A_{i}\in {\cal {P}}(B_{i})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{i}\neq \emptyset$

et telles que ${(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ et ${(B_{i})}_{i\in I}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}\uparrow A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}$ et $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{i}=[B,{(B_{i})}_{i\in I}]}$),

alors

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[B,{(B_{i})}_{i\in I}]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}}{\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}=\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}}}}$.

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 1ère étape de calcul)

Je pense que le cas d'une partie $A$ bornée, convexe, (connexe), de $\mathbb {R}$, peut se ramener au cas de la partie ${\overline {A}}$ compacte, convexe, (connexe) de $\mathbb {R}$,

grâce à la formule ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$ c'est-à-dire ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {A}}\setminus A)$,

sachant que ${\overline {A}}\setminus A\in {\cal {P}}(\partial A)$, avec $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Donc, comme $2\mathbb {Z} ^{*},\,\,\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions disjointes(dénombrables infinies, non bornées) de parties $|$ réunions (dénombrables infinies, non bornées) de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $2\mathbb {Z} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$ et $\mathbb {Z} ^{*}\neq \emptyset$,

et $\mathbb {N} ^{*}\in {\cal {P}}(\mathbb {Z} ^{*})$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n}=\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}=\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}$

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,A_{n},B_{n}\in {\cal {P}}(\mathbb {R} )$, $\{$ réunions finies disjointes de parties $|$ réunions finies de parties disjointes $\}$ de ${PV}(\mathbb {R} )$,

et $\forall n\in \mathbb {N} ^{*},A_{n}\in {\cal {P}}(B_{n})\,\,{\mbox{et}}\,\,B_{n}\neq \emptyset$

et ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,\nearrow \,\,[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$ et ${(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} ^{*}}\,\,{\mbox{strict.}}\,\,\nearrow \,\,[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$

(c'est-à-dire $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}\uparrow A_{n}=[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$ et $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\mbox{strict.}}\uparrow B_{n}=[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$),

on a bien : $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},\mathbb {Z} ^{*}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[2\mathbb {Z} ^{*},{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[\mathbb {Z} ^{*},{(B_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]{\Big )}}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}A_{n}})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}B_{n}})}}={\frac {\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}}{\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}=\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{n})}}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\displaystyle {\bigcup _{m\in \mathbb {N} _{n}^{*}}\{-2m,\,\,2m\}}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\bigg (}\displaystyle {\mathbb {Z} \bigcap {\Big (}[-2n,-1]\bigcup [1,2n]{\Big )}}{\bigg )}}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {2n}{4n}}=\lim _{n\in \mathbb {N} ^{*},\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

(Sous réserve de conditions supplémentaires données dans la Remarque précédente pour la justification et le détail de la 2ème étape de calcul),

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})+1={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-1{\Big )}+1={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}}$

et comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )+{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)}$,

on a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {Z} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\Big (}{\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )+{\frac {1}{2}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )-{\frac {1}{2}}}$

et plus généralement,

$\forall m\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{m}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$ et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} )=\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(m\mathbb {Z} +i)}$

et $\forall a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {Z} ^{*})={\frac {1}{a}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {Z} ^{*})}$.

L'ensemble $\mathbb {Z} ^{*}$ est non borné, mais est dénombrable.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,A\in {\cal {P}}(B)$ et $B\neq \emptyset$, où chacune des parties $A$ et $B$ peut être une partie bornée de $\mathbb {R}$ ou un plafonnement d'une partie non bornée de $\mathbb {R}$ (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1]}_{standard}}$

et si de plus, $A\neq B$,

alors $0\leq {card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)$

et $\displaystyle {d_{Q,{\cal {R}},B}(A)={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}}\in {[0,1[}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1[}_{standard}}$.

Par ailleurs, normalement, on devrait avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $2\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(2\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

et plus généralement, si $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$, on devrait, normalement, avoir : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$, mais comme $a\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} ^{*}$, on est obligé d'imposer que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(a\mathbb {R} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {R} ^{*})}$,

ce qui ne sera peut-être pas sans poser problème, mais peut-être pas.

L'ensemble $\mathbb {R} ^{*}$ qui est la réunion disjointe de 2 ensembles connexes, non bornés, et ayant la puissance du continue, semble aussi dense, quantitativement, que des ensembles, qui sont, proportionnellement et de manière arbitraire, strictement, plus ou moins denses, quantativement, que lui, et qui se révèlent, finalement, être lui-même.

Mais, Cantor dirait, sans problème, dans ce cas, que $\displaystyle {{card}_{E}(a\mathbb {R} ^{*})=a\,\,{card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})={card}_{E}(\mathbb {R} ^{*})}$.

Je pense, dans le cas des parties non bornées de $\mathbb {R}$, que considérer, seulement, une partie faite d'une sous-partie dénombrable, et d'une réunion de sous-parties connexes ayant la puissance du continue, non bornée et disjointe de la sous-partie précédente, c'est-à-dire une partie faite de matière discrète et de matière continue, non bornée, est insuffisant, encore faut-il préciser la densité (quantitative) de la matière continue qui la {compose $|$ constitue}, en considérant, dans un premier temps, qu'elle est uniforme.

Mais en fait, ce problème peut être contourné ou résolu, en introduisant et en considérant les différents plafonnements de chaque partie non bornée de $\mathbb {R}$ et, en particulier, de la partie $\mathbb {R} ^{*}$ et de la partie $\mathbb {R}$, elle-même.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Remarque :

Ici, $\mathbb {Z} ^{2}={\Big [}\mathbb {Z} ^{2},{{\Big (}\mathbb {Z} ^{2}\bigcap [-p,p]^{2}{\Big )}}_{p\in \mathbb {N} }{\Big ]}$

Remarque et problème : $\mathbb {Q}$ n'est pas totalement ordonné, il est donc difficile d'en donner un plafonnement, même normal, mais on fera comme si tel était le cas.

Soit $a\in +\infty$ avec $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

Soit $\displaystyle {f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {N} ,\mathbb {R} )}$.

telle que $\displaystyle {{\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)\,\,{\text{existe dans}}\,\,\mathbb {R} }$.

Alors on pose : $\displaystyle {\lim _{i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow a}f(i)={\underset {i\in \mathbb {N} ,i\rightarrow +\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}f(i)}$.

Ici, $\sup(\mathbb {N} )=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

$\displaystyle {d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,{pgcd}(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}=d_{Q,{\mathcal {R}},\mathbb {Z} ^{2}}(\mathbb {Q} )}$

où $d_{Q,{\mathcal {R}},B}(A)$ est la densité quantitative, relative au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de $\mathbb {R} ^{2}$ (ou de $\mathbb {Z} ^{2}$), de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$.

Je pense que l'on peut montrer que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Q} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{\displaystyle {\frac {a}{b}}\,\,|\,\,(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2},\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{0\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {Z} ^{*})}^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\}\bigsqcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {Z} ^{2}\bigcap {[-n,n]}^{2})}}}$, si cette limite existe,

$=\cdots \,\,Je\,\,ne\,\,sais\,\,pas\,\,comment\,\,faire\,\,pour\,\,aller\,\,plus\,\,loin.$

D'après Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux, on sait que :

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {\mathbb {N} }^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Donc

$\displaystyle {\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{(-\mathbb {N} ^{*})}^{2}{\Big )}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in {(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(|a|,|b|)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}({(-\mathbb {N} )}^{2}\bigcap {[-n,-1]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2}\,\,|\,\,pgcd(a,b)=1\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} ^{2}\bigcap {[1,n]}^{2})}}}$

$\displaystyle {=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}p_{n}}$

$\displaystyle {={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$.

Fin du théorème

Partie 2

Début d’un théorème

Hypothèses, axiomes ou conjectures sur le cardinal quantitatif d'une partie dénombrable infinie de $\mathbb {R}$ :

Soit $N\in {\mathbb {N} }^{*}$.

Soit ${\cal {R}}_{N}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{N}$ dont il sera peut-être nécessaire de supposer qu'il a pour origine $O_{N}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{N}^{*}}$.

Soit $I$ un ensemble infini dénombrable, totalement ordonné.

Dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace $\mathbb {R} ^{N}$ muni du repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{N}$, d'origine $O_{N}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{N}^{*}}$, admet comme plafonnement, autour de l'origine, $\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ^{N},{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}=\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}}$, avec ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{N})$.

On pose, pour simplifier, ${card}_{Q}={card}_{Q,N}={card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$, où ${card}_{Q,{\cal {R}}_{N}}$ désigne le cardinal quantitatif relatif au repère ${\cal {R}}_{N}$.

${card}_{E}$ est le cardinal classique ou le cardinal de Cantor noté habituellement $card$, que je nomme aussi cardinal potentiel, pour le distinguer du cardinal quantitatif ${card}_{Q}$, qui mérite presque tout autant son appellation que le premier, car tous deux cherchent à étendre la notion de quantité d'éléments dans le cas des ensembles finis à n'importe quel ensemble, mais alors qu'on sait définir le 1er pour toutes les parties de $\mathbb {R} ^{N}$, on ne sait, à l'heure actuelle, définir le 2nd que sur une classe de parties bornées de $\mathbb {R} ^{N}$ ou plus précisément sur la classe des parties compactes, convexes, connexes de $\mathbb {R} ^{N}$ de classe $C^{1}$ par morceaux.

Soient $A$ et $B$ des ensembles.

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,\exists \,\,b\,\,:\,\,A\,\,\longrightarrow \,\,B$, bijection.

On pose usuellement $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {N} )$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(\mathbb {R} )={card}_{E}{\Big (}{\cal {P}}(\mathbb {N} ){\Big )}=2^{\aleph _{0}}$

On a par exemple $\aleph _{0}={card}_{E}(\mathbb {Z} )={card}_{E}(\mathbb {Q} )={card}_{E}(\mathbb {N} ^{N})$ et $\aleph _{1}={card}_{E}(]0,1[)={card}_{E}({\mathbb {R} }^{N})$

La notion de cardinal quantitatif se veut une notion qui affine celle de cardinal potentiel et qui se veut la {vraie $|$ véritable} notion de quantité d'éléments.

Dans la suite, on suppose $N=1$.

Soient $R,S\subset \mathbb {R} \colon {card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$.

Il sera peut-être nécessaire de supposer $r_{0}=s_{0}=0$.

Soit $n\in \mathbb {Z}$.

On appelle $r_{n}$ le $n$ème terme de $R$ et $s_{n}$ le $n$ème terme de $S$.

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta R)}_{n-1}=r_{n}-r_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in \mathbb {N} \,\,{\mbox{et}}\,\,{(\Delta S)}_{n-1}=s_{n}-s_{n-1}\,\,{\mbox{si}}\,\,n\in -\mathbb {N} }$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$

.

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

$\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\nearrow$ (respectivement $\searrow$)

ou que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

et $\exists n_{R}^{-},n_{S}^{-}\in -\mathbb {N} \,\,{{\Big (}{(\Delta R)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{R}^{-}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n-1}{\Big )}}_{n\leq n_{S}^{-}}\searrow$ (respectivement $\nearrow$).

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i-1}}}{2n+2}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})+\sum _{i\in -\mathbb {N} _{n}}(r_{i}-r_{i-1})}}{2n+2}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $(n+1)$ème et le $-(n+1)$ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {(r_{n+1}-r_{0})+(r_{0}-r_{-(n+1)})}{2n+2}}={\frac {r_{n+1}-r_{-(n+1)}}{2n+2}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$.

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n-1)$ème et son $-(n-1)$ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$, donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {R}$.

Début d’un théorème

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Fin du théorème

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$, $\forall n\geq n_{0}$, si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$.

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$, à partir d'un certain rang $n_{0}$, alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Si $\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}>1\,\,{\mbox{et}}\,\,\lim _{n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}>1,\,\,{\mbox{comme}}\,\,\forall n\in \mathbb {Z} ^{*}\,\,{(\Delta \mathbb {Z} )}_{n}=1}$

alors $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )$

En particulier si $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }{(\Delta R)}_{n+1}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow -\infty }{(\Delta R)}_{n-1}=+\infty }$,

et $\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>1=a_{\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(\mathbb {Z} )\,\,{\mbox{et}}\,\,a_{R}=+\infty }$,

Remarque : La notion de limite usuelle est insuffisante, car on peut avoir

$\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}=+\infty =\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{S,n}=a_{S}}$ et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(S)$.

Que pensez, par exemple, du cas où $\displaystyle {\exists a\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b\in \mathbb {R} _{+},\,\,\exists c\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,R=a\mathbb {Z} ^{\bullet 2}+b\mathbb {Z} +c}$ ?

A t-on bien $\exists a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\exists b_{0}\in \mathbb {R} \,\,\colon \,\,{card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$ ?

Réponse : Non, car $\displaystyle {\forall a_{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,\forall b_{0}\in \mathbb {R} ,\,\,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0}\,\,\colon \,\,a_{R,n}>a_{0}=a_{a_{0}\mathbb {Z} +b_{0},n}}$

et ${card}_{Q}(R)<{card}_{Q}(a_{0}\mathbb {Z} +b_{0})$.

Plus, généralement $\displaystyle {\forall n,m\in \mathbb {N} ^{*}\,\,\colon \,\,n>m,\,\,a_{n},b_{m}\neq 0,\,\,{card}_{Q}{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}a_{i}\mathbb {Z} ^{\bullet i}{\Big )}<{card}_{Q}{\Big (}\sum _{j\in \mathbb {N} _{m}}b_{j}\mathbb {Z} ^{\bullet j}{\Big )}}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$, qu'initialement :

Si $\displaystyle {\exists m,M\in \mathbb {R} ,\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,m\leq r_{i+1}-r_{i}\leq M}$

alors $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{m\mathbb {Z} ,n}=m\leq a_{R,n}\leq M=a_{M\mathbb {Z} ,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{card}_{Q}(m\mathbb {Z} )\geq {card}_{Q}(R)\geq {card}_{Q}(M\mathbb {Z} )}$

Avec les mêmes hypothèses sur $R$, qu'initialement, et en le supposant de plus à variations périodiques, de période $m\in \mathbb {N} ^{*}$

alors ${card}_{Q}(R)={card}_{Q}(a_{R,m-1}\mathbb {Z} )$

Début d’un théorème

Remarque :

$T=R\bigsqcup S$, avec $R$ à variations décroissantes, $S$ à variations croissantes et $\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,r_{i}<s_{i}$

$\not \Longrightarrow$

$T=\{t_{i}\in \mathbb {R} |i\in \mathbb {Z} \,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {Z} ,\,\,t_{i+1}>t_{i}\}$

Soient $R,S\subset \mathbb {R} _{+}\,\,:\,\,{card}_{E}(R)={card}_{E}(S)=\aleph _{0}$ telles que :

$\displaystyle {R=\{r_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}\,\,{\mbox{et}}\,\,S=\{s_{i}\in \mathbb {R} _{+}|i\in \mathbb {N} \}}$

et $\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,r_{i+1}>r_{i}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall i\in \mathbb {N} ,\,\,s_{i+1}>s_{i}$

Fin du théorème

Soit $n\in \mathbb {N}$

On appelle $r_{n}$ le $n$ème terme de $R$ et $s_{n}$ le $n$ème terme de $S$.

On pose $\displaystyle {{(\Delta R)}_{n+1}=r_{n+1}-r_{n}}$

et $\displaystyle {{(\Delta S)}_{n+1}=s_{n+1}-s_{n}}$

Ce sont les pas ou les variations entre 2 points consécutifs de $R$ et $S$.

On suppose de plus que $\displaystyle {\exists n_{R}^{+},n_{S}^{+}\in \mathbb {N} \colon {{\Big (}{(\Delta R)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{R}^{+}},\,\,{{\Big (}{(\Delta S)}_{n+1}{\Big )}}_{n\geq n_{S}^{+}}\nearrow }$ (respectivement $\searrow$)

On définit $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}{(\Delta R)}_{i+1}}}{n+1}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}}(r_{i+1}-r_{i})}}{n+1}}}$

C'est la moyenne des pas de $R$ compris entre le $0$ème et le $(n+1)$ème terme.

Remarque : Par télescopage des sommes qui composent ce terme, on a :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}={\frac {r_{n+1}-r_{0}}{n+1}}}$

On remarque que cette quantité ne dépend que des 2 derniers termes et du nombre de points de $R$ compris entre ces 2 termes inclus.

On pose $\displaystyle {a_{R}=\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow +\infty }a_{R,n}}$ si cette limite existe dans ${\overline {\mathbb {R} _{+}}}$.

C'est la limite de la moyenne des pas de $R$ compris entre son $0$ème et son $(n+1)$ème terme, quand $n\rightarrow +\infty$, donc c'est la moyenne de tous les pas de $R$ sur $\mathbb {Z} _{+}$.

Début d’un théorème

Conjecture :

$\displaystyle {\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\,\forall n\geq n_{0},\,\,a_{R,n}<a_{S,n}\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

Fin du théorème

Cela signifie qu'à partir d'un certain rang $n_{0}$, $\forall n\geq n_{0}$, si la moyenne des pas de $R$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, est strictement inférieure à la moyenne des pas de $S$ compris entre son $(n+1)$ème et son $-(n+1)$ème terme, alors le cardinal quantitatif de l'ensemble $R$ est strictement plus grand que celui de l'ensemble $S$.

Cela signifie que si $R$ est strictement plus dense quantitativement que $S$, à partir d'un certain rang $n_{0}$, alors ${card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)$

Début d’un théorème

Conjecture :

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} ,\,\,a_{R,n}=a_{S,n}\,\,{\mbox{et}}\,\,\min R<\min S\Longrightarrow {card}_{Q}(R)>{card}_{Q}(S)}$

en particulier (sous réserve) : $\forall a\in \mathbb {N} ^{*},\,\,\forall b_{1},b_{2}\in \mathbb {N} \,\,\colon \,\,b_{1}<b_{2},\,\,{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{1})>{card}_{Q}(a\mathbb {N} +b_{2})$

et $\displaystyle {\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}(m\mathbb {N} +i)=\mathbb {N} }$,

et $\displaystyle {\sum _{i\in \mathbb {N} _{m-1}}{card}_{Q}(m\mathbb {N} +i)={card}_{Q}(\mathbb {N} )}$.

Fin du théorème

Fin du théorème

Remarque : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe ($C^{0}$) et ($C^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Idée pour généraliser la notion de cardinal quantitatif aux parties non convexes de $\mathbb {R} ^{n}$, donc aux parties quelconques de $\mathbb {R} ^{n}$

Conjecture

Début d’un théorème

Toute partie non convexe, connexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie non convexe, de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$,

donc toute partie de $\mathbb {R} ^{n}$ est (une) réunion disjointe de parties convexes, (connexes), de $\mathbb {R} ^{n}$.

Fin du théorème

Cardinal quantitatif défini sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ [NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]

Préliminaires

Définitions de $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$

Motivation : Cela permettra entre autre de définir l'ensemble ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Remarque importante préliminaire :

Je vais essayer de prolonger $\mathbb {R} _{+}$ par une « infinité continue de nombres infinis positifs ».

(On pourrait construire, de même, le prolongement de $\mathbb {R} _{-}$ et donc aussi de $\mathbb {R}$).

Ce prolongement me servira d'ensemble de valeurs pour une extension de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff.

On pourra alors mesurer et distinguer les longueurs de deux courbes infinies, les aires de deux surfaces infinies, etc.

Définitions :

(voir Série de remarques 7.2 dans la page de discussion)

A)

Début d’un théorème

Soient $a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\},\,\,a<b$

où on considère, de manière non classique, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$

et $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On note :

"$R_{a,b}=(a,b[$"

mais si on veut utiliser une notation qui se passe de la notation "$+\infty _{classique}$" où $+\infty _{classique}$ est vu comme un point, on ne peut pas toujours le noter comme ça.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\mathbb {R}$.

Si $a=-\sup(\mathbb {R} ),\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x<b\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b=\sup(\mathbb {R} )$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x\geq a\}$

ou

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} \,\,|x>a\}$

Si $a\in \mathbb {R} ,\,\,b\in \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=(a,b[$

• ${\mathcal {F}}(R_{a,b})={\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,{\underset {?}{\text{ou}}}\,\,{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})\,\,{\underset {?}{\text{ou}}}\,\,{\mathcal {F}}_{4}(R_{a,b})$,

où $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})=\{f\,\,|\,\,f\,\,:\,\,R_{a,b}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue}}\}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{0}(R_{a,b})\,\,|\,\,f\,\,{\mbox{continue, strictement croissante telle que}}\,\,\lim _{b^{-}}f=+{\infty }_{classique}\}}$,

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})=\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,|\,\,\not \exists g\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b}),\,\,\not \exists h\in {\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b}),\,\,{\mbox{oscillante}},\,\,f=g+h\}}$

[« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini)],

$\displaystyle {{\mathcal {F}}_{4}(R_{a,b})={\bigg \{}{\begin{matrix}{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})&{\text{si}}\,\,a\in \mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} )\},b\in \mathbb {R} ,a<b\\\{f\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})\,\,|\,\,f{\underset {b^{-}}{\sim }}g,\,\,g\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b}),\,\,g\,\,:\,\,R_{a,b}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R} \,\,:\,\,x\,\,\mapsto a_{g}x+b_{g},\,\,a_{g}\in \mathbb {R} _{+}^{*},\,\,b_{g}\in \mathbb {R} \}&{\text{si}}\,\,a\in \mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} )\},b=\sup(\mathbb {R} )\end{matrix}}}$

(Je sais, il y a un hic concernant l'existence, hors l'ensemble $\emptyset$, de l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{3}(R_{a,b})}$, mais peut-être faut-il, juste, ne pas le prendre en compte, et, plutôt, prendre en compte l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})}$. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?)

"(Mais prendre l'ensemble $\displaystyle {{\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})}$ est insuffisant, car si on prend 2 fonctions $\displaystyle {f,g\in {\mathcal {F}}_{2}(R_{a,b})}$, on peut avoir $f-g\in {\mathcal {F}}_{1}(R_{a,b}),\,\,{\mbox{oscillante}}$.)" (rajout du 12-07-2023);

• $+\infty _{\lim ,f,b^{-}}$ ou bien $+\infty _{f}$, s'il n' y a aucune confusion possible :

$\forall f\in {\mathcal {F}}(R_{a,b}),\,\,+\infty _{f}=+\infty _{\lim ,f,b^{-}}\equiv {cl}_{\underset {b^{-}}{\sim }}(f)=\{g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})\,\,|\,\,g\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}\,\,f\}$, où ${\underset {b^{-}}{\sim }}$ est la relation d'équivalence définie en B);

• $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}=\{+\infty _{f}\,\,|\,\,f\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})\}$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

[Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais : Si l'énoncé de cet exercice est vrai, quel que soit le sens à préciser du terme "oscillante", alors un pan entier de mes travaux va tomber à l'eau, mais pas le pan le plus fondamental : Si je dois supprimer une partie de mes travaux, il faut qu'il y ait de très bonnes raisons valables de le faire et que cette partie des travaux soit vraiment irrécupérable et que j'en sois absolument convaincu)]

1. Soit $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe $g,h:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ telles que :

   $f=g+h,\quad g$ est strictement croissante, et $h$ est nulle en $a$ et $b$ et strictement positive ailleurs.

2. Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
3. Si de plus $f$ est continue, montrer que $g$ et $h$ peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples $(g,h)$.
4. Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe $g,h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ telles que :

   $f=g+h,\quad g$ est strictement croissante, et $h$ est « oscillante au voisinage de $+\infty$ » (en un sens que vous devrez préciser),

   et que si de plus $f$ est continue, $g$ et $h$ peuvent être choisies de plus continues.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Remarque sur le comportement d'Anne Bauval : Si, elle compte m'avertir de quelque chose et que je modifie en conséquence mes travaux et que je supprime des passages voire des pans entiers : A quoi sert-il, en représailles de mon inaction du moment, de supprimer ou de rendre moins visible l'Ex 3-3 ? Car, si jusqu'ici, dans le cas présent, je n'ai pas suivi les quelques conseils qu'elle m'a données, par prudence et septicisme, et aussi car ce qu'elle me demande n'est pas un choix qui se fait à la légère et que, peut-être, même si ce qu'elle dit est vrai, les pans des travaux concernés sont peut-être récupérables, il se peut que je sois amené, un jour, à le faire ou que j'éprouve, un jour, le besoin de le faire, en ayant besoin de me référer à son Ex 3-3.

Fin du théorème

B)

Début d’un théorème

Définition des relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" sur ${\mathcal {F}}(R_{a,b})$ et des relations d'égalité "$=$" et d'ordre $\leq$ sur $+\infty _{{\mathcal {F}}(R_{a,b})}$ :

Soient $f,g\in {\mathcal {F}}(R_{a,b})$.

Mes relations d'équivalence "${\underset {b^{-}}{\sim }}$" et d'égalité "$=$" sont définies par :

$\displaystyle {+\infty _{f}=+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{\sim }}g\Longleftrightarrow {\underset {b^{-}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)=0}$

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{\sim }}={\underset {+\infty _{classique}}{\sim }}$ et ${\underset {b^{-}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)={\underset {+\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)$

Mes relations d'ordre "${\underset {b^{-}}{\leq }}$" et "$\leq$" sont celles dont les ordres stricts sont définis par :

$\displaystyle {+\infty _{f}<+\infty _{g}\Longleftrightarrow f{\underset {b^{-}}{<}}g\Longleftrightarrow {\underset {b^{-}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)<0}$,

et si $b=\sup(\mathbb {R} ),\,\,{\underset {b^{-}}{<}}={\underset {+\infty _{classique}}{<}}$ et ${\underset {b^{-}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)={\underset {+\infty _{classique}}{{\text{lim}}_{classique}}}(f-g)$,

et la seconde relation d'ordre est totale.

Fin du théorème

C)

Début d’un théorème

Si $f$ a une expression « élémentaire [synthétique] » (en un sens que je n'ai pas défini) au voisinage de $+\infty$, je la prolongerai en une application (encore notée $f$) définie sur $R_{a,b}\cup \{+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\}$ en posant :

$f\left(+\infty _{id_{\mathbb {R} }}\right)=+\infty _{f}$,

où $id_{\mathbb {R} }$ est l'application identité de $\mathbb {R}$.

Remarque : Par exemple si $f\,\,:\,\,\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\,\,x\,\,\mapsto \,\,{\Bigg \{}{\begin{matrix}3x+5&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{-}\\\displaystyle {\frac {e^{-x}}{6x+2}}&{\text{si}}\,\,x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{matrix}}$, $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{-}$, et $f$ a une expression élémentaire sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.

Mais le problème est que $\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,f(x)=(3x+5)\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{-}}(x)+{\frac {e^{-x}}{6x+2}}\,\,\mathbb {I} _{\mathbb {R} _{+}^{*}}(x)}$, qui peut, aussi, d'une certaine façon être considérée comme une expression élémentaire, plus synthétique.

Par ailleurs, il existe des fonctions $g\,\,:\,\,\mathbb {R} \,\,\to \,\,\mathbb {R}$, qui, à part, l'expression que l'on note $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,g(x)$, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut pas les exprimer avec les fonctions usuelles.

Je pense qu'il faudrait de manière générale plutôt que de parler de fonctions ayant une expression élémentaire sur leur domaine de définition ou sur une partie de celui-ci, parler de fonctions $f$ dont l'expression analytique en fonction de $x$ est "identique", pour tout point $x$ de leur domaine de définition $D_{f}$ ou par exemple en chaque point $x$ de chacune de sous-parties disjointes $A,B$ de ce dernier.

Par exemple :

Soient $\displaystyle {A,B\in {\mathcal {P}}(D_{f}),\,\,A\bigcap B=\emptyset }$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=2x[=expression(f,x)]$ et $\forall x\in B,\,\,f(x)=-3x+1[=expression(f,x)]$,

ou

Soit $\displaystyle {A\in {\mathcal {P}}(D_{f})}$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=x^{2}+1\,\,[=expression(f,x)]$

ou

Soit $\displaystyle {A\in {\mathcal {P}}(D_{f})}$.

$\forall x\in A,\,\,f(x)=e^{x}\,\,[=expression(f,x)]$.

(De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions $f\,\,:\,\,D_{f}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {R}$, le fait que "$f$ a une expression élémentaire sur $A\in {\mathcal {P}}(D_{f})$" ou plutôt que "$f$ a une expression analytique en fonction de $x$ "identique", en chaque point $x$ de $A\in {\mathcal {P}}(D_{f})$", où $D_{f}\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$, je supprimerai la condition qui lui est relative.)

Fin du théorème

D) Partie 1)

Début d’un théorème

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

L'ensemble $\mathbb {R}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : $\mathbb {R} =]-\infty _{classique},+\infty _{classique}[$, où "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\mathbb {R}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

L'ensemble ${\overline {\mathbb {R} }}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty _{classique},+\infty _{classique}]$, où "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

On considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

On a(axiome)(sous réserve):

$\forall (a,b)\in \{-\sup(\mathbb {R} )\}\times \mathbb {R}$,

$R_{a,b}=\{x\in \mathbb {R} ,\,\,x<b\}$,

$\displaystyle {\forall f_{0}\in {\cal {F}}(R_{a,b}),\,\,+\infty _{f_{0}}=\sup _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\sup(+\infty '')=\sup(+\infty )}$

Remarque :

On a $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigsqcup \{\inf(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}=\mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$

où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

Dans ma nouvelle théorie à construire (Mais il faudra aussi prendre en compte de la nature et le choix du plafonnement de $\mathbb {R}$ autour de l'origine $O(0)$ du repère orthonormé ${\cal {R}}$ de $\mathbb {R}$) :

On pose : $\displaystyle {\mathbb {R} ={\Big [}\mathbb {R} ,{(]-r,r[)}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$.

Fin du théorème

D) Partie 2)

Début d’un théorème

Définitions :

Cf. aussi : Série de remarques 3 de la Discussion associée.

$\mathbb {R} '=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\mathbb {R} '}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[\setminus \{0\}$

${\overline {\mathbb {R} '}}=_{d{\acute {e}}f}[-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]$

${\mathbb {R} '}_{+}=_{d{\acute {e}}f}[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\mathbb {R} '}_{+}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[$

${\overline {{\mathbb {R} '}_{+}}}=_{d{\acute {e}}f}[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}]$

${\mathbb {R} '}_{-}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0]$

${\mathbb {R} '}_{-}^{*}=_{d{\acute {e}}f}]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0[$

${\overline {{\mathbb {R} '}_{-}}}=_{d{\acute {e}}f}[-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0]$

$\mathbb {R} ''=_{d{\acute {e}}f}-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$, réunion disjointe,

$\mathbb {R} ''=_{prop}-\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}\bigcup \mathbb {R} '\bigcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$, réunion non disjointe,

$\displaystyle {\forall f,g\in {\cal {F}}(\mathbb {R} ),\,\,\forall a,b\in \mathbb {R} ,\,\,a\leq b,\,\,\forall a'',b''\in {\mathbb {R} ''}\setminus {\overline {\mathbb {R} }},\,\,a''<0<b'',}$

$\displaystyle {{\Big (}-\sup(\mathbb {R} '')<a''<-\sup(\mathbb {R} )<a\leq b<\sup(\mathbb {R} )<b''<\sup(\mathbb {R} ''){\Big )}}$

et $\displaystyle {]a,b[\subsetneq \mathbb {R} \subsetneq {\overline {\mathbb {R} }}\subsetneq ]a'',b''[\subsetneq \mathbb {R} ''\subsetneq {\overline {\mathbb {R} ''}},}$

$\displaystyle {{\Big (}-\sup(\mathbb {R} '')=-\sup(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})<-\infty _{f}<a\leq b<+\infty _{g}<\sup(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})=\sup(\mathbb {R} ''){\Big )}}$

et $\displaystyle {]a,b[\subsetneq \mathbb {R} \subsetneq ]-\infty _{f},+\infty _{g}[\subsetneq \mathbb {R} ''\subsetneq {\overline {\mathbb {R} ''}}}$.

Dans cette conception :

L'ensemble $\mathbb {R}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : $\mathbb {R} =]-\infty _{classique},+\infty _{classique}[$, où "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\mathbb {R}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

L'ensemble ${\overline {\mathbb {R} }}$ n'est pas considéré, ici, dans sa version classique : ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty _{classique},+\infty _{classique}]$, où "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$" sont considérés comme des points,

mais dans sa version non classique : $\displaystyle {{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \bigsqcup \{-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )\}}$, où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où "$+\infty$" est considéré comme un ensemble.

On considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

où $\displaystyle {{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )=\sup(\mathbb {N} )={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})\in +\infty \,\,{\text{et}}\,\,\not \in \mathbb {R} _{+}\bigsqcup +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}}$

et par analogie $\displaystyle {{vol}^{1}({\mathbb {R} ''}_{+})=\sup(\mathbb {R} '')=\sup(\mathbb {N} '')={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} ''}^{*})\in +\infty ''\subsetneq +\infty }$.

où, ici,

$\mathbb {N} ^{*}$ est le plafonnement de $\mathbb {N} ^{*}$, normal,

${\mathbb {N} ''}^{*}$ est le plafonnement de ${\mathbb {N} ''}^{*}$, normal.

Fin du théorème

D) Partie 3) Remarque importante :

Début d’un théorème

J'aurais pu considérer à défaut de considérer que "$\mathbb {R} =]-\infty _{classique},+\infty _{classique}[$" où $+\infty _{classique},+\infty _{classique}$ sont considérés comme des points,

considérer que "$\mathbb {R} =]-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )[$" où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et où $+\infty$ est considéré comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Mais cette notation est problématique,

car ${vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$

et $\exists A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ telle que ${vol}^{1}(A)\in +\infty$ et ${vol}^{1}(A)<{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=\sup(\mathbb {R} )$.

D'où la notation simple ${\Big (}$sans "$-\infty _{classique},+\infty _{classique}$", ni "$-\sup(\mathbb {R} ),\sup(\mathbb {R} )$", ni "$-\sup(A),\sup(A)$" où $\sup(A)\in +\infty$${\Big )}$ : "$\mathbb {R}$" ("$\mathbb {R} _{+}$", "$\mathbb {R} _{-}$", "$\mathbb {R} ^{*}$", etc $\cdots$), pour désigner $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R} _{+}$, $\mathbb {R} _{-}$, $\mathbb {R} ^{*}$, etc $\cdots$).

Fin du théorème

D) Partie 4)

Début d’un théorème

Remarque :

Le fait que : $2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})>\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})$ semble poser problème :

En effet, il semble que : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {R} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )})}$.

Peut-être qu'il faut plutôt définir et considérer l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {N} )$ qui est l'ensemble ${\cal {F}}(\mathbb {R} )$, en remplaçant $\mathbb {R}$, par $\mathbb {N}$, et en abandonnant la condition de continuité des éléments de ce 1er ensemble.

En effet, dans ce cas, on a : $\displaystyle {2\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})=2\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}2(+\infty _{f})=\inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{2f}=\inf _{f\in 2{\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}\neq \inf _{f\in {\cal {F}}(\mathbb {N} )}+\infty _{f}=\inf(+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {N} )})}$

Remarque :

$\displaystyle {\exists a,c\in -\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,\exists b,d\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )},\,\,a\neq c,\,\,b\neq d,\,\,a<b,\,\,c<d,\,\,]a,b[\subsetneq \mathbb {R} '\subsetneq ]c,d[}$

Fin du théorème

Remarques sur $+\infty$, $+\infty ''$, $+\infty _{f}$, $+\infty _{\cal {F(\mathbb {R} )}}$, $\mathbb {R} '$, $\mathbb {R} ''$

Début d’un théorème

Remarque :

Dans le cas borné, à l'aide des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, qui mesurent chacune des volumes de dimension $i(0\leq i\leq n)$, on peut construire et comparer les cardinaux quantitatifs d'ensembles appartenant à une classe d'ensembles bornés de $\mathbb {R} ^{n}$ et appartenant à des chaînes distinctes d'ensembles, pour l'inclusion.

Cf. La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

Moyennant une redéfinition de l'ensemble de départ et/ou de l'ensemble d'arrivée des mesures de Lebesgue, en remplaçant le point usuel $+\infty _{classique}$ par un ensemble infini de nombres infinis positifs $+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

(ici, je pense [vraisemblablement dans le cas où $n=1$]

Remarque :

Chaque élément d'un ensemble est un indivisible :

Un ensemble fini ne peut contenir par exemple $1,5$ éléments, mais un nombre fini entier d'éléments, de même un ensemble infini d'éléments ne peut contenir qu'un nombre infini "entier" d'éléments, même si cet ensemble n'est pas dénombrable :

Le cardinal quantitatif d'un ensemble est un nombre fini ou infini "entier", contrairement, par exemple à toutes les mesures généralisées de cet ensemble, qui elles sont des nombres finis ou infinis "réels".)]

(Je ne suis pas totalement sûr de moi sur les 2 dernières phrases avant celle-ci : Car on peut transformer une partie infinie bornée par une homothétie de rapport réel, les cardinaux quantitatifs de la partie de départ et de la partie d'arrivée sont-ils pour autant des nombres infinis "entiers" ?)

Enfin, on pourra construire et étendre, le cardinal quantitatif et sa formule, dans le cas de certaines parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$ et qui fait appel aux mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0\leq i\leq n)$, au cas de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, en tenant compte du "plafonnement sphérique".

Fin du théorème

Définition de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,compacte,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Fin du théorème

Construction et définition

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (hypothèses de définition générales dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$ + hypothèses de définition dans le cas des parties de ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et en particulier dans le cas des parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$), pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, d'origine $O$.

Soit ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}\}$.

L'application cardinal quantitatif relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

la restriction à l'ensemble ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})$ de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

et la restriction à l'ensemble ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$ de l'application ${card}_{Q,{\cal {R}}}$

sont les applications :

${card}_{Q,{\cal {R}}}:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F'',+,\times ,\leq )$,

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F',+,\times ,\leq )$

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,(F,+,\times ,\leq )$

où $(F'',+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où $(F',+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,

où $(F,+,\times ,\leq )$ est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné, avec $F=\mathbb {R} _{n}[{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(I)]$, où $I$ est un intervalle borné de $\mathbb {R}$, par exemple $I=[0;1[$,

et où $F\subset F'\subset F''$, avec $F'=?,\,\,F''=?$,

[On peut cependant dire au moins à ce stade que :

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

${{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty$

et $\displaystyle {{{card}_{Q,{\cal {R}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.],

qui doivent, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le cardinal quantitatif) :

0) $\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|PV({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{|{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1)

[a) $\forall A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$, $card_{Q,{\cal {R}}}(A)\geq 0$]

b) $card_{Q,{\cal {R}}}(\emptyset )=0$

c) $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$

2) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcup B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\bigcap B)}$

3) $\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset {\mathbb {R''} },\,\,convergente\,\,dans\,\,\mathbb {R} '',\,\,\lim _{m\rightarrow +\infty }{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,\lim _{m\rightarrow +\infty }x_{m}])}$

4) Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall A\in \in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n-k})}$, $\displaystyle {\forall B\in {\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{k})}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(A\times B)={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}(A)\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}(B)}$

@Attention, concernant les parties non bornées, les formules ci-dessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si on suppose qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$.@

5)

A)

a) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$, pour toutes les isométries de $\mathbb {R} ''^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}t_{x}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,t_{x}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,A+x$, est la translation de vecteur $x$, dans l'espace ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

a2) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$, $I\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $I\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,I\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où

$\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(M,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(M,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Si les ou hypothèses de définition données dans 3) A), ne suffisent pas, on considérera les hypothèses de définition données dans 3) B).

B)

a) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{is}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$, pour toutes les isométries de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, $is$

En particulier :

a1) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\displaystyle {\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}t_{x}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)}$

où $\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,t_{x}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,A+x$, est la translation de vecteur $x$, dans l'espace ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

a2) $\forall A\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,born{\acute {e}}e$,

$\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(M,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

où

$\forall M\in {\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(M,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(M,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $M$ et d'"angle" $\theta _{n}$, dans l'espace ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Fin du théorème

Remarques sur la définition

Remarque :

${card}_{Q,{\cal {R}}}$ est définie et donnée sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, par une formule exprimant ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ en fonction de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$ (ou de ${({vol}^{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$, si on considère ${vol}^{0}$, comme la mesure de comptage définie sur la tribu des parties au plus dénombrables de $\mathbb {R} ^{n}$) et qui est une formule dérivée de celle donnée par Michel Coste,

dans La saga du "cardinal" version 4 (voir supra)

ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de GF (Guillaume FOUCART), dans les PDF de Michel COSTE (voir infra) et Proposition (voir infra)

Le problème de cette définition est que l'ensemble d'arrivée dépend de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$.

Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné $(F,+,\times ,\leq )$, c'est faute de mieux pouvoir définir l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$, mais j'aurais pu l'appeler ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, et il doit, normalement, pouvoir être construit et défini, à partir des hypothèses de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ et de ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$. Mais, à défaut, on peut considérer, dans un premier temps, que l'ensemble d'arrivée de l'application ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$ est l'ensemble $\displaystyle {\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$, où $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant de "ma théorie" :

Dans le cas des parties de ${PV}(\mathbb {R} ^{n})$, Michel Coste a dit qu'on ne pouvait pas aller plus loin, avec la théorie du cardinal quantitatif, mais moi je crois qu'on peut construire ${card}_{Q,{\cal {R}}}$, même si ce ne sera pas forcément une mesure au sens usuel, sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, mais que ce le sera, d'une certaine façon, en introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement" $''[A,{(A_{i})}_{i\in I}]''$ où $A\in {PV2}(\mathbb {R} ^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}(\mathbb {R} ^{n})$, ou où $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Remarque importante : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de $\mathbb {R} ^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Propriétés immédiates découlant des hypothèses de définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$, ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de définition du cardinal quantitatif, en particulier que :

$\forall I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,{card}_{E}(I)\leq \aleph _{0},\,\,\forall (A_{i})_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$

La $\sigma$-additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large que ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, avec la définition classique de limite d'une suite de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ tendant vers une partie de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, néanmoins, elle l'est avec la définition non classique de limite d'une suite de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ tendant vers un plafonnement d'une partie de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, excluant l'utilisation de la définition classique. La notion de cardinal quantitatif, dans le cas des parties non bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est fixé.

(Cf. définition de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, plus loin dans la suite.)

En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :

a) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,B\in {\mathcal {P}}(A)$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A\setminus B)={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

b) $\forall A,B\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\in {\mathcal {P}}(B),\,\,A\neq B$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\cal {R}}}(B)}$

Il découle, en particulier, de 4), que :

Si $I,{(I_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ sont des parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$ (résultats généralisables aux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, moyennant un prolongement du domaine de définition de ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}$), alors :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I_{i})=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I_{i})}$

et donc en particulier

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(I^{n})={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}(\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}I)=\prod _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I)={{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}(I){\Big )}}^{n}={card}_{Q,{\cal {R}}_{1}}^{n}(I)}$

Le cardinal quantitatif est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens usuel au delà de la classe de parties ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, qui ne néglige aucun point de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et qui est uniforme ($\forall x\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x\})=1$).

Proposition :

Soit ${\widetilde {E}}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Si $\forall x\in {\widetilde {E}},\,\,A_{x}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $\forall x,y\in {\widetilde {E}},\,\,x\neq y,\,\,A_{x}\bigcap A_{y}=\emptyset$ et $A=\bigsqcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}$

alors ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{x\in {\widetilde {E}}}A_{x}{\Big )}=\int _{\widetilde {E}}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{x})\,\,d\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(x)$

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et les "plafonnements", mais sans nécessairement considérer ${\widetilde {E}}\in {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ou ${\widetilde {E}}\in \{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\}$)

Fin du théorème

Existence et résultats sur les intervalles $I$, bornés, de $\mathbb {R} ''$, et, en particulier, sur les parties de ${PV}(\mathbb {R} '')$

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$, d'origine $O$.

Notations

Début d’un théorème

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $A\in {\cal {P}}(E)$.

${\stackrel {\circ }{A}}^{E}$ est l'intérieur de $A$ dans $|$ par rapport à $E$ (on note aussi ${\stackrel {\circ }{A}}$).

${\overline {A}}^{E}$ est l'adhérence de $A$ dans $|$ par rapport à $E$ (on note aussi ${\overline {A}}$).

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{vol}^{i,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, pour la distance euclidienne, dans ${\mathbb {R} ''}^{n}$, de tribu de départ ${\cal {A}}_{i,n}=\{A_{i,n}\in {\cal {B}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{i,n})=i\}$.

On note aussi parfois ${vol}^{i,n}$ : ${vol}^{i}$, et la suite le justifiera.

$\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,{vol}^{0,n}}$ désigne la mesure de Lebesgue ou de Hausdorff, de dimension $0$, pour la distance euclidienne, sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$, c'est-à-dire la mesure de comptage sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , de tribu de départ ${\cal {A}}_{0,n}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{dim}(A_{0,n})=0\}=\{A_{0,n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{card}_{E}(A_{0,n})\leq \aleph _{0}\}$.

On note aussi parfois ${vol}^{0,n}$ : ${vol}^{0}$, et la suite le justifiera.

Soit $i\in \mathbb {N} _{N}$.

Soit $n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i$.

${\widetilde {{vol}^{i}}}$, notée, encore, ${vol}^{i}$, désigne le prolongement de la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $i$, pour la distance euclidienne, sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$, ${vol}^{i,n}$, sur $\displaystyle {\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\mathbb {R} ''}^{n}}$, de tribu de départ $\displaystyle {{\cal {A}}_{i}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\cal {A}}_{i,n}}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}_{|{\cal {A}}_{i,n}}={vol}^{i,n}$

et telle que $\displaystyle {\forall n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i,\,\,\exists A_{i,n}\in {\cal {A}}_{i,n},\,\,A_{i}=\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},n\geq i}A_{i,n},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i})={\widetilde {{vol}^{i}}}(\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}A_{i,n})=\sum _{n\in \mathbb {N} _{N}^{*},\,\,n\geq i}{\widetilde {{vol}^{i}}}(A_{i,n})}$.

Fin du théorème

Remarque

Début d’un théorème

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, non vides et non réduits à un singleton pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors on remarque que :

1)

$\displaystyle {\forall x_{0}\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{x_{0}\})={vol}^{0}(\{x_{0}\})=1}$

$\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J)\Longleftrightarrow {card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})\,\,et\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})}$

En effet $\displaystyle {\forall I,J\,\,intervalle\,\,born{\acute {e}}\,\,de\,\,{\mathbb {R} ''}\,\,:\,\,{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(J),\,\,\exists a_{I,J}\in \mathbb {R} ,\,\,{\overline {J}}={\overline {I}}+a_{I,J}\,\,et\,\,{\stackrel {\circ }{J}}={\stackrel {\circ }{I}}+a_{I,J}}$

2)

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}({\stackrel {\circ }{I}}\bigsqcup \partial I)\setminus \{i_{0}\}{\Big )}}{{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}({\stackrel {\circ }{J}}\bigsqcup \partial J)\setminus \{j_{0}\}{\Big )}}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}}\bigsqcup \partial I)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}}\bigsqcup \partial J)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\partial I)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\partial J)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{i\in I}i,\sup _{i\in I}i}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{\displaystyle {\inf _{j\in J}j,\sup _{j\in J}j}\})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{j_{0}\})}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+2-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+2-1}}}$

c'est-à-dire

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

Fin du théorème

Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE [version du 11 novembre 2007])

Début d’un théorème

Soient $I$ et $J$, deux intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$, non vides et non réduits à un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de ${\overline {I}}$ et ${\overline {J}}$ ou de ${\stackrel {\circ }{I}}$ et ${\stackrel {\circ }{J}}$ existent et sont notés $i_{0}$ et $j_{0}$, alors a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}}\setminus \{i_{0}\})}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}}\setminus \{j_{0}\})}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}={\frac {vol^{1}(I)}{vol^{1}(J)}}$

Fin du théorème

Démonstration :

Si on suppose que $I$ et $J$ sont bornés dans $\mathbb {R} ''$, sans s'assimiler à des "demi-droites" de $\mathbb {R} ''$, alors :

On pose :

$\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{I}})[}$, $\displaystyle {K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}=]0,{vol}^{1}({\stackrel {\circ }{J}})[}$

$\displaystyle {K_{0,{\overline {I}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {I}})]}$, $\displaystyle {K_{0,{\overline {J}}}=[0,{vol}^{1}({\overline {J}})]}$

On a :

$\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

En effet,on a (proposition):

Si $s=k\in \mathbb {N}$ :

2 voies possibles :

•(1)

$\displaystyle {[0,kp[=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}[(i-1)p,ip[}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$

or $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)}$

car $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{vol}^{1}(](i-1)p,ip[)={vol}^{1}(]0,p[)}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+1={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(](i-1)p,ip[\bigsqcup \{(i-1)p\})={card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigsqcup \{0\})}$

donc $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc comme $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([(i-1)p,ip[)}$,

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$,

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)=k\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[\setminus \{0\})={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,kp[)-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})=k\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,p[)-1}$

$\displaystyle {=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[\bigsqcup \{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}-1=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1}$

•(2)

$\displaystyle {]0,kp[=(\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}](i-1)p,ip[)\bigsqcup (\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}\{ip\})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(](i-1)p,ip[)+\sum _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{ip\})}$

or $\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(](i-1)p,ip[)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)$

car $\forall i\in \mathbb {N} _{k}^{*},\,\,vol^{1}(](i-1)p,ip[)=vol^{1}(]0,p[)$

or $\forall i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{ip\})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=\sum _{i\in \mathbb {N} _{k}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+\sum _{i\in \mathbb {N} _{k-1}^{*}}{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})}$

donc ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,kp[)=k\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+(k-1)\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{p\})=k\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(]0,p[)+(k-1)=k\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1{\Big )}-1$

•[Point où se rejoignent (1) et (2)]

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}=k}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,kp[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,p[)+1}}={\frac {{vol}^{1}(]0,kp[)}{{vol}^{1}(]0,p[)}}}$

Remarque : On montre facilement le résultat pour $s\in \mathbb {Q}$ et $s\in \mathbb {R}$

or $\displaystyle {{vol}^{1}(I)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{vol}(J)={vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}})}$

or ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}}$, ${\stackrel {\circ }{K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}}}=K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}}$

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}$, $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})={card}_{Q,{\cal {R}}}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})+1}{{card}_{Q}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{I}}})}{{vol}^{1}(K_{0,{\stackrel {\circ }{J}}})}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {I}})-1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\overline {J}})-1}}={\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{I}})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}({\stackrel {\circ }{J}})+1}}={\frac {{vol}^{1}(I)}{{vol}^{1}(J)}}}$

Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Similaire et analogue à "Existence et résultats généraux concernant le cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} }^{N})$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$", en remplaçant $\mathbb {R}$ par $\mathbb {R} ''$.

Cardinal quantitatif défini sur $\displaystyle {{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$ [NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne Bauval, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire tomber cette section]

Préliminaires

Nouvelle notion de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, différente de la notion classique de limite de famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, et notion de plafonnement "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$", avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ est un ensemble totalement ordonné.

Soit $A$ une partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ une famille de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ telle que $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A}$.

Alors on lui préfère la notion plus précise de limite non classique de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ dépendante de la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$, dont la limite est le plafonnement de la partie $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, notée $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Plus précisément, la définition et la notation usuelles ou classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, dont la limite est une partie $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}=A\,\,\Leftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$,

alors que la définition et la notation non classiques de limite d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, dont la limite est le plafonnement de la partie $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ et de la famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, sont définies et données par :

$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\,\,\Leftrightarrow _{d{\acute {e}}f}\,\,{\Big (}\bigcup _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\nearrow \,\,pour\,\,\subset ,\,\,ou,\,\,\bigcap _{i\in I}A_{i}=A\,\,si\,\,{(A_{i})}_{i\in I}\,\,\searrow \,\,pour\,\,\subset {\Big )}}$.

NB : Ce changement de notation n'est pas sans conséquences.

Fin du théorème

Définitions de ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}})$, ${{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soient ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

On pose ${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}\}$.

On pose ${\mathcal {P}}_{non\,\,born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})=\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,non\,\,born{\acute {e}}e\,\,dans\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}\}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {B}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On pose $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{{\mathcal {P}}lafonnements}(I,{\mathcal {A}},{\mathcal {A}}){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {A}}\times {\mathcal {F}}(I,{\mathcal {A}})\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

On a donc $\displaystyle {{{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}={{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}={\Big \{}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\times {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,\lim _{i\in I,\,\,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}=[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big \}}}$.

Fin du théorème

Motivation :

Cela permettra d'énoncer une conjecture concernant le cardinal quantitatif :

"Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif, impliquant un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$" constitué d'une partie $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ voire peut-être constitué d'une partie $A\in {P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$"

et qui servira

dans "Propositions concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R} ''$, et en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} '')$, basées ou en partie basées sur la conjecture principale".

Définition de ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et de ${P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$

${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}{A}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,{\Big |}\,\,{A}\,\,sous{\text{-}}vari{\acute {e}}t{\acute {e}}\,\,ferm{\acute {e}}e,\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,convexe,\,\,(connexe)\,\,de\,\,\mathbb {R} ^{n},\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux),\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

et

${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,born{\acute {e}}e,\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

et

${P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$

$={\Big \{}A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,|\,\,A\,\,convexe\,\,(connexe),\,\,non\,\,born{\acute {e}}e,\,\,de\,\,classe\,\,({\mathcal {C}}^{0})\,\,et\,\,({\mathcal {C}}^{1}\,\,par\,\,morceaux)\,\,ou\,\,sans\,\,bord{\Big \}}$

Fin du théorème

Construction

Définition du cardinal quantitatif sur ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, avec $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite et $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, d'origine $O$.

L'application cardinal quantitatif relatif au repère orthonormé ${\mathcal {R}}$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$,

est l'application :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}\,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty }$

[où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$]

qui doit, normalement, vérifier les conditions suivantes (Règles et opérations générales sur le cardinal quantitatif) :

0) $\forall {\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$ repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}$

On pose donc : $\forall {\mathcal {R}}$ repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n},\,\,{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}$ et donc $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{{\Big |}{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {\widetilde {{card}_{Q}}}}_{{\Big |}{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$.

1)

[a) $\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, $card_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])\geq 0$]

b) $\forall [\emptyset ,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,\{\emptyset \},{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}([\emptyset ,{(A_{i})}_{i\in I}])=0$

c) $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\,\,\forall [\{x\},{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\Big \{}\{x\}{\Big \}},{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}([\{x\},{(A_{i})}_{i\in I}])=1$

2) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

$\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

$\displaystyle {{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A_{i}\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]},{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A_{i}\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A\bigcup B,{{\Big (}A_{i}\bigcup B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])+{card}_{Q,{\cal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])-{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{\Big [}A\bigcap B,{{\Big (}A_{i}\bigcap B_{i}{\Big )}}_{i\in I}{\Big ]}{\Big )}}$

3) $\displaystyle {\forall {(x_{m})}_{m\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ',\,\,convergente\,\,dans\,\,\mathbb {R} ',\,\,\lim _{m\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,x_{m}])={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{m\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}[0,x_{m}])}$

4) (qui est plutôt, en fait, une propriété facile à démontrer)

Soient $\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\cal {R}}_{i}$ un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{i}$ d'origine $O_{i}{(0)}_{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}$.

$\forall k\in \mathbb {N} _{n-1},$

$\displaystyle {\forall [A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n-k}){\Big )}}$, $\displaystyle {\forall [B,{(B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{k}){\Big )}}$,

$\displaystyle {[A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}([A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n}}([A\times B,{(A_{i}\times B_{i})}_{i\in I}])={card}_{Q,{\cal {R}}_{n-k}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}_{k}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])}$

Fin du théorème

Lien entre le cardinal quantitatif d'une partie de $\mathbb {R} ^{n}$, relatif à un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$ et du cardinal quantitatif de certains des plafonnements de cette partie de $\mathbb {R} ^{n}$, relatif à ce repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$

Début d’un théorème

Soit $I$ un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné à droite.

Soit $A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Alors $\exists {(A_{i})}_{i\in I}\in {\Big \{}{(A_{i})}_{i\in I}\in {\mathcal {F}}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}\,\,{\Big |}\,\,[A,{(A_{i})}_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}{\Big \}}$,

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}{\Big (}[A,{(A_{i})}_{i\in I}]{\Big )}$.

Dans ce cas $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal de la partie $A$.

Si de plus ${(A_{i})}_{i\in I}={(A)}_{i\in I}$, alors $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]=[A,{(A)}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal trivial de la partie $A$.

De même, si $I$ est fini ou admet un maximum et si $A_{\sup(I)}=A_{\max(I)}=A$, alors $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$ est appelé un plafonnement normal trivial de la partie $A$.

Fin du théorème

Définition du cardinal quantitatif sur ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n}),{PV}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\mathcal {R}}$, un repère orthonormé de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

$\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{\displaystyle {{\Big |}{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n}),{PV}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}}}\,\,:\,\,{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n}),{PV}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}\,\,\rightarrow \,\,\mathbb {N} \bigsqcup +\infty \,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)=?}$ et telle que $\displaystyle {{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{\displaystyle {{\Big |}{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}}={\widetilde {{card}_{Q}}}}$,

où, de manière non classique, on considère : "$+\infty$" comme un ensemble tel que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$.

Fin du théorème

Remarque : On peut peut-être remplacer "${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n}),{PV}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$" par "$\displaystyle {{P3}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {P4}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigsqcup {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{P4}({\mathbb {R} ''}^{n}),{P3}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}}$".

Hypothèse de définition ou Conjecture, concernant le cardinal quantitatif, impliquant un plafonnement "$[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$", constitué d'une partie $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ voire peut-être constitué d'une partie $A\in {P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$, et d'une famille de parties ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si $I$ est un ensemble totalement ordonné

et si $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ [resp. si $A$ est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$]

[ou peut-être même en supposant seulement que : $A\in {P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (resp. ou peut-être même en supposant seulement que : $A$ est une réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$)],

et si ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ [resp. si ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de réunions finies disjointes de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$]

[ou peut-être même en supposant seulement que les parties de cette famille sont des parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$ (resp. des réunions finies disjointes de parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$)],

telles que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$ :

Alors : $card_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}=card_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}card_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})$.

Fin du théorème

Remarque :

Il se peut que si le résultat précédent est une conjecture, que, pour le démontrer, il faille admettre, comme hypothèses de définition, des cas particuliers de cette conjecture, impliquant des familles de parties ${(A_{i})}_{i\in I}$ qui sont des suites de parties finies, bornées, de $\mathbb {R} ''$ ou qui sont des suites d'intervalles bornés de $\mathbb {R} ''$.

Remarque :

Questions :

Pour toute partie de ${P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$ qui converge vers cette partie de $P4({\mathbb {R} ''}^{n})$ ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de $P3(\mathbb {R} ^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$ qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de $P3({\mathbb {R} ''}^{n})$ ?

Pour toute partie de ${P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ qui converge vers cette partie de ${P4}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ?

Pour toute réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$, existe-t-il une famille (ou une suite) de réunions finies disjointes de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ qui converge vers cette réunion infinie dénombrable disjointe de parties de ${P3}({\mathbb {R} ''}^{n})$ ?

Motivation principale de l'Hypothèse de définition ou de la Conjecture :

Avec cette notion et cette notation non classiques qui n'excluent pas, a priori, mais peut-être pas, la notion et la notation classiques :

Soit $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Soit ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$, telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}A_{i}={\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$.

Soit ${(B_{i})}_{i\in I}$, une famille de parties de ${PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

telle que ${(B_{i})}_{i\in I}\neq {(A_{i})}_{i\in I}$

et telle que $\displaystyle {\lim _{i\in I,i\rightarrow \sup(I)}B_{i}={\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}}$,

c'est-à-dire telle que : ${\Big [}A,{(A_{i})}_{i\in I}{\Big ]}\neq {\Big [}A,{(B_{i})}_{i\in I}{\Big ]}$.

Si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

ou bien, si l'on suppose, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

alors, on a : ${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(B_{i})_{i\in I}]{\Big )}$,

et, dans les 2 cas, il n'y a aucune contradiction,

alors qu'avec la notion et la notation classiques :

On aurait : $\displaystyle {{\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i}={\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i}=A}$,

et en supposant, de plus, que : $\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})}$,

on aurait : ${card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})=\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})\neq \lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}B_{i})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

c'est-à-dire une contradiction.

@Attention : Sans précisions supplémentaires, l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" peut avoir 2 sens possibles, en effet, elle est égale, ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\underset {i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{{\text{lim}}_{classique}}}A_{i})}$", ou bien à l'expression "$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})}$", et ces 2 dernières expressions sont resp. égales, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'une partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, soit au cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, d'un plafonnement d'une partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Il faut donc peut-être distinguer ces 2 usages, en distinguant les 2 notions de limite.

Il y a peut-être incompatibilité entre ces 2 notions de limite.

On peut, toutefois, dans un premier temps, définir, pour toutes les parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chacune d'entre elles, puis définir le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'une partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, comme étant le cardinal quantitatif, relatif à ce repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de cette partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Le problème est que l'on définit le cardinal quantitatif, relatif à un repère orthonormé, de chacun des plafonnements de chaque partie de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, "${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}A_{i})$", grâce à l'expression "$\displaystyle {\lim _{i\in I,\,\,i\to \sup(I)}{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{i})}$" qui fait appel aux cardinaux quantitatifs, relatifs à ce repère orthonormé, de parties appartenant à une famille de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.@

Justement, on a choisi $A\in {PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

avec ${PV2}({\mathbb {R} ''}^{n}),{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $\displaystyle {{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})\bigcap {PV}({\mathbb {R} ''}^{n})=\emptyset }$ et ${\overline {{PV}({\mathbb {R} ''}^{n})}}^{{PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})}={PV2}({\mathbb {R} ''}^{n})$.

Plus généralement, on peut choisir $A\in {\mathcal {A}}$ et ${(A_{i})}_{i\in I}\subset {\mathcal {B}}$ tels que $[A,(A_{i})_{i\in I}]\in {{\mathcal {P}}lafonnements}{\Big (}I,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

avec ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathcal {P}}^{2}({\mathbb {R} ''}^{n})$ et $\displaystyle {{\mathcal {A}}\bigcap {\mathcal {B}}=\emptyset }$ et ${\overline {\mathcal {B}}}^{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}$.

Après avoir choisi la notion et la notation de limite non classique d'une famille de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$,

et étant donné un plafonnement normal non trivial de la partie $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, $[A,(A_{i})_{i\in I}]$,

alors on peut définir la F-quantité (anciennement le cardinal quantitatif) de la partie $A$ de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, de la manière suivante :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(A){\underset {d{\acute {e}}f}{=}}{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}[A,(A_{i})_{i\in I}]{\Big )}$

Conjecture qui servira :

dans "Propositions concernant certains intervalles $I$, non bornés, de $\mathbb {R} ''$, et en particulier, certaines parties de ${PV2}(\mathbb {R} '')$, basées ou en partie basées sur la conjecture principale".

Proposition (plafonnements de ${\mathbb {R} '}_{+}$ et de ${\mathbb {R} ''}_{+}$, normaux) basée sur la conjecture principale (Il y avait un problème)

Début d’un théorème

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$".

En posant :

$\displaystyle {R_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {R} '',{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}^{*}=N_{1}\setminus \{0\}}$,

on a :

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\widetilde {{vol}^{1}}}(R_{2,+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$.

$R_{2,+}$ est appelé le plafonnement de ${\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement de ${\mathbb {R} ''}_{+}$), normal.

Fin du théorème

Démonstration :

Démonstration analogue à celle de "Proposition (plafonnement de $\mathbb {R} _{+}$, normal)".

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

Soit ${\mathcal {R}}'$, un repère orthonormé de $\mathbb {R} '$, d'origine $O$.

Soit ${\mathcal {R}}''$, un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$, d'origine $O$.

Soit ${\mathcal {R}}={\mathcal {R}}'\,\,{\text{ou}}\,\,{\mathcal {R}}''$.

En posant :

$R_{2}={\Big [}{\mathbb {R} '},{(]-r,r[)}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''},{(]-r,r[)}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{2,-}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{-},{(]-r,0])}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}{\mathbb {R} ''}_{-},{(]-r,0])}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$

$R_{2,+}^{*}=R_{2,+}\setminus \{0\}$

$R_{2,-}^{*}=R_{2,-}\setminus \{0\}$

$\displaystyle {N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {N_{1}^{*}=N_{1}\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {-N_{1}={\Big [}-\mathbb {N} ',{(-\mathbb {N} '\bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}-\mathbb {N} '',{(-\mathbb {N} ''\bigcap [-p,0])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {-N_{1}^{*}=-N_{1}\setminus \{0\}}$

$\displaystyle {Z_{1}={\Big [}\mathbb {Z} ',{(\mathbb {Z} '\bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}\,\,{\text{respectivement}}\,\,{\Big [}\mathbb {Z} '',{(\mathbb {Z} ''\bigcap [-p,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}}$

$\displaystyle {Z_{1}^{*}=Z_{1}\setminus \{0\}}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

Donc, comme $\displaystyle {R_{2}=R_{2,-}^{*}\bigsqcup \{0\}\bigsqcup R_{2,+}^{*}}$ et que cete réunion est disjointe, on a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

[c'est-à-dire $=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1$]

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus \{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\}){\Big )}+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1$

On remarque que :

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*}\bigsqcup N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(-N_{1}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})}$

donc ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1}$

et ${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,-}^{*})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(\{0\})+{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+}^{*})+1=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1{\Big )}+1=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}-1$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(Z_{1})-1}$

Fin du théorème

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''$.

On pose : ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$.

(respectivement ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$).

Soit $a,b\in {\mathbb {R} '}_{+}\,\,({\text{respectivement}}\,\,{\mathbb {R} ''}_{+})\,\,:\,\,a\leq b$.

Alors $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}(]a,b])+{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,b])}$

${card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2})$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+})-1$

$=2\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

$=2\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1})-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-1$

Fin du théorème

Proposition dont une partie des résultats est basée sur la conjecture principale

Début d’un théorème

De manière non classique, on considère : "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$, $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$,

et où $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$ et $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''$.

On pose : ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} '}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} ',{(\mathbb {N} '\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} '}{\Big ]}$.

(respectivement ${R}_{2,+}={\Big [}{\mathbb {R} ''}_{+},{([0,r[)}_{r\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$ et $N_{1}={\Big [}\mathbb {N} '',{(\mathbb {N} ''\bigcap [0,p])}_{p\in \mathbb {N} ''}{\Big ]}$)

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{+}$).

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])+1$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})-{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,a[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a}$

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{-}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{-}$).

On a :

${card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup ]a,0[)+1$

$\displaystyle {={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup [a,0[)}$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(R_{2,+})+{card}_{Q,{\cal {R}}}([a,0[)$

$={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)-a\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

$={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1{\Big )}$

donc $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\bigcup ]a,0[)+1}{{card}_{Q,{\cal {R}}}(]0,1[)+1}}={card}_{Q,{\cal {R}}}(N_{1}^{*})-a}$

Soit $a\in {\mathbb {R} '}_{+}$ (respectivement $a\in {\mathbb {R} ''}_{+}$).

On a : $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a])={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,-}\setminus [-a,0])}$

On en déduit que $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,+}\setminus [0,a[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({R}_{2,-}\setminus ]-a,0])}$

Fin du théorème

Définitions de $diam$ et ${\widetilde {diam}}$ (à omettre pour obtenir une version publiable)

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {\,\,\,\,\,\,}}$" concernant l'objet suivant : "${\widetilde {diam}}$".

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Définition :

a) Soit $\displaystyle {{diam}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {\mathbb {R} _{+}}}\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{diam}(A)=\sup _{(x,y)\in A\times A}d_{{\mathbb {R} }^{n}}(x,y)}$

où $d_{{\mathbb {R} }^{n}}$ est la distance euclidienne sur ${\mathbb {R} }^{n}$

c'est-à-dire $\displaystyle {d_{{\mathbb {R} }^{n}}\,\,:\,\,{\mathbb {R} }^{n}\times {\mathbb {R} }^{n}\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} }_{+}\,\,:\,\,(x,y)={\Big (}{(x_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}},{(y_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}\mapsto \,\,d_{{\mathbb {R} }^{n}}(x,y)={{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{|x_{i}-y_{i}|}^{2}{\Big )}}^{\frac {1}{2}}}$

b) Soit $\displaystyle {{\widetilde {diam}}\,\,:\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{\widetilde {diam}}(A)=\sup _{(x,y)\in A\times A}d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(x,y)}$

où $d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}$ est la distance euclidienne sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$

c'est-à-dire $\displaystyle {d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}\,\,:\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}\times {\mathbb {R} ''}^{n}\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} ''}_{+}\,\,:\,\,(x,y)={\Big (}{(x_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}},{(y_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}\mapsto \,\,d_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(x,y)={{\Big (}\sum _{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{|x_{i}-y_{i}|}^{2}{\Big )}}^{\frac {1}{2}}}$

Définition des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ''$ (à omettre pour obtenir une version publiable)

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$" ou "${\widetilde {diam}}$".

Tout ce qui a été dit concernant $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ),\,\,{diam}(A)\in \mathbb {R}$, est aussi valable

concernant leurs homologues $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} ''$

c'est-à-dire les parties $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,{\text{telles que}}\,\,{\widetilde {diam}}(A)\leq {\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )$ ou ${\widetilde {diam}}(A)\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

${\Big (}$

Sous réserve : c'est-à-dire comme ${\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )={vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=2\,\,\sup(\mathbb {R} )$,

si $\mathbb {R}$ admet le plafonnement sphérique, autour de l'origine $O$ du repère orthonormé direct ${\cal {R}}$ :

$\displaystyle {{\Big [}\mathbb {R} ,{([-r,r])}_{r\in \mathbb {N} }{\Big ]}}$,

alors $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\leq {\widetilde {diam}}(\mathbb {R} )={vol}^{1}(\mathbb {R} )=2\,\,{vol}^{1}(\mathbb {R} _{+})=2\,\,\sup(\mathbb {R} )$

ou ${\widetilde {diam}}(A)\in +\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$

${\Big )}$.

${\widetilde {diam}}(\mathbb {R} ')={\widetilde {{vol}^{1}}}(\mathbb {R} ')={\widetilde {{vol}^{1}}}(]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[)=d_{\mathbb {R} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})={\Big |}+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-{\Big (}-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}{\Big )}{\Big |}=2(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})$,

avec $\displaystyle {{\widetilde {diam}}(\mathbb {R'} _{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}(\mathbb {R'} _{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[)=d_{\mathbb {R} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},0)=|+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-0|=+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}$,

on pourra généraliser la notion de cardinal quantitatif, aux ensembles non bornés(') de ${\mathbb {R} ''}^{n}$ , et même à tous les ensembles de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $1$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ''$, est la "mesure" définie par :

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}\,\,:\,\,{\cal {B}}(\mathbb {R} '')\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\longmapsto {\widetilde {{vol}^{1}}}(A)}$

est définie de manière analogue à la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $1$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R}$, ${vol}^{1}$, à la différence qu'il faut remplacer $\mathbb {R}$ par ${\mathbb {R} ''}$.

Remarque :

1) On peut avoir : $\displaystyle {A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} '')\,\,{\text{et}}\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''}$

c'est-à-dire ayant les mêmes propriétés caractéristiques que les parties bornées de $\mathbb {R}$, mais dans $\mathbb {R} ''$ (C'est une sous-classe des parties bornées de $\mathbb {R} ''$),

par exemple la partie $[+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1]$ car ${\widetilde {diam}}([+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1])=1\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''$.

2) $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{-})=+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}$

Définition :

La "mesure" de Lebesgue généralisée ou "de Hausdorff", de dimension $0$, pour la distance euclidienne, sur ${\mathbb {R} ''}^{n}$ est la "mesure" de comptage définie par :

${\widetilde {{vol}^{0,n}}}\,\,:\,\,\{A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})|{card}_{E}(A)\leq \aleph _{0}\}\,\,\longrightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} ''}_{+}}}\,\,:\,\,A\longmapsto {\widetilde {{vol}^{0,n}}}(A)$

est définie de manière analogue à la mesure de comptage sur ${\mathbb {R} }^{n}$, ${vol}^{0,n}$, à la différence qu'il faut remplacer $\mathbb {R}$ par ${\mathbb {R} ''}$

Si $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,{\widetilde {diam}}(A)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ''$ (en particulier connexe), c'est donc en particulier une partie bornée de ${\mathbb {R} ''}^{n}$.

Utilisation des "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $0$ et de dimension $1$, pour la distance euclidienne, sur $\mathbb {R} ''$, de $+\infty _{f}$ et $+\infty _{{\cal {F}}(\mathbb {R} )}$ (à omettre pour obtenir une version publiable)

Remarque : J'hésite, ici, à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : "${\widetilde {{vol}^{1}}}$" ou "${\widetilde {diam}}$".

Remarque : Soient $A,B\in {\cal {P}}(\mathbb {R} _{+})$ ou ${\cal {P}}(\mathbb {R} )$.

$(A<B)\Longleftrightarrow _{d{\acute {e}}f}(\forall x\in A,\,\,\forall y\in B,\,\,x<y)$

On se place dans ${\cal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ''$.

Proposition :

Soit $I\in {\cal {P}}(\mathbb {R} '')$ telle que ${card}_{E}(I)\leq \aleph _{0}$

$\displaystyle {\forall {(A_{i})}_{i\in I}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} ''),\,\,\forall i,j\in I,\,\,i\neq j,\,\,A_{i}\bigcap A_{j}=\emptyset ,}$

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}{\widetilde {{vol}^{1}}}(A_{i})}$

Remarque :

1) Soit $I\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$, telle que $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$

et telle que $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}<A_{j}$

a) En particulier, en posant $I={\mathbb {N} '}^{*}$ et $\forall i\in I,\,\,A_{i}=[i-1,i[$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$ :

${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}=[i-1,i[<[j-1,j[=A_{j}$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}[i-1,i[=[0,n[}$.

Remarque importante : Dans ma théorie , on définit $\displaystyle {\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}=_{d{\acute {e}}f}\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}}$.)

donc $\displaystyle {A=\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}=\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}=\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}[0,n[}$

$\displaystyle {=[0,\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}n[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[={\mathbb {R} '}_{+}}$

[Définition de $\displaystyle {\lim _{n\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}A_{i}}$, de manière analogue à $\displaystyle {\lim _{n\in {\mathbb {N} }^{*},\,\,n\rightarrow m}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{n}^{*}}B_{i}}$ avec $m\in {\mathbb {N} }^{*}$ et $+\infty \not \in {\mathbb {N} }^{*}$, $J={\mathbb {N} }^{*}$, ${(B_{i})}_{i\in J}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$]

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})={\widetilde {{vol}^{1}}}(A)={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{\widetilde {{vol}^{1}}}([i-1,i[)=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})\,\,{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1}$

et

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} '}_{+})={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[{\Big )}=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i-1,i[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}1={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

$={\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)$

b) Si on pose $\displaystyle {I=\mathbb {N} '}$ et $\forall i\in I,\,\,A_{i}=[i,i+1[$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\forall i\in I,\,\,{\widetilde {diam}}(A_{i})\in \mathbb {R}$ :

Dans ma théorie à construire, ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une partition de $A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}_{+})$

et $\forall i,j\in I,\,\,i<j,\,\,A_{i}=[i,i+1[<[j,j+1[=A_{j}$, intervalle donc partie connexe de $\mathbb {R} ''$

et $\displaystyle {\forall n\in I,\,\,\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}[i,i+1[=[0,n+1[}$.

donc $\displaystyle {A=\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}=\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}=\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}[0,n+1[}$

$\displaystyle {=[0,\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}(n+1)[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}+1[(=[0,({id}_{\mathbb {N} }+1)(+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }})[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }+1}[)}$

$\displaystyle {=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[\bigsqcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}+1[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[\bigsqcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[={\mathbb {R} '}_{+}\bigsqcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[}$

$\displaystyle {=[0,1[\bigsqcup [1,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[=[0,1[\bigsqcup ({\mathbb {R} '}_{+}+1)\supsetneq {\mathbb {R} '}_{+}}$

[Définition de $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} '',\,\,n\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}}A_{i}}$, de manière analogue à $\displaystyle {\lim _{n\in \mathbb {N} ,\,\,n\rightarrow m}\bigcup _{i\in {\mathbb {N} }_{n}}B_{i}}$ avec $m\in \mathbb {N}$ et $+\infty \not \in \mathbb {N}$, $J=\mathbb {N}$, ${(B_{i})}_{i\in J}\subset {\cal {P}}(\mathbb {R} )$]

donc $\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{1}}}({\mathbb {R} '}_{+})<{\widetilde {{vol}^{1}}}(A)={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}{\Big )}={\widetilde {{vol}^{1}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} '}[i,i+1[{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{\widetilde {{vol}^{1}}}([i,i+1[)=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)}$

$\displaystyle {={\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)\sum _{i\in \mathbb {N} '}1={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')\,\,{\widetilde {{vol}^{1}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '})={card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})+1}$

et

donc $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {R} '}_{+})<{card}_{Q,{\cal {R}}}(A)={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in I}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} '}A_{i}{\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}\bigsqcup _{i\in \mathbb {N} '}[i,i+1[{\Big )}=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{card}_{Q,{\cal {R}}}([i,i+1[)}$

$\displaystyle {=\sum _{i\in \mathbb {N} '}{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)\sum _{i\in \mathbb {N} '}1={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)={\Big (}{card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})+1{\Big )}\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}([0,1[)}$

Dans $\mathbb {R} ''$, il n'y a plus de problème avec la sigma-additivité, sauf concernant les parties non bornées de $\mathbb {R} ''$, mais dans ce cas on réitérera la construction qu'on a bâtie ici.

2) Remarque :

Comme $\displaystyle {\lim _{i\in {\mathbb {N} ''}^{*},\,\,i\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}{id}_{\mathbb {N} ''}(i)=\lim _{i\in \mathbb {N} '',\,\,i\rightarrow +\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}{id}_{\mathbb {N} ''}(i)={id}_{\mathbb {N} ''}(+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }})=+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}}$

On a, dans ma théorie :

$\displaystyle {\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} '}^{*}}[i-1,i[=\bigsqcup _{i\in {\mathbb {N} ''}_{n}^{*}}[i-1,i[\bigsqcup \cdots \bigsqcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-2},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-1}[\bigsqcup [+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }-1},+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {N} }}[=[0,+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}[}$

$={(\mathbb {R} _{{id}_{\mathbb {R} }})}_{+}={(\mathbb {R} ')}_{+}\supsetneq \mathbb {R} _{+}$

Attention :

$\mathbb {R} '$ n'est pas considéré, comme $\mathbb {R}$, comme un espace-univers, mais comme un espace de référence, pouvant contenir, strictement, d'autres ensembles bornés de $\mathbb {R} ''$ mais contenant, strictement, $\mathbb {R}$ : En particulier des ensembles d'un genre nouveau comme :

$\displaystyle {-{\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}-1)\setminus [-1,0[{\Big )}\bigcup {\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}-1)\setminus [-1,0[{\Big )}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-1),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}-1[}$

$\displaystyle {={\Big ]}-{\Big (}{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})-1{\Big )},{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})-1{\Big [}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}[}$

$\displaystyle {=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }-1}[}$

et

$\displaystyle {-{\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}+1)\bigcup [0,1[{\Big )}\bigcup {\Big (}(\mathbb {R} _{+}^{'}+1)\bigcup [0,1[{\Big )}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }}+1[}$

$\displaystyle {={\Big ]}-{\Big (}{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})+1{\Big )},{id}_{\mathbb {R} }(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }})+1{\Big [}}$

$\displaystyle {=]-(+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}),+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}[}$

$\displaystyle {=]-\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1},+\infty _{{id}_{\mathbb {R} }+1}[}$.

$\mathbb {R} ''$ étant le nouvel espace-univers.

Attention : Dans ma théorie : $\mathbb {N} '+1\neq {\mathbb {N} '}^{*}$, en fait on considère que $\mathbb {N} '+1$ va au delà de $\mathbb {N} '$, à droite, ce qui n'est pas le cas de ${\mathbb {N} '}^{*}$.

Par ailleurs : On a ${card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} '+1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')$ et ${card}_{Q,{\cal {R}}}({\mathbb {N} '}^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ')-1$

Mais $\mathbb {N} +1=\mathbb {N} ^{*}$

et $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} +1)={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} ^{*})={card}_{Q,{\cal {R}}}(\mathbb {N} )-1}$

où, ici,

$\mathbb {N}$ est le plafonnement de $\mathbb {N}$, normal,

$\mathbb {N} ^{*}$ est le plafonnement de $\mathbb {N} ^{*}$, normal,

${\mathbb {N} '}$ est le plafonnement de ${\mathbb {N} '}$, normal,

${\mathbb {N} '}^{*}$ est le plafonnement de ${\mathbb {N} '}^{*}$, normal,

${\mathbb {N} '+1}$ est le plafonnement de ${\mathbb {N} '+1}$, normal.

Compléments

Remarque : J'hésite à omettre la notation "${\widetilde {}}$" concernant les objets suivants : ${\widetilde {{vol}^{1}}}$ ou ${\widetilde {diam}}$.

${\Big (}$Compléments :

Mesures de Hausdorff [de dimension $i$ $(0\leq i\leq n)$], généralisant celle de Lebesgue (de dimension $n$), pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas $i=0$ étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document) [On peut l'appliquer par exemple à une variété (topologique) (de dimension $i$)] :

https://www.fichier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/

Théorie de la mesure/Cf. Mesures de Hausdorff

Cf. page 13 : Chapitre 1. Les mesures/III Exemples fondamentaux d'espaces mesures/Mesures de Hausdorff

Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.1 Mesures de Hausdorff/Définition 5

Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.3 Définition alternative de la mesure de Lebesgue/Théorème 3

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de Lebesgue et ses corollaires/II Généralisations de la mesure de Lebesgue/II.4 Longueur, aire, surface de parties courbées de $\mathbb {R} ^{d}$/Définition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des applications linéaires

Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure des sous-variétés plongées

Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées

et aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf

NB : Pour un exemple plus explicite : Cf. mon message suivant.${\Big )}$

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

De manière non classique : On considère "$+\infty$" et "$+\infty ''$" comme des ensembles tels que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ , $+\infty ''=\{x\,\,|\,\,\forall a''\in \mathbb {R} '',\,\,x>a''\}$ et $+\infty ''\subsetneq +\infty$ car $\mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ''$.

L'ensemble $\mathbb {R}$ est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté $\sup(\mathbb {R} )\in +\infty$.

On définit les "mesures" de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i$ $(0\leq i\leq n)$, sur ${\mathbb {R} }^{n}$, pour la distance euclidienne et la jauge donnée dans "Théorie de la mesure/II.4, Définition 7, page 41"

(Le cas $i=0$ étant un cas à part, que je compte voir figurer, mais qui n'est pas présent dans le document),

ce sont, en particulier, des applications telles que :

${vol}^{0}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=0\}\bigcup \{\emptyset \}\subsetneq {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} }_{+}}}={\mathbb {R} }_{+}\bigsqcup \{\sup(\mathbb {R} )\}$,

et

$\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{vol}^{i}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=i\}\bigcup \{\emptyset \}\subsetneq {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\overline {{\mathbb {R} }_{+}}}={\mathbb {R} }_{+}\bigsqcup \{\sup(\mathbb {R} )\}$,

que l'on peut généraliser et étendre, de la manière suivante, en des applications telles que :

$\displaystyle {{\widetilde {{vol}^{0}}}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=0\}\bigcup \{\emptyset \}\subsetneq {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} }_{+}\bigsqcup +\infty }$,

et

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,{\widetilde {{vol}^{i}}}\,\,:\,\,\{A\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,|\,\,{dim}(A)=i\}\bigcup \{\emptyset \}\subsetneq {\mathcal {P}}({\mathbb {R} }^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathbb {R} }_{+}\bigsqcup +\infty }$,

ces dernières servent à construire la "mesure" cardinal quantitatif relatif à un repère orthonormé ${\cal {R}}$, ${card}_{Q,{\cal {R}}}$ dans ${\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$,

et en particulier à construire pour tout $A_{n}\,\,{\mbox{plafonnement d'une partie non bornée de}}\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,{\mbox{et}}\,\,{\widetilde {{vol}^{n}}}{\mbox{-mesurable}}\,\,{\mbox{(avec peut-être d'autres conditions à préciser)}},\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})$,

en utilisant une formule du type $\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n})=\sum _{i=0}^{n}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n})\,\,{card}_{Q,{\cal {R}}}(A_{n,i})}$,

où ${(A_{n,i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ est une suite de produits d'intervalles de $\mathbb {R}$, considérés comme des plafonnements, s'ils sont non bornés,

telle que

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,A_{n,i}=\prod _{j\in \mathbb {N} _{i}^{*}}I_{n,i,j}}$ où $\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,\forall j\in \mathbb {N} _{i}^{*},I_{n,i,j}}$ est un intervalle non vide et non réduit à un singleton de $\mathbb {R}$

et $A_{n,0}=I_{n,0}$ où $I_{n,0}$ est un intervalle non vide de $\mathbb {R}$, réduit à un singleton,

et où $\displaystyle {{{\Big (}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{n}}\in {\left(-\infty \bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup +\infty \right)}^{n+1}}$

dépend de $A_{n}$, ${({\widetilde {{vol}^{i}}})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ et ${\cal {R}}$,

où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$

et on a : $\displaystyle {c_{0,n,{\mathcal {R}}}(A_{n})=\pm card_{Q,{\mathcal {R}}}(N_{n})\in -\infty \bigsqcup \mathbb {Z} \bigsqcup +\infty }$, avec $N_{n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, partie bornée ou plafonnement, et ${card}_{E}(N_{n})\leq {card}_{E}(\mathbb {N} )$

et : $\displaystyle {c_{n,n,{\mathcal {R}}}(A_{n})\in \mathbb {R} _{+}\bigsqcup +\infty }$.

Et plus particulièrement où ${(A_{n,i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ est une suite de produits d'intervalles de $\mathbb {R}$

telle que

$\displaystyle {\forall i\in \mathbb {N} _{n}^{*},\,\,A_{n,i}=I^{i}}$ où $I$ est un intervalle borné non vide et non réduit à un singleton de $\mathbb {R}$

et $A_{n,0}=I^{0}$ où $I^{0}$ est un intervalle non vide de $\mathbb {R}$, réduit à un singleton,

et où $\displaystyle {{{\Big (}c_{i,n,{\cal {R}}}(A_{n}){\Big )}}_{i\in \mathbb {N} _{n}}\in {\left(-\infty \bigsqcup \mathbb {R} \bigsqcup +\infty \right)}^{n+1}}$

dépend de $A_{n}$, ${({\widetilde {{vol}^{i}}})}_{i\in \mathbb {N} _{n}}$ et ${\cal {R}}$,

où, ici, $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et $-\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x<a\}$

et on a : $\displaystyle {c_{0,n,{\mathcal {R}}}(A_{n})=\pm card_{Q,{\mathcal {R}}}(N_{n})\in -\infty \bigsqcup \mathbb {Z} \bigsqcup +\infty }$, avec $N_{n}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} }^{n})$, partie bornée ou plafonnement, et ${card}_{E}(N_{n})\leq {card}_{E}(\mathbb {N} )$

et : $\displaystyle {c_{n,n,{\mathcal {R}}}(A_{n})\in \mathbb {R} _{+}\bigsqcup +\infty }$.

Dans ce qui précède, on peut remplacer $\mathbb {R} ,\,\,\mathbb {N}$ et $\mathbb {Z}$, par $\mathbb {R} '',\,\,\mathbb {N} ''$ et $\mathbb {Z} ''$.

NB : L'ensemble $\mathbb {R} ''$ est un ensemble dont la borne supérieure est un point que l'on rajoute, noté $\sup(\mathbb {R} '')\in +\infty ''\subsetneq +\infty$.

Compléments :

Rappel : Une sous-variété (bornée), ouverte ou fermée, ou un ouvert ou un fermé (borné) $\Omega$ de $\mathbb {R} ^{n}$ est dite ou est dit de classe ou de régularité $X$ (par exemple de classe ou de régularité ${\mathcal {C}}^{k}$ pour un $k\in \mathbb {N}$), si son bord $\partial \Omega$ est de classe ou de régularité $X$ (par exemple de classe ou de régularité ${\mathcal {C}}^{k}$ pour le même $k\in \mathbb {N}$ précédent).

Rappel :

Le bord d'une partie $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ est défini par $\partial A={\overline {A}}\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Le "bord" d'une partie $A\in {\cal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ est défini par $''\partial A''=A\setminus {\stackrel {\circ }{A}}$.

Attention :

La dimension d'une partie de ${\mathbb {R} }^{n}$,

n'est pas, ici, celle d'un espace vectoriel,

mais, plutôt la dimension de Hausdorff d'une partie de ${\mathbb {R} }^{n}$,

Dimension de Hausdorff (Wikipedia)

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes,

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de "parties plus générales que les sous-variétés topologiques ou les sous-variétés (dont le bord est) de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, connexes",

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, et de sous-variétés connexes, dont le "bord" est de classe "non ${\mathcal {C}}^{0}$" (ou de parties connexes, dont le "bord" est de classe "non ${\mathcal {C}}^{0}$") (si elles existent),

c'est-à-dire celle d'une réunion disjointe de parties connexes quelconques.

Selon ma définition :

La dimension d'une réunion disjointe de sous-variétés* connexes est le plus grand degré des sous-variétés* connexes, qui la composent.

Variété topologique (Wikipedia)

Variété (géométrie) (Wikipedia)

J'aimerais qu'on me donne les bases et le formalisme nécessaires pour définir ou utiliser la notion de sous-variété topologique de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, (et par extension la notion de sous-variété*, définie plus haut).

J'ai amélioré la formulation (qui est beaucoup plus compréhensible) et la présentation (qui est beaucoup plus aérée et beaucoup plus lisible) de certains passages :

Je ne suis pas, encore, certain d'en avoir fini, avec les messages concernés :

Exprimer certaines choses ou certaines notions mathématiques peut s'avérer très pénible et on peut avoir à s'y reprendre de très nombreuses fois, avant d'obtenir un énoncé correct voire parfait.

D'autant plus que "ma" notion de sous-variété* ou si l'on veut de sous-variété, dont le "bord" est de classe ${\mathcal {C}}^{0}$ ou non ${\mathcal {C}}^{0}$, plus générale que celle de sous-variété topologique c'est-à-dire de sous-variété (dont le bord est) de classe ${\mathcal {C}}^{0}$, n'est pas une notion des plus simples et des plus faciles, puisque celle de sous-variété topologique ou (dont le bord est) de classe ${\mathcal {C}}^{0}$ ne l'est déjà pas.

Comment reformuleriez-vous mes phrases, autrement, dans les messages concernés pour les rendre plus simples, plus concises et plus élégantes ?

Hypothèses de définition supplémentaires traitant du cas du cardinal quantitatif des parties non bornées de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Si, dans le cadre de cette théorie, on suppose que l'espace ${\mathbb {R} ''}^{n}$ muni d'un repère orthonormé direct ${\cal {R}}_{n}$, d'origine $O_{n}{(0)}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}$, admet comme plafonnement sphérique, autour de l'origine, $\displaystyle {{\bigg [}{\mathbb {R} ''}^{n},{{\Big (}{\overline {B_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(O_{n},r)}}{\Big )}}_{r\in \mathbb {N} }{\bigg ]}=\lim _{r\in \mathbb {N} ,r\rightarrow \sup(\mathbb {N} )}{\overline {B_{{\mathbb {R} ''}^{n}}(O_{n},r)}}}$, on a alors :

C) $\forall I\,\,{\mbox{intervalle de}}\,\,{\mathbb {R} ''}^{n}$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(I){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(I)$,

où

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(O,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(O,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $O$ et d'"angle" $\theta _{n}$.

D) $\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})$,

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\\mathbb {R} ^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{rot}_{(O,\theta _{n})}(A){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}(A)$,

où

$\forall \theta _{n}\in {\begin{cases}\{0,\pi \}+2\pi \mathbb {Z} &{\text{si }}n=1\\{\mathbb {R} }^{n-1}&{\text{si }}n\neq 1\\\end{cases}}$,

${rot}_{(O,\theta _{n})}\,\,:\,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,\rightarrow \,\,{\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,:\,\,A\,\,\mapsto \,\,{rot}_{(O,\theta _{n})}(A)$, est la rotation (sphérique) de centre $O$ et d'"angle" $\theta _{n}$.

F)

a) $\displaystyle {\forall A\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}),\,\,A\,\,{\text{non bornée}}}$,

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,\exists P_{0}\in {\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,ou\,\,{\cal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n})\,\,d{\acute {e}}limit{\acute {e}}e\,\,par\,\,un\,\,hyperplan\,\,H_{0}\,\,passant\,\,par\,\,O}$

$\displaystyle {et\,\,telle\,\,que\,\,A\subset P_{0}\,\,alors\,\,\forall x_{0},{x_{0}}'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,\exists {x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\in {\mathbb {R} ''}^{n},{x_{\parallel _{H_{0}}}},{x_{\parallel _{H_{0}}}}'\parallel H_{0}\,\,et\,\,\exists {x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\in {\mathbb {R} ''}^{n},{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\perp H_{0},}$

$\displaystyle {x_{0}={x_{\parallel _{H_{0}}}}+{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{0}}'={x_{\parallel _{H_{0}}}}'+{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,et\,\,{x_{\perp _{H_{0}}}},{x_{\perp _{H_{0}}}}'\,\,orientes\,\,vers\,\,P_{0}\,\,et\,\,tels\,\,que\,\,\|x_{0}\|<\|{x_{0}}'\|,}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+x_{0})>{card}_{Q,{\cal {R}}}(A+{x_{0}}')}$

(Hypothèse de définition en cours d'étude)

b) $\forall a,a'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,\forall b,b'\in {\mathbb {R} ''}^{n},\,\,:\,\,\|b\|<\|b'\|$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}={card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a'.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}}$

$\displaystyle {{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b){\Big )}>{card}_{Q,{\cal {R}}}{\Big (}{epi}(a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}+b'){\Big )}}$ si $b,b'\perp H_{a,0}=a.{id}_{{\mathbb {R} ''}^{n}}({\mathbb {R} ''}^{n})$

(Hypothèse de définition en cours d'étude)

Fin du théorème

Remarque (Sous réserve) : Dans le cas borné, on a soit 2) avec ses implications et non [3)F)a) ou 3)F)b)], soit le contraire, mais pas les 2.

Remarque : Lorsqu'on parle d'une partie non bornée $B$ dans un espace qui est un plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$,

au lieu de parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$", on devrait plutôt parler du cardinal quantitatif relatif au repère ${\mathcal {R}}$ et au plafonnement $[A,{(A_{i})}_{i\in I}]$, de la partie $B$, "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$",

et dans ce cas on a : "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$".

Quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}},[A,{(A_{i})}_{i\in I}]}(B)$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Lorsque la famille ${(A_{i})}_{i\in I}$ est une famille de parties de ${\mathbb {R} ''}^{n}$, bornées ou du moins convexes (connexes), bornées, de classe (${\mathcal {C}}^{0}$) et (${\mathcal {C}}^{1}$ par morceaux), alors quand on parle de "${card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$", il se peut que la mention du repère ${\mathcal {R}}$ soit inutile et superflue.

Exemples illustratifs de calculs, avec le cardinal quantitatif, dans certains cas de parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Cas des parties non bornées de $\mathbb {R} ^{n}$, avec $n=2$ (Il y a une condition de "plafonnement" à prendre en compte)

Début d’un théorème

Soit $f\in {\cal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

Soit $A_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\leq f(x)\}$

alors

${card}_{Q,2}(A_{f})$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|y\leq f(x)\}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\bigsqcup _{x'\in \mathbb {R} }{\Big ]}(x',-\infty ),{\Big (}x',f(x'){\Big )}{\Big ]}{\Big )}}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}{\Big ]}(x',-\infty ),{\Big (}x',f(x'){\Big )}{\Big ]}{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}]-\infty ,f(x')]{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Big (}[-f(x'),+\infty [{\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,{card}_{Q,1}([0,1[)+f(x')\,\,{card}_{Q,1}([0,1[){\Big )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,\int _{\mathbb {R} }d\,\,{card}_{Q,1}(x')+{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}([0,1[)\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{card}_{Q,1}([0,1[)\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\underbrace {{card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})\,\,{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )} _{={card}_{Q,2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+})}+{\frac {{card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {={card}_{Q,1}(\mathbb {R} _{+})\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{\frac {1}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x'){\Big )}}$

$\displaystyle {={\frac {1}{2}}{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+1{\Big )}\,\,{\Big (}{card}_{Q,1}(\mathbb {R} )+{\frac {1}{{card}_{Q,1}(\mathbb {N} )}}\,\,\int _{\mathbb {R} }f(x')\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x'){\Big )}}$

Soit $f,g\in C^{0}(\mathbb {R} ,{\overline {\mathbb {R} }})$

Soit $A_{f,g}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|f(x)\leq _{f(x)}y\leq _{g(x)}g(x)\}$

avec $\forall x\in \mathbb {R} ,\,\,\leq _{f(x)}=\leq _{{\Big (}x,f(x){\Big )}},\leq _{g(x)}=\leq _{{\Big (}x,g(x){\Big )}}\in \{<,\leq \}$

alors

${card}_{Q}(A_{f,g})$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Big (}\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|f(x)\leq _{f(x)}y\leq _{g(x)}g(x)\}{\Big )}}$

$\displaystyle {={card}_{Q,2}{\Bigg (}\bigsqcup _{x'\in \mathbb {R} }{\bigg (}_{{\Big (}x',f(x'){\Big )}}{\Big (}x',f(x'){\Big )},{\Big (}x',g(x'){\Big )}{\bigg )}_{{\Big (}x',g(x'){\Big )}}{\Bigg )}}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\Bigg (}{\bigg (}_{{\Big (}x',f(x'){\Big )}}{\Big (}x',f(x'){\Big )},{\Big (}x',g(x'){\Big )}{\bigg )}_{{\Big (}x',g(x'){\Big )}}{\Bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

$\displaystyle {=\int _{\mathbb {R} }{card}_{Q,1}{\bigg (}{\Big (}_{f(x')}f(x'),g(x'){\Big )}_{g(x')}{\bigg )}\,\,d\,\,{card}_{Q,1}(x')}$

Normalement, avec mes règles, on doit pouvoir calculer le cardinal quantitatif de n'importe quelle partie de $\mathbb {R} ^{n}$.

Fin du théorème

Les propriétés que doit vérifier le cardinal quantitatif ou que l'on veut voir vérifier par le cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Je viens de faire un certains nombre de mise à jour [10-06-2024].

Remarque

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Remarque : Soient ${\mathcal {R}},{\mathcal {R}}'$, deux repères orthonormés de $\mathbb {R} ^{n}$, d'origines respectives $O,O'$

alors, si $O=O'$, on a : $card_{Q,{\mathcal {R}}}=card_{Q,{\mathcal {R}}'}$

et si $O\neq O'$, alors on a : ${{card}_{Q,{\mathcal {R}}}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}={{card}_{Q,{\mathcal {R}}'}}_{|{\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})}$.

NB : On peut remplacer "${\mathcal {P}}_{born{\acute {e}}es}(\mathbb {R} ^{n})$" par l'ensemble des plafonnements normaux des parties bornées de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

On pose, pour simplifier, $card_{Q}=card_{Q,{\mathcal {R}}}$.

0) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles finis, alors :

${card}_{Q}(A)={card}_{E}(A)$

$\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(A)<{card}_{E\,\,{\mbox{ou}}\,\,Q}(B)$

1) Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles infinis et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$\exists A\subsetneq B\,\,:\,\,{card}_{E}(A)={card}_{E}(B)$

mais $\forall A\subsetneq B,\,\,{card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

2) Voici les liens qui existent entre le "cardinal potentiel" et le "cardinal quantitatif" :

Soient $A\,\,{\mbox{et}}\,\,B$, des ensembles, alors :

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\not \Longrightarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)={card}_{E}(B)\,\,\Longleftarrow {card}_{Q}(A)={card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\Longrightarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

${card}_{E}(A)<{card}_{E}(B)\,\,\not \Longleftarrow {card}_{Q}(A)<{card}_{Q}(B)$

Fin du théorème

Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement à l'ensemble $\mathbb {R} ''^{n}$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct, et à propos des propriétés du cardinal quantitatif sur $\mathbb {R} ^{n}$, pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$

Début d’un théorème

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Soit ${\cal {R}}={\Big (}O,{(e_{i})}_{i\in \mathbb {N} _{n}^{*}}{\Big )}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement de $\mathbb {R} ''^{n}$),

on considère que ${\cal {C}}$ est une chaîne exhaustive de parties de $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$

c'est-à-dire :

${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$

et $\emptyset ,\,\,\{O\},\,\,\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})\in {\cal {C}}\,\,{\mbox{et}}\,\,\forall A,B\in {\mathcal {C}},\,\,A\subsetneq B,\,\,{\Big (}(\exists C\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq C\subsetneq B)\,\,{\mbox{ou}}\,\,(\exists x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}\setminus A\,\,[{\text{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n}\setminus A]\,\,:\,\,B=A\bigsqcup \{x_{0}\}){\Big )}$

Elle est, nécessairement, totalement ordonnée et cela me suffit.

En effet, dans ce cas, moyennant l'hypothèse de définition du cardinal quantitatif :

$A,B\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}$ et $[A,{(A_{i})}_{i\in I}],[B,{(B_{i})}_{i\in I}]$ des plafonnements normaux, c'est-à-dire tels que :

${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([A,{(A_{i})}_{i\in I}])$ et ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)={card}_{Q,{\mathcal {R}}}([B,{(B_{i})}_{i\in I}])$, alors :

$A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$.

Comme ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\Big (}$ respectivement ${\mathcal {P}}({\mathbb {R} ''}^{n}){\Big )}$,

on a $A,B\in {\mathcal {C}}\,\,:\,\,A\subsetneq B\,\,\Longrightarrow \,\,card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)<card_{Q,{\mathcal {R}}}(B)$ et comme ${\mathcal {C}}$ est totalement ordonnée pour $\subset$,

on obtient donc que $\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$ est totalement ordonné pour $\leq$.

Par ailleurs, on a ${\bigg \{}card_{Q,{\mathcal {R}}}(A){\bigg |}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\,\,{\Big (}{\mbox{respectivement}}\,\,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ''^{n}){\Big )}{\bigg \}}=\{card_{Q,{\mathcal {R}}}(A)|A\in {\mathcal {C}}\}$.

Donc $\forall {\mathcal {C}}_{1},\,\,{\mathcal {C}}_{2}$ chaînes exhaustives de parties de $\mathbb {R} ^{n}\,\,({\mbox{respectivement}}\,\,\mathbb {R} ''^{n})$, pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivement $\mathbb {R} ''^{n}$), et contenant $\{O\}$,

$\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})|A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1}\}=\{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})|A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2}\}$

et $\forall A_{1}\in {\mathcal {C}}_{1},\,\,\exists A_{2}\in {\mathcal {C}}_{2},\,\,{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{1})={card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A_{2})$

Fin du théorème

Avec le cardinal quantitatif, les infinitésimaux se profilent

Début d’un théorème

Soit ${\mathcal {R}}$ un repère orthonormé de $\mathbb {R} ^{n}$.

Soit $A\in {\mathcal {P}}(B)$ avec $B\neq \emptyset$, où chacune des parties $A$ et $B$ peut être une partie bornée de $\mathbb {R}$ ou un plafonnement d'une partie non bornée de $\mathbb {R}$ (avec peut-être des conditions supplémentaires),

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}\in {[0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {[0,1]}_{standard}}$.

Si $A=\emptyset$ et $B\neq \emptyset$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}=0}$.

Si $A\neq \emptyset$ et $B\neq \emptyset$,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}\neq 0}$.

Prenons $A=\{2\}$ et $B=\mathbb {R}$, où $\mathbb {R}$ est considéré, ici, comme le plafonnement de $\mathbb {R}$, normal,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\{2\})}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}={\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in {]0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {]0,1]}_{standard}}$,

or $\displaystyle {{\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in {]0,1]}_{non\,\,standard}}$ est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle ${]0,1]}_{non\,\,standard\,\,ou\,\,non\,\,classique}$.

Prenons $A=\mathbb {N}$ et $B=\mathbb {R}$, où $\mathbb {N}$ est considéré, ici, comme le plafonnement de $\mathbb {N}$, normal, et où $\mathbb {R}$ est considéré, ici, comme le plafonnement de $\mathbb {R}$, normal,

alors $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(A)}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(B)}}={\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in {]0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {]0,1]}_{standard}}$,

or $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\in {]0,1]}_{non\,\,standard}\supsetneq {]0,1]}_{standard}}$ est visiblement un infinitésimal qui appartient donc bien à l'intervalle ${]0,1]}_{non\,\,standard\,\,ou\,\,non\,\,classique}$.

Dans la théorie classique, on a $\displaystyle {{\frac {1}{+\infty _{classique}}}=0^{+}}$ où, ici, $+\infty _{classique}$ est considéré comme un point.

Mais, dans ma théorie non classique, ${card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )\in +\infty$ où on considère, ici, que $+\infty =\{x\,\,|\,\,\forall a\in \mathbb {R} ,\,\,x>a\}$ et on a $\displaystyle {{\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\neq 0}$ et $\displaystyle {{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}\neq 0}$ et $\displaystyle {{\frac {1}{\sup(+\infty )}}=0^{+}}$

et on a : $\displaystyle {{\frac {1}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}<{\frac {{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {N} )}{{card}_{Q,{\mathcal {R}}}(\mathbb {R} )}}}$.

Fin du théorème

Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement constitué d'une partie bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$ et d'une suite de parties (éventuellement bornées) ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers cette partie bornée $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, noté $[A,{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$, pour $N\in \mathbb {N} ^{*}$

Cf. titre.

Soit $N\in \mathbb {N} ^{*}$.

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers une partie $A$ de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, les suites des cardinaux quantitatifs des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ ne convergent pas toutes vers le même cardinal quantitatif de la partie $A$ de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie $A$ de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$ et de la suite de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers cette partie $A$ de ${PV}(\mathbb {R} ^{N})$, noté $[A,{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$.

On pourrait peut-être même remplacer cette phrase par :

En effet, si nous considérons les suites de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers une partie bornée (éventuellement fermée) connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, les suites des cardinaux quantitatifs des parties de chacune de ces suites de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ ne convergent pas toutes vers le même cardinal quantitatif de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement constitué de la partie bornée (éventuellement fermée) connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$ et de la suite de polyèdres compacts ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers cette partie bornée (éventuellement fermée) connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, noté $[A,{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$.

et on pourrait peut-être même encore remplacer cette phrase par :

En effet, si nous considérons les suites de parties bornées connexes ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers une partie bornée connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, les suites des cardinaux quantitatifs des parties de chacune de ces suites de parties bornées connexes ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ ne convergent pas toutes vers le même cardinal quantitatif de la partie bornée connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, ce qui en l'état provoque des contradictions, mais qui peuvent être {contournées|résorbées} en introduisant la notion de plafonnement borné constitué de la partie bornée connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$ et de la suite de parties bornées connexes ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ convergeant vers cette partie bornée connexe $A$ de $\mathbb {R} ^{N}$, noté $[A,{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]$.

Et on exclut la notation classique de limite d'une famille de parties (resp. de parties bornées) ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$ de $\mathbb {R} ^{N}$ : "$\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }A_{n}=A}$"

et on lui préfère la notation, plus précise et dépendante de la famille ${(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }$, de limite de cette famille de parties de $\mathbb {R} ^{N}$ : "$\displaystyle {\lim _{n\rightarrow +\infty }A_{n}=[A,{(A_{n})}_{n\in \mathbb {N} }]}$".

Cardinaux négatifs ou complexes

Début d’un théorème

Soient $\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{1}},{\Omega }_{\varepsilon _{2}}{\subset }\Omega ,\,\,\Omega _{\varepsilon _{1}}\bigcap \Omega _{\varepsilon _{2}}=\emptyset \,\,:\,\,{card}({\Omega }_{\varepsilon _{1}})={card}({\Omega }_{\varepsilon _{2}})}$

Soient $\displaystyle {A_{\varepsilon _{1}},A_{\varepsilon _{2}}\subset \Omega ,\,\,A_{\varepsilon _{1}}\subset {\Omega }_{\varepsilon _{1}},\,\,A_{\varepsilon _{2}}\subset {\Omega }_{\varepsilon _{2}}\,\,:\,\,{card}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{2}})}$

et

Alors on définit la relation suivante :

$\forall i,j\in \mathbb {N} _{2}^{*},\,\,i\neq j,$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\emptyset }{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{j}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}A_{\varepsilon _{i}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}{\emptyset }{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}A_{\varepsilon _{j}}{\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\Longleftrightarrow _{def}$

(1)

$\displaystyle {{\emptyset }{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{j}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}$

$\Longleftrightarrow$

$\subset _{\varepsilon _{j}}=\supset _{\varepsilon _{i}}=\subset$

$\displaystyle {{\emptyset }{\subset }A_{\varepsilon _{j}}\subset \Omega _{\varepsilon _{j}}}$

(2)

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}A_{\varepsilon _{i}}{\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}{\emptyset }}$

$\Longleftrightarrow$

${\subset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{j}}}={\supset }_{{\Omega }_{\varepsilon _{i}}}=\supset$

$\displaystyle {{\Omega }_{\varepsilon _{i}}{\supset }A_{\varepsilon _{i}}{\supset }{\emptyset }}$

De plus, si tel est le cas, on pose les relations suivantes :

$\displaystyle {\forall \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\in \{-1,1,{\underline {i}}\},\,\,\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{2},\,\,{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{2}})=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{1}})\,\,et\,\,{card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{1}})={card}(A_{\varepsilon _{2}})={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{2}}}(A_{\varepsilon _{2}})}$

et

$0={card}(\emptyset )={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{1}}}(\emptyset )={card}_{{\Omega }_{\varepsilon _{2}}}(\emptyset )$

Document connexe : http://www.fichier-pdf.fr/2013/03/22/ce-qui-n-existe-pas-pour-un-existe-pour-un-autre-copie-1/

Fin du théorème